数学---江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期末考试
江苏省扬州中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题
2017-2018学年第一学期扬州中学期中考试试卷高二数学一、填空题：1.直线l ：2x -y +1=0的斜率为________2.命题p ：∃x ∊R ，使得x 2+1≤0的否定为______________ 3.直线l ：kx +y -2k =0经过定点的坐标为________4.若命题p ：2211114(,)x y x y R +<∈，命题q ：点11(,)x y 在圆224x y +=内，则p 是q 的______条件。
5.已知两条直线l 1:x +ay =2a +2，l 2:ax +y =a +1，若l 1⊥l 2，则a =_______6. 命题p ：“若a >b ，则1a <1b”的否命题是___________（填：真、假）命题7.两圆x 2+y 2-6x +16y -48=0与x 2+y 2+4x -8y -44=0的公切线条数为_________8.若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为a 的值为 .9.离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是__________________10.椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23- y 21＝1的公共焦点为P F F ,,21是两曲线的一个交点, 那么21cos PF F ∠的值是______ ___11.在平面直角坐标系xOy 中，由不等式所确定的图形的面积为___________12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点A 、P ，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率e =____ __.13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y 2x =的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 . 14.已知对于点A （0,12），B （10,9），C （8,0），D （-4,7），存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则10k 的值为_______二、解答题：15.已知命题:p “方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”,命题:q “方程2212x y k k +=-表示双曲线”.（1）若p 是真命题,求实数k 的取值范围; （2）若“p q 或”是真命题,求实数k 的取值范围.16.已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ． （1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于,C D两点，当CD =CD 的方程；17.古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。
2017-2018学年江苏省宿迁市高二数学上期末考试试卷
宿迁市2017 — 2018学年度高二第一学期期末数学试卷(考试时间120分钟，试卷满分160分)案直接填在答题卡相应位置上5. 已知长方形 ABCD 中，AB =2 , BC =1 , O 为AB 的中点，若在长方形 ABCD 内随机 取一点M ，则O M < 1的概率为 ▲ .6. 根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果S 为—▲—.7.已知一组数据x , 8, 7, 9, 7,若这组数据的平均数为8 ,则它们的方差为 —▲—.2 2&以(3, 4)为圆心且与圆x - y =1外切的圆的标准方程为 ▲.1 ” 9. 若函数y =f (X )的图象在点M (2, f (2))处的切线方程为y x - 1，贝y f(2) - f (2)2的值为____ ▲ ___2 2参考公式：样本数据x 1 ,x 2^| ,x n 的方差'1n21S ' （x in i A.n— — 1— x ）2，其中 xx in i _L、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计 70分•不需要写出解答过程，请把答1. 写出命题"-x 三R , ^ . 0 ”的否定:2. 抛物线x 2 =8y 的准线方程是3. 直线 3x ■ 4 y _10 =0 禾口圆 x 2 个数为 ____ ▲4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果；I — 1, S —:While 1<9S — S+2II —1+3■ End While > Print SIi ____________（第 4S 为（第 6 题）• y 2 =9的公共点10.已知双曲线C与—-- 1有公共渐近线，且一个焦点为(4,0)，则双曲线C的标准方5 3。
2017-2018年江苏省扬州市邗江中学高二(上)期中数学试卷和答案
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．（5分）曲线y=e x在点x=0处的切线的倾斜角为．3．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．5．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=．7．（5分）若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．8．（5分）函数，则f（x）的单调减区间是．9．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是．10．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．11．（5分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为．13．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+t anβ=1，则直线PA的斜率为．14．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和，求此椭圆的标准方程．（2）若某双曲线与椭圆+=1共焦点，且以y=±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．16．（14分）已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的为焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．17．（14分）已知圆：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A 为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．19．（16分）已知A、F分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；（3）记圆O：x2+y2=为椭圆C的“关联圆”．若b=，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：+为定值．20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．（5分）曲线y=e x在点x=0处的切线的倾斜角为．【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x，则f′（0）=1，即切线斜率k=f′（0）=1，由tanα=1，解得α=，故答案为．3．（5分）直线x﹣y﹣5=0被圆x2+y2﹣4x+4y+6=0所截得的弦的长为．【解答】解：圆x2+y2﹣4x+4y+6=0化为（x﹣2）2+（y+2）2=2，所以圆的圆心坐标（2，﹣2），半径为：，圆心到直线x﹣y﹣5=0的距离为：d==．圆心到直线的距离、圆的半径、半弦长满足勾股定理，即半弦长为：=．所以弦长为：．故答案为：．4．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为4．【解答】解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．5．（5分）两圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，则r的取值范围是2＜r＜8．【解答】解：圆x2+y2=9的圆心（0，0），半径为3，圆x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）的圆心（﹣4，3），半径为：r，因为圆x2+y2=9与x2+y2+8x﹣6y+25﹣r2=0（r＞0）相交，所以，解得2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【解答】解：直线l：2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣）=﹣1，∴a=2，故答案为27．（5分）若抛物线C：y2=4x上一点A到抛物线焦点的距离为4，则点A到坐标原点O的距离为．【解答】解：设A点坐标为（x，y），根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2，∴A点坐标为：（3，±2），∴A到坐标原点的距离为=．故答案为：．8．（5分）函数，则f（x）的单调减区间是（0，），（，2π）．【解答】解：当x∈（0，2π）时，由f′（x）=＜0，解得0＜x＜，或，f（x）的单调减区间是（0，），（，2π），故答案为：（0，），（，2π），9．（5分）若不等式|x﹣1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：|x﹣1|＜a⇒1﹣a＜x＜a+1由题意可知﹣≤x＜0 0＜x＜4是1﹣a＜x＜a+1成立的充分不必要条件∴解得a≥3∴实数a的取值范围是[3，+∞）故答案为：[3，+∞）10．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．【解答】解：由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．11．（5分）点P是函数y=x2﹣lnx的图象上任一点，则P到直线y=x﹣2的距离的最小值为．【解答】解：由可得x=1，所以切点为（1，1），它到直线y=x﹣2的距离为．故答案为：12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C 上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，则圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，P为圆C上一点．存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60°，∴存在一个定圆M，圆心与圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4，的圆心重合，如图：|PC|=2，当R M=1时，∠APM=30°，∠MPB=30°；|PM|=2，|MB|=1此时∠APB=60°，圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1．故答案为：（x﹣1）2+y2=1．13．（5分）已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右顶点，点P是椭圆上的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，则直线PA的斜率为．