立体几何 最有应得(浙江高三文科)
高考专题-- 立体几何与空间向量-浙江高三数学三轮复习---精校解析Word版
立体几何与空间向量1. 立体图形的截面问题高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。
考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。
一般情况下这两种方法要结合应用.例1.已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长是10，高是12，过底面一边AB ，作与底面ABC 成060角的截面面积是___________________。
【答案】点评：判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.2.三视图高考对三视图的要求是：（1）理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义；（2）理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画出它们的直观图.从学生反馈情况看，主要错误是不能正确视图，还原几何体.突破这一瓶颈的有效途径，一是熟悉规则，二是多做一些练习.例2.【2017课标II ，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）90πB．63πC．42πD．36π【答案】B【解析】点评：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。
浙江省高考数学文科解答题(立体几何)
立体几何（04年）如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2=AB ，1=AF ，M 是线段EF 的中点。
（Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证⊥AM 平面BDF ；（Ⅲ）求二面角B DF A --的大小。
（05年）如图,在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 21==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，⊥OP 底面ABC 。
（Ⅰ）求证OD ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线OD 与平面PBC 所成角的大小。
（06年）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，⊥PA 底面ABCD ，且BC AB AD PA 2===，M 、N 分别是PC 、PB 的中点。
（Ⅰ）求证：DM PB ⊥；BCPDAo（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。
（07年）在如图所示的几何体中，⊥EA 平面ABC ，⊥DB 平面ABC ， BC AC ⊥，且AE BD BC AC 2===，M 是AB 的中点。
（Ⅰ）求证：EM CM ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面EMC 所成角的正切值。
（08年）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，︒=∠=∠90CEF BCF ，3=AD ，2=EF 。
（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角C EF A --所的大小为︒60？（09年）如图，⊥DC 平面ABC ，BE ∥DC ，22====DC EB BC AC ，︒=∠120ACB ，P ，Q 分别是AE ，AB 的中点。
（Ⅰ）证明：PQ ∥平面ACD ；（Ⅱ）求AD 与平面ABE 所成角的正弦值。
（10年）如图，在平行四边形ABCD 中，BC AB 2=，︒=∠120ABC ，E 为线段AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成DE A '∆，使平面⊥DE A '平面BCD ，F 为线段C A '的中点。
立体几何 最有应得(浙江高三文科)
C
解：作 MH ^ AB 于 H ，作 NH ^ BF 于 N . 因为平面 ABCD ^ 平面ABEF ，所以 MH ^ 平面ABEF ，所以 BF ^ MH . 又 NH I MH = H ，所以 BF ^ 平面 MNH ，所以 MN ^ BF . 所以 MN 即为 M 到直线 BF 的距离.
例 2 如图 3，边长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上一点 P ，则 AP + D1P 的最小
值为
.
D1
分析：在正方体中直求 AP + D1P 的最小值比较困难，因此考A虑1
C1 D1 B1
把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，然后利用两点之间线段
最短求解.
A
D P
B
C A1
解：把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，如图 4，易发现
图3
C
PB
A 图4
AP + D1P 的最小值即为 AD1 ，在 DA1 AD 中， A1D1 = A1 A = 1, ÐAA1D1 = 135° ，
由余弦定理，可得 AD1 = 12 + 12 - 2 ´1´1´ cos135° = 2 + 2 ，即 AP + D1P 的最小值为 2 + 2 . 点睛：把立体图形展成平面图形，然后利用平面几何最值结论求最值，也是求空间最值的一种常用方 法.特别是求一个几何体表面上两点间距离的最小值时，大都运用此法.本题因要在三角形中求最值，所以 还用到了解三角形知识. 3、用函数知识求解
.
分析：设出纸盒的底面边长，根据纸盒的表面积，运用基本不等式求出纸盒底面积的最大值，这个最 大值乘以 2 即为纸盒容积的最大值.
浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编附答案
对于D选项，过 点做 的平行线交 于 ，交 于 ，连接 ，则过 ， ， 的平面截正方体所得截面即为平行四边形 ，易知当 位于点 时，平行四边形 边 最小，且为 ，此时截面平行四边形 的面积最小，为四边形 的面积，且面积为 ，故D选项正确；
【答案】CD
【分析】
利用反证法可得A、B错误，取 为 的中点，取 的中点为 ，连接 ，可证明 平面 ，当平面 平面 时，四棱锥 体积最大值，利用公式可求得此时体积为 .
【详解】
如图（1），取 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，故 ，
故 即 ．
若 ，因为 ，故 ，而 ，
故 平面 ，因为 平面 ，故 ，矛盾，故A错．
【详解】
如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.
