一阶动态电路三要素法求解公式
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4.1.2 一阶电路三要素分析法(MATLAB)
4.1.2 一阶电路三要素分析法
基本思路：
对于一阶动态电路，利用三要素 法写出电路响应的表达式，然后利用 Matlab编写程序计算并绘制波形图。
【例1】下图中，us(t)=20
V，C=1uF，分别画出R=1kΩ，
R一阶电路三要素法： r (t ) = rf (t ) r (0 ) - rf (0 ) e
t 2ms
求电路的零输入响应
us - 210-3 / t i o | t = 2 = i o |t = 2 - = (1 - e ) R
uo |t = 2 = -io |t = 2 R1 = -io |t = 2- R1
io ( t ) = io |t = 2 e
- t - 210-3）t （ /
【例3】 us (t )波形如图（a），在t=0时，电感中的初始电 i 流为0，求 uo (t )、o (t ) ，并画出其波形。
解：（1）分析： 0 t
2ms 求电路的零状态响应
-3
τ = L/R = 0.8 10 s
us - t /t i0 ( t ) = (1 - e ) A R di0 ( t ) u0 ( t ) = L V dt
-
t
t
u C ( t ) = 20 (1 - e
-
t
t
)e ( t )
t = RC
（2）MATLAB 程序参见 M5_2_1.m
C = 1e-6; R=[1e3, 10e3, 20e3]; tau=R*C; t = 0:0.001:0.04; %生成时间序列 for k=1:3 uc(k,:)=20*(1-exp(-t/tau(k))); %以循环语句分别生成R=1kΩ、10kΩ和 end %20kΩ时曲线y坐标数据 plot(t,uc(1,:),'o',t,uc(2,:),'x', t,uc(3,:),'p') %画出曲线, pentagon axis([0 0.04 0 25]) %控制坐标轴范围；x：0~0.04；y：0~25 title('时间常数对充电曲线的影响') xlabel('Time, s') ylabel('电容电压') text(0.006, 18.0, '+ R = 1K') text(0.015, 14.0, 'o R = 10 K ') text(0.015, 9.0, '* R = 20 K')
基本思路：
对于一阶动态电路，利用三要素 法写出电路响应的表达式，然后利用 Matlab编写程序计算并绘制波形图。
【例1】下图中，us(t)=20
V，C=1uF，分别画出R=1kΩ，
R一阶电路三要素法： r (t ) = rf (t ) r (0 ) - rf (0 ) e
t 2ms
求电路的零输入响应
us - 210-3 / t i o | t = 2 = i o |t = 2 - = (1 - e ) R
uo |t = 2 = -io |t = 2 R1 = -io |t = 2- R1
io ( t ) = io |t = 2 e
- t - 210-3）t （ /
【例3】 us (t )波形如图（a），在t=0时，电感中的初始电 i 流为0，求 uo (t )、o (t ) ，并画出其波形。
解：（1）分析： 0 t
2ms 求电路的零状态响应
-3
τ = L/R = 0.8 10 s
us - t /t i0 ( t ) = (1 - e ) A R di0 ( t ) u0 ( t ) = L V dt
-
t
t
u C ( t ) = 20 (1 - e
-
t
t
)e ( t )
t = RC
（2）MATLAB 程序参见 M5_2_1.m
C = 1e-6; R=[1e3, 10e3, 20e3]; tau=R*C; t = 0:0.001:0.04; %生成时间序列 for k=1:3 uc(k,:)=20*(1-exp(-t/tau(k))); %以循环语句分别生成R=1kΩ、10kΩ和 end %20kΩ时曲线y坐标数据 plot(t,uc(1,:),'o',t,uc(2,:),'x', t,uc(3,:),'p') %画出曲线, pentagon axis([0 0.04 0 25]) %控制坐标轴范围；x：0~0.04；y：0~25 title('时间常数对充电曲线的影响') xlabel('Time, s') ylabel('电容电压') text(0.006, 18.0, '+ R = 1K') text(0.015, 14.0, 'o R = 10 K ') text(0.015, 9.0, '* R = 20 K')
电路分析路基础一阶电路的三要素法
三要素法可用于求解在直流激励下，一阶动态电路 中任一支路的电压和电流。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