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），椭圆的离心率e====，整理得：a=2b，∴椭圆方程为：，∴y2=，则=﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，∴k PA=tanα=，k PB=tanβ=，∴tanα•tanβ=•==﹣，直线PA、PB的倾斜角分别为α、β满足tanα+tanβ=1，∴tanα，tanβ是方程x2﹣x﹣=0的两个根，解得：x=，∴直线PA的斜率k PA=tanα=，故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（，1）．【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1，故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣，故﹣1＜﹣k＜﹣，即＜k＜1；故答案为（，1）．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和，求此椭圆的标准方程．（2）若某双曲线与椭圆+=1共焦点，且以y=±x为渐近线，求此双曲线的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为：mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），若椭圆经过两点和，则有，解可得：，则椭圆方程为：；（2）由题意知，椭圆+=1的焦点为（±4，0），双曲线的焦点为，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设双曲线方程为：则a2+b2=48，又由双曲线的渐近线为y=±x，则有，解可得：a2=12，b2=36，故要求双曲线方程为：．16．（14分）已知命题p：函数在区间（m，m+1）上单调递减，命题q：实数m满足方程表示的为焦点在y轴上的椭圆．（1）当p为真命题时，求m的取值范围；（2）若命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：（1），令f′（x）＜0，得0＜x＜3，∴f（x）在（0，3）上是减函数，∵f（x）在区间（m，m+1）上单调递减，∴（m，m+1）⊆（0，3），∴，解得0≤m≤2；（2）若q为真，则：5﹣m＞m﹣1＞0，∴1＜m＜3，∵命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，∴p与q一真一假，①若p真q假，得0≤m≤1；②若p假q真，则，即2＜m＜3．综上：0≤m≤1或2＜m＜3．17．（14分）已知圆：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【解答】解：（1）当a=﹣8时，x2+y2﹣2x﹣8=0∴圆M：（x﹣1）2+y2=9…2分①若切线斜率不存在，则切线方程为x=4，适合…4分②若切线斜率存在，设切线：y﹣5=k（x﹣4）即kx﹣y+5﹣4k=0∴∴∴切线方程为：…6分∴所求切线方程为：x=4或8x﹣15y+43=0…7分（2）解法一：圆M：（x﹣1）2+y2=1﹣a∵1﹣a＞0，∴a＜1，①若直线AB斜率不存在，不妨设则，∴a=﹣6，∴圆M的半径…9分②若直线AB斜率存在，设AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（1+k2）x2﹣2（k2+1）x+（k2+a）=0∴…11分∴∴k2+a﹣2k2+k2=﹣6，∴a=﹣6…13分综上：a=﹣6，∴圆M的半径…14分解法二：设A（x0，y0），则B（2﹣x0，﹣y0）∴∴…11分∵，∴a+6=0，∴a=﹣6，∴圆M的半径．…14分．18．（16分）如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A 为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km2）．（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；（Ⅱ）求面积S（km2）关于x（km）的函数解析式；（Ⅲ）求面积S（km2）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设抛物线y2=2px∵点F（4，2）在抛物线上，∴22=2p×4，∴2p=1，∴y2=x（Ⅱ）设P（x2，x）则QE=AE﹣AQ=4﹣x2∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4﹣x2+x（0＜x ＜2）（Ⅲ）S'（x）=﹣3x2+x+4令S'（x）=0则x=﹣1（舍去）或当时，S'＞0，∴S（x）递增；当时，S'＜0，∴S（x）递减；∴当km时，km219．（16分）已知A、F分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．（1）求椭圆C的离心率；（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；（3）记圆O：x2+y2=为椭圆C的“关联圆”．若b=，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证：+为定值．【解答】解：（1）由PF⊥x轴，知x P=c，代入椭圆C的方程，得：+=1，解得，…（2分）又AF=2PF，∴a+c=，∴a2+ac=2b2，即a2﹣2c2﹣ac=0，∴2e2+e﹣1=0，由e＞0解得椭圆C的离心率e=．…（4分）（2）∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ=a，且PF∥x轴，∴，代入椭圆C的方程，解得，…（6分）∵点P在第一象限，∴y p=b，同理可得x Q=﹣，y Q=b，…（7分）∴k AP•k OQ=•=﹣，由（1）知e=，得=，∴k AP•k OQ=﹣．…（9分）证明：（3）由（1）知e==，又b=，解得a=2，∴椭圆C的方程为=1，圆O的方程为x2+y2=，①…（11分）连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，∴四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，设P（x0，y0），则四边形OMPN的外接圆方程为（x﹣）2+（y﹣）2=（），即=0，②…（13分）①﹣②，得直线MN的方程为xx0+yy0=，令y=0，则m=，令x=0，则n=．∴+=49（），∵点P在椭圆C上，∴+=1，∴=49（为定值）．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．【解答】解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．。
2017-2018学年高二上期末数学试卷(含答案解析)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”形式的复合命题中，真命题有（）个．和“?p”A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：??{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“ｐ∨q”，“ｐ∧q”和“?p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为??{0}，所以命题p为真．因为：{1}?{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，?p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a?3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”ｍ＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′＝3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：﹣sinx；③（）16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′＝；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′＝；故①错误，﹣sinx；故②正确，②（cosx）′＝③（）′＝，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“ｐ或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“ｐ或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．则b n﹣b n﹣1=，b1==1．∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）?2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。
江苏省连云港市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
2017-2018学年度第一学期期末考试试题高二数学一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.双曲线2214y x -=的渐近线方程是 ． 2.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是 ． 3.命题“若a b <，则22ab<”的否命题为 ．4.等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若53a =，则9S = ．5.函数y =的定义域是 ．6.已知实数x ，y 满足条件30,0,0,x y y x +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值是 ．7.在等比数列{}n a 中，70a <，242646236a a a a a a ++=，则35a a += ． 8.对任意的[]0,1x ∈，都有2(1)30x a x a +-+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ．9.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a = ． 10.函数()cos2f x x =+（(0,)2x π∈）的极小值是 ．11.过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2FA BF =u u u r u u u r ，则直线AB的斜率为 ．12.已知x ，y R +∈，且244xy+=，则21x y+的最小值是 ． 13.已知1F ，2F 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆上存在点P 使2||PF c =（c 为半焦距）且12F PF ∠为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ．14.已知实数a ，b 满足1a b +=，则33(1)(1)a b ++的最大值是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+． （1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，“p q ⌝∧”为真命题，求实数x 的取值范围．16.如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA =，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．（1）若异面直线AM 和1A N 所成的角为90︒，求AM 的长； （2）若14CC CM =，求二面角1A DN M --的余弦值．