立体几何文科专题复习
高中立体几何总复习文科
立体几何一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
lαββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l O A l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三． 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生
【考点1】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角. （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ. （2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. ②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h =θsin 进行求解.③妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；DBA Cα②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 【考点针对训练】1. .【2016高考浙江文数】如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.2. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研】如图，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点，Q 是PA 的中点，G 为AOC ∆的重心，AB 是圆O 的直径，且22AB AC ==．（1）求证：//QG 平面PBC ； （2）求G 到平面PAC 的距离． 【考点2】立体几何综合问题 【备考知识梳理】空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点.归纳起来常见的命题角度有： 以多面体为载体综合考查平行与垂直的证明. 探索性问题中的平行与垂直问题. 折叠问题中的平行与垂直问题. 【考点针对训练】1. 【2016届宁夏高三三轮冲刺】如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设,D E 分别为,PA AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，,E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．2. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿DE 、DF 折起， 使,A C 两点重合于P .(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面BFDE ； (Ⅱ)求四棱锥P BFDE -的体积. 【应试技巧点拨】 1．如何求线面角（1）利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径. （2）利用三棱锥的等体积，省去垂足在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h ！利用三棱锥的等体积，只需求出h ，然后利用斜线段长h=θsin 进行求解.（3）妙用公式，直接得到线面角 课本习题出现过这个公式：21cos cos cos θθθ=，如图所示：21,,θθθ=∠=∠=∠OBC ABO ABC .其中1θ为直线AB 与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴. 2.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；（2）射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性问题探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算.4．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．5．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．6．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可． 【三年高考】1. 【2016高考新课标1文数】平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（ ）（A ）2 （B ）2 （C ）3（D ）132. 【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．3. 【2016高考北京文数】如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DC PAC ⊥平面； （II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.4. 【2016高考天津文数】如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ；(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.5. 【2016高考新课标1文数】如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE6. 【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支7.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．8.【2015高考四川，文18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (Ⅰ)请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由) (Ⅱ)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. (Ⅲ)证明：直线DF ⊥平面BEGAB FHED C G CD EAB9.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC=2π，点D 、E 在线段AC 上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB 上，且EF//BC. (Ⅰ)证明：AB ⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC 的体积为7，求线段BC 的长.题（20）图AC10. 【2014高考重庆文第20题】如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.11. 【2014高考全国1文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.12.【2014高考江西文第19题】如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥；（2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值.