立体几何文10份
文科数学高考立体几何考点总结学习资料
【例 8】 [2013·安徽卷理]如图，圆锥顶点为 P ，底面圆心为 O ，其母线与底面所成的角为 22.5 。 AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦，轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60 。
（Ⅰ）证明：平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求 cos COD 。
C
B
D
A
【例 7】如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的，其
中 AB 4, BC 2,CC1 3, BE 1. （Ⅰ）求 BF 的长； （Ⅱ）求点 C 到平面 AEC1F 的距离.
F D
A
C1
C E B
【例 8】 P ABCD中，ABC BAD 90 ，BC 2AD, PAB与PAD 都是边长为 2 等边三角
【例 5】如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF // AB ,
EF 3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距离为 2 ，则该多面体的体积为（
）
2
A． 9 Ｂ． 5 Ｃ． 6 Ｄ． 15
2
2
E
D A
F
C B
【例 6】在三棱锥 A－BCD 中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球 的表面积为________．
E
A
D
B
C
2、 探究线面垂直与面面垂直： 【例 1】如图，在四棱锥 S -ABCD 中，平面 SAD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，且 P 为 AD 的中点，Q 为 SB 的中点，M 为 BC 的中 点． (1)求证：CD⊥平面 SAD； (2)求证：PQ∥平面 SCD； (3)若 SA＝SD，在棱 SC 上是否存在点 N，使得平面 DMN⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
高三文科数学复习之立体几何部分
立体几何（文）一、知识要点：1、能识别三视图所表示的空间几何体；了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
2、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（三个推论）.◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆等角定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．3、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．4、垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：平行转化： 垂直转化：二、基础训练：1、(2009年广东卷文)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④【答案】D2、（2009浙江卷文）设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．3、（2008安徽卷4）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） DA ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖4、(2009山东卷文)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由平面与平面垂直的判定定理知，如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 答案:B.5、（2009湖南卷文）平面六面体1111ABCD A B C D -中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6解:用列举法知合要求的棱为：BC 、CD 、11C D 、1BB 、1AA ，故选C6、(2009山东卷)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 232π+ D. 2343π+ 【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为()21232333⨯⨯= 所以该几何体的体积为2323π+. 答案:C 三、典型例题：例1：（2009北京卷文）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.求证：平面AEC PDB ⊥平面.【解法】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，∵PD ABCD ⊥底面，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ，∴平面AEC PDB ⊥平面.例2：（2009广州一模）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，E 、F分别是AB 、PD 的中点．若3PA AD ==，6CD =．求证：//AF 平面PCE ；解：取PC 的中点G ，连结EG ，FG ，又由F 为PD 中点，则 F G //CD 21. 又由已知有.//,21//AE FG CD AE ∴ ∴四边形AEGF 是平行四边形..//EG AF ∴ 2 2 侧(左)视2 2 2 正(主)视俯视图= =F E A D B C P FE A D B C P AF 又⊄平面PCE ，EG .PCE 平面⊆PCE AF 平面//∴例3：如图6，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是直角梯形，BC AD //，BAD ∠90º，AD BC 2=．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ，若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵ PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴ PA ⊥AB ．∵ AB ⊥AD ，PA AD A =，∴ AB ⊥平面PAD ，∵ PD ⊂平面PAD ，∴ AB ⊥PD ．（2）法1: 取线段PB 的中点E ，PC 的中点F ，连结DF EF AE ,,, 则EF 是△PBC 中位线．∴EF ∥BC ，BC EF 21=， ∵ BC AD //，BC AD 21=，∴EF AD EF AD =,//． ∴ 四边形EFDA 是平行四边形， ∴ DF AE //．∵ AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ， ∴ AE ∥平面PCD ．∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点．法2: 取线段PB 的中点E ，BC 的中点F ，连结AF EF AE ,,,则EF 是△PBC 的中位线．∴EF ∥PC ，BC CF 21=， ∵⊄EF 平面PCD , ⊂PC 平面PCD ,∴//EF 平面PCD ． ∵ BC AD //，BC AD 21=，∴CF AD CF AD =,// ∴ 四边形DAFC 是平行四边形， ∴ CD AF //∵ AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ AF ∥平面PDC ．∵F EF AF = ,∴平面//AEF 平面PCD ．∵⊂AE 平面AEF ,∴AE ∥平面PCD ． ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点．四、习题选练：1、（2009东莞一模）若l 为一条直线,γβα,,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:① βαγβγα⊥⇒⊥⊥, ② βγα,⊥∥βαγ⊥⇒ ③ l ∥βαβα⊥⇒⊥l , . 其中正确的命题有（ C ）A.0个B.1个C.2个D.3个2、（2009江苏卷）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；图6（4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。