17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为34m 、30m 的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如图），池边由两个半椭圆22221(0)x y x a b +=≤和22221y x b c +=（0x ≥）组成，其中0a b c >>>，“挞圆”内切于矩形且其左右顶点A ，B 和上顶点C 构成一个直角三角形ABC ．（1）试求“挞圆”方程；（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？ 18.设{}n a 是公差为d （0d ≠）且各项为正数的等差数列，{}n b 是公比为q 各项均为正数的等比数列，n n n c a b =⋅（*n N ∈）． （1）求证：数列1nn n c c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）若112a b ==，220c =，364c =． （i ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （ii ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右顶点，B 是上顶点，C 是椭圆位于第三象限上的任一点，连接AC ，BC 分别交坐标轴于P ，F 两点．（1）若点F 为左焦点且直线CO 平分线段AB ，求椭圆的离心率； （2）求证：四边形ABFP 的面积是定值． 20.已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈.（1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，试求实数m 的取值范围．2017-2018学年度第一学期期末考试试题高二数学答案一、填空题1.2y x =±2.28x y =3.若a b ≥，则22ab≥ 4.275.[]4,3-6.67.6-8.3a ≥9.1201810.12-+11.±12.413.1(1)214.4二、解答题15.解：（1）因为p ：23x -≤≤；又q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 则23,22m m +≤⎧⎨-≥-⎩，得1m ≤，又1m =时p q ⇔，所以01m <<．（2）当2m =时，q ：44x -≤≤，p ⌝：3x >或2x <-．因为p q ⌝∧是真命题，所以44,32,x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或则(3,4][4,2)x ∈--U ．16.解：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，1DD 为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．（1）则(1,0,0)A ，1(1,0,2)A ，(0,1,0)C ，1(,1,0)2N ，设(0,1,)M m ， 所以11(,1,2)2A N =--u u u u r ，(1,1,)AM m =-u u u u r因为AM 和1A N 所成的角为90︒，所以1A N u u u u r 0AM ⋅=u u u ur ，则11202m +-=，34m =，所以||4AM =u u u u r（2）当14CC CM =时，则1(0,1,)2M ，设面1A DN 的法向量为000(,,)n x y z =r ，面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =u r， 因为1(1,0,2)DA =u u u u r ，1(,1,0)2DN =u u u r ，1(0,1,)2DM =u u u u r ， 则10DA n ⋅=u u u u r r ，0DN n ⋅=u u u r r ，∴000020,10,2x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取02x =，则01y =-，01z =-，则(2,1,1)n =--r，又10DN n ⋅=u u u r u r ，10DM n ⋅=u u u u r u r ，∴111110,210,2x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以||n =r 1||3n =u r ，13n n ⋅=r u r，则111cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅根据图形可知，二面角1A DN M --平面角为锐角，等于这两个法向量的夹角，17.解：（1）由题意知2222215,34,()()34,,b ac a b b c a b c =⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪>>⎩解得25,15,9,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以“挞圆”方程为：22221(0)2515x y x +=≤和22221(0)159y x x +=≥. （2）设00(,)P x y 为矩形在第一象限内的顶点，10(,)Q x y 为矩形在第二象限内顶点，则2200222201221,1591,2515y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得10259x x =- ，所以内接矩形的面积2200000022342153421534()5109915915x y x y S x y =⋅=⨯⨯⋅⋅≤⨯+=，当且仅当009152x y ==时S 取最大值510. 答：网箱水面面积最大5102m . 18.解：（1）因为11111111()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a b a b a b ac qc a b qa b a b a b b a a qd++++++++⋅====----，所以112111n n n n n n n n c c a q d c qc c qc qd qd qd q+++++-=-==--（常数）， 由等差数列的定义可知数列1n n n c c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1q 为公差的等差数列． （2）（i ）因112a b ==，220c =，364c =， 所以22(2)20,2(22)64,q d q d +=⎧⎨+=⎩因{}n a 的各项为正数，所以3,2,d q =⎧⎨=⎩则31n a n =-，2nn b =．（ii ）因31n a n =-，2nn b =，所以(31)2nn c n =-⋅， 所以231225282(31)2nn n ii S cn ===⨯+⨯+⨯++-⋅∑…，①2312 2252(34)2(31)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，②①-②得23143(222)(31)2nn n S n +-=++++--⋅…114(12)=4+3(31)212n n n -+-⨯--⋅-11412(21)(31)2n n n -+=+---⋅1(34)28n n +=-+⋅-，所以1(34)2+8n n S n +=-⋅．19.解：（1）设椭圆焦距为2c ，则(0,)B b ，(,0)F c -，直线BF 的方程为1x yc b+=-， 联立方程组22221,1,x yc bx y ab ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩⇒222(1)1x x ac ++=，即22211()20x x a c c ++=， 所以2322222(,)a c b C a c a c --++， 又AB 中点D (,)22a b ，因CO 平分线段AB ，所以C ，O ，D 三点共线，则OCOD k k =，所以322b b a a c=，则22b ac =⇒222a c ac -=⇒212e e -=，所以1e =．（2）设00(,)C x y ，则直线AC 的方程为00()y y x a x a =--，所以0(0,)ay P a x -； 直线BC 的方程为00y b y x b x -=+，所以0(,0)bx F b y -； 所以00||b AF a b y =--，00||ay BP b a x =--， 因为22222200b x a y a b +=，则四边形ABFP 的面积22000000011||||()22()()abx a y b x S AF BP ab a x b y a x b y =⋅=+------222222000000001()2()()abx y ab x a by b x a y ab a x b y --++=+--000000(1()2()()ab x y bx ay ab ab ab a x b y --+=+=--， 所以四边形ABFP 的面积是定值ab ． 20.解：（1）设切点000(,ln )mP x x x +，因切线方程为240x y +-=， 所以12k =-02001'()mf x x x ==-，① 又0001ln 22m x x x +=-+，② 由①得0012x mx =+，③，将③代入②得00ln 10x x +-=， 所以01x =，因为000()ln 1g x x x =+-在(0,)+∞上递增，则01x =是唯一根， 所以切点(1,)P m ，代入切线方程得32m =． （2）因为()ln (0)mf x x x x=+>， 所以21'()m f x x x =-=2x mx-，因0x >， 当0m ≤时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； 所以()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当0m >时，(0,)x m ∈有'()0f x <，(,)x m ∈+∞有'()0f x >， 所以()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增， 则当2m ≥时，()f x 在[]1,2递减，则min ()(2)ln 22mf x f ==+； 当01m <≤时，()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当12m <<时，()f x 在[]1,m 递减，在[],2m 递增，则min ()()ln 1f x f m m ==+．综上有minln 2,2,2()ln 1,12,, 1.m m f x m m m m ⎧+≥⎪⎪=+<<⎨⎪≤⎪⎩（3）由（2）可知，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多有一个零点，又当0m >时，()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增，所以min ()()f x f m =，若()f x 由两个相异零点，则必有()0f m <， 即()ln 10f m m =+<，则10m e<<．。
