直角坐标系下求平面图形的面积
定积分的应用面积体积-2022年学习资料
例1.求由抛物线y2=2x及直线2x+y-2=0所围图形的面积。-→X-y+d---2,-2
y-=2x-2x+y-2=0-X-12-2,-2-求平面因形面积的基本步骤：-1作曲线图形、确定积分变量积分区间；-2求面积微元；-3计算定积分。
当曲边梯形的曲边由参数方程-北=pt-y=feG1ss2）,-给出时，曲边梯形的面积为-A-fudioif g&aw-其中t1,t2分别是曲边的起点与终点对应的参数值。
2.设fx、gx是[a,b]上的连续函数，且fx2gx,-求由直线x=a,r=b,和曲线y=fx、y=gx 围-成的平面图形的面积A。-dA=[f x-gxx-1y=8x-A=∫[fcx-gexr-xx+dx
3.py、yy是[c,d]上的连续函数，且py2wy,-求由直线y=C,y=d和曲线x=py、x=yy所围 成的平面图形的面积A。-dA=[py-Ψ y]Wy-x=0y-x=Wy-A-ftoy-Wyldy-X
3.4.5一些物理量的计算-一、质量-例1.设半圆形线材的方程为y=VR2-x2-R<x<R,线-材上点的 x,y处的线密度为P=k-yk为常数，且k>R,-求该线材的质量。-ds-Ox x+dx R-X
二、功-例2.设一锥形贮水池，深15米，口径20米，盛满水，-试问将水全部吸出需作多少功？-10-X-Ax-B
例：求密度均匀（设为p,厚度为H,内外径为-r和R的飞轮绕中心轴转动的转动惯量J以及角速度-为o时的转动动 E.
3.4.6函数的平均值-一、函数的平均值-如何定义连续函数fx在[α ，b]上的平均值呢？-将[a,b]n等 。当n很大时，小区间[；-1，x]的长-度Ax=b-u-i=1,2,Λ ，n很小，由于fxeC[a,b],在小区间[x-1,x]上函数值变化很小，可把fx在-该区间上的取值看作常数∫x,于是∫x在[a,b]上-的
定积分的应用面积,体积
dx
f (x)
类似地，由0c yd ， 0 x( y) 所围成的图形绕
x
轴
旋转所成的旋转体的体积为：Vx
d
2c
y(
y)dy
。
3．4．4 旋转体的侧面积
设 f ( x) 在[a,b ]上非负，且有连续的导数。求由直线 xa ， xb ， y0 和曲线 y f ( x) 围成的平面图形， 绕 x 轴 旋转一周所形成的旋转体的侧面积。
ytan
x
R
y
o
y
R
x
(二)旋转体的体积
1．设 f ( x) 在[a,b] 上连续，求由直线xa ，xb ，
y0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形绕 x 轴旋转
而成的旋转体的体积。
y
dV A( x)dx[ f ( x)]2 dx ， y f (x)
Vx
b
[
f
(
x)]2dx
a
b y2dx.
