2019届高考大一轮复习备考资料之数学人教A版全国用课件：6.2+等差数列及其前n项和
§6.2 等差数列及其前n项和
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
基础知识 自主学习
知识梳理
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 _________________________________________________________________________________________________________________________ 常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差 ， 通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d .
√D.785<d≤235
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解析 答案
5.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝____8____时，{an} 的前n项和最大.
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0. 又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0. 故当n＝8时，其前n项和最大.
解得d＝4.故选C.
解析 答案
2.(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于
A.100
B.99
√C.98
D.97
解析 由等差数列性质，知 S9＝9a12＋a9＝9×22a5＝9a5＝27，得 a5＝3，
而 a10＝8，因此公差 d＝a1100－－a55＝1，
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题组二 教材改编
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，
则S8等于 A.31
√B.32
C.33
D.34
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解析 答案
3.[P39T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8 ＝___1_8_0___.
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解析 答案
6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比 前一秒多降落9.80 m，那么经过___2_0____秒落到地面. 解析 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80 的等差数列. 所以4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
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(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
(√ ) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一 定是等差数列.( √ )
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450， ∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.
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解析 答案
题组三 易错自纠
4.一个等差数列的首项为215，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的
公差d的取值范围是
8 A.d>75
3 B.d<25
83 C.75<d<25
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解析 答案
题型分类 深度剖析
题型一 等差数列基本量的运算
自主演练
1.(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，
则{an}的公差为
A.1
B.2
√C.4
D.8
解析 设{an}的公差为d，
由Sa64＝＋4a85＝，24，
a1＋3d＋a1＋4d＝24， 得6a1＋6×2 5d＝48，
3.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫 做a与b的 等差中项 .
4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公 差为 md 的等差数列.
∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.
解析 答案
思维升华
等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或 前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn， 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
na ＋a nn－1 1 n
na ＋ d 1
设等差数列{a }的公差为d，其前n项和S ＝ 2 或S ＝ 2 . n
n
__________________________
n
_________________________________
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2n.
数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 大 值；若a1<0，d>0，则Sn 存在最 小 值.
ห้องสมุดไป่ตู้
【知识拓展】
等差数列的四种判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列. (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列. (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列. (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.
基础自测 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列 是等差数列.( × ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第6章 数列 第2节 等差数列
求前n项和
一般运用方程思想求解
a1和d是等差数列通项公式的两个基本元素
利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解
利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接
求解
对点训练1在等差数列{an}中,已知a2=-9,a3=-7.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,求满足Sn>an的n的最小值.
m,n,p,q∈N*)相结合,可减少运算量.
2.在等差数列{an}中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求
出结果,常用的性质有:在等差数列{an}中,数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等
差数列,且有S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);S2n-1=(2n-1)an.
2.等差数列的判定与证明 1.数学抽象
3.等差数列的性质及应用 2.逻辑推理
4.等差数列前n项和的最 3.数学运算
值问题
强基础 固本增分
1.等差数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从
差
等于 同一个常数
等差数列的
公差
第2项
起,每一项与它的前一项的
,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做
考点二
等差数列的判定与证明
例2(2021全国甲,文18)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,
从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列{an}是等差数列;②数列{ }是等差数列;③a2=3a1.
证明:若选①②⇒③
设数列{an}的公差为 d1,数列{ }的公差为 d2.
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2019届高考数学一轮复习第六章数列6-2等差数列及其前n项和课件文PPT
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k， m∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 4．等差数列与函数的关系 (1)由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，可得 an＝dn＋(a1 －d)．当 d>0 时，{an}是递增数列；d<0 时，{an}是递减数列．d ＝0 时，{an}是常数列．
C．6
D．5
[解析] 由题意，7a12＋a7＝7×22a4＝35，所以 a4＝5.
[答案] D
5．已知{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn.若 a3＝6，S3＝12， 则公差 d 等于________．
[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由 a3＝6，S3＝12，得a31a＋1＋2d3＝d＝6，12， 解得da＝1＝22. ，
项和，若 a3＋a6＋a9＝60，则 S11＝( )
A．
B．110
C．55
D．50
[思路引导] (1) 由公差为2，S5＝25求a1 →
由a2m＝15列方程 → 解方程得m值
(2) 由a3＋a6＋a9＝60求a6 → 利用性质求S11
[解析] (1)S5＝5a1＋5×52－1×2＝25，解得 a1＝1. 所以 a2m＝a1＋(2m－1)×2＝1＋4m－2＝15，解得 m＝4，故 选 A. (2) 因 为 a3 ＋ a6 ＋ a9 ＝ 3a6 ＝ 60 ， 所 以 a6 ＝ 20 ， 则 S11 ＝ 11×a21＋a11＝11×22a6＝11×2 40＝220.故选 A.
[解析] A 项中未强调差是同一个常数，故 A 错． [答案] A
2．(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6 ＝( )
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第二节 等差数列
.
-1
Sn,Tn,则
=
2 -1
2 -1
.
常用结论
1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是
Sn=an2+bn(a,b∈R).
3.在等差数列{an}中,若Sm=Sn,则Sm+n=0.
解 依题意{an+bn}为等差数列,其首项a1+b1=5+15=20.
又a100+b100=100,所以{an+bn}前100项的和为100×(20+100)=6 000.
2
研考点 精准突破
考点一
等差数列基本量的运算
题组(1)(2023·山东烟台高三月考)已知在等差数列{an}中,Sn为其前n项
2
B 正确;因为公差
d≠0,所以 a8=a9-d=-d≠0,故 A 错误;因为 a9=0,所以 a1+8d=0,即 a1=-8d,所以
16×15
15
1
S16=16a1+ 2 d=16(a1+ 2 d)=16×(-2d)=-8d=a1,故
C正
确;S10-S8=a9+a10=a10=a1+9d=-8d+9d=d,d 正负不一定,故 D 错误.故选 BC.