江苏省扬州市邗江中学2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省扬州市邗江中学高二（上））期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是．2．若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a=．3．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为．4．（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为．5．当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为．6．抛物线y=3x2的准线方程是．7．若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为．8．已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为．9．过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为．10．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．12．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是．13．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为．14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．16．△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC外接圆M的方程；（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2，求直线l的方程．17．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N 的坐标．18．（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C 于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．2016-2017学年江苏省扬州市邗江中学高二（上））期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．1．直线x+y+1=0的倾斜角是135°．【考点】直线的一般式方程．【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=﹣1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=135°．故答案为：135°．2．若直线l1：x+y﹣2=0与直线l2：ax﹣y+7=0平行，则a=﹣1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的平行条件，求出a的值．【解答】解：由题意得，直线l1：x+y﹣2=0的斜率是﹣1，直线l2：ax﹣y+7=0平行的斜率是a，因为直线l1与直线l2平行，所以a=﹣1，故答案为：﹣1．3．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．【解答】解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．4．（文科做）已知曲线y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，则f（2）+f′（2）的值为9．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：y=f（x）在点M（2，f（2））处的切线方程是y=2x+3，∴f（2）=2×2+3=4+3=7，切线的斜率k=2，即f′（2）=2，则f（2）+f′（2）=7+2=9，故答案为：95．当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出x的值即可．【解答】解：f′（x）==，令f′（x）=0，解得：x=1，故答案为：1．6．抛物线y=3x2的准线方程是y=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解准线方程即可．【解答】解：抛物线y=3x2，即x2=y的准线方程是：y=﹣．故答案为：y=﹣．7．若双曲线C的渐近线方程为y=±2x，且经过点（2，2），则C的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线C的渐近线方程，设出双曲线的方程，代入点（2，2），即可求得C 的标准方程．【解答】解：由题意，∵双曲线C的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线C的方程为y2﹣4x2=λ∵双曲线C经过点（2，2），∴8﹣16=λ∴λ=﹣8∴双曲线C的方程为y2﹣4x2=﹣8，即故答案为：8．已知双曲线y2﹣4x2=16上一点M到一个焦点的距离等于2，则点M到另一个焦点的距离为10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，可得a=4，设|MF1|=2，运用双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，计算即可得到所求距离．【解答】解：双曲线y2﹣4x2=16即为﹣=1，可得a=4，设双曲线的两焦点为F1，F2，由题意可设|MF1|=2，由双曲线的定义可得||MF1|﹣|MF2||=2a=8，即有|2﹣|MF2||=8，解得|MF2|=10或﹣6（舍去）．故答案为：10．9．过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】根据圆的标准方程，找出圆心坐标和半径，根据切线的性质得到三角形AMN为直角三角形，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，再由半径|AN|，利用勾股定理即可求出切线长|MN|的长．【解答】解：（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标A（1，0），半径|AN|=1，又M（3，0）∴|AM|=2，则切线长|MN|==．故答案为：．10．圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0的位置关系是外切．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，与半径和与差的关系判断即可．【解答】解：由于圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0，即（x+1）2+（y+1）2=4，表示以C1（﹣1，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6=0，即（x﹣3）2+（y+1）2=4，表示以C2（3，﹣1）为圆心，半径等于2的圆．由于两圆的圆心距等于4，等于半径之和，故两个圆外切．故答案为外切．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．12．设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调递增函数，则a的取值范围是（0，1] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】求出函数的导数，问题转化为ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f'（x）=，∵f（x）为R上的单调增函数，∴f'（x）≥0在R上恒成立，又∵a为正实数，∴f'（x）≥0在R上恒成立，∴ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立，∴△=4a2﹣4a=4a（a﹣1）≤0，解得0≤a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1，∴a的取值范围为0＜a≤1，故答案为：（0，1]．13．已知定义域为R的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）＜2x+1，则不等式f（3x）≥9x2+3x+1的解集为（﹣∞，] ．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先由f'（x）＜2x+1，知函数g（x）=f（x）﹣（x2+x）为R上的减函数，再将f（1）=3化为g（1）=1，将所解不等式化为g（3x）≥g（1），最后利用单调性解不等式即可【解答】解：∵f′（x）＜2x+1，∴f′（x）﹣（2x+1）＜0，即[f（x）﹣（x2+x）]′＜0设g（x）=f（x）﹣（x2+x）则g（x）在R上为减函数，∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）﹣（12+1）=3﹣2=1∵f（3x）≥9x2+3x+1=（3x）2+3x+1，∴f（3x）﹣[（3x）2+3x]≥1，∴g（3x）≥1=g（1）∴3x≤1，解得x≤，故不等式的解集为（﹣∞，]故答案：（﹣∞，]14．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上．若直线AB的倾斜角α∈（0，），则e的取值范围是[﹣1，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：|F1C|=|CO|=，由|CM|=|CN|．原点O在以线段MN为直径的圆上，则|OA|=|OB|=c=1．由椭圆的性质，可知，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0＜k≤，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围．【解答】解：由椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点在x轴上，记线段MN与x轴交点为C，由AF1的中点为M，BF1的中点为N，∴MN∥AB，|F1C|=|CO|=，∵A、B为椭圆上关于原点对称的两点，∴|CM|=|CN|．∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴|CO|=|CM|=|CN|=．∴|OA|=|OB|=c=1．∵|OA|＞b，∴a2=b2+c2＜2c2，∴e=＞．设A（x，y），由，解得：．AB的倾斜角α∈（0，），∴直线AB斜率为0＜k≤，∴0＜≤3，∴1﹣≤a2≤1+，即为≤a≤，∴e==∈[﹣1， +1]，由于0＜e＜1，∴离心率e的取值范围为[﹣1，1）．故答案为：[﹣1，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在平面直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l有一个公共点P（﹣2，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．由点P（﹣2，0）在双曲线上，可得a=2．利用=，可得c．利用c2=a2+b2，可得b．即可得出方程及其渐近线方程．（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），可得直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．即可得出相应的抛物线方程．【解答】解：（1）由题意，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0）．∵点P（﹣2，0）在双曲线上，∴a=2．∵双曲线C的离心率为，∴c=2．∵c2=a2+b2，∴b=2．∴双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线方程为：y=±x．（2）由题意，直线l的方程为y=2（x+2），即y=2x+4，直线l与坐标轴交点分别为F1（﹣2，0），F2（0，4）．∴以F1（﹣2，0）为焦点的抛物线的标准方程为y2=﹣8x；以F2（0，4）为焦点的抛物线的标准方程为x2=16y．16．△ABC的三个顶点分别为A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点D（0，4）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC外接圆M的方程；（3）若直线l与圆M相交于P，Q两点，且PQ=2，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据点的坐标分别求得AC，BC的斜率判断出两直线垂直，进而判断出三角形为直角三角形．（2）先确定圆心，进而利用两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可得．