3-7 一阶电路的三要素法
9.6 (9 9.6)e
t 4
t
t 4
9.6 0.6 e V , t 0+
X
求开关闭合后： 已知uC (0 ) 6V，开关闭合前电路处于稳态， 1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、 例题3 零输入响应、零状态响应，并画其波形图。
2) 24k 电阻上的电压uR (t )。
X
解（续） 求：2）电压表读数达到最大值的时间；
di2 (t ) u(t ) R1i1 (t ) L dt
1 t R1C R 2t L
i (t )
S (t 0)
R2
C
u (t )
V
s
U s (e e ), t 0 U du(t ) 当 0 时u(t ) 达到最大值，此时有 dt 1 1 R2 R t t t 2t R 1 L e R1C 2 e L e R1C R1 R2e L R1C L C
16 V
i 2
1
5i
1
5H
b
S ( t 0)
与电感相连的等效内阻为： Req 1 0.25 1.25 电路的时间常数为： L 5 = 4s Req 1.25
2
iab
i
1
5i
uab
X
解（续）
（5）写出uab (t ) 函数表达式。
uab (t ) uab () [uab (0 ) uab ()]e
暂态分量 稳态分量
t
X
例题1
已知RL电路中的电压源电压如图所示，且iL (0 ) 0, 求t 0时的i (t ) ，并绘出变化曲线。
t 4
t
t 4
9.6 0.6 e V , t 0+
X
求开关闭合后： 已知uC (0 ) 6V，开关闭合前电路处于稳态， 1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、 例题3 零输入响应、零状态响应，并画其波形图。
2) 24k 电阻上的电压uR (t )。
X
解（续） 求：2）电压表读数达到最大值的时间；
di2 (t ) u(t ) R1i1 (t ) L dt
1 t R1C R 2t L
i (t )
S (t 0)
R2
C
u (t )
V
s
U s (e e ), t 0 U du(t ) 当 0 时u(t ) 达到最大值，此时有 dt 1 1 R2 R t t t 2t R 1 L e R1C 2 e L e R1C R1 R2e L R1C L C
16 V
i 2
1
5i
1
5H
b
S ( t 0)
与电感相连的等效内阻为： Req 1 0.25 1.25 电路的时间常数为： L 5 = 4s Req 1.25
2
iab
i
1
5i
uab
X
解（续）
（5）写出uab (t ) 函数表达式。
uab (t ) uab () [uab (0 ) uab ()]e
暂态分量 稳态分量
t
X
例题1
已知RL电路中的电压源电压如图所示，且iL (0 ) 0, 求t 0时的i (t ) ，并绘出变化曲线。
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
5.3.4一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应3一阶电路的三要素法1
R2 u2(t) L i1(t) -
动态电路的时域分析
解：t<0时电路已处于稳态，iL(0- ) 0。
因此，换路后所求响应为零状态响应。求得稳态时的
电感电流：
iL()
R1
US R2 R3
R2 R3
R2 R2 R3
0.5 A
换路后，从电感两端看进去的戴维宁等效电阻为
Req
R3 R1 // R2
换路后，电路中有激励。
注意：由于输入不为零，所以电路方程仍为非齐次微分
方程，分析求解过程与零状态输入一样，所不同的是电 路的初始状态不为零，即初始条件不同，因而确定的积 分常数A也不同。
动态电路的时域分析
引例： S(t=0) R
i
US
+ uR – C
解：
+
uC
RC
duC dt
uC
US
– （非齐次微分方程）
uC (0-)=U0 （不为零）
解答为：uC =uC' uC'' 特解 : uC' = US
-t
通解: uC = Ae τ
-t
全解： uC = US + Ae τ
其中 = RC
由初始值来确定A: uC (0+)=A+US=U0 A=U0 – US
动态电路的时域分析
所以:
稳态解
暂态解
-t
uC uC uC US (U0 - US )e τ t 0
励下的全响应。
一般步骤:
1. 利用换路定则以及KCL、KVL求出y(0+) ; 2. 在换路后的稳态电路中求出稳态分量y() ; 3. 利用戴维宁定理计算RC或RL串联电路的时间常数τ。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
一阶电路的全响应和三要素方法
t
f (t) f ()(1 e )
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