2
=
21
21
=
5×21+2
21+3
=
Sn,Tn,且
107
.故选
24
A.
=
5+2
,所以
+3
第六章 §6.2 等差数列-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d 2，
所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd， 所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次 函数，且a1＝d2满足上式，所以数列{an}是等差数列.
思维升华
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差 数列； (2)等差中项法：对于数列{an}，2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是 等差数列； (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差 数列； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 ⇔{an}是等差数列.
第六章
§6.2 等差数列
课标要求
1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式 与前n项和公式的关系. 3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元函数的关系.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝12dn2＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的 一次函数，则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0，
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，S5<S6，
2019届高考数学(理)一轮复习讲练测：专题6.2 等差数列及其前n项和(测)(解析版)
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1．【浙江省高三第一次五校联考】在等差数列{}n a 中，53a =，62a =-，则348a a a ++等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C. 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴3847561a a a a a a +=+=+=，∴3483a a a ++=.2．【辽宁省沈阳市东北育才学校高三八模】等差数列{}n a 中，564a a +=，则10122log (222)a a a ⋅= （ ）A.10B.20C.40D.22log 5+ 【答案】B 【解析】 试题分析：因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B.3． 数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于（ ）A ．212B ．21C ．42D ．84 【答案】B 【解析】4．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ） （A ）78 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：因为112124912()6()722a a S a a +==+≥=，当且仅当496a a ==时取等号，所以12S 的最小值为72，选D.5．【改编题】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则=-nnn S S S 32（ ） A. 30 B. 3 C. 300 D. 31 【答案】D【解析】因为)(2)(231212n n n n n a a n a a n S S +=+=-+，)(23313n n a a nS +=，所以3132=-n n n S S S .6．【改编题】已知n S 是公差d 不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，且83S S =，k S S =7（7≠k ），则k 的值为（ ）A. 3B.4C.5D.6 【答案】B【解析】依题意，83S S =可知d a d a 2883311+=+，即d a 51-=，由k S S =7得d k k ka d a 2)1(2)17(7711-+=-⨯+，将d a 51-=代入化简得028112=+-k k ， 解得4=k 或7-=k （舍去），选B.7．【2019新课标I 学易大联考二】已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21(1)22n n nS n S n n +-+=+*()n N ∈，13a =，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．41n -B ．21n +C ．3nD ．2n +【命题意图】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 间的关系、等差数列通项公式等基础知识，意在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及转化思想的应用． 【答案】A8．【2019新课标II 学易大联考一】《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，是基础题. 【答案】D【解析】由题知该女每天所织尺数等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则7S =177()2a a +=47a =21，所以4a =3，因为258a a a ++=53a =15，所以5a =5，所以公差54d a a =-=2，所以10a =55a d +=15，故选D.9．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】A【解析】设该设备第()n n N *∈的营运费用为n a 万元，则数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，则2n a n =，则该设备到第()n n N *∈年的营运费用总和为12242n a a a n +++=+++=()2222n n n n +=+，设第()n n N *∈的盈利总额为nS 万元，则()22119109n S n n n n n =-+-=-+-()2516n =--+，因此，当5n =时，n S 取最大值16，故选B.10．【原创题】已知等差数列}{n a 中，59914,90a a S +==, 则12a 的值是（ ） A ． 15 B ．12-C ．32-D ．32【答案】B11．【原创题】已知等差数列765)1()1()1(53}{x x x n a a n n +++++-=，则，的展开式中4x 项的系数是数列}{n a 中的 （ ）A ．第9项B ．第10项C ．第19项D ．第20项 【答案】D ．【解析】由二项式定理得567(1)(1)(1)x x x +++++的展开式中4x 项的系数为44456776551555123C C C ⨯⨯++=++=⨯⨯，由3555n -=，得20n =，故选D ．12．【2019浙江理6】如图所示，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且1n n A A +=12n n A A ++，2n n A A +≠，n ∈*N ，112n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，n ∈*N （P Q≠表示点P 与点Q 不重合）.若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）.S nB 1B 2B nB 3B n+1A n+1A 3A nS 1S 2A 2A 1••••••••••••••••••A. {}n S 是等差数列B.2{}n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.2{}n d 是等差数列【答案】A ．【解析】设点n A 到对面直线的距离为n h ，则112n n n n+S h B B =. 由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，则1212n n S h B B =.