（3）先看直线斜率不存在时判断是否符合，进而看斜率存在时设出直线的方程，利用圆心到直线的距离求得k，则直线的方程可得．【解答】解：（1）因为A（1，0），B（1，4），C（3，2），所以k AC=1，k BC=﹣1，所以CA⊥CB，又CA=CB=2，所以△ABC是等腰直角三角形，（2）由（1）可知，⊙M的圆心是AB的中点，所以M（1，2），半径为2，所以⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（3）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为2时，圆心到直线的距离为=1．①当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它与圆心M（1，2）的距离为1，满足条件；②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，因为圆心到直线y=kx+4的距离为=1，解得k=﹣，此时直线l的方程为3x+4y﹣16=0．综上可知，直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．17．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1（﹣1，0），右准线方程为：x=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N 的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的性质可知c=1，准线方程x==4，即可求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b的值，代入即可求得椭圆方程；（2）由两点间的距离公式可知，根据二次函数的图象及简单性质，分类即可求得m的值及点N的坐标．【解答】解：（1）设椭圆的方程为：，…由题意得：，解得：，…∴b2=3，∴椭圆的标准方程：；…（2）设N（x，y），则，对称轴：x=4m，﹣2≤x≤2…①当0＜4m≤2即，x=4m时，，解得：，不符合题意，舍去；…②当4m＞2，即，x=2时，，解得：m=1或m=3；∵，∴m=1；…综上：m=1，N（2，0）；…18．（文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，f′x=0x=2∵f（3）﹣f（1）=2﹣2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2﹣2ln2；（2），①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；②当a=2时，∵，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．19．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C 于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的应用．【分析】（Ⅰ）由题意知，所以a2=4b2，由此可知椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由题设得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．由此入手可知直线ME 与x轴相交于定点（1，0）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以，即a2=4b2，∴a=2b又因为，∴a=2，故椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+1）x2﹣32k2x+64k2﹣4=0．①由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+1）（64k2﹣4）＞0，得12k2﹣1＜0，∴又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：．（Ⅲ）设点N（x1，y1），E（x2，y2），则M（x1，﹣y1）．直线ME的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．20．设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）把m=1代入函数解析式，求得导函数，得到切线的斜率，则切线方程可求；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）根据函数的单调性得到函数y=g（x）在x∈（，+∞）上有两个极值点的m的范围，由a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，及根与系数关系，得到a，b的范围，把m用a （或b）表示，得到g（a）（或g（b）），求导得到g（b）的取值范围，进一步求得{g（a）}（或{g（b）}），则答案可求．【解答】解：（1）函数y=g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，g′（x）=2x﹣2+，k=g′（1）=1，则切线方程为y=x﹣1，故所求切线方程为x﹣y﹣1=0；（2）m=﹣12时，g（x）=）=x2﹣2x+1﹣12lnx，（x＞0），g′（x）=2x﹣2﹣=，令g′（x）＞0，解得：x＞3，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜3，故g（x）在（0，3）递减，在（3，+∞）递增，=g（3）=4﹣12ln3；故g（x）极小值（3）函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=2x﹣2+=，令g′（x）=0并结合定义域得2x2﹣2x+m＞0．①当△≤0，即m≥时，g′（x）≥0，则函数g（x）的增区间为（0，+∞）；②当△＞0且m＞0，即0＜m＜时，函数g（x）的增区间为（0，），（，+∞）；③当△＞0且m≤0，即m≤0时，函数g（x）的增区间为（，+∞）；故得0＜m＜时，a，b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根，＜b＜，＜a＜，又由2b2﹣2b+m=0，得m=﹣2b2+2b，∴g（b）=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+（﹣2b2+2b）lnb，b∈（，），g′（b）=2b﹣2+（﹣4b+2）lnb+2﹣2b=﹣4（b﹣）lnb，当b∈（，）时，g′（b）＞0，即函数g（b）是（，）上的增函数．故g（b）的取值范围是（，），则{g（b）}=0．同理可求得g（a）的取值范围是（，），则{g（a）}=0或{g（a）}=1．∴{g（a）}﹣{g（b）}=0或1．2016年12月27日。
江苏省扬州市高邮中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含答案
高邮中学2017～2018学年高二第二学期期末模拟数学试卷总分：160分 时间：120分钟一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.集合{}{}1,3,5,7,|25A B x x ==≤≤，则AB =____ ▲______.2. ()()12i a i ++（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a =___ ▲_______.3.“x R ∈”是“222xx-+≥”的 ▲ 条件.（填写“充分必要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分又不必要”） 4. 观察下列式子：24cos2=π,228cos2+=π,22216cos2++=π，则可以归纳得出：2222221++++= ▲ . 5. 函数()f x =____ ▲______.6. 用反证法证明“,a b N *∈，若ab 是偶数，则,a b 中至少有一个是偶数”时，应假设 ▲ .7. 若3名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组，每人选报一科，则 不同的报名方法有 ▲ 种．8．函数2()(1)x f x x x e =++()x R ∈的单调增区间为 ▲ .9.3= ▲ .10. 在四面体OABC 中，已知点,M N 分别在棱,OA BC 上，且11,32OM OA BN BC ==，MN xOA yOB zOC =++，则x y z ++的值为 ▲ ．11. 已知函数()121,01lg ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()g x f x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围为___ ▲_____.12. 已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，()21,20,02a x x f x xb x +-≤<⎧=⎨+≤≤⎩，其中,a b 为实数，若()()31f f -=-，则b a -=__ ▲___. 13. 已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14. 若函数)1()(2>-=a x a x f x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知:p 11x -≤≤， :q e x a b ≤≤，其中a ，b 为实数． （1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若1a =，2e b =，且p ，q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围．16. （本小题满分14分）已知集合26{|280},{|0},1x A x x x B x U x -=--≤=<+=R. (1)求B A ⋃； (2)求()U C A B ⋂；(3)如果非空集合{}|121C x m x m =-<<+,且A C ⋂=∅,求m 的取值范围.17. （本小题满分14分）已知函数()2242,044 1 , 0x x a x f x x a x x ⎧---+≤⎪=⎨++->⎪⎩（1）若()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若，解关于x 的不等式()42f x a >-.18.（本小题满分16分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为x 亿元，其中用于风景区改造为y 亿元。
2017-2018学年江苏省扬州市仙城中学高二上学期数学(理)附加训练
2017-2018学年高二(理)附加训练4
1.在n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,求展开式中常数项.
2.本着健康低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲,乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲,乙不超过两小时还车的概率分别为41,21;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为21,41;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲,乙两人所付的租车费用相同的概率;
(2)记甲,乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望)(ξE .
3.如图,四棱锥A B P -中, PA 平面A B ,2,1,332,,//====⊥PA BD AB BC AD AB BC AD . (1)求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值;
(2)求二面角C PD A --的余弦值.