f (t)
t
f (0 )e
t
f ()(1 e
)
t
f (t) f (0 ) f () e f ()
(暂态响应)
(稳态响应)
第10页/共12页
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流
电源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f
(t)
f
() [ f（0）
f
t
()]e
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
第2页/共12页
2.稳态值 f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流 或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞) 。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感 相当于短路。
3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储 能元件两端看进去, 用戴维南等效电路求得的等效内阻。
R 2
R1 R3
R2
2A
（c）
R1
R3
R2
所以，全响应为：
u（C t） u（C ）[u（C 0） u（C ）]et
（d）
f (t) f ()(1 e )
式中， f(∞)是响应的稳态值。
4.一阶电路的全响应
全响应就是初始状态不为零的电路在输入恒定直流激励下产生
的响应。其两种分解为：
f (t)
t
f (0 )e
t
f ()(1 e
)
t
f (t) f (0 ) f () e f ()
(暂态响应)
(稳态响应)
第10页/共12页
5.一阶电路的三要素法
一阶电路的响应f(t),由初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ 三要素所确定，利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流
电源作用下的电路响应。全响应表达式为：
f
(t)
f
() [ f（0）
f
t
()]e
计算响应变量的初始值f(0+)和稳态值f(∞)，分别用t=0+时的电路 和t=∞时的电路解出。作t=0+时的电路，将uC(0+)和iL(0+)分别视为电 压源和电流源。作t=∞时的电路，电容相当于开路、电感相当于短
第2页/共12页
2.稳态值 f(∞)。作换路后t=∞时的稳态等效电路，求取稳态下响应电流 或电压的稳态值 i(∞)或u(∞), 即f(∞) 。作t=∞电路时,电容相当于开路;电感 相当于短路。
3.时间常数τ。τ=RC或L/R，其中R值是换路后断开储能元件C或L, 由储 能元件两端看进去, 用戴维南等效电路求得的等效内阻。
R 2
R1 R3
R2
2A
（c）
R1
R3
R2
所以，全响应为：
u（C t） u（C ）[u（C 0） u（C ）]et
（d）
一阶电路的三要素分析法
后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary
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一阶动态电路三要素法求解公式
在一阶动态电路中，三要素法是一种常用的方法，用于求解各个元件的电流和电压。
三要素法基于基尔霍夫电压和电流定律，帮助我们分析和解决电路中复杂的问题。
首先，我们需要了解三要素法中的三个要素。
这三个要素分别是电源电压、初始条件和电路响应。
电源电压指的是电路中的电源电压源。
它可以是直流电压源或交流电压源，根据具体情况决定。
电源电压对电路元件和电路响应产生重要影响。
初始条件是指在电路初始时刻的电压和电流数值。
对于电容器和电感器，初始电压和电流应该已知，而对于电阻器则不需要初始条件。
电路响应是指在电路中元件电压和电流的变化情况。
我们可以通过求解电路响应来了解电路中各个元件的具体情况。
为了使用三要素法求解电路，我们可以按照以下步骤进行：
1. 根据实际情况，确定电源的类型和数值。
如果是直流电压源，则电压大小为常数；如果是交流电压源，则根据频率和幅值确定相应的电压函数。
2. 根据电路中的初始条件，确定各个元件的初始电压和电流数值。
对于电容器和电感器，需要初始电压和电流；对于电阻器则不需要。
3. 根据基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），建立电路方程。
根据电路中的元件和电源关系，写出各个元件的电压和电流表达式。
4. 解析电路方程，得到元件的电流和电压表达式。
这些表达式将告诉我们在不同时间点，电路中各个元件的具体数值。
通过使用以上步骤，我们可以使用三要素法求解一阶动态电路中各个元件的电流和电压。
这个方法有效地帮助我们理解和解决电路中的问题。