【一年原创真预测】1.已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，ACD ∆为等边三角形，22AD DE AB ===，F 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：平面平面BCE DCE ⊥； （Ⅱ）求B CDE 点到平面的距离.2．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC △是等腰直角三角形，且AB CB ==，且AA 1=3，D 为11AC 的中点，F 在线段1AA 上,设11A F tAA =（102t <<），设11=B C BC M ．MFDC 1B 1A 1CBA（Ⅰ）当取何值时，CF ⊥平面1B DF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求四面体1F B DM -的体积．3.如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，PA PB AB BC 6====，点M ，N 分别为PB,BC 的中点．（I ）求证：AM ⊥平面PBC ； （Ⅱ）E 是线段AC 上的点，且AM 平面PNE .①确定点E 的位置；②求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．4.如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC=60°，点F 在斜边AB 上，且AB=4AF ，D ，E 是平面ABC 同一侧的两点，AD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，AD=3，AC=BE=4.(Ⅰ)求证：CD ⊥EF ；(Ⅱ)若点M 是线段BC 的中点，求点M 到平面EFC 的距离.5. 如图所示，在边长为12的正方形11ADD A 中，点,B C 在线段AD 上，且3,4AB BC ==,作11//BB AA ，分别交111,A D AD 于点1B ，P .作11//CC AA ，分别交111,A D AD 于点1C ，Q .将该正方形沿11,BB CC 折叠，使得1DD 与1AA 重合，构成如图的三棱柱111ABC A B C -.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求四棱锥A BCQP -的体积.【考点1针对训练】 1.2.【考点2针对训练】 1.又因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//EF PBC ．又因为DE EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行．2.【三年高考】 1. 【答案】A//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60 ,故,m n所成角的正弦值为2,故选A. 2.3. 【解析】（I ）因为C P ⊥平面CD AB ，所以C DC P ⊥．又因为DC C ⊥A ，所以DC ⊥平面C PA ． （II ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ，所以C AB ⊥A ．因为C P ⊥平面CD AB ，所以C P ⊥AB ．所以AB ⊥平面C PA ．所以平面PAB ⊥平面C PA ．（III ）棱PB 上存在点，使得//PA 平面C F E ．证明如下：取PB 中点，连结F E ，C E ，CF ．又因为E 为AB 的中点，所以F//E PA ．又因为PA ⊄平面CF E ，所以//PA 平面C F E ．4.5.6. 【答案】C【解析】由题可知，当点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.7.解法二：（I）、（II）同解法一．8.【解析】(Ⅰ)点F ，G ，H 的位置如图所示9.【解析】如题(20)图.由,DE EC PD PC ==知，E 为等腰PDC D 中DC 边的中点，故PE AC ^，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PE Ì平面PAC ，PE AC ^，所以PE ^平面ABC ，从而PE AB ^.因ABC=,,AB EF 2EF BC p衈故. 从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ^平面PFE .(2)解：设BC=x ,则在直角ABC D中，从而11S AB BC=22ABC D =?由EFBC ，知23AF AE AB AC ==，得AEF ABC DD ,故224()S 39AEF ABC S D D ==，即4S 9AEF ABC S D D =.FCDEAB GHO由1AD=2AE ,11421S S =S S 22999AFB AFE ABC ABC D D D D =?=从而四边形DFBC 的面积为DFBC11S S -=29ABC ADF S D D =718=(1)知，PE PE ^平面ABC ，所以PE 为四棱锥P-DFBC 的高.在直角PEC D 中，=体积DFBC 117S 73318P DFBC V PE -=鬃=?,故得42362430x x -+=，解得2297x x ==或，由于0x >，可得3x x ==或.所以3BC =或BC =10.11.12.【解析】（1）证明：由1AA BC ⊥知1BB BC ⊥,又11BB A B ⊥,故1BB ⊥平面1,BCA 即11BB AC ⊥,又11//BB CC ，所以11.AC CC ⊥（2）设1,AA x =在11Rt A BB ∆中1BA同理1AC 在1A BC ∆中,2222111111cos 2A B AC BC BAC BAC A B AC +-∠==∠=⋅11111sin 2A BCS A B A C BA C ∆=⋅∠=从而三棱柱111ABC A B C -的体积为11133A BC V BB S ∆=⨯⨯=因=故当x =时，即1AA =时，体积V取到最大值【一年原创真预测】1.【解析】（Ⅰ）DE ⊥平面ACD ，F A ⊂平面CD A ∴DE AF ⊥，又等边三角形ACD 中AF CD ⊥, D CD D E =，D E ⊂平面CD E ，CD ⊂平面CD E ，∴平面AF ECD ⊥，取CE 的中点M ，连接BM,MF ，则MF 为△CDE 的中位线，故1////,2MF DE AB MF DE AB ==,所以四边形ABMF 为平行四边形，即MB//AF,MB⊂平面C B E ，F A ⊄平面C B E ，//BCE 平面AF ∴，平面平面BCE DCE ∴⊥.（Ⅱ）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB //DE ，故AB //平面DCE ，B CDE 点到平面的距离h 等于A CDE 点到平面的距离d ，由体积相等A DCE E ACD V V --=得,1133DCE ADC S d S DE ∆∆⋅=⨯,011112222sin 6023232d ⋅⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯，解得h d ==.2．（Ⅱ）由已知得111111==22F B DM M B DF C B DF B CDF V V V V ----=，因为FD FC 1=22CDF S DF FC ⋅=△，由（Ⅰ）得1B D ⊥平面DFC ，故112=21=33B CDF V -⨯⨯，故1F B DM -的体积为13．3.②作EH AB ⊥于H ，则EH //BC ，∴EH ⊥平面PAB ，∴EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成的角.∵1AH AB 23==，π6=3PA PAH =∠， ∴PH ==1EH BC 23==，∴EH tan EPH PH 7∠==，即直线PE 与平面PAB 所成角的正切值为7.4.5.。