P
A B C D
4.已知数列{}n a 的各项均为正整数,且*1121,2,1,4,1N n n a a a a a n n n ∈≥+=
==+-. (1)求43,a a 的值;
(2)求证:对一切正整数n ,121++n n a a 是完全平方数.。
江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 含答案 精品
江苏省扬州中学2017-2018学年高二年级期中考试高二数学一、填空题：1.直线012:=+-y x l 的斜率为 .2.命题R x p ∈∃:，使得012≤+x 的否定为 . 3.直线02:=-+k y kx l 经过定点的坐标为 .4.若命题),(4:112121R y x y x p ∈<+，命题:q 点),(11y x 在圆422=+y x 内，则p 是q 的条件.5.已知两条直线22:1+=+a ay x l ，1:2+=+a y ax l ，若21l l ⊥，则=a .6.命题:p “若b a >，则ba 11<”的否命题是 （填：真、假）命题. 7.两圆04816622=-+-+y x y x 与0448422=--++y x y x 的公切线条数为 .8.若直线02=--y x 被圆4)(22=+-y a x 所截得的弦长为22，则实数a 的值为 .9.离心率为2且与椭圆192522=+y x 有共有焦点的双曲线方程是 . 10.椭圆12622=+y x 和双曲线11-322=y x 的公共焦点21,F F ，P 是两曲线的一个交点，那么21cos PF F ∠的值是 .11.在平面直角坐标系xoy 中，由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+--100222222y x yy x x 所确定的图形的面积为 .12.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过原点O 的直线交椭圆于点P A ,，且PF 垂直于x 轴，直线AF 交椭圆于点B ，PA PB ⊥，则该椭圆的离心率=e .13.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线x y 22=的焦点为F ，设M 是抛物线上的动点，则MFMO的最大值为 .14.已知对于点)12,0(A ，)9,10(B ，)0,8(C ，)7,4(-D ，存在唯一一个正方形S 满足这四个点在S 的不同边所在直线上，设正方形S 面积为k ，则k 10的值为 . 二、解答题15．已知命题:p “方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”. （1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围； （2）若“p 或q ”是真命题，求实数k 的取值范围.16.已知圆M 的方程为1)2(22=-+y x ，直线l 的方程为02=-y x ，点p 在直线l 上，过p点作圆M 的切线PB PA ,，切点为B A ,. （1）若060=∠APB ，试求点P 的坐标；（2）若P 点的坐标为)1,2(，过P 作直线与圆M 交于D C ,两点，当2=CD 时，求直线CD 的方程.17. 古希腊有一著名的尺规作图题“倍立方问题”：求作一个正方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍，倍立方问题可以利用抛物线（可尺规作图）来解决，首先作一个通径为a 2（其中正数a 为原立方体的棱长）的抛物线1C ，如图，再作一个顶点与抛物线1C 顶点O 重合而对称轴垂直的抛物线2C ，且与1C 交于不同于点O 的一点P ，自点P 向抛物线1C 的对称轴作垂线，垂足为M ，可使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍. （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线1C 的标准方程；（2）为使以OM 为棱长的立方体的体积为原立方体的2倍，求抛物线2C 的标准方程（只须以一个开口方向为例）.18. 如图，AOB ∆的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，B A ,两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=∙MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W .（1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .19. 已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；（2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.20. 已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于D C ,，连结BC AD ,交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=.（1）求21,λλ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.试卷答案一、填空题1.22. R x ∈∀，使得012>+x 3. )0,2( 4.充要 5.0 6.假 7.28.0或4 9. 112422=-y x 10. 31 11. π50 12. 2213. 33214.1936 二、解答题15.（1）命题p ：“方程11922=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆”，则⎩⎨⎧>-->-0119k k k ，解得51<<k .（2）命题:q “方程1222=+-ky k x 表示双曲线”，则0)2(<-k k ，解得2>k 或0<k . 若“p 或q ”是真命题，则q p ,至少一个是真命题，即一真一假或全为真. 则⎩⎨⎧≤≤<<2051k k 或⎩⎨⎧><≥≤2051k k k k 或或或⎩⎨⎧<><<0251k k k 或，所以21≤<k 或0<k 或5≥k 或52<<k . 所以0<k 或1>k .16.（1）设),2(m m P ，由条件可知2=MP ，所以4)2()2(22=-+m m ，解之得：0=m ，54=m ， 故所求点P 的坐标为)0,0(P 或)54,58(P（2）设直线CD 的方程为：)2(1-=-x k y ，易知k 存在，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以21|12|22k k +--=，解得：1-=k 或71-. 故所求直线CD 的方程为：03=-+y x 或097=-+y x . 17.（1）以O 为原点，OM 为x 轴正向建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线1C 的通径为a 2，所以标准方程为ax y 22=.（2）设抛物线)0(:22>=m my x C ，又由题意，3222a x OM P ==，所以a x p 32=，代入ax y 22=，得：23222a y p =，解得：a y p 34=所以点)4,2(33a a P 代入my x =2 得：a m a 3234)2(=，解得：a m = 所以抛物线2C 为：ay x =2.18.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=∙MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f . 19.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.20.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ，又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB PC同理：由2λ=，得：221λλ++=又23=，所以11123λλ++=PQPA 又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=∙λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q 由1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+∙-+++x y x y x y x整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.。