(完整word版)文科立体几何平行、垂直加体积
1、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1。
求证:（1）AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.2、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D，E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A 1C1⊥A1B1.求证：（1）直线DE∥平面A1C1 F；(2)平面B1D E⊥平面A1C1F。
3、如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E,F ，P,Q,M,N 分别是棱AB ，AD,DD 1,BB 1,A 1B 1，A 1D 1的中点。
求证:(1)直线BC 1∥平面EFPQ; （2）直线AC 1⊥平面PQMN 。
4、如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD,EF 的中点。
(1)求证：BE∥平面DMF; (2）求证:平面BDE∥平面MNG 。
中点, 5、如图，在三棱柱111ABC A B C -中,D 是AC 的于点E ．1A D ⊥平面ABC ,=AB BC ，平面1BB D 与棱11AC 交（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥;（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ； (Ⅲ）求证:1B B DE ∥．EABCB 1C 1A 1D6、如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD,BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A,D不重合）分别在棱AD，BD上,且EF⊥AD。
求证:（1)EF∥平面ABC;（2)AD⊥AC。
7、如图①所示，已知直角△ABC,其中∠ABC=90°,D,E分别是AB,AC边上的中点,现沿DE将△ADE 翻折，使得A与平面ABC外一点P重合，得到如图②所示的几何体.(1)证明:平面PBD⊥平面BCED；（2）记平面PDE与平面PBC的交线为l，探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不平行,请说明理由.8、如图,四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.（1）证明:平面AEC⊥平面BED；（2)若∠ABC=120°,AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.9、如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD。
高中文科数学立体几何知识点总结材料
高中文科数学立体几何知识点总结材料立体几何知识点整理（文科）l 若向量 l 和向量 m 共线且 l 、m一． 直线和平面的三种地点关系：αm 不重合，则 l // m 。
1. 线面平行l2. 线面平行：α 符号表示：方法一：用线线平行实现。
lβ2. 线面订交α l // m m l //llAα符号表示：方法二：用面面平行实现。
3. 线在面内nl//ll //αlα符号表示：二． 平行关系：1. 线线平行：方法三：用平面法向量实现。
方法一：用线面平行实现。
若 n 为平面的一个法向量，n l 且 l,则ll //l // 。
ll // mmm方法二：用面面平行实现。
lβ//3. 面面平行：γl l // mαmm方法一：用线线平行实现。
方法三：用线面垂直实现。
l // l 'm // m'//若 l, m，则 l // m 。
l , m 且订交l ', m'且订交lβml' αm'高中文科数学立体几何知识点总结材料2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
C方法二：用线面平行实现。
βll //m ////l αl , m且订交mβllθAB方法二：计算所成二面角为直角。
α3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
lC AαBlllmmmα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PPOlOAl PA三．垂直关系：A Ol1. 线面垂直：αl方法一：用线线垂直实现。
l AC 方法三：用向量方法：lAB若向量 l 和向量 m 的数目积为0 ，则 lm 。
AC lAB A AC,AB三． 夹角问题。
(一 )异面直线所成的角：方法二：用面面垂直实现。
(1) 范围： (0 ,90 ](2) 求法：Pβlnmlmlm, lα方法一：定义法。
αAθO步骤 1 ：平移，使它们订交，找到夹角。
步骤 2 ：解三角形求出角。
(常用到余弦定理 )余弦定理：aca 2b 2c 2θbcos2ab(计算结果可能是其补角 )方法二：向量法。
高考立体几何知识点和例题(文科学生用)
高考立体几何知识点总结整体知识框架：一、空间几何体（一）空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
（二）几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行；Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3棱柱的面积和体积公式chS=直棱柱侧（c是底周长，h是高）S直棱柱表面= c·h+ 2S底V棱柱= S底·h2 、棱锥的结构特征（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：1'2S ch=正棱椎（c为底周长，'h为斜高）体积：13V Sh=棱椎（S为底面积，h为高）正四面体：对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为a22的正方体问题。
对棱间的距离为a22（正方体的边长）正四面体的高a36（正方体体对角线l32=）正四面体的体积为3122a（正方体小三棱锥正方体VVV314=-）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：ll2161=）棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱A BCDPO H正四面体的外接球半径为a 46，外接球半径为a 126，外接球半径a 423 、棱台的结构特征定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
高考立体几何文科大题及答案
（III）设平面 的一个法向量为 ，并设 ＝（
即
取 ，则 ， ，从而 ＝（1，1，3）
取平面 D的一个法向量为
故二面角 的大小为
9、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC BD。
SD 平面ＡＢＣＤ， BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC BE.