则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,
∵ ∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,
又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,
在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,
∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，
对于C，若 ， ，则 ，即 ，即 ，故C正确；
对于D，
，又 ， ，故D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
浙江省数学高考立体几何试题的剖析和思考
２ ０ １ ３ 年浙江省数学 高考理科试 题第 ２ Ｏ题是
Ｍ Ｄ且 ２ Ｐ Ｏ＝Ｍ Ｄ， 故Ｑ Ｆ Ｏ Ｐ为平行 四边 形， Ｐ Ｑ∥ Ｏ Ｆ ， 因此 Ｐ ９ ∥平面 Ｂ Ｃ Ｄ ．
・
２ ２・
中学教研 （ 数 学）
解法 １ 如图 ５ ， 作
出 二 面 角 的 平 面 角 鹏 Ｃ， 求 出 二 面 角 的平
力（ 即“ 亲其师， 悟其道 ” ） ， 从而提高学生研究 问题 的能 力 （ 这 远 比学 生 多 做 几 个 题 目要 “ 划 算 得 多” ） ， 这是我们数学教学要不懈努力 的目标．
参 考 文 献
研而生疑 ， 疑而生思 ， 思而后得． 剖析高考试题
背 后 的本 质 （ 背景 或题 源 ） 是破 除题 海 最 “ 给力 ” 的 武器 ， 高考 试 题 的本质 正是 在思 维 的层 层 深人 中揭
对一类 高考试题本质 的追溯 ［ Ｊ ］ ． 中学 数 学教 学参考 ： 上 旬， ２ ０ １ ３ （ ６ ） ： ｌ 一 ３ ．
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浙江 省 数 学 高考 立体 几 何试 题 的 剖析 和 思 考
◆章 显联 应 国刚
１ 阅卷概 况
（ 鲁迅 中学 浙江绍兴 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
（ ２ ） 若二面角 Ｃ ． Ｂ Ｍ － Ｄ的大小为６ Ｏ 。 ， 求Ｚ ＿ Ｂ Ｄ Ｃ 的大小 ．
３ 试题 剖 析
分配到的题是理科卷第 ２ ０题 （ 立体几何试题 ） ． 若
３ ． １ 第（ １ ） 小题 解 析
２位阅卷者给出的分数相差 ２分 以上 ， 则需组长或 副组长等 ３— ４位教师 仲裁 ， ２位 阅卷者给 出的分
第 ８期
章 显联 ， 等： 浙江省数 学高考 立体几何试题 的剖析和 思考
2022年浙江省数学高考模拟精彩题选——立体几何 Word版含答案
2022浙江精彩题选——立体几何 【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘B ’相切【二、动态问题】1.（2022台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为 17分析：点A 到平面PBC 的距离为d=43，AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2022金华十校期末）在四周体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且AB ACBD CD ==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ）A.6B.211C.215D.8分析：由AB ACBD CD ==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求3.（2022台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的动点,4,BC =,3,CD =23CC '=直线C C '与平面C PQ '所成的角为︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )A ．1855B ．8C ．1633 D ．104（2022宁波十校15）如图，正四周体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四周体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。
设，平面ABF⊥平面α=a ,四周体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
立体几何知识点整理一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥lABACAABACABlACl,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥llmlm,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高考立体几何文科大题及答案
（III）设平面 的一个法向量为 ，并设 ＝（
即
取 ，则 ， ，从而 ＝（1，1，3）
取平面 D的一个法向量为
故二面角 的大小为
9、（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得AC BD。
SD 平面ＡＢＣＤ， BD是BE在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得AC BE.
(II)解法1： SD 平面ABCD，ＣＤ 平面ＡＢＣＤ， SD CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形， ＣD ＡD，又ＳＤ AD=D， CD 平面SAD。
过点D在平面SAD内做DF AE于F，连接CF，则CF AE，
故 CFD是二面角C-AE-D的平面角，即 CFD=60°
在Rt△ADE中， AD= , DE= ，AE= 。
于是，DF=
在Rt△CDF中，由 cot60°=
得 ，即 =3
连接cqdp分别是abae的中点所以所以dcpqpq平面acddc平面acd所以pq平面acdbqaqbcac所以abcq而dc平面abcdcebeb平面abceb平面abe所以平面abe平面abc所以cq平面abe由知四边形dcqp是平行四边形所以cqdp所以dp平面abe所以直线ad在平面abe内的射影是ap所以直线ad与平面abeapdrtdcacadcaqcqdp所以addpdap4解法1四边形abcd是正方形acbdpdabcd底面pdacac平面pdb平面aecpdb平面设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角分别为dbpb的中点oepdoepd又pdabcd底面oe底面abcdoeao在rtaoeoepdabao45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45解法2如图以d为原点建立空间直角坐标系dxyzacdpacdbacdpacdbac平面pdb平面aecpdb平面pdab设acbdo连接oe由知ac平面pdb于oaeo为ae与平面pdb所的角eaeoaeoeaeo45aoe即ae与平面pdb所成的角的大小为45edabcd在线段ad的垂直平分线上同理点f?在线段bc的垂直平分线上
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C
解：作 MH ^ AB 于 H ，作 NH ^ BF 于 N . 因为平面 ABCD ^ 平面ABEF ，所以 MH ^ 平面ABEF ，所以 BF ^ MH . 又 NH I MH = H ，所以 BF ^ 平面 MNH ，所以 MN ^ BF . 所以 MN 即为 M 到直线 BF 的距离.