江苏省南京市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)(1)
南京市2017－2018学年度第一学期期末调研测试卷 高二数学（理科） 2018.01 注意事项:1．本试卷共3页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题(第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：圆锥的体积公式：V ＝错误!πr 2h ，侧面积公式：S ＝πrl ,其中r ，h 和l 分别为圆锥的底面半径，高和母线长．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是 ▲ ． 2．已知复数z 满足 z (1＋i ）＝i ，其中i 是虚数单位，则 ｜z | 为 ▲ ．3．在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是 ▲ ．4．“x 2－3x ＋2＜0"是“－1＜x ＜2”成立的 ▲ 条件（在“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写)．5．已知实数x ，y 满足条件 错误!则z ＝3x ＋y 的最大值是 ▲ ．6．函数 f （x ）＝x e x 的单调减区间是 ▲ ．7．如图,直线l 经过点(0，1），且与曲线y ＝f (x ) 相切于点（a ，3）．若f ′(a ）＝错误!，则实数a 的值是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若圆 （x －a ）2＋（y －a ）2＝2 与圆 x 2＋（y －6）2＝8相外切，则实数a 的值为 ▲ ．9．如图，在三棱锥P —ABC 中， M 是侧棱PC 的中点，且错误!＝x 错误!＋y 错误!＋z 错误!， 则x ＋y ＋z 的值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线 错误!－y 2＝1的渐近线与抛物线x 2＝4错误!y 的准线相交于A ，B 两点，则三角形OAB的面积为 ▲ ．xyO a 3 1y ＝f (x ) l （第7题图） A B CP M11．在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2,到直线 ，3x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为 ▲ ． 12．若函数f （x )＝x 3－3x 2＋mx 在区间 (0,3） 内有极值,则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C．若错误!＝2错误!,则该椭圆的离心率为 ▲ ．14．已知函数f (x )＝x |x 2－3|．若存在实数m ,m ∈(0，错误!］，使得当x ∈[0,m ] 时,f （x )的取值范围是［0，am ］，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知复数z ＝错误!，（m ∈R ，i 是虚数单位）．（1）若z 是纯虚数,求m 的值;（2)设错误!是z 的共轭复数，复数错误!＋2z 在复平面上对应的点在第一象限,求m 的取值范围．16．（本题满分14分)如图，在正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ,G 分别是棱BC ，A 1B 1，B 1C 1的中点．（1)求异面直线EF 与DG 所成角的余弦值；（2）设二面角A —BD —G 的大小为θ，求 |cos θ| 的值．B B 1 （第16题图） A DC A 1 C 1D 1EF G17．（本题满分14分）如图，圆锥OO 1的体积为6π．设它的底面半径为x ，侧面积为S ．（1）试写出S 关于x 的函数关系式；（2)当圆锥底面半径x 为多少时,圆锥的侧面积最小?18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过点A (1，3） ，B (4，2),且圆心在 直线l ：x －y －1＝0上．(1）求圆C 的方程;(2）设P 是圆M :x 2＋y 2＋8x －2y ＋16＝0上任意一点，过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点，试求四边形PMCN 面积S 的最小值及对应的点P 坐标．19．(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）的一条准线方程为x ＝错误!，离心率为错误!．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM ,AN ,分别与椭圆C 相交于M ，N 两点，且直线MN 垂直于x 轴．① 设直线AM ，AN 的斜率分别是k 1, k 2,求k 1k 2的值；② 过M 作直线l 1⊥AM ，过N 作直线l 2⊥AN ，l 1与l 2相交于点Q ．试问:点Q 是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由．M A l 1 l 2 y O O 1 （第17题图）20．（本题满分16分)设函数f（x)＝错误!ax2－1－ln x，其中a∈R．（1)若a＝0,求过点（0,－1）且与曲线y＝f（x）相切的直线方程；(2）若函数f（x）有两个零点x1，x2,①求a的取值范围；②求证：f ′（x1）＋f ′(x2)＜0．南京市2017－2018学年度第一学期期末检测卷高二数学(理科）参考答案2018．01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．“若b≠0，则ab≠0"2．错误!3．（1，0) 4．充分不必要5．7 6．（－∞,－1）或（－∞，－1] 7．3 8．39．0 10．3错误!11．3 12．（－9，3) 13．错误!14．[1，3)二、解答题（本大题共6小题，共90分)15．(本题满分14分）解（1)z＝错误!＝错误!＝1－2m＋（2m＋1）i．……………………3分因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0,解得m＝错误!．……………………6分（2）因为错误!是z的共轭复数，所以错误!＝1－2m－（2m＋1）i．……………………8分所以错误!＋2z＝1－2m－（2m＋1)i＋2[1－2m＋（2m＋1）i］＝3－6m＋（2m＋1）i．……………………10分因为复数错误!＋2z在复平面上对应的点在第一象限，所以错误!……………………12分解得－错误!＜m＜错误!，即实数m的取值范围为（－错误!，错误!)．……………………14分16．(本题满分14分）解 如图，以{错误!,错误!,错误!｝为正交基底建立坐标系D —xyz ．设正方体的边长为2，则D （0,0，0)，A （2,0，0)，B （2，2,0），E (1,2，0）,F (2，1，2），G （1，2，2）．(1）因为错误!＝(2，1，2)－(1，2,0)＝（1，－1，2），错误!＝ （1,2，2)， …………………… 2分所以错误!·错误!＝1×1＋(－1)×2＋2×2＝3,｜错误!|＝错误!＝错误!，|错误!｜＝3．…………………… 4分从而cos ＜EF ，→，错误!＞＝错误!＝错误!＝错误!，即向量错误!与错误!的夹角的余弦为错误!，从而异面直线EF 与DG 所成角的余弦值为错误!． …………………… 7分(2）错误!＝（2,2，0），错误!＝ （1,2,2)．设平面DBG 的一个法向量为n 1＝（x ，y ，z ）．由题意,得 错误!取x ＝2，可得y ＝－2，z ＝1．所以n 1＝（2，－2，1)． …………………… 11分 又平面ABD 的一个法向量n 2＝错误!＝（0，0,2)，所以cos ＜n 1,n 2＞＝错误!＝错误!＝错误!．因此 |cos θ|＝错误!． …………………… 14分17．（本题满分14分)解（1）设圆锥OO 1的高为h ，母线长为l ．因为圆锥的体积为错误!π，即 错误!πx 2h ＝错误!π，所以h ＝错误!．…………………… 2分因此 l ＝x 2＋h 2＝错误!，从而S ＝πxl ＝πx x 2＋（36x22)＝π错误!，(x ＞0）． …………………… 6分 （2)令f (x ）＝x 4＋错误!，则f ′(x ）＝4x 3－错误! ，（x ＞0）． …………………… 8分由f ′(x )＝0，解得x ＝错误!． …………………… 10分 当0＜x ＜错误!时,f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(0，错误!）上单调递减；B B 1 （第16题图） AD C A 1 C 1 D 1EFG y x z当x＞错误!时，f ′(x）＞0,即函数f（x)在区间（错误!