不等式选讲习题(含答案)

不等式选讲习题
1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且11
a b
+= （I ）求3
3
a b +的最小值；
（II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由.
2.（2014全国新课标II 卷）设函数1
()(0).f x x x a a a
=++-> （I ）证明：()2;f x ≥ （II ）若(3)5,f <求a 的取值范围.
3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+
（I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（II ）设1,a >-且当1,22a x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.
4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明：
（I ）1
;3
ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥.
5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++-
（I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.
6.（2011全国新课标卷）设函数()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值.
7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都
成立.
（I ）求a 的值； （II ）设,0>>n m 求证：.221
22
2a n n mn m m +≥+-+
8.设函数.142)(+-=x x f
（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.
不等式选讲习题参考答案
1.（2014全国新课标I 卷） 解：（I
11a b =
+≥得2ab ≥
，当且仅当a b ==
所以33a b +≥==
当且仅当a b ==
所以33
a b +
的最小值为………5分
（II ）由（I
）知23a b +≥=≥
由于6>，从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分 2.（2014全国新课标II 卷） 解：（I ）由0a >
，有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =++-≥++-=+=+≥= 所以，() 2.f x ≥………4分
（II ）1
(3)33.f a a
=+
+- 当03a <≤时，1(3)6f a a =-+
，由(3)5,f <得1
65a a
-+<
，解得1 3.2a <≤ 当3a >时，1(3)f a a =+
由(3)5,f <得1
5a a
+<
，解得532a +<<
综上所述，a
的取值范围是52
a +<<………10分 3.（2013全国新课标I 卷）
解：（I ）当2a =-时，()212 2.f x x x =-+- 由()()f x g x <，得212230x x x -+---<
设()21223,f x x x x =-+---则
15,,21()2,1,236, 1.x x f x x x x x ⎧
-≤⎪⎪
⎪
=--<<⎨⎪
-≥⎪⎪⎩
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当(0,2)x ∈时，()0.f x < 所以，不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分
（II ）当1,22a x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣
⎭时，()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+ 所以，2x a ≥-对1,22a x ⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
都成立.故42,.23a a a -≥-≤即
所以，a 的取值范围是4
(1,].3
-.………10分 4.（2013全国新课标II 卷）. 证明：（I ）
222a b ab +≥2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥
2
2
2
2
2
2
222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++，即2
2
2
a b c ab bc ac ++≥++
又
()1a b c ++= ，即 2222221a b c ab bc ac +++++=
1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++，即3()1ab bc ac ++≤ 1
3
ab bc ac ∴++≤
………5分 （II ）
222
2,2,2a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥ 222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即222
1.a b c a b c b c a ++≥++= 222
1.a b c b c a
∴++≥………10分
5.（2012全国新课标卷）
解：（I ）不等式()3f x ≥的解集为(,1][4,)-∞+∞ （II ）
()4f x x ≤-
24x a x x ∴++-≤-，即42x x x a ---≥+
当[]1,2x ∈时，由42x x x a ---≥+，得42x x x a -+-≥+，即2x a +≤ 解得22a x a --≤≤-
又因为()4f x x ≤-的解集包含[]1,2 所以，21a --≤且22a -≥，即30.a -≤≤ 所以，a 的取值范围是[3,0].- 6.（2011全国新课标卷）
解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥，由此可得 13x x ≤-≥或 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|13}x x x ≤-≥或.
(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组
30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩或30x a x a x >⎧⎨
-+≤⎩即2x a a x ≤⎧⎪⎨≤-
⎪⎩或4
x a
a x >⎧⎪
⎨≤⎪⎩ 又因为0a >，所以不等式30x a x -+≤的解集为|2a x x ⎧
⎫≤-⎨⎬⎩
⎭
由题意知12
a
-
=-，解得 2.a =
7.（2015第一次省统测）
（I ）解：3|21||2||1|=-++≤--+x x x x
对任意实数x ，不等式a x x ≤--+|2||1|都成立.
.3≥∴a
3|21||2||1|=-++≥-++x x x x
对任意实数x ，不等式|2||1|x x a -++≤都成立.
.3≤∴a .3=∴a
（II ）证明：由（I ）知.3=a
2
22)(1
)()(2212n m n m n m n n mn m m -+-+-=-+-+
又,0>>n m
3)(1
))((3)(1)()(32
2=---≥-+-+-∴n m n m n m n m n m n m
.221
22
2a n n
mn m m +≥+-+
∴
8.设函数.142)(+-=x x f
（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.
（Ⅰ）由于25,()23,2x x f x x x -+<2
⎧=⎨
-≥⎩
则函数()y f x =的图像如图所示:
1
2
a ≥
或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()1
,2[,)2
-∞-+∞.。