那么我们需要知道n h 的关系式，过点1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那11tan n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，那么11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅.由题目中条件知112n n n n A A A A +++=，则()1121n A A n A A =-.所以()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦，其中θ为定值，所以n S 为等差数列.故选A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2019江苏8】已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是 ．【答案】20【解析】设公差为d ，则由题意可得()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则948320a =-+⨯=．14.【2019北京理12】已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6S =__________.【答案】615．如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点（算第．．1．层．），第2层每边有两个点，第3层每边有三个点，依次类推．（1） 试问第n 层()2n N n *∈≥且的点数为___________个； （2） 如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有_____层．【答案】(1)()61n -；(2)8.16．【2019届江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值为 ．【答案】【解析】试题分析：令1(1)n a a n d =+-，则1(1)2n n n S na d -=+， 又2n n a S An Bn C +=++ 所以2211(1)22d da n d na n n An Bn C +-++-=++ 即得2d A =，12dB a =+，1C a d =- 所以11122322d d B C a a d A d d +-=++-+=+因为0A >，所以0d >232d d +≥=232d d =即d =所以1B C A+-的最小值为故答案为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【2019届广东省惠州市高三第一次调研考试】（本题10分）已知{}n a 为等差数列，且满足138a a +=，2412a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若31,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值． 【答案】（Ⅰ）2n a n =;（Ⅱ）2k = 【解析】18．【2019届宁夏银川一中高三上学期第一次月考】等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b = （1）求n a 与n b ；（2）求nS S S 11121+++ ． 【答案】（1）n n a n 3)1(33=-+=,13-=n n b （2）23(1)n nS n =+【解析】19．【2019全国甲理17】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=． （1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和． 【答案】（1）0,1,2；（2）1893． 【解析】20．【江苏省盐城市高三第三次模拟考试】设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在无穷数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1n n f x a x a x a x =+++++．（1）求2a （用,p q 表示）； （2）当1,1p q =-=-时，令12n n n n a b a a ++=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：32n S <；（3）若数列{}n a 是公差不为零的等差数列，求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）22a p q =-；（2）证明见解析；（3）1n a n =+． 【解析】试题分析：（1） 由21()1+f x px qx=+，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，可利用展开式含未知量的系数为0，求得2a ；（2）由已知求出数列前两项，再由(3)nx n ≥的系数为0得到数列的递推式，代入12n n n n a b a a ++=后利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和为n S ，放大后证得32n S <； （3）由（2）120n n n a pa qa --++=，因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，然后排出数列为常数列的情况，再结合数列的前两项即可得数列{}n a 的通项公式．21.【2019年山西高三四校联考】（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，11,552==a a ，数列}{n b 的前n 项和n n a n S +=2. （Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫+11n n b b 的前n 项和n T ．【答案】（I ）12+=n a n ，⎩⎨⎧≥+==)2(,12)1(,4n n n b n ；（II ）)32(2016+-=n n T n ．（2）n=1时，2011211==b b T ， n ≥2时，)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n b b n n ， 所以 )32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=n n n n n n n T n n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，)32(201615101201+-=+-+=n n n n T n ………… （12分） 22.【2019年江西师大附中高三二模】（本小题满分12分）在公比为2的等比数列{}n a 中，2a 与5a 的等差中项是.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）若函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，φπ<，的一部分图像如图所示，()11,M a -，()13,N a -为图像上的两点，设MPN β∠=，其中P 与坐标原点O 重合，πβ<<0，求()tan φβ-的值.【答案】（I ）；（II）32-+．【解析】 （Ⅱ）∵点在函数的图像上，∴，又∵，∴ -------------7分 如图，连接MN ，在中，由余弦定理得1a ()11,M a -1sin 4y a x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭φπ<34φπ=MPN ∆。
2019版高考数学一轮复习讲义 第六章 数列 6.2 等差数列讲义