2
2
4
4 33
E F
又 0 £ x £ 2 ，所以当 x = 2 ，即当点 M 距离 A 点 2 时， MN 取得最小值 6 .
3
3
3
点睛：求某些几何最值，可把待求量表示为某一个量的函数，然后利用函数知识解答，这是函数思想
的体现.
4、用基本不等式求解
例 4 用一张面积为10m2 的纸，围成一个高为 2m 长方体纸盒，这个纸盒容积的最大值是
- 5 £ xy £ 1 ，所以 xy £ 1 ， 所以纸盒的容积V = 2xy £ 2 ，当且仅当 x = y = 1 时，等号成立. 答：这个纸盒容积的最大值为 2 m3 . 点睛：运用基本不等式求解的立体几何最值问题，以求表面积或体积的最值问题最为常见.
2
.
分析：设出纸盒的底面边长，根据纸盒的表面积，运用基本不等式求出纸盒底面积的最大值，这个最 大值乘以 2 即为纸盒容积的最大值.
解：设纸盒的底面边长分别为 x, y ，则纸盒的表面积 2xy + 2(2x + 2 y) = 10 ，整理得 xy + 2(x + y) = 5 .
因为 x > 0, y > 0 ，所以 xy + 2(x + y) ³ xy + 4 xy ，所以 xy + 4 xy £ 5 ，即 xy + 4 xy - 5 £ 0 ，解得
值为
.
D1
分析：在正方体中直求 AP + D1P 的最小值比较困难，因此考A虑1
C1 D1 B1
把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，然后利用两点之间线段
最短求解.
A
D P
B
C A1
解：把平面 D1CBA1 与平面 AA1B 展成一个平面，如图 4，易发现
图3
C
PB
A 图4
AP + D1P 的最小值即为 AD1 ，在 DA1 AD 中， A1D1 = A1 A = 1, ÐAA1D1 = 135° ，
立体几何“最”有应得（浙江高三文科）
山东省汶上县圣泽中学
马继峰
该文发表于《考试报》 最值问题是立体几何中的一类难点问题，为之奈何？其实你只要掌握了以下四种解法，基本就能使 “最”有应得. 一、求法展示 1、用几何最值结论求解
例 1 如图 1，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中棱长为 a ，点 E 为 AA1 的中点，在对角面 BB1DD1 上取一
例 3 如图 6，已知正方形 ABCD, ABEF 所在平面互相垂直， AB = 2 ， M 为线段 AC 上一动点，
当 M 在什么位置时， M 到直线 BF 的距离最短，并求出最短距离. 分析：设 AM = x ，作出 M 到直线 BF 的距离，进而把这个距离表示成 x 的函数，然后用函数知识求
最值及最值条件.
设 AM = x ，则 MH = 2 x ， BH = 2 - 2 x ，所以 NH = 2 NH = 1 - 1 x .
2
2
2
2
D M
B HN A
图6
所以 MN = MH 2 + NH 2 = ( 2 x)2 + (1 - 1 x) 2 = 3 x 2 - x + 1 = 3 (x - 2) 2 + 2 .
点 M ，使 AM + ME 最小，其最小值为
.
分析：根据图形的对称性，把 AM + ME 转化为 CM + ME ，然后利用两
D1
C1
点之间线段最短求最小值. 解：由对称性可知 AM = CM ，所以 AM + ME = CM + ME ，观察图形，
可知当 E, M , C 三点共线时， CM + ME 即 AM + ME 取得最小值，最小值为
A1
M
·
E
D
B1 C
CE = ( 2a)2 + ( a )2 = 3 a . 22
A
B
图1
点睛：平面几何中的最值结论，如：两点之间线段最短、点和直线上的点的连线段中垂线段最短，可
应用于立体几何问题 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 的面对角线 A1B 上一点 P ，则 AP + D1P 的最小
由余弦定理，可得 AD1 = 12 + 12 - 2 ´1´1´ cos135° = 2 + 2 ，即 AP + D1P 的最小值为 2 + 2 . 点睛：把立体图形展成平面图形，然后利用平面几何最值结论求最值，也是求空间最值的一种常用方 法.特别是求一个几何体表面上两点间距离的最小值时，大都运用此法.本题因要在三角形中求最值，所以 还用到了解三角形知识. 3、用函数知识求解