文科-立体几何-复习
平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面（教师引导学生阅读教材P42前几行相关容，并加以解析）符号表示为A∈LB∈L => L αA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
用正（长）方形模型公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1、长方体模型，得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面，没有公共点。
再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）：在同一平面，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线LA·αC·B·A·αP·αLβ共面直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
高考文科数学立体几何题型与方法(文科)
高考文科数学立体几何题型与方法〔文科〕一、考点回顾 1．平面〔1〕平面的基本性质：掌握三个公理与推论,会说明共点、共线、共面问题。
〔2〕证明点共线的问题,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点〔依据：由点在线上,线在面内,推出点在面内〕,这样,可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
〔3〕证明共点问题,一般是先证明两条直线交于一点,再证明这点在第三条直线上,而这一点是两个平面的公共点,这第三条直线是这两个平面的交线。
〔4〕证共面问题一般用落入法或重合法。
〔5〕经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.〔1〕空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
〔2〕异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.〔不在任何一个平面内的两条直线〕〔3〕平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.〔4〕等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,则这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成锐角〔或直角〕相等.〔5〕两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交〔共面〕垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线,则过21,l l 外一点P ,过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有,但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. 〔l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面〕3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.〔1〕空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.〔2〕直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.〔"线线平行,线面平行"〕〔3〕直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线和交线平行.〔"线面平行,线线平行"〕〔4〕直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.PO A a4 若PA⊥α,a⊥AO,得a⊥PO〔三垂线定理〕,得不出α⊥PO. 因为a⊥PO,但PO不垂直OA.5 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则这两条直线垂直于这个平面.〔"线线垂直,线面垂直"〕直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行.〔5〕a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.〔×〕]b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,则这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
文科立体几何知识点方法总结高三复习
例1四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；
例2如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，
C点到AB1的距离为CE= ，D为AB的中点.
方法二：计算所成二面角为直角。
3.线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
方法二：三垂线定理及其逆定理。
方法三：用向量方法：
若向量 和向量 的数量积为0，则 。
三．夹角问题。
(一)异面直线所成的角：
(1)范围：
(2)求法：
方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)
P—ABC所成两部分的体积比．
例4如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1)求证PQ∥平面CDD1C1；
(2)求证PQ⊥AD；
(3)求线段PQ的长.
余弦定理：
(计算结果可能是其补角)
方法二：向量法。转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角)：
(二)线面角
(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO 于O,连结AO，则AO为斜线PA在面 内的射影， (图中 )为直线l与面 所成的角。
(2)范围：
当 时， 或
当 时，
(3)求法：
方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。
步骤2：解三角形，求出线面角。
(三)二面角及其平面角
(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角 为二面角 —l— 的平面角。
高考文科数学立体几何复习知识点