§ 等差数列考纲解读考点内容解读要求五年高考统计 常考题型 预测热度.等差数列的定义及运算 .等差数列的证明.等差数列的通项公式.等差数列求和题 分题 分填空题解答题★★★.等差数列的性质利用等差数列有关性质解题填空题解答题★★★分析解读 等差数列是高考的热点.中档题主要考查等差数列的基本运算,压轴题常考等差数列中的推理证明,对能力要求比较高.五年高考考点一 等差数列的定义及运算.(江苏分)已知{}是等差数列是其前项和.若,则的值是.答案.(浙江改编分)如图,点列{},{}分别在某锐角的两边上,且≠∈*≠∈*.(≠表示点与不重合)为△的面积,则{}是数列.(填“等差”或“等比”)答案 等差.(福建改编分)等差数列{}的前项和为,若,则等于. 答案.(课标全国Ⅰ理改编分)设等差数列{}的前项和为,若,则. 答案.(课标全国Ⅰ文分)记为等比数列{}的前项和.已知. ()求{}的通项公式;()求,并判断是否成等差数列.解析 ()设{}的公比为,由题设可得解得.故{}的通项公式为().()由()可得()·.由于()·,故成等差数列..(江苏分)设数列{}的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称{}是“数列”.()若数列{}的前项和(∈*),证明:{}是“数列”;()设{}是等差数列,其首项,公差<.若{}是“数列”,求的值;()证明:对任意的等差数列{},总存在两个“数列”{}和{},使得(∈*)成立.解析()证明:由已知,得当≥时.于是对任意的正整数,总存在正整数,使得.所以{}是“数列”.()由已知,得.因为{}是“数列”,所以存在正整数,使得,即(),于是()·.因为<,所以<,故.从而.当时是小于的整数∈*.于是对任意的正整数,总存在正整数,使得,所以{}是“数列”.因此的值为.()证明:设等差数列{}的公差为,则()()()(∈*).令()(),则(∈*),下证{}是“数列”.设{}的前项和为,则(∈*).于是对任意的正整数,总存在正整数,使得.所以{}是“数列”.同理可证{}也是“数列”.所以,对任意的等差数列{},总存在两个“数列”{}和{},使得(∈*).教师用书专用(—).(课标全国Ⅰ分)已知{}是公差为的等差数列,数列{}满足.()求{}的通项公式;()求{}的前项和.解析()当时,因为,所以,(分)所以数列{}是首项为,公差为的等差数列,通项公式为.(分)()由()和得,(分)因此{}是首项为,公比为的等比数列.(分)记{}的前项和为,则.(分).(课标全国Ⅱ分)等差数列{}中.()求{}的通项公式;()设[],求数列{}的前项和,其中[]表示不超过的最大整数,如[],[].解析()设数列{}的公差为,由题意有.解得.(分)所以{}的通项公式为.(分)。
2019-2020年高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列讲义
2019-2020年高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列讲义分析解读 等差数列是高考的热点.中档题主要考查等差数列的基本运算,压轴题常考等差数列中的推理证明,对能力要求比较高.五年高考考点一 等差数列的定义及运算1.(xx 江苏,8,5分)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+=-3,S 5=10,则a 9的值是 . 答案 202.(xx 浙江改编,8,5分)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n∈N *.(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)S n 为△A n B n B n+1的面积,则{S n }是 数列.(填“等差”或“等比”)答案 等差3.(xx 福建改编,3,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于 . 答案 124.(xx 课标全国Ⅰ理改编,7,5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m= . 答案 55.(xx 课标全国Ⅰ文,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n.(2)由(1)可得S n ==-+(-1)n·.由于S n+2+S n+1=-+(-1)n· =2=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.6.(xx 江苏,20,16分)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得S n =a m ,则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n =2n (n∈N *),证明:{a n }是“H 数列”;(2)设{a n }是等差数列,其首项a 1=1,公差d<0.若{a n }是“H 数列”,求d 的值;(3)证明:对任意的等差数列{a n },总存在两个“H 数列”{b n }和{c n },使得a n =b n +c n (n∈N *)成立.解析 (1)证明:由已知,得当n≥1时,a n+1=S n+1-S n =2n+1-2n =2n.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=n+1,使得S n =2n=a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因为{a n}是“H数列”,所以存在正整数m,使得S2=a m,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)·d=1.因为d<0,所以m-2<0,故m=1.从而d=-1.当d=-1时,a n=2-n,S n=是小于2的整数,n∈N*.于是对任意的正整数n,总存在正整数m=2-S n=2-,使得S n=2-m=a m,所以{a n}是“H数列”.因此d的值为-1.(3)证明:设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(n∈N*).令b n=na1,c n=(n-1)(d-a1),则a n=b n+c n(n∈N*),下证{b n}是“H数列”.设{b n}的前n项和为T n,则T n=a1(n∈N*).于是对任意的正整数n,总存在正整数m=,使得T n=b m.所以{b n}是“H数列”.同理可证{c n}也是“H数列”.所以,对任意的等差数列{a n},总存在两个“H数列”{b n}和{c n},使得a n=b n+c n(n∈N*).教师用书专用(7—10)7.(xx课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.解析(1)当n=1时,a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2,(3分)所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=,(7分)因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.(9分)记{b n}的前n项和为S n,则S n==-.(12分)8.(xx课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.(3分)所以{a n}的通项公式为a n=.(5分)(2)由(1)知,b n=.(6分)当n=1,2,3时,1≤<2,b n=1;当n=4,5时,2<<3,b n=2;当n=6,7,8时,3≤<4,b n=3;当n=9,10时,4<<5,b n=4.(10分)所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)9.(xx大纲全国,18,12分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=10,a2为整数,且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解析(1)由a1=10,a2为整数知,等差数列{a n}的公差d为整数.又S n≤S4,故a4≥0,a5≤0,于是10+3d≥0,10+4d≤0.解得-≤d≤-.因此d=-3.数列{a n}的通项公式为a n=13-3n.(6分)(2)b n==.(8分)于是T n=b1+b2+…+b n===.(12分)10.(xx山东理,20,12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S4=4S2,a2n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{b n}的前n项和为T n,且T n+=λ(λ为常数),令c n=b2n(n∈N*),求数列{c n}的前n项和R n.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d.由S4=4S2,a2n=2a n+1得解得a1=1,d=2.因此a n=2n-1,n∈N*.(2)由题意知:T n=λ-,所以n≥2时,b n=T n-T n-1=-+=.故c n=b2n==(n-1),n∈N*.所以R n=0×+1×+2×+3×+…+(n-1)×,则R n=0×+1×+2×+…+(n-2)×+(n-1)×,两式相减得R n=+++…+-(n-1)×=-(n-1)×=-,整理得R n=.所以数列{c n}的前n项和R n=.考点二等差数列的性质1.