6.5(1)不等式性质
6.5(1)不等式及其基本性质
注意“不”字哦！
试一试
2 、用不等式表示下列关系:
①抓住关键词 ②选准不等号
a＞ 0 (1) a是正数; |y|-8< 0 (2) y的绝对值与-8的和为负数; (3) a与b的差的平方是非负数； (a-b)2≥0
第二类——隐含的不等关系
正数
负数
非负数 非正数 非零数 ≥0 ≤0 ≠0
>0
<0
试一试
哥 哥 今 年 六 岁
知识迁移
不等式的性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个含有字母的式子 不等号的方向不变。
若a b，则a c b c；
若a b，则a c b c； 若a b，则a c b c；
；
若a b，则a c b c；
解（1）正常工作范围 12≤x≤20
x1 0 2 4 6 8 x2 x3 x4
10 12 14 16 18 20 22
（2）显然， x3，x4满足不等式12≤x≤20 ，而x1,x2不满足，
当水位在15m,19m时，发电机能正常发电， 当水位在8m,10m时，发电机不能正常发电。
动脑筋
1、目前世界公认的一种评定肥胖程度的分级方法为“体 质指数法”（BMI）， (BMI)=体重（千克）/身高（米）² ， 当一个人的“体质指数”（BMI）为18～24 （包括18m，24 m）时属正常 ，设某人的BMI为x
练一练
一、用不等号填空
(1)若m<n，则m-5 (3)若m>n>0，则mn
<
n-5。
> 0。
<
(2)若m+2>n+2，则m-p > n-p。 (4)若m>0,n<0,p<0，则(m-n)p 0。
沪教版(上海)六年级数学第二学期-6.5 不等式及其性质-教案
（2）m+4_____n+4。
……
第四关：乘胜追击。
例题：把不等式化成“x＞a”或“x＜a”形式。
-2x-3＞5。
……
第五关：勇攀高峰。
练习4：有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示：
用“＞”或“＜”填空：
a+b______a+c；
ab____ac。
……
学生在不等式的性质的应用中会注意到不等号的方向变化，通过习题学生会对不等式性质有更深的理解和掌握。
1．由学生自由交流，与大家分享本课自己的收获。
2．教师出示课件，总结本课体现的数学思想。
体验了三种数学思想：
（1）类比的数学思想；
（2）数形结合的数学思想；
（3容进行归纳、总结，并互相补充。
发挥学生主体地位，使学生加深对本课内容的理解，提高学生的概括能力。数学思想是数学的灵魂，引导学生在掌握数学知识的同时，去掌握更多的数学思想。
不等式及其性质
教学目标
一、知识与能力
1．掌握不等式的三条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；
2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别。
二、过程与方法
在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的三条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力。
三、情感态度与价值观
学生讨论回答解决以备的略有难度的练习。
让学生经历不等式基本性质的探索过程，通过类比，对不等式基本性质进行验证。同时指导学生掌握学习类比、归纳的思维方法。培养学生的钻研精神，同时加强学生间的合作与交流。
前面的练习是面向大多数学生，这部分内容设置是为让学有余力的学生有更多的收获。
高一必修五不等式的知识点
高一必修五不等式的知识点不等式是数学中常见的一种数学关系符号，用于表示两个数或两个算式之间的大小关系。
高中数学中，不等式是一个重要的知识点，其中必修五的学习内容涉及到不等式的基本概念、性质、解法等。
下面将介绍高一必修五不等式的主要知识点。
一、不等式的基本概念不等式是用不等号表示两个数或两个算式之间的大小关系。
不等式中的不等号可以是小于号（<）、大于号（>）、小于等于号（≤）或大于等于号（≥）。
二、不等式的性质1. 加法性性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等式的方向不变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
2. 乘法性性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等式的方向不变；对于不等式两边同时乘除一个负数，不等式的方向改变。
例如，若a > b（a > 0），则 a · c > b · c。
3. 反身性：任何数与自身进行大小比较时都满足等式关系。
例如，a = a。
4. 传递性：若 a > b，b > c，则 a > c。