高考文科数学立体几何复习知识点高考文科数学立体几何复习知识点在我们的学习时代，相信大家一定都接触过知识点吧!知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢?以下是小编为大家收集的高考文科数学立体几何复习知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
高考文科数学立体几何复习知识点1：棱柱定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
高考文科数学立体几何复习知识点2：棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
高考文科数学立体几何复习知识点3：棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点高考文科数学立体几何复习知识点4：圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
高考文科数学立体几何复习知识点5：圆锥定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
立体几何文科专题复习总结
1 / 5D1C1A1CB常规几何图形的立体几何问题1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1CC 的延11112CC C E BC AB ====．（Ⅰ）求证：1D E ∥平面1ACB ； （Ⅱ）求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ；2．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2,AB AD E ==．F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥P ABCD -的体积．3．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD , 点F 为PC 的中点． （Ⅰ）求证://PA 平面BDF ;（Ⅱ）求证:平面PAC ⊥平面BDF ．4.如图,在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O C B BC =⋂11,H 点为点O 在平面11DCC D 内的正投影. （1）求以A 为顶点，四边形CH 1D D 为底面的四棱锥的体积; （2）求证：⊥1BC 平面CD B A 11；5. 如图,一简单几何体的一个面ABC 内接于圆,O AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ；（2）若2AB =，1BC =，tan 2EAB ∠=，试求该几何体的体积V ．6. 在长方体1111ABCD A B C D -中, 11,2AB BC AA ===, (1) 求证：AD ∥面BC D 1；AFP DCBC 1DCD 1B 1A 1ABH 4题5题2 / 5VB C ED甲DCBAF E乙DCBA(2) 证明：1BD AC ⊥；(3) 一只蜜蜂在长方体1111ABCD A B C D -中飞行，求它飞入三棱锥ABC D -1内的概率. 7．如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）设CD a =，求三棱锥A －BFE 的体积.8. 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点. （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证：EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,AB CC D A BB 的中点．（1）证明：//FH 平面1A EG ； （2）证明：AH EG ⊥； （3）求三棱锥1A EFG -的体积．10.如上图：AB 是圆O 的直径，2AB =,点C 在圆O 上，且60ABC ∠=︒，点V 到圆O 所在平面的距离为3，且VC 垂直于圆O 所在的平面；,D E 分别是,VA VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；（2）求三棱锥V ABC -的体积.11．如图,已知四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， 45=∠ABC ,1DC =,2=AB ,⊥PA 平面ABCD ,1=PA ．（1）求证：//AB 平面PCD ；（2）求证：⊥BC 平面PAC ；（3）若M 是PC 的中点，求三棱锥M —ACD 的体积． 12．如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ；（2）求凸多面体ABCDE 的体积． 13．如图所示，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，1AC AD AB ===，BC =ABCED 的体积为12，F 为BC 的中点． （Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；A CA 1E FABC D P MABCD E图6第14图ABCDEF10题3 / 5BECBAS（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．14.如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为正三角形,2AD DE AB ==,F 为CD 的中点. (1) 求证：//AF 平面BCE ；(2) 求证：平面BCE ⊥平面CDE ；15.如图：直三棱柱ABC －A1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥A 1－C DE 的体积.16.如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 面ABCD ，E 、F 为别为PD 、AB 的中点，且1==AB PA ，2=BC ，（Ⅰ）求四棱锥ABCD E -的体积；（Ⅱ）求证：直线AE ∥平面PFC . 17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，CD =（Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ） 求点F 到平面PCE 的距离；18.已知PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，AC 与BD 交于E 点，2BD =，BC CD =，（1）取PD 中点F ，求证://PB 平面AFC .19.如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 2,CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求点E 到平面ACD 的距离．20.如图，四棱锥ABCD S -的底面是正方形，⊥SA 底面ABCD ，E 是SC 上一点.（1）求证：面⊥EBD 面SAC ；（2）设4=SA ,2=AB ,求点A 到面SBD 的距离；21.如图，在正四棱锥P ABCD -中，点E 是PC 中点，且2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角(即是PA 与其在面ABCD 上的射影的夹角)为60︒.