a
o
a
x xdx b x
2. 设( y) 在[c,d ] 上连续，求由直线 yc ，yd ， x0 和曲线 x( y) 所围成图形绕 y 轴 旋转而成的
旋转体的体积。
y
dV [( y)]2dy 。
Vy
d
[(
y)]2dy
c
d x2dy
c
d
ydy
y
x( y)
c
o
x
例 2．求由 x2 y2 2 和 y x2 所围成的图形分别
设有一立 体 位于平面 xa, xb (ab) 之间，已知它被
过点 ( x, 0, 0) (a xb) 且垂直于 x 轴 的平面所截得的截面面
定积分求面积
计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例：曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为： A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ，其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) ， a > 0 ，则当 a = __时，面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积： 求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ； x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ； 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ； 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴； 的公共部分； 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分； 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
几种求平面图形面积的方法
毕业论文题目：几种求平面图形面积的方法学生姓名指导教师系（部）师范教育系专业数学教育班级数教094 学号提交日期20 年月日答辩日期 20 年月日20 年月日几种求平面图形面积的方法摘要本文研究的主要问题是平面内图形面积的几种解法，解题方法是指解答数学问题时，总体上所采取的方针、原则和方案。
不同题目通过分析条件与结论之间的差异，并不断缩小目标差来完成的。
关键词：平面图形面积目录现介绍几种常用的方法 (1)（一）转化法 (1)（二）和差法 (1)（三）重叠法 (2)（四）补形法 (2)（五）拼接法 (2)（六）特殊位置法 (3)（七）代数法 (3)（八）直角坐标系-积分法 (4)1、巧选积分变量 (4)2、巧用对称性 (5)参考文献 (6)此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和⌒CD 围成的阴影部分图形的面积为_________。
分析：连结CD 、OC 、OD ，如图2。
易证AB//CD ，则OCD ACD ∆∆和的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD 的面积。
易得︒= 60COD ，故ππ63606602=⋅==OCDS S 扇形阴影。
（二）和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，A D E ⌒为14圆，求阴影部分面积。
分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD 、扇形ADE 、R t E B C∆。
所以，8412421843604902+=⨯⨯-⨯+⋅=-+=∆ππEBCRt ABCD ADE S S S S 矩形扇形阴影。
人教版七年级数学下册《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计
人教版七年级第二册第七章《平面直角坐标系中面积的计算问题》教学设计一、教学内容：平面直角坐标系中面积的计算问题。
二、设计理念：课堂中应该充分发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识。
七年级学生的思维比较活跃，具有了一定的自主探究、分析问题和解决问题的能力，应培养学生的逻辑分析能力和准确语言表达能力，让学生通过操作、探究、讨论、总结得到平面直角坐标系中面积的计算方法。
教学中，教师是教学情景的设计着，是学生学习的引导者和促进者，应培养学生自主学习和探究学习的能力，培养学生良好的学习习惯和品质，培养学生的积极性、主动性、独立性和创造性。
三、教学目标：1.进一步认识平面直角坐标系,了解点、图形与坐标的对应关系，能求出给定坐标的点构成的图形的面积；2.通过对数学图形规律探究的过程中培养学生的数学思维；四、学情分析：本节课是一节复习课，在此之前，学生已经学习了平面直角坐标系的有关概念，了解了点的坐标意义以及学习了坐标的平移与应用，并且会计算三角形、正方形、长方形等简单图形的面积，本节课通过教师的引导，学生独立思考，将前面所学习的这些知识综合起来，逐步展开知识点，由简到难，让学生学会利用平面直角坐标系求解图形面积，进一步让学生体会数形结合、转化数学思想。