(II)解法1： SD 平面ABCD，ＣＤ 平面ＡＢＣＤ， SD CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
连接cqdp分别是abae的中点所以所以dcpqpq平面acddc平面acd所以pq平面acdbqaqbcac所以abcq而dc平面abcdcebeb平面abceb平面abe所以平面abe平面abc所以cq平面abe由知四边形dcqp是平行四边形所以cqdp所以dp平面abe所以直线ad在平面abe内的射影是ap所以直线ad与平面abeapdrtdcacadcaqcqdp所以addpdap4解法1四边形abcd是正方形acbdpdabcd底面pdacac平面pdb平面aecpdb平面设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角分别为dbpb的中点oepdoepd又pdabcd底面oe底面abcdoeao在rtaoeoepdabao45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45解法2如图以d为原点建立空间直角坐标系dxyzacdpacdbacdpacdbac平面pdb平面aecpdb平面pdab设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角eaeoaeoeaeo45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45edabcd在线段ad的垂直平分线上同理点f?在线段bc的垂直平分线上
立体几何(文科专用)(解析版)
专题09 立体几何1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ⊂⊂∥，则αβ∥”此类的错误．2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠，故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．3．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【名师点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【答案】（1）见详解；（2）18.【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1，故11B C BE ⊥．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ． （2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ， 所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==． 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题主要考查线面垂直的判定，以及四棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧 几何 体表 面积 与体 积1、空间几何体表面积的求法（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量。
立体几何(文科)
第16讲：立体几何一、基础知识1、平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2、直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围： 0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5、平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．7、平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．8、直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a ⊂α⇒a ∥β.9、直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l .10、两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝M ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β；(3)推论：a ∩b ＝M ，a ，b ⊂α，a ′∩b ′＝M ′，a ′，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.11、两个平面平行的性质定理(1)α∥β，a ⊂α⇒a ∥β；(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.12、与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.13、直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法．②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行．③垂直于同一直线的两平面平行．13、斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．14、平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的性质如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．解题技巧1、证明线面与面面平行技巧（1）找中位线（见中点找中点）（2）构造平行四边形（对边平行且相等）（3）利用相似比（边与边成比例关系）（4）利用面面平行转化为线面平行2、证明线面与面面垂直技巧（1）找等腰三角形（作高，三线合一）（2）构造直角三角形（利用三边的平方关系）（3）利用特殊四边形的性质（正方形，菱形对角线互相垂直平分）（4）利用面面垂直的关系（只需要找一条直线垂直于它们的交线）三类证法(1)证明线线垂直的方法。
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立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图【高考会这样考】1．考查空间几何体三视图的识别与判断．2．三视图和其他的知识点结合在一起命题．考点梳理1．空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形．②棱锥：棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台：棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．(2)旋转体①圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．②圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥到．③球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．2．三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体得到的正投影图．③观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．3．直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半两个重要概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．三个规则(1)画法规则：长对正、高平齐、宽相等．(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．(3)线条的规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见轮廓线和棱用虚线画出．考点自测1．下列说法正确的是()．A．有两面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点2．有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( )A．棱台B．棱锥C．棱柱D．都不对3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()．A圆柱B圆锥C球体D圆柱、圆锥、球体的组合体4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱5.如图，过BC的平面截去长方体的一部分，所得的几何体________棱柱(填“是”或“不是”)．考向一空间几何体的结构特征【例1】►给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3【训练1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中不正确的命题的个数是________个．考向二空间几何体的三视图【例2】►某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()．考向三空间几何体的直观图【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()．A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2【训练3】如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是_____．热点突破17——快速突破空间几何体三视图的判断【真题探究】►如图所示，长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如右图所示；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正视图，俯视图如图．其中真命题的个数是()．A．3 B．2 C．1 D．0【试一试】已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()．