（1）求证：PA ‖平面BDE ；（2）求正四棱锥P ABCD -的体积.PBCDA EF1618题ED CBAS20题ABCD 1A 1B 1C A)(C B 1B 22. 在三棱锥 S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=,1,AC BC SB ===.(1) 求三棱锥S ABC -的体积；(2)证明:BC SC ⊥;23.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底 24. 面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1.（1）证明: //EB PAD 平面;（2）证明: BE PDC ⊥平面;（3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 25.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥且2PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD .26.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥==（Ⅰ）求证:PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积.27．如图,四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点．(I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(II) 求证：BE//平面PAD ．28.如图)1(5是一个水平放置的正三棱柱111C B A ABC -，D 是棱BC 的中点．正三棱柱的正（主）视图如图)2(5． ⑴求正三棱柱111C B A ABC -的体积；⑵证明：11//ADC B A 平面；⑶图)1(5中垂直于平面11B BCC 的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）直观图和三视图如图所示29．一个三棱柱111ABC A B C -（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E 、F 分别为1AA 和11B C 的中点．（Ⅰ）求几何体11E B C CB -的体积； （Ⅱ）证明：1//A F 平面1EBC ；主视图_ D_ C_ B_ A_ PA B C D EP5 / 5（Ⅲ）证明：平面EBC 平面11EB C .。
高三文科数学专题复习——立体几何.doc
高三文科数学专题复习――立体几何一、本章知识结构：二、题型及典型例题考点二：空间几何体的表面积和体积【内容解读】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。
理解球的表面积和体积的计算方法。
例3、（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S例4、（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π例5、（湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A. 38πB. 328πC. π28 D. 332π考点三：点、线、面的位置关系【内容解读】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
例6、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23，则（）（A）EF与GH互相平行（B）EF与GH异面（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上例7、（2008全国二10）已知正四棱锥S ABCD-的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE SD，所成的角的余弦值为（）A．13B．2C．3D．23考点四：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质俯视图正(主)视图侧(左)视图2322图1【内容解读】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。
例8、（2008安徽）如图，在四棱锥O ABCD-中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABCπ∠=,OA ABCD⊥底面, 2OA=,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
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常规几何图形的立体几何问题11．如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，点 E 在棱 CC 1 的延长线上，且11CC C E BCAB 1 ．2（Ⅰ）求证： D E ∥平面 ACB 1 ；1E（Ⅱ）求证：平面 D B E平面 DCB 1 ；1 1（Ⅲ）求四面体 D 1B 1AC 的体积．D1C1A1B1DCAB2. 如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，AB ∥DC ， △PAD 是等边三角形，已知BD 2AD 4， AB 2DC2 5 ．P（1）求证： BD 平面PAD ；（2）求三棱锥 APCD 的体积．DCAB3．如图， 四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为矩形， PAD 为等腰三角形， APD 90 ，平面 PAD平面ABCD ，且 AB 1, AD 2,E ． F 分别为 PC 和 B D 的中点．P（1）证明： EF / /平面 PAD ； （2）证明：平面 PDC 平面PAD ；E （3）求四棱锥 PABCD 的体积．DCFAB4. 如图，一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O ，AB 是圆 O 的直径，四边形 DCBE 为平行四边形，且 DC 平面ABC ．（1）证明：平面 ACD平面 ADE ；（2）若 AB 2， BC 1， tan3EAB ，试求该几何体的体积V．2第 1 页共9 页3.在长方体ABCD A B C D 中, AB BC 1, AA1 2 ,1 1 1 1D1C1 (1) 求证：AD ∥面D1BC ；(2) 证明：AC BD1 ；A1B1(3) 一只蜜蜂在长方体A BCD A B C D 中飞行，求它飞入三棱锥1 1 1 1D1 ABC 内的概率.DCAB4.在棱长为 2 的正方体A BCD A1 B C D 中，E、F 分别为DD1 、DB的中点。
1 1 1（1）求证：EF// 平面A BC1D ；（2）求证：EF B1C ；1（3）求三棱锥 B EFC1 的体积V。