五、重、难点：学习重点：建立平面直角坐标系求解图形面积以及根据图形面积求点的坐标；学习难点：运用割补法求解平面直角坐标系中图形面积；六、教学课时：1课时七、教学准备：多媒体，PPT ，学案，三角板；八、教学过程：1.知识回顾：（1）平面直角坐标系中坐标点与线段之间的关系：①A （1x ,y ）,B(2x ,y ) 纵坐标相等的两个点所形成的线段长度为： ②A （x ,1y ）,B( x ,2y ) 横坐标相等的两个点所形成的线段长度为： 例1：1.若A(3,2)，B(-1,2)，则线段AB=2.若A(-2,-3)，B(-2,-1),则线段AB=【设计意图：回顾平面直角坐标系中面积的计算问题中相关知识，结合坐标图形让学生更加直观明白平面直角坐标系中点坐标与线段长度之间联系】（2）平面直角坐标系中坐标点到坐标轴距离：①点A （x,y ）到X 轴距离表示为：②点A （x,y ）到Y 轴距离表示为：例2：若A(-3,2)，则到X 轴的距离为： 到Y 轴的距离为：【设计意图：通过复习点到坐标轴的距离，进而为后面点到直线距离的理解铺垫，同时也让学生明白平面直角坐标中三角形的高是什么，高为多少】（3）思考：平面直角坐标系内的点与图形面积之间有何联系？【设计意图：进一步认识平面直角坐标系中坐标点、线段、图形面积之间对应关系，为在具体问题中应该如何规范解题提供依据】2.课堂探究：例3：在平面直角坐标系中，原点O(0,0),已知点A(0,3),B(4,0)，求三角形OAB的面积；【设计意图：通过例题，引导学生利用数形结合思想解决此类问题，让学生感受求解三角形面积需要找到三角形的“底”和“高”对应线段，应用“底×高÷2”直接计算面积，同时规范学生作答，板书时紧扣思考3中平面直角坐标系内的点与图形面积联系】变式1：在平面直角坐标系中，已知点A(0,3),B(4,0)，C(-2,0),求三角形CAB的面积；【设计意图：通过变式，让学生经历求平面直角直角坐标系中有关三角形面积问题，对此类问题的解决方案有一个系统的方法】练习1：在平面直角坐标系中，已知点A(3,4),B(4,0)，C(-2,4),求三角形CAB的面积；【设计意图：由图形的差异，让学生明白三角形的底不一定在“下面”，引导学生去找钝角三角形的高，使学生更加熟练的掌握由点到线段再到三角形面积的求解过程】例4：已知A(-3,3),B(2,-2),C(6,1)，求△ABC面积？思考1：此时△ABC的面积可以采用“底×高÷2”吗？为什么？思考2：那如何计算△ABC的面积？【设计意图：让学生明白平面直角坐标系内的三角形不是所有面积都可以用“底×高÷2”，让学生明白为什么此类三角形不能用直接法，进而让学生学会判断哪类图形不可以直接法求三角形面积，同时引出间接法“割补法”，将三角形问题转化为四边形问题进行解决。
平面直角坐标系下图形面积的计算课件
边长×边长。正方形四边等长， 只需测量一条边长即可计算出面 积。
三角形、梯形面积计算
三角形面积
底×高÷2。通过测量三角形的底和 高，可以计算出三角形的面积。
梯形面积
(上底+下底)×高÷2。梯形有上底、下 底和高三个参数，测量这三个参数后 可以计算出梯形的面积。
圆、椭圆面积计算
圆面积
π×半径²。通过测量圆的半径，可以计算出圆的面积。π是圆周率，常取值 3.14。
Green公式
在平面直角坐标系中，计算多边形面积的Green公式为 S=(1/2)*∑(xi*yi+1-xi+1*yi)，其中多边形的顶点依次为 P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，...，Pn(xn,yn)，Pn+1(x1,y1)。
02
规则图形面积计算方法
矩形、正方形面积计算
矩形面积
长×宽。通过测量矩形的长和宽 ，可以直接计算出矩形的面积。
圆面积计算
给定圆的半径，利用公式 计算面积，并演示动画过 程。
不规则图形面积计算实例分析
梯形面积计算
任意多边形面积计算
通过分割梯形为两个三角形或一个矩 形和一个三角形，计算面积，并演示 动画过程。
通过划分多边形为多个三角形，应用 海伦公式或其他方法计算面积，并演 示动画过程。
平行四边形面积计算
通过分割平行四边形为一个矩形和两 个三角形，计算面积，并演示动画过 程。
作业布置
针对本节课所学内容，布置相关练习题，要 求学生运用所学知识进行计算。作业难度适 中，既要巩固基础知识，又要具有一定的挑 战性。
感谢您的观看
THANKS
数轴称为y轴。
原点
两条数轴的交点称为原点，其坐 标为(0,0)。
定积分的应用：平面图形面积
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
练习题答案
32 一、1、1； 2、 ； 3、2； 3 1 1 y e 2 4、 ； 5、 ； 6、 . e 2 3 7 2 a 二、1、 ln 2 ； 2、 ； 3、 ； 2 6 5 3 2 2 3 a 4、 ； 5、 ； 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
巧用坐标求图形的面积的四种方法
专项训练2巧用坐标求图形的面积的四种方法方法总结：1.规则图形的面积可用几何图形的面积公式求解，对于不规则图形的面积，通常可采用补形法或分割法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积和或差求解．2．求几何图形的面积时，底和高往往通过计算某些点的横坐标之差的绝对值或纵坐标之差的绝对值去实现．方法1：直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求△ABC的面积．(第1题)方法2：利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．(第3题)方法3：利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．