(xx广东,10,5分)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= .答案102.(xx重庆改编,2,5分)在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6= .答案03.(xx北京,12,5分)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 时,{a n}的前n项和最大.答案84.(xx天津理,18,13分)已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,b n是a n和a n+1的等比中项.(1)设c n=-,n∈N*,求证:数列{c n}是等差数列;(2)设a1=d,T n=(-1)k,n∈N*,求证:<.证明(1)由题意得=a n a n+1,有c n=-=a n+1·a n+2-a n a n+1=2da n+1,因此c n+1-c n=2d(a n+2-a n+1)=2d2,所以{c n}是等差数列.(2)T n=(-+)+(-+)+…+(-+)=2d(a2+a4+…+a2n)=2d·=2d2n(n+1).所以===·<.教师用书专用(5)5.(xx四川,19,12分)设等差数列{a n}的公差为d,点(a n,b n)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{a n}的前n项和S n;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列的前n项和T n.解析(1)由已知,得b7=,b8==4b7,有=4×=.解得d=a8-a7=2.所以,S n=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-=(ln 2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.由题意,得a2-=2-,解得a2=2.所以d=a2-a1=1.从而a n=n,b n=2n.所以T n=+++…++,2T n=+++…+.因此,2T n-T n=1+++…+-=2--=.所以,T n=.三年模拟A组xx模拟·基础题组考点一等差数列的定义及运算1.(xx江苏姜堰中学期中)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a2=2,数列{a n+a n+1}是公差为2的等差数列,则S9= .答案452.(苏教必5,二,2,变式)设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和,若a1=2a8-3a4,则= .答案3.(xx江苏南京高淳质检)若S n为等差数列{a n}的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为.答案±44.(xx江苏泰州姜堰摸底,8)等差数列{a n}的前n项和记为S n,且满足2n=,则数列{a n}的公差d= .答案85.(xx江苏苏州期末,8)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为.答案-136.(xx江苏淮阴中学期中,6)已知S n是等差数列{a n}的前n项和,且S11=35+S6,则S17的值为.答案1197.(xx江苏镇江一模,10)S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则= .答案8.(xx江苏扬州中学质检,20)已知数列{a n}满足a1=x,a2=3x,S n+1+S n+S n-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),S n是数列{a n}的前n 项和.(1)若数列{a n}为等差数列.(i)求数列的通项a n;(ii)若数列{b n}满足b n=,数列{c n}满足c n=t2b n+2-tb n+1-b n,试比较数列{b n}的前n项和B n与{c n}的前n项和C n的大小;(2)若对任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,求实数x的取值范围.解析因为S n+1+S n+S n-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),所以S3+S2+S1=14,即a3+2a2+3a1=14.又a1=x,a2=3x,所以a3=14-9x.(1)(i)因为数列{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即6x=x+(14-9x),解得x=1,即a1=1,a2=3,所以公差d=a2-a1=2. 所以a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*).(ii)因为a n=2n-1(n∈N*),所以b n==22n-1>0,其前n项和B n>0,又c n=t2b n+2-tb n+1-b n=(16t2-4t-1)b n,所以其前n项和C n=(16t2-4t-1)B n,所以C n-B n=2(8t2-2t-1)B n,当t<-或t>时,C n>B n;当t=-或t=时,C n=B n;当-<t<时,C n<B n.(2)由S n+1+S n+S n-1=3n2+2(n≥2,n∈N*)知S n+2+S n+1+S n=3(n+1)2+2(n∈N*),两式作差,得a n+2+a n+1+a n=6n+3(n≥2,n∈N*),所以a n+3+a n+2+a n+1=6(n+1)+3(n∈N*),再作差得a n+3-a n=6(n≥2,n∈N*),易知,a4+a3+a2=15,∴a4=1+6x.所以当n=3k-1,k∈N*时,a n=a3k-1=a2+(k-1)×6=3x+6k-6=2n+3x-4;当n=3k,k∈N*时,a n=a3k=a3+(k-1)×6=14-9x+6k-6=2n-9x+8;当n=3k+1,k∈N*时,a n=a3k+1=a4+(k-1)×6=1+6x+6k-6=2n+6x-7.因为对任意的n∈N*,a n<a n+1恒成立,所以a1<a2,且a3k-1<a3k<a3k+1<a3k+2,所以解得<x<,故实数x的取值范围为.考点二等差数列的性质9.(xx江苏盐城高三(上)期中)在等差数列{a n}中,若a2+a5=,则数列{a n}的前6项的和S6= .答案 210.(xx江苏金陵中学高三月考)已知数列{a n}是等差数列,且<-1,它的前n项和S n有最小值,则S n取到最小正数时,n的值为.答案1211.(xx江苏南京、盐城一模,8)设{a n}是等差数列,若a4+a5+a6=21,则S9= .答案6312.(xx江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,9)已知{a n}是公差不为0的等差数列,S n是其前n 项和.若a2a3=a4a5,S9=27,则a1的值是.答案-513.(xx江苏南通中学高三阶段测试)已知数列{a n}中,首项a1=1,a2=m,a n+1=k(a n+a n+2)对任意正整数n都成立,数列{a n}的前n项和为S n.(1)若k=,且S18=171,求实数m;(2)是否存在实数k,使数列{a n}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项a n、a n+1、a n+2按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有的k的值;若不存在,请说明理由;(3)若k=-,求S n(用m、n表示).解析(1)当k=时,由a n+1=k(a n+a n+2)得a n+1=(a n+a n+2),即a n+2-a n+1=a n+1-a n,所以数列{a n}为等差数列,公差d=a2-a1=m-1,数列{a n}的前n项和S n=n+·(m-1),由S18=171=18+·(m-1),解得m=2.(2)设数列{a n}为等比数列,则其公比q==m,a n=m n-1,a n+1=m n,a n+2=m n+1.①若a n+1为等差中项,则2a n+1=a n+a n+2,即2m n=m n-1+m n+1,则2m=1+m2,解得m=1,与已知不符,舍去;②若a n为等差中项,则2a n=a n+1+a n+2,即2m n-1=m n+m n+1,则2=m+m2,即m2+m-2=0,解得m=-2或m=1(舍),此时由a n+1=k(a n+a n+2)得m n=k(m n-1+m n+1),即m=k(1+m2),故k==-;③若a n+2为等差中项,则2a n+2=a n+a n+1,即2m n+1=m n-1+m n,即2m2-m-1=0,解得m=-或m=1(舍),同②得k==-.