限时训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()．A．0 B．1 C．2 D．32．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆3．将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的侧视图为()．4．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．三、解答题(共25分)7．(12分)已知：图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图b是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．8．(13分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD －A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．B级能力突破(时间：30分钟满分：45分) 一、选择题(每小题5分，共10分)1．下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()．2．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()．二、填空题(每小题5分，共10分)3．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．4．左图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由____块木块堆成；右图中的三视图表示的实物为___．三、解答题(共25分)5．(12分)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？6．(13分)(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC 两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？第2讲空间几何体的表面积与体积【高考会这样考】1．以三视图为载体，考查空间几何体的表面积与体积．2．利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积．考点梳理1．柱体、锥体、台体的侧面积和表面积(1)旋转体的侧面展开图的形状名称侧面展开图形状侧面展开图圆柱矩形圆锥扇形圆台扇环(2)因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和． (3)旋转体的侧面积和表面积①若圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则S 侧＝2πrl ，S 表＝2πr (r ＋l )②若圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则S 侧＝πrl ，S 表＝πr (r ＋l )③若圆台的上下底面半径分别为r ′、r ，则S 侧＝π(r ＋r ′)l ，S 表＝π(r ′2＋r ′l ＋rl ＋r 2)④若球的半径为R ，则它的表面积 S ＝4πR 2. 2．几何体的体积公式(1)柱体的体积公式为V 柱＝Sh ，其中S 为底面积，h 为高． (2)锥体的体积公式为V 锥＝13Sh ，其中S 为底面积，h 为高．(3)台体的体积公式为V 台＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ，其中S ′、S 分别为上、下底的底面积，h 为高． (4)球的体积公式为V ＝43πR 3.两点提醒 (1)关于公式要注意几何体的表面积公式和体积公式中各个数据的准确性，不能用错公式． (2)关于组合体转化对于生产生活中遇到的物体，可以转化为由简单的几何体组合而成，它们的表面积与体积可以转化为这些简单的几何体的表面积的和与体积的和． 两个关注点与球有关问题的关注点(1)“切”“接”问题一般要过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)特殊图形可以用补图的方法解答． 考点自测1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )．A ．4πSB ．2πSC ．πS D.233πS2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π 3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是__．4．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．5．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为________． 考向一 几何体的表面积【例1】►某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )．A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．58＋12 5D ．60＋12 5例1图 训练1图【训练1】 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．280 考向二 几何体的体积【例2】►如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的一点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．【训练2】如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()．A．4 3 B．4C．2 3 D．2考向三与球有关的组合体【例3】►某几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图与侧视图相同，则该几何体的体积为________ cm3.【训练3】已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．方法优化10——巧妙求解空间几何体的表面积和体积【真题探究】►某几何体的三视图如图所示，它的体积为()．A．12π B．45πC．57π D．81π【试一试】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为____，_____.限时训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分)1．一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋ 3 B．1＋ 3 C．2＋2 3 D．4＋ 32．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为() A.92π＋12 B.92π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18第1题图第2题图3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为()．A．48 B．64C．80 D．1204．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()．A.26 B.36 C.23 D.22二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于__．6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．8．(13分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，如图所示，求CP ＋P A 1的最小值．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )．A.()95－π2cm 2B.()94－π2cm 2C.()94＋π2cm 2D.()95＋π2cm 22．如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( )．A.312B.34C.612D.64 二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________． 4．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为顶点，以平面AB 1D 1截正方 体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．第3题图 第4题图三、解答题(共25分) 5．(12分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．6．(13分)如图 (a)，在直角梯 形ABCD 中， ∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使 平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图(b)所示． (1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求几何体D －ABC 的体积．第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系【高考会这样考】1．考查空间线面平行、垂直关系的判断． 2．考查空间线面平行、垂直关系． 考点梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：(]0，π2. (3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 一个理解异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”，指这两条直线不能确定任何一个平面，因此，异面直线既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线． 