例如，若a > b，b > c，则 a > c。
5. 两边加或减一个相同的数对不等式关系不会改变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c。
三、不等式的解法1. 图解法：通过在数轴上绘制对应数值的数轴图形，来解读不等式的解集。
例如，对于不等式 x > 3，可以在数轴上绘制一个开口向右的箭头，并在箭头右侧标记出无限大的数集。
2. 几何法：利用几何图形，如包含在坐标系上的点、线段、平面等，来求解不等式的解集。
例如，对于不等式 2x + y > 5，可以在坐标系上绘制直线 2x + y = 5，然后根据不等式的要求确定直线上、下两侧的解集。
3. 符号法：通过变量和符号的运算来对不等式进行转化，从而求解不等式的解集。
例如，对于不等式 3x + 2 < 10，可以通过减去2再除以3的方式将不等式转化为 x < 2。
不等式的基本性质
质。
02
绝对值不等式的形式
绝对值不等式的一般形式是$|a| < b$或$|a| > b$，其中$a$和$b$是
实数。
03
绝对值不等式的解法
求解绝对值不等式需要利用绝对值的性质和运算规则，通常将其转化
为若干个简单的绝对值不等式或等式进行求解。
柯西不等式
柯西不等式的定义
柯西不等式是一类重要的不等式，它反映了内积空间中向量的模长的平方和与它们内积的 之间的关系。
详细描述
不等式的可加性也是我们在解决不等式问题时常用的性质之一。它基于加法法则 ，即如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。这个性质可以用于简化不等式，有时也可 以帮助我们找到不等式之间的联系。
不等式的可乘性
总结词
不等式的可乘性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的可乘性是我们在解决不等式问题时常用的性质之一 。它基于乘法法则，即如果a>b且c>d，那么ac>bd。这个 性质可以用于简化不等式，有时也可以帮助我们找到不等式 之间的联系。
02
经济学中，投资回报不等式用于比较不同投资项目的回报率，
以及确定最优投资策略。
风险评估不等式
03
在经济学中，风险评估不等式用于评估投资风险，比较不同投
资项目的风险水平，以及制定风险管理策略。
不等式在物理学中的应用
力学不等式
在物理学中，力学不等式用于比较物体之间的作用力和反作用力，以及确定物体运动状态 变化的趋势。
03
不等式的证明方法
利用不等式的性质证明不等式
同一性质
如果a>b，c>d，那么ac>bd。
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
6.5 不等式及其性质
m n _______ n . >
2
拓展
1、a为有理数, 试比较5a与3a的大小。 2、已知：a 0, b 0, 且a b 0, 把 a,b, a, b, a b用" "号连接起来。
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第六章 一次方程（组） 和一次不等式（组）
6.5 不等式及其性质（1）
温故
什么是等式？ 用等号“=”连接的式子叫做等式 。
知新
什么是不等式？ 用不等号连接的式子叫做不等式。
“＞、＜、≥、≤、≠”
例题
用不等式表示
（1）a与b的和小于0 （2）x的一半减去3所得的差大于或等于5 (1) a与b的和 小于 0
例题
用不等号填空：
1、若x y, a 0, 则ax _______ ay; < 1 2、若x , 那么5 x 1 ________ 0; < 5 3、若a b, c 0, 那么ac _______ < bc; 4、若m n 0, 那么m _______ > m n,
大家一起回想一下等式的性质1时怎样给出的。
性质1：等式两边同时加上（或减去）同 一个数或含有字母的式子，仍是等式， 即：如果a=b，那么a+m=b+m
不等式性质1： 不等式两边同时加上（或减去）同 一个数或含有字母的式子，不等号 方向不变，即 如果a>b，那么a+m>b+m； 如果a<b，那么a+m<b+m;
找规律
不等式 两边同时乘（或 除以）同一个数 同乘5 6>3
6.5不等式及其基本性质
)
不等式的性质3：
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个 负数，不等号的方向要改变。即
a b 如果a>b, 且m<o,那么am<bm (或 m m
)
如果a<b, 且m<o, 那么am>bm
a b (或 m m )
选择适当的不等号填空，并说明理由. (1)若m n，则 m ____5n. 5 ＜ a b ＞ ( 2)若a b， 则 ____ . 2 2 ＞ (3)若a b，则 2a ____ 2b.