综上,满足要求的实数k有且仅有一个,k=-.(3)当k=-时,a n+1=-(a n+a n+2),所以a n+2+a n+1=-(a n+1+a n),于是a n+3+a n+2=-(a n+2+a n+1)=a n+1+a n.①当n为偶数时,S n=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+…+(a n-1+a n)=(a1+a2)=;②当n为奇数时,S n=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a n-1+a n)=a1+(a2+a3)=a1+·[-(a1+a2)]=1-(m+1)(n≥2),当n=1时,也适合该式.所以S n=B组xx模拟·提升题组(满分:95分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(xx江苏徐州铜山中学期中)已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=6,若a1,a3,a7成等比数列,则S8的值为.答案882.(xx江苏淮安、宿迁高三(上)期中)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=5,S1,S5,S7成等差数列,则数列{a n}的通项公式为a n= .答案2n-1(n∈N*)3.(苏教必5,二,2,变式)设等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对任意正整数n都有=,则+的值为.答案4.(苏教必5,二,2,变式)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-3,a k+1=,S k=-12,则正整数k= .答案13二、解答题(共75分)5.(xx江苏扬州中学高三月考)已知各项均为整数的数列{a n}满足a3=-1,a7=4,前6项依次成等差数列,从第5项起依次成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求出所有的正整数m,使得a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2.解析(1)设数列前6项的公差为d,则a5=-1+2d,a6=-1+3d(d为整数),又a5,a6,a7成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1),即9d2-14d+5=0,得d=1或d=(舍去).当n≤6时,a n=n-4,所以a5=1,a6=2,所以数列从第5项起构成的等比数列的公比为2,所以当n≥5时,a n=2n-5,故a n=(2)由(1)知,数列{a n}为-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,…,当m=1时等式成立,即-3-2-1=-6=(-3)×(-2)×(-1).当m=3时等式成立,即-1+0+1=0=(-1)×0×1.当m=2或4时等式不成立.当m≥5时,a m+a m+1+a m+2=2m-5(1+2+22)=7×2m-5,a m a m+1a m+2=23m-12,若a m+a m+1+a m+2=a m a m+1a m+2,即7×2m-5=23m-12,所以22m-7=7.∵m≥5,∴22m-7≥8,从而方程22m-7=7无解.所以当m≥5时,a m+a m+1+a m+2≠a m a m+1a m+2,故m=1或m=3.6.(xx江苏泰州姜堰期中,19)已知数列{a n}是公差为正数的等差数列,其前n项和为S n,且a2·a3=15,S4=16.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b1=a1,b n+1-b n=.①求数列{b n}的通项公式;②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解析(1)设数列{a n}的公差为d,则d>0.由a2a3=15,S4=16,得解得或(舍去),所以a n=2n-1.(2)①因为b1=a1,b n+1-b n=,所以b1=a1=1,b n+1-b n===,所以b2-b1=,b3-b2=,……,b n-b n-1=(n≥2),∴b n-b1==,所以b n=,n≥2.b1=1也符合上式,故b n=,n∈N*.②假设存在正整数m,n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列,则b2+b n=2b m.又b2=,b n==-,b m=-,所以+=2,化简得2m==7-,当n+1=3,即n=2时,m=2,此时m=n,不符合题意;当n+1=9,即n=8时,m=3,符合题意.所以存在正整数m=3,n=8,使得b2,b m,b n成等差数列.7.(xx江苏盐城期中,20)若数列{a n}中的项都满足a2n-1=a2n<a2n+1(n∈N*),则称{a n}为“阶梯数列”.(1)设数列{b n}是“阶梯数列”,且b1=1,b2n+1=9b2n-1(n∈N*),求b2 016;(2)设数列{c n}是“阶梯数列”,其前n项和为S n,求证:{S n}中存在连续三项成等差数列,但不存在连续四项成等差数列;(3)设数列{d n}是“阶梯数列”,且d1=1,d2n+1=d2n-1+2(n∈N*),记数列的前n项和为T n.是否存在实数t,使得(t-T n)<0对任意的n∈N*恒成立?若存在,请求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)∵b2n+1=9b2n-1,b1=1,∴{b2n-1}是以b1=1为首项,9为公比的等比数列,∴b2n-1=b1×9n-1=32n-2,∴b2 015=32 014,∵数列{b n}是“阶梯数列”,∴b2 016=b2 015=32 014.(2)证明:由数列{c n}是“阶梯数列”得c2n-1=c2n,故S2n-1-S2n-2=S2n-S2n-1,∴{S n}中存在连续三项S2n-2,S2n-1,S2n(n≥2)成等差数列.(注:给出具体三项也可以)假设{S n}中存在连续四项S k,S k+1,S k+2,S k+3成等差数列,则S k+1-S k=S k+2-S k+1=S k+3-S k+2,即c k+1=c k+2=c k+3,当k=2m-1,m∈N*时,c2m=c2m+1=c2m+2,①当k=2m,m∈N*时,c2m+1=c2m+2=c2m+3,②由数列{c n}是“阶梯数列”得c2m<c2m+1=c2m+2<c2m+3,③①②与③都矛盾,故假设不成立,即{S n}中不存在连续四项成等差数列.(3)∵d2n+1=d2n-1+2,d1=1,∴{d2n-1}是以d1=1为首项,2为公差的等差数列,∴d2n-1=d1+(n-1)×2=2n-1,又数列{d n}是“阶梯数列”,故d2n-1=d2n=2n-1,∴===(n∈N*),①当n=2k(k∈N*)时,T n=T2k=++…+=2=2×=1-∈,∴-∈,又(t-T n)<0恒成立,∴-<t<T n恒成立,∴-1≤t<.②当n=2k-1(k∈N*)时,T n=T2k-1=T2k-=T2k-=T2k-=1--∈,∴-∈[-3,-1),又(t-T n)<0恒成立,∴-<t<T n恒成立,∴-1≤t<.综上,存在满足条件的实数t,其取值范围是.8.(xx江苏南京盐城一模,20)若存在常数k(k∈N*,k≥2)、q、d,使得无穷数列{a n}满足a n+1= 则称数列{a n}为“段比差数列”,其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差.设数列{b n}为“段比差数列”.(1)若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3.①当q=0时,求b2 016;②当q=1时,设{b n}的前3n项和为S3n,若不等式S3n≤λ·3n-1对n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围;(2)若{b n}为等比数列,且首项为b,试写出所有满足条件的{b n},并说明理由.解析(1)①解法一:∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,∴b2 014=0×b2 013=0,∴b2 015=b2 014+3=3,∴b2 016=b2 015+3=6.解法二:∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,∴b1=1,b2=b1+3=4,b3=b2+3=7,b4=0×b3=0,b5=b4+3=3,b6=b5+3=6,b7=0×b6=0,……,∴当n≥4时,{b n}是周期为3的周期数列.∴b2 016=b6=6.