7 ．在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，E, F ,G, H 分别是棱AB,CC1, D1A1, BB1 的中点．D1 C1（1）证明：FH // 平面A1EG ；G（2）证明：AH EG ；A1 B 1F （3）求三棱锥A EFG 的体积．1HDCA BE8．如图，已知四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是直角梯形，AB // DC ，ABC 45 ，DC 1，AB 2，P A 平面ABCD，P A 1．P（1）求证：AB // 平面PCD ；[ 来源:]（2）求证：BC 平面PAC ；（3）若M是PC的中点，求三棱锥M—ACD的体积．MA BDC第 2 页共9 页9．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE 平面CDE ，且AE 3，AB 6．（1）求证：AB 平面ADE ；B （2）求凸多面体ABCDE 的体积．AC ED5.如图：直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90 . E为BB1 的中点，D点在AB上且DE= 3 .（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1－C DE的体积.6.如图，四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD ，四边形ABCD是矩形，E、F 分别是AB、PD 的中点．若PA AD 3，C D 6 ．（Ⅰ）求证：AF // 平面PCE ；（Ⅱ）求点F 到平面PCE 的距离；7.如图，四棱锥S ABCD 的底面是正方形，SA 底面ABCD，E是SC上一点（1）求证：平面EBD 平面SAC；S （2）设SA 4，AB 2，求点A到平面SBD的距离；EADBC 第 3 页共9 页8.如图所示, 四棱锥P ABCD底面是直角梯形, BA AD , CD AD , CD 2AB ,PA 底面ABCD, E为PC 的中点, PA＝AD＝AB＝1.（1）证明: EB // 平面PAD ;（2）证明: BE 平面PDC ;（3）求三棱锥 B PDC的体积V.14．已知：正方体A BCD-A B C D ，1 1 1 1 AA =2 ，E 为棱CC1 的中点．1( Ⅰ) 求证：B D AE ；1 1( Ⅱ) 求证：AC // 平面B1DE ；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．立体几何中的三视图问题1．已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形. 已知D 是这个几何体的棱A1C 上的中点。
1（1）求出该几何体的体积；_3（2）求证：直线B C1 / /平面AB1D ；（3）求证: 平面AB D AA D1 平面.1_3C1DA1 B1CA B 第 4 页共9 页2．右图为一简单集合体，其底面ABCD为正方形，PD 平面ABCD ，EC // PD ，且PD AD 2EC =2 .（1）画出该几何体的三视图；P（2）求四棱锥B－CEPD的体积；E （3）求证：BE //平面PDA．DCA B3．如图，在四棱锥P ABCD中，P D垂直于底面ABCD, 底面ABCD是直角梯形，DC / / AB, BAD 90 ，且AB 2AD 2DC 2PD 4（单位：cm ），E 为P A的中点。
（１）如图，若正视方向与AD 平行，作出该几何体的正视图并求出正视图面积；（２）证明：DE / / 平面PBC ；（３）证明：DE 平面PAB；PED CBA9.如图5(1) 是一个水平放置的正三棱柱ABC A1B C ，D 是棱BC的中点．正三棱柱的正（主）视图如图5( 2) ．1 1⑴求正三棱柱A BC A1B C 的体积；1 1⑵证明：A1 B // 平面ADC 1 ；⑶图5(1)中垂直于平面BCC1 B 的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）1A1 A A1 A3B 1CC1DB1 C )( 1 3B图5(1) 图5(2)B(C )第 5 页共9 页10.已知四棱锥P ABCD 的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形. E 是侧棱PC_2_2上的动点．（1）求证：BD AE_1_1主视图侧视图（2）若五点A,B,C,D, P 在同一球面上，求该球的体积._1P _1俯视图EDCA B6．一个三棱柱ABC A1B1C1 直观图和三视图如图所示，3 设E、F 分别为AA1 和B1C1 的中点．（Ⅰ）求几何体 E B1C1CB 的体积；（Ⅱ）证明：A1F // 平面EBC1 ；主视图1左视图（Ⅲ）证明：平面EBC 平面EB1C1 .2俯视图C C1FB B1AE A1P5.已知四棱锥P ABCD 的三视图如下图所示， E 是侧棱PC 上的动点.(1) 求四棱锥P ABCD 的体积；E(2) 是否不论点 E 在何位置，都有BD AE ？证明你的结论；DCA B2211 1 1俯视图正视图侧视图第 6 页共9 页立体几何中的动点问题11.已知四边形ABCD 为矩形，AD 4, AB 2,E 、F分别是线段AB 、B C 的中点，PA 平面ABCD.（1）求证：PF FD ；P（2）设点G 在P A上，且EG/ / 平面PFD ，试确定点G 的位置.ADE·B F C2．如图，己知BCD 中，0BCD 90 ，BC CD 1, AB 平面BCD ，ADB 60 , E, F分别是AC,AD 上的动点，且A E AF= = ,(0< <1) AC AD（1）求证：不论为何值，总有EF 平面ABC;（2）若1= ,2求三棱锥A-BEF 的体积．3．如图，已知△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC 平面ABC , AB 2，tan 3EAB ．2（1）证明：平面ACD 平面ADE ；（2）记AC x，V (x) 表示三棱锥A－CBE的体积，求V (x) 的表达式；（3）当V(x) 取得最大值时，求证：AD=CE．4．如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SB SD 2 2.（1）证明：BD 平面SAC；（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB// 平面ACD？请证明你的结论；（3）若0BAD 120 ，求几何体A—SBD的体积。
第7 页共9 页立体几何中的翻折问题12.如图1, 在直角梯形ABCD中, ADC 90 , CD / / AB , AB 4, AD CD 2. 将ADE 沿A C 折起,使平面A DE 平面ABC, 得到几何体 D ABC, 如图2所示.( Ⅰ) 求证: BC 平面ACD ；( Ⅱ) 求几何体D ABC的体积.DD CCA B A B图1 图2113.如图6，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP AB，AB=BC= 2AP ，2D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将PCD 沿B G CECD折起，使得PD 平面ABCD,如图7.（Ⅰ）求证：AP// 平面EFG；APD F图6（Ⅲ）求三棱椎 D PAB的体积.PEB GCFAD图7不规则图形的立体几何问题6.如图，已知ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DBCE 为平行四边形，EC 平面ABC ，AB 2AC 2，3 tan DAB ．2⑴设F 是CD 的中点，证明：OF // 平面ADE ； E⑵求点B 到平面ADE 的距离；⑶画出四棱锥 A BCED的正视图（圆O 在水平面，ABD在正面，要求 CD 标明垂直关系与至少一边的长）．A BO第8 页共9 页。