两种判定方法(1)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两直线异面． 考点自测1．下列命题是真命题的是( )．A ．空间中不同三点确定一个平面B ．空间中两两相交的三条直线确定一个平面C ．一条直线和一个点能确定一个平面D ．梯形一定是平面图形2．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )．A ．0B ．1C ．0或1D ．1或34．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )．A ．60°B ．120°C ．30°D ．60°或120°5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 考向一 平面的基本性质及其应用 【例1】►如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：(1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．考向二 空间中两直线的位置关系【例2】►如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．【训练2】 在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．考向三 异面直线所成角【例3】►如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小； (2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．【训练3】如图，A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．热点突破18——准确判断空间点、线、面的位置关系【真题探究】►设l是直线，α，β是两个不同的平面() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l ⊥β【试一试】设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥β.其中正确命题的序号是()．A．①③B．①②C．③④D．②③限时训练A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交3．以下四个命题中，正确命题的个数是()．①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是() A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为______三、解答题(共25分)7．(12分)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC綉12AD，BE綉12F A，G、H分别为F A、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？8．(13分)在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈(]0，π2，这样的直线有几条，应该如何作图？B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()．A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°2.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA 1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F 分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()．A．45°B．60°C．90°D．120°二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH是正方形．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．三、解答题(共25分)5．(12分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC 的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．6．(13分)在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．第4讲直线、平面平行的判定及其性质【高考会这样考】1．考查判定线面的位置关系．2．以多面体为载体，考查线面平行、面面平行的判定考点梳理1．直线与平面平行(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)．即：a⊄α，b ⊂α，且a∥b⇒a∥α.其他判定方法；α∥β，a⊂α⇒a∥β.(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行)．即：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.2．平面与平面平行(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行)．即：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β.(2)性质定理：如果两个平行平面同和第三个平面相交，那么它们的交线平行．即：α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.平行问题的转化关系两点提醒(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．考点自测1．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()．A．平行B．相交C．异面D．以上均有可能2．在空间中，下列命题正确的是()．A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()．A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α4．下列命题正确的是()．A．若两直线和同一平面所成的角相等则这两直线平行B．平面内有三点到另一平面距离相等则这两个平面平行C．一直线平行于两相交平面则该直线与这两平面交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面则这两个平面平行5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．考向一线面平行的判定及性质【例1】►如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′(2)若二面角A′－MN－C为直二面角，求λ的值．【训练1】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AD；(2)求三棱锥E－ABC的体积．【例2】►如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P 分别为所在边的中点．求证：平面MNP∥平面A1C1B.【训练2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H 分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.【例3】►如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【训练3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是平行四边形，P A⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、P A的中点．在线段PD上是否存在一点E，使NM∥平面ACE？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．规范解答12——平行关系证明题的规范解答【真题探究】►如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【试一试】如图，在几何体ABCD－EFG中，下底面ABCD 为正方形，上底面EFG为等腰直角三角形，其中EF⊥FG，且EF∥AD，FG∥AB，AF⊥面ABCD，AB＝2FG＝2，BE ＝BD，M是DE的中点．(1)求证：FM∥平面CEG；(2)求几何体G－EFC的体积．A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面2．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；C．α、β互相平行，m、n互相平行，若m∥α，则n∥β；D．若m、n在平面α内的射影互相平行，则m、n互相平行．3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α二、填空题(每小题5分，共10分)5．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．6．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在四面体A－BCD中，F、E、H分别是棱AB、BD、AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.8．(13分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l22．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.4．对于平面α与平面β，有下列条件：①α、β都垂直于平面γ；②α、β都平行于平面γ；③α内不共线的三点到β的距离相等；④l，m为两条平行直线，且l∥α，m∥β；⑤l，m是异面直线，且l∥α，m∥α；l∥β，m∥β，则可判定平面α与平面β平行的条件是________(填正确结论的序号)．三、解答题(共25分)5．(12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示：(其中M、。