②解法一:∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3,∴b3n+2-b3n-1=(b3n+1+d)-b3n-1=(qb3n+d)-b3n-1=[q(b3n-1+d)+d]-b3n-1=2d=6,∴{b3n-1}是以b2=4为首项,6为公差的等差数列.又∵b3n-2+b3n-1+b3n=(b3n-1-d)+b3n-1+(b3n-1+d)=3b3n-1,∴S3n=(b1+b2+b3)+(b4+b5+b6)+…+(b3n-2+b3n-1+b3n)=3(b2+b5+…+b3n-1)=3=9n2+3n,∵S3n≤λ·3n-1,∴≤λ,设c n=,则λ≥(c n)max,又c n+1-c n=-=,当n=1时,3n2-2n-2<0,c1<c2;当n≥2时,3n2-2n-2>0,c n+1<c n,∴(c n)max=c2=14,∴λ≥14,即λ∈[14,+∞).解法二:∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3,∴b3n+1=b3n,∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6,∴{b3n}是首项为b3=7,公差为6的等差数列,∴b3+b6+…+b3n=7n+×6=3n2+4n,易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1,公差为3的等差数列,∴b1+b2+b4+b5+…+b3n-2+b3n-1=2n×1+×3=6n2-n,∴S3n=(3n2+4n)+(6n2-n)=9n2+3n,以下同解法一.(2)解法一:由等比数列的通项公式有b n=bq n-1(q既是{b n}的公比,又是{b n}的段比),当m∈N*时,b km+2-b km+1=d,即bq km+1-bq km=bq km(q-1)=d恒成立,若q=1,则d=0,b n=b;若q≠1,则q km=,∴q km为常数,∴q=-1,k为偶数,d=-2b,b n=(-1)n-1b,此时k=2;经检验,满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或b n=(-1)n-1b.解法二:①若k=2,则b1=b,b2=b+d,b3=(b+d)q,b4=(b+d)q+d,由b1b3=,得b+d=bq;由b2b4=,得(b+d)q2=(b+d)q+d,联立两式,得b(q+1)(q-1)2=0,∴q=±1,则或则b n=b或b n=(-1)n-1b,经检验,均符合题意.②若k≥3,则b1=b,b2=b+d,b3=b+2d,由b1b3=,得(b+d)2=b(b+2d),得d=0,则b n=b,经检验,符合题意.综上,满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或b n=(-1)n-1b.9.(xx江苏南京、盐城二模,20)已知数列{a n}的前n项和为S n,数列{b n},{c n}满足(n+1)b n=a n+1-,(n+2)c n=-,其中n∈N*.(1)若数列{a n}是公差为2的等差数列,求数列{c n}的通项公式;(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有b n≤λ≤c n,求证:数列{a n}是等差数列.解析(1)因为{a n}是公差为2的等差数列,所以a n=a1+2(n-1),=a1+n-1,从而(n+2)c n=-(a1+n-1)=n+2,即c n=1.(2)证明:由(n+1)b n=a n+1-,得n(n+1)b n=na n+1-S n,所以(n+1)(n+2)b n+1=(n+1)a n+2-S n+1,两式相减,并化简得a n+2-a n+1=(n+2)b n+1-nb n.从而(n+2)c n=-=-[a n+1-(n+1)b n]=+(n+1)b n=+(n+1)b n=(n+2)(b n+b n+1).因此c n=(b n+b n+1).因为对一切n∈N*,有b n≤λ≤c n,所以λ≤c n=(b n+b n+1)≤λ,故b n=λ,c n=λ.所以(n+1)λ=a n+1-,(n+2)λ=(a n+1+a n+2)-,得(a n+2-a n+1)=λ,即a n+2-a n+1=2λ.故a n+1-a n=2λ(n≥2).又2λ=a2-=a2-a1,则a n+1-a n=2λ(n≥1).所以数列{a n}是等差数列.C组xx模拟·方法题组方法1 利用等差数列的基本量a1,d解决等差数列问题1.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8= .答案 3方法2 等差数列的判定与证明2.已知数列{a n}中,a1=,a n=2-(n≥2,n∈N*),数列{b n}满足b n=(n∈N*).(1)求证:数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}中的最大项和最小项,并说明理由.解析(1)证明:因为a n=2-(n≥2,n∈N*),b n=(n∈N*),所以b n+1-b n=-=-=-=1.又b1==-,所以数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知b n=n-,则a n=1+=1+.设f(x)=1+,则f(x)在区间和上为减函数.所以当n=3时,a n取得最小值-1,当n=4时,a n取得最大值3.3.设无穷数列{a n}满足:∀n∈N*,a n<a n+1,a n∈N*.记b n=,c n=(n∈N*).(1)若b n=3n(n∈N*),求证:a1=2,并求c1的值;(2)若{c n}是公差为1的等差数列,则{a n}是否为等差数列?证明你的结论.解析(1)若a1=1,则b1==a1=1,与b1=3×1=3矛盾,若a1≥3,因为b1==3,a n<a n+1,所以3=≥a3>a1≥3,矛盾,所以a1=2.于是a2==3,从而c1==a3==b2=6.(2){a n}是公差为1的等差数列,证明如下:因为a n+1>a n,所以当n≥2时,a n>a n-1,因为a n∈N*,所以当n≥2时,a n≥a n-1+1⇒a n≥a m+(n-m)(m<n),故≥+a n+1+1-(a n+1),即c n+1-c n≥a n+1-a n,由题设知,1≥a n+1-a n,又a n+1-a n≥1,所以a n+1-a n=1,即{a n}是等差数列.方法3 求等差数列前n项和的最大值与最小值的方法4.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a5+a7=4,a6+a8=-2,则当S n取最大值时,n的值是.答案 65.在等差数列{a n}中,已知a1=20,前n项和为S n,且S10=S15,求当n取何值时,S n取得最大值,并求出它的最大值. 解析解法一:设等差数列{a n}的公差为d.∵a1=20,S10=S15,∴10×20+d=15×20+d,∴d=-.由a n=20+(n-1)×=-n+.得a13=0.即当n≤12时,a n>0,当n≥14时,a n<0.∴当n=12或13时,S n取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+×=130.解法二:同解法一得公差d=-.∴S n=20n+·=-n2+n=-+.∵n∈N*,∴当n=12或13时,S n有最大值,且最大值为S12=S13=130.D组xx模拟·突破题组1.(xx江苏启东中学阶段测试)已知数列{a n}满足a1=1,且a n+1=a n+,n∈N*,则k(a2 015-a k)= .答案2.(xx江苏南京调研)已知数列{a n},{b n}满足:b n=a n+1-a n(n∈N*).(1)若a1=1,b n=n,求数列{a n}的通项公式;(2)若b n+1b n-1=b n(n≥2),且b1=1,b2=2.①记c n=a6n-1(n≥1),求证:数列{c n}为等差数列;②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,求首项a1应满足的条件.解析(1)当n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)=a1+b1+b2+…+b n-1=-+1,因为a1=1也满足上式,所以数列{a n}的通项公式是a n=-+1.(2)①证明:因为对任意的n∈N*,有b n+6====b n,所以c n+1-c n=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=b1+b2+b3+b4+b5+b6=1+2+2+1++=7,所以,数列{c n}为等差数列.