1.若a=b,则a+m=b+m；a-m=b-m 2.若a=b,则am=bm;
a b ( n 0) m m
1、等式的两边都加上（或减去）同一个数或含 有字母的式子，所得到的等式仍成立。
2、等式的两边都乘上（或除以）同一个不为零
的数，所得到的等式仍成立。 想一想：不等式是否也具有这些性质呢？
填表找规律： 仿照下表，交流探讨，找出规律（探讨不等式性质 1） 不等式 7＞4 －3＜4 -5>-7 -2<0
2〉不等式的两边都乘以（或都除 以）同一个正数，不等号的方向 不变。 3〉不等式的两边都乘以（或都除 以）同一个负数，不等号的方向 要改变。
数形结合
把a>b表示在数轴上， 不妨设c>0 c b b+c c
a a+c
∴a+c>b+c c b-c b
c
a-c a
∴a-c>b-c
选择题
1、若x＞y，则ax＞ay.那么一定有( A ) A、a＞0 B、a≥0 C、a＜0 D、a≤0
a与b的和的平方不大于200 a与3的和的 一半是正数 a与2的差的倒数是负数 a与b的倒数和是非负数
沪教版数学六年级下册6.5《不等式及其性质》教学设计
沪教版数学六年级下册6.5《不等式及其性质》教学设计一. 教材分析不等式及其性质是小学数学的重要内容，也是学生从算术向代数过渡的关键部分。
沪教版数学六年级下册6.5《不等式及其性质》一课，主要介绍了不等式的概念，不等式的性质以及如何利用性质解不等式。
教材通过生活中的实例，引导学生认识不等式，理解不等式的性质，并通过大量的练习，使学生掌握解不等式的方法。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，他们对数学概念有一定的理解。
但是，不等式作为一个新的数学概念，对学生来说还是相对陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的生活实例，让学生感受不等式的实际意义，从而更好地理解不等式的概念和性质。
三. 教学目标1.让学生理解不等式的概念，知道不等式的表示方法。
2.让学生掌握不等式的性质，并能够运用性质解不等式。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：不等式的概念，不等式的表示方法，不等式的性质。
2.教学难点：不等式的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生认识不等式，理解不等式的实际意义。
2.引导发现法：教师引导学生发现不等式的性质，培养学生的抽象思维能力。
3.练习法：通过大量的练习，使学生掌握解不等式的方法。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示不等式的概念，不等式的表示方法，不等式的性质。
2.练习题：准备一些不等式的练习题，用于课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如温度、身高等，引导学生认识不等式，让学生感受不等式的实际意义。
2.呈现（10分钟）教师展示不等式的概念，不等式的表示方法，不等式的性质，并通过讲解，让学生理解不等式的基本知识。
3.操练（15分钟）教师给出一些不等式，让学生在小组内合作，利用不等式的性质，解不等式。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，检验学生对不等式的理解和掌握程度。
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6.5不等式及其性质（ 6.5不等式及其性质（1） 不等式及其性质
速度不超过 40 km/h v≤4 km/h
重量不超 过10吨 吨 P≤10 t
高度低于 3.5米 米 H＜3.5m ＜
用不等号“ 用不等号“＞”、“＜”、“≥”、 ” 不等式。 “≤”表示的关系式，叫做 不等式。 ”表示的关系式，
…
不等式的性质1： 不等式的性质 ： 不等式的两边都加上（或减去） 不等式的两边都加上（或减去）同一 个数或含有字母的式子， 个数或含有字母的式子，不等号的方 向不变。 向不变。
试与等式性质一做比较。 试与等式性质一做比较。
用数学语言表述（即字母表示） 用数学语言表述（即字母表示） 如果a＞ ，那么a+m＞b+m； 如果 ＞b，那么 ＞ ； 如果a＜ ，那么a+m＜b+m； 如果 ＜b，那么 ＜ ；
练习： 练习： 1、如果2x－3 ＞0，那么两边都 、如果 － ， 可得2x＞ 。 可得 ＞3。 2、如果x＋5＞4，那么两边都 、如果 ＋ ＞ ， ＞－1 可得 x ＞－ 。 3、在 2x＜x－4的两边都 、 ＜ － 的两边都 可得x＜－ ＜－4。 可得 ＜－ 。 4、在不等式a＞b两边都 、在不等式 ＞ 两边都 可得a－ ＞ 。 可得 －b＞0。 ， ， ， ，
2、选择： 、选择： （1）当x＝3时，下列不等式成立的是（ ） ＝ 时 下列不等式成立的是（ （2）当x＝-2时，下列不等式不成立 ） ＝ 时 下列不等式不 的是（ 的是（ (C)3+2x < 6 ）。 (D)2(x-1)< - 7 (A)x﹣5 < - 6 (B)0.5x+2 > 0 ﹣ ） (A)x＋2>5 (B)x-1<2 (c)2x-1>4 (D)2-x>0 ＋
填写下表， 填写下表，找出规律
不等式 不等式的两边都加上 或减去） （或减去）同一个上5； 加上 ；7+5 减去8； 减去 ；7-8
4+5 4-8
12＞9 ＞
－3＜4 减去 ；-3-7 ＜ 减去7； －3＜4 加上 ；-3+9 ＜ 加上9；
… …
4-7 －10＜－ ＜－3 ＜－ 4+9
例题1 用不等式表示： 例题1 用不等式表示： A、 消费 满30元的顾客可凭收银条 、 消费M满 元的顾客可凭收银条 参加抽奖活动。 参加抽奖活动。 M≥30 B、在大人的带领下，1.2米以下的儿 、在大人的带领下， 米以下的儿 童乘公共汽车可以免票。 ＜ 童乘公共汽车可以免票。 H＜1.2 C、a与b的和小于 。 的和小于0。 、 与 的和小于 a+b＜0 ＜ D、x的一半减去 所得的差大于或等 的一半减去3所得的差大于或等 、 的一半减去 1 于﹣5。 。 x − 3 ≥ −5 2 E、a是负数。a＜0 是负数。 ＜ 、 是负数 F、x的相反数的 倍不小于 。-2x≥y 的相反数的2倍不小于 、 的相反数的 倍不小于y。 G、b的平方是非负数。 b2≥0 的平方是非负数。 、 的平方是非负数