一阶动态电路分析

du (t ) p (t ) u (t )i (t ) Cu (t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电容是在
吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0时，说明电容是
在供出能量，处于放电状态。 对上式从∞到 t 进行积分，即得t 时刻电容上的储能 为：
wC (t ) p( )d
uC(0+)=uC(0-) iL(0+)=iL(0-)
必须注意：只有uC 、 iL受换路定律的约束而保持不变，电路
中其他电压、电流都可能发生跃变。
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3.2.2 初 始 值 的确 定
换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示，它是利用换路前瞬间 t=0-电路
确定uC(0-)和iL(0- )，再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+) 的值。 电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换 路定律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。具 体求法是：
i ( )
1 2 L i (t ) i 2 () 2


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因为 所以
i() 0
1 2 wL (t ) Li (t ) 2
由上式可知：电感在某一时刻 t 的储能仅
取决于此时刻的电流值，而与电压无关，只要
有电流存在，就有储能，且储能 wL (t ) 0 。
和电容元件一样电感也是一种无源元件。

t
u (t )
u ( )
Cu ( )du( )
1 2 1 2 Cu (t ) Cu () 2 2
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式中 u(-∞) 表示电容未充电时刻的电压值， 应有u(-∞) =0。于是，电容在时刻 t 的储能可简化 为：
1 2 wC (t ) Cu (t ) 2
由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决于
画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，电 容用一个电压源US代替，若uC (0+)= 0则电容用短路线代 替。若iL(0+)= iL(0-)=IS，电感一个电流源IS 代替，若 iL(0+)= 0则电感作开路处理。下面举例说明初始值的求 法。 12
此 时刻的电压，而与电流无关，且储能 ≥0。 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能量， 放电时又将储存的电场能量释放回电路，它本身不
消耗能量，也不会释放出多于它吸收的能量，所以
称电容为储能元件。
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3.1.2 电感元件
电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感元件是它 的理想化模型。当电流通过电感器时，就有磁链与线圈交 链，当磁通与电流 i 参考方向之间符合右手螺旋关系时， 磁链与电流的关系为：
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当电感电压和电流为关联方向时，电感 吸收的瞬时功率为：
di (t ) p (t ) u (t )i (t ) Li (t ) dt
与电容一样，电感的瞬时功率也可正可负， 当 p(t) >0时，表示电感从电路吸收功率，储存磁 场能量；当 p(t) <0时，表示供出能量，释放磁场 能量。 对上式从-∞到 t 进行积分，即得t 时刻电感上的 储能为： t i (t ) wL (t ) p( )d Li( )di( )
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3.2 换路定律及初始值的确定
3.2.1 换路定 律 通常，我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突
然变化等统称为“换路”。我们研究的是换路后电路中电 压或电流的变化规律，知道了电压、电流的初始值，就能
掌握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。
该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则uC 、 iL不能 跃变，即换路前后一瞬间的uC 、iL是相等的，可表达为：
Ψ(t)=L i(t)
当u、i为关联方向时， 有: + u i
Ψ
斜率为R
di u L dt
这是电感伏安关系 的微分形式。
L
0 i
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-
图3-2 电感元件模型符号及特性曲线
电感的伏安还可写成：
1 0 1 t i (t ) u ( )d u ( )d L L 0 1 t i(0) u ( )d L 0
初始电压；而后一项是在 t=0 以后电容上形成的电压， 它体现了在0~t的时间内电流对电压的贡献。
由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅与该时刻 的电流 i 有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。 因此，我们说电容是一种记忆元件，，有“记忆”电 流的作用。
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当电容电压和电流为关联方向时，电容吸 收的瞬时功率为：
第三章 一阶动态电路分析
3.1 电容元件和电感元件 3.2 换路定律及初始值的确定 3.3 零 输 入 响 应 3.4 零 状 态 响 应 响 应
3.5 全
3.6 求解一阶电路三要素法
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【本章重点】
● 动态元件电感、电容的特性。 ● 初始值的求法、动态电路方程的建立及求解。 ● 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应的含义及其它们的分析计算方法。 ● 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。
【本章难点】
● 零输入响应、零状态响应、暂态响应和稳态 响应分析计算方法。 ● 输入为直流信号激励下的一阶电路的三要素 分析法。 2
3.1 电容元件和电感元件
3.1.1
Байду номын сангаас
电容元件
电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是电 容器的理想化模型。 当电容上电压与电荷为 关联参考方向时，电荷q与u 关系为：q(t)=Cu(t) C是电容的电容量，亦即 特性曲线的斜率。当u、i为 关联方向时,据电流强度定义 有： i=C dq/dt 非关联时： i= -C dq/dt
i +q + C u -q -
q
斜率为R
0
u
图3-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线
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电容的伏安还可写成：
1 0 1 t u (t ) i( )d i ( )d C C 0
1 t u (0) i( )d C 0
式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电压，称为
式中，i(0)是在 t=0 时刻电感已积累的电流，称为初 始电流；而后一项是在t=0以后电感上形成的电流，它体 现了在0-t 的时间内电压对电流的贡献。 上式说明：任一时刻的电感电流，不仅取决于该时 刻的电压值，还取决于-∞~t 所有时间的电压值，即与电 压过去的全部历史有关。可见电感有“记忆”电压的作 用，它也是一种记忆元件。