②设(d i)n=a6(n-1)+i(n∈N*)(其中i为常数且i∈{1,2,3,4,5,6}),所以(d i)n+1-(d i)n=a6(n-1)+6+i-a6(n-1)+i=b6(n-1)+i+b6(n-1)+i+1+b6(n-1)+i+2+b6(n-1)+i+3+b6(n-1)+i+4+b6(n-1)+i+5=7,所以数列{a6(n-1)+i}均为以7为公差的等差数列,设f i(k)===+,其中k≥0,i为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数,a.当a i=时,对任意的n=6k+i,有=.当i=1时,a1=×1=;当i=2时,a2=×2=,此时a1=a2-b1=;当i=3时,a3=×3=,此时a1=a3-(b1+b2)=;当i=4时,a4=×4=,此时a1=a4-(b1+b2+b3)=-;当i=5时,a5=×5=,此时a1=a5-(b1+b2+b3+b4)=-;当i=6时,a6=×6=7,此时a1=a6-(b1+b2+b3+b4+b5)=.b.当a i≠时,f i(k+1)-f i(k)=-=.若a i>,则对任意的k∈N有f i(k+1)<f i(k),所以数列为递减数列;若a i<,则对任意的k∈N有f i(k+1)>f i(k),所以数列为递增数列,记集合B=.当a1∈B时,数列中必有某数重复出现无数次,不符合题意;当a1∉B时,数列(i=1,2,3,4,5,6)均为单调数列,任意一个数在这6个数列中最多出现一次,即任意一个数在数列中最多出现6次,所以若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次,则首项a1∈∁R B.2019-2020年高考数学一轮复习第六章数列6.3.1等比数列的概念及运算对点训练理1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 解法一：由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.解法二：同解法一求出q 2＝2，由a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝42，故选B. 2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列答案 D解析 根据等比数列性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a m ，a k ，a n 成等比数列，故选D. 3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n n ＋2D.n n －2答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2，∴S n ＝2n ＋n n －2＝n (n ＋1)，故选A.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k ＝48，则k 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案 D解析 ∵S k ＝1－2k1－2＝2k －1， ∴S k ＋2＝2k ＋2－1， 由S k ＋2－S k ＝48得2k ＋2－2k ＝48,2k＝16，k ＝4. 故选D.5．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 答案 1解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 1＝a 3－2d ，a 5＝a 3＋2d ，由题意得，(a 1＋1)(a 5＋5)＝(a 3＋3)2，即(a 3－2d ＋1)·(a 3＋2d ＋5)＝(a 3＋3)2，整理，得(d ＋1)2＝0，∴d ＝－1，则a 1＋1＝a 3＋3，故q ＝1. 6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析 设数列{a n }的公比为q ，由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0，又q ≠1，所以q ＝－2，所以S 5＝1×[1－－5]1－－＝11.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3，当n >1时，2S n －1＝3n －1＋3， 此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1＝2×3n －1， 即a n ＝3n －1， 所以a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n >1. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13. 当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n. 所以T 1＝b 1＝13； 当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]， 所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n]， 两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n ＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n . 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n .8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列． a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 9.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列． (2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21] ＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n (a n －3n ＋21) ＝－23b n ， 又b 1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．。
高考数学人教A版理科一轮复习课件：第六章 第2讲等差数列及其前n项和
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 同一个常数
用字母d表示.
，公差通常
公差 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为 常数). (2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝ .
a＋b 2
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
解析
) C.10 D.12
19 B. 2
由 S8＝4S4，
8×7 4×3 得 8a1＋ 2 ×1＝4×4a1＋ ×1， 2
1 19 解得 a1＝2，∴a10＝a1＋9d＝ 2 ，故选 B.
答案 B
4.(2015· 北京卷 ) 设 {an} 是等差数列，式与函数的关系 d d 2 Sn＝2n ＋a1－2n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数). 5.等差数列的前 n 项和的最值
大 值；若 在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最____ 小 值. a1＜0，d＞0，则 Sn 存在最____
2 2 ∴ a2 2－a1a3＝(a1＋d) －a1(a1＋2d)＝d >0，∴a2> a1a3，故选
项 C 正确；若 a1<0，则(a2－a1)· (a2－a3)＝d· (－d)＝－d2≤0， 故选项 D 错.
答案 C
5.(2014· 江西卷)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n ＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________.
3.等差数列的有关性质
已知数列{an}是等差数列，Sn 是{an}的前 n 项和. (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有 am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列{an}的单调性：当 d＞0 时，{an}是 列；当 d＜0 时，{an}是