(第4题)方法4：已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若△AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－3，0)，B(5，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，求点C的坐标，并求△ABC的面积；(2)若点C在第四象限内，且△ABC的面积为8，|x|＝4，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C 点的坐标为(－4，4)，所以△ABC 的AB 边上的高为4.因为点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(4，0)，所以AB ＝6.所以S △ABC ＝12×6×4＝12. 2．解：如图．过D 点作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． 又由题意知DE ＝2，AB ＝6，BE ＝3，EC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S △CDE＝12×(2＋6)×3－12×1×2 ＝11.(第2题)3．解：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18. (第3题)(第4题)4．解：如图，过A 点作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过B 点作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知OD ＝4，AD ＝10，DE ＝8，BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝100.方法指导：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法不是唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法．5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB ·|m|＝12， 即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限．当点C 在第一象限时，m ＞0，则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限内，且|x|＝3，|y|＝3，所以点C 的坐标为(－3，3)，S △ABC ＝12×[5－(－3)]×3＝12. (2)由题意可知AB ＝8.因为点C 在第四象限内，|x|＝4，所以x ＝4.因为△ABC 的面积为8，所以S △ABC ＝12×8×|y|＝8. 所以|y|＝2.又因为点C 在第四象限内，所以y ＝－2.所以点C 的坐标为(4，－2)．。
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b
y 0 , x a , x b 围成图形的面积。 1.由曲线 y f ( x) ，
f ( x) 0 （2 ）
y a b
o
A?
y f ( x)
x
A f ( x)dx
a
b
f ( x)dx
a
b
f ( x) dx
a
b
y 0 , x a , x b 围成图形的面积。 1.由曲线 y f ( x) ，
A f ( x) dx
a b
2.由连续曲线
f ( x)
y f ( x) xb ， ， 围成图形的面积。 x a， y g ( x)
（1）f ( x) g ( x)
y
A f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
A?
o a
g ( x)
f ( x) g ( x)dx
§5.6 定积分的应用
直角坐标系下计算平面图形的面积 教育学院：彭国荣
一、方法介绍
y 0 , x a , x b 围成图形的面积。 1.由曲线 y f ( x) ，
f ( x) 0 （1 ）
y
y f ( x)
A?
o a b x
A f ( x)dx
a
b
f ( x) dx
f ( x) 与 y g ( x) ( x) 求出函数 y 确定积分区间. 2.根据题意作草图
3.直接带入公式计算出面积
四、课后练习
1.思考：计算面积的时候积分变量都选取的是x，能否 把积分 变量选取为y，如果可以，该如何处理？ 2.作业：p230：1,2
x a， y g ( x)， x b围成图形的 综上由连续曲线 y f ( x)， b 面积为：a f ( x) g ( x) dx
二、应用举例
例1 计算由
y y x 2， x 围所图形的面积。
三、步骤总结
计算由连续曲线 y
y g ( x) 围所图形的面积步骤 f ( x) ，
f ( x) 不定号 （3 ）
y
f ( x)
b
A f ( x)dx f ( x)dx
a c
c
d
x
o
a
c
f ( x)dx f ( x)dx
a c
c
d
f ( x) dx f ( x) dx
a c
c
d
f ( x) dx
a
b
y 0 , x a , x b 围成图形的面积。 1.由曲线 y f ( x) ，
b a
b
x
f ( x) g ( x) dx
a
b
2.由连续曲线
y
y f ( x) xb ， ， 围成图形的面积。 x a， y g ( x)
f ( x) 与 g ( x) 大小不确定 （2）
f ( x)
A f ( x) g ( x) dx
a
b
g ( x)
o a b x