，＋∞)上单调递增．……………………12分所以当x＝3时，f(x）取得极小值也是最小值．答：当圆锥底面半径为错误!时，圆锥的侧面积最小．………………………14分18．（本题满分16分）解（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－错误!，－错误!)．因为圆C经过点A(1，3），B（4，2），且圆心在直线l：x－y－1＝0上，所以错误!……………………4分解得错误!所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．……………………7分（2）由（1）知，圆C的方程为（x－2）2＋(y－1)2＝5．依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝PC2－5×，5．所以当PC最小时，S最小．……………………10分因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4,1），半径为1．因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．因为点P∈M,且圆M的半径为1,所以PC min＝6－1＝5．所以S min＝错误!×错误!＝10．……………………14分此时直线MC:y＝1,从而P（－3，1）．……………………16分19．（本题满分16分)解（1）设椭圆C：错误!＋错误!＝1的半焦距为c．由题意，得错误!解得错误!从而b＝1．所以椭圆C的方程为错误!＋y2＝1．……………………4分（2）①根据椭圆的性质，M,N两点关于x轴对称,故可设M(x0，y0），N（x0，－y0）( x0≠0，y0≠0)，从而k1k2＝错误!·错误!＝错误!．……………………7分因为点M在椭圆C上，所以错误!＋y02＝1，所以1－y02＝错误!，所以k1k2＝错误!＝错误!．……………………10分②设Q(x1,y1）,依题意A(0，1)．因为l1⊥AM，所以y0－1x0·错误!＝－1,即(y0－1）（y1－y0）＝－x0 (x1－x0）；因为l2⊥AN，所以错误!·错误!＝－1，即（－y0－1)(y1＋y0）＝－x0（x1－x0），故(y0－1）(y1－y0）－（－y0－1）(y1＋y0)＝0,化得（y1＋1) y0＝0．……………………14分从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．即点Q在一条定直线y＝－1上．……………………16分20．(本题满分16分）解（1）当a＝0时，f(x)＝－1－ln x，f ′(x)＝－错误!．设切点为T(x0，－1－ln x0），则切线方程为：y＋1＋ln x0＝－错误!（x－x0)．……………………2分因为切线过点（0，－1)，所以－1＋1＋ln x0＝－错误!（0－x0）,解得x0＝e．所以所求切线方程为y＝－错误!x－1．……………………4分(2）①f ′（x）＝ax－错误!＝错误!，x＞0．（i) 若a≤0，则f ′(x）＜0，所以函数f(x）在(0，＋∞）上单调递减，从而函数f(x)在(0，＋∞）上至多有1个零点，不合题意．……………………5分(ii）若a＞0，由f ′（x）＝0，解得x＝错误!．当0＜x＜错误!时，f ′（x)＜0,函数f(x)单调递减；当x＞错误!时, f ′(x）＞0，f(x)单调递增，所以f（x)min＝f(错误!）＝错误!－ln错误!－1＝－错误!－ln错误!．要使函数f(x）有两个零点，首先－错误!－ln错误!＜0,解得0＜a＜e． (7)分当0＜a＜e时,错误!＞错误!＞错误!．因为f（错误!)＝错误!＞0，故f(错误!)·f（错误!)＜0．又函数f（x）在（0，错误!）上单调递减，且其图像在(0,错误!）上不间断，所以函数f（x)在区间（0，错误!）内恰有1个零点． (9)分考察函数g (x ）＝x －1－ln x ，则g′（x ）＝1－1x ＝x －1x． 当x ∈(0，1）时，g′（x ）＜0，函数g (x )在（0，1)上单调递减;当x ∈（1，＋∞）时，g′(x ）＞0，函数g (x )在(1,＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，故f （错误!)＝错误!－1－ln 错误!≥0．因为错误!－错误!＝错误!＞0，故错误!＞错误!．因为f (错误!)·f （错误!)≤0，且f (x )在(错误!,＋∞)上单调递增，其图像在（错误!，＋∞)上不间断，所以函数f （x ）在区间（1，a，错误!］ 上恰有1个零点,即在(错误!，＋∞）上恰有1个零点．综上所述，a 的取值范围是（0，e)． …………………… 11分 ②由x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点(不妨设x 1＜x 2），得 错误!两式相减，得 错误!a (x 12－x 22）－ln 错误!＝0，即错误!a （x 1＋x 2) （x 1－x 2）－ln 错误!＝0,所以a （x 1＋x 2）＝错误!． …………………… 13分 f ′(x 1)＋f ′（x 2)＜0等价于ax 1－错误!＋ax 2－错误!＜0,即a (x 1＋x 2）－错误!－错误!＜0， 即错误!－错误!－错误!＜0，即2ln 错误!＋错误!－错误!＞0．设h (x )＝2ln x ＋错误!－x ,x ∈(0，1)．则h′（x ）＝错误!－错误!－1＝错误!＝－错误!＜0， 所以函数h （x ）在(0，1)单调递减，所以h (x )＞h （1)＝0．因为错误!∈(0，1)，所以2ln 错误!＋错误!－错误!＞0，即f ′（x 1)＋f ′（x 2）＜0成立． …………………… 16分。
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1 2 3 4 5 参考答案 1．xR，210x 2．1 3．(1,0) 4．yx 5． 14 6．45 7．115 8．(,4) 9．4 10．221yx 11．(,2) 12．[1,5] 13．63 14．12 15．解：（1）p真：椭圆2215xya的焦点在x轴上 ∴05a …………5分 （2）∵“p或q”为真命题、“p且q”为假命题 ∴p真q假或p假q真………………7分 q真：∵关于x的不等式23230xax在R上恒成立
∴2(2)4330a，解得：33a ……………………11分
∴0533aaa或或0533aaa或 解得：35a或30a ∴实数a的取值范围是35a或30a． ……………………14分 16．解：（1）①22；②14；③0.28； ………………3分 （2）650.20750.44850.28950.0877.4；…………8分 （3）记“甲同学被抽取到”为事件A，设四名学生为甲、乙、丙、丁，则总的基本事件为： 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6个基本事件；满足事件A的基本事件：甲乙、 甲丙、甲丁，共3个基本事件，则1()2PA ……………………13分 答：此次数学史初赛的平均成绩为77.4，甲同学被抽取到的概率为12．………14分 17．解：（1）设(0,)Cm，0m∵直线4390xy圆C相切，且圆C的半径为3 ∴|39|35m，解得2m或8m ∵0m ∴2m ……………………5分 ∴圆C的方程为：22(2)9xy； ……………………7分 （2）若直线AB的斜率不存在，则直线:1ABx∴42AB，不符合题意，舍； 若直线AB的斜率存在，设AB：(1)ykx ∵4AB ∴点C到直线:0ABkxyk的距离为5，即2|2|51kk，
化简得：24410kk ∴12k ……………………9分 6
联立方程：221(1)2(2)9yxxy，消去y得：2510110xx∴12115xx ……14分 18．解：（1）当1a时，22(1)1xeMxxx，∴22
2(1)(2)'(1)xxxeMxx
…………3分
列表得： x (1,2)
2 (2,)
'fx
0
fx 单调减 极小值 单调增
…………6分 ∴M在(1,2)上单调减，在(2,)上单调增 ∴M在2x时取最小值；…………8分
（2）∵222(1)(2)'(0)(1)xaxxeMaxx 根据（1）知：M在(1,2)上单调减，在(2,)上单调增
∵确保恰好．．3年不需要进行保护 ∴43444(1)22(3)72(4)13MeeaeMeaeMe，解得：13722ea
答：实数a的取值范围为137(,]22e． ………………16分 19．解：（1）∵椭圆的右准线方程为2x ∴22ac ∵离心率为22 ∴2ac ∴21,2ca ∴21b ∴椭圆的方程为：2212xy； ………………6分 （2）方法（一）设点00(,)Pxy ，则220012xy，(2,0),(0,1)AB，即220022xy． 当00x时，(0,1)P，则(0,0)M，(0,1)N ∴2222AMBN……8分 ∵点P异于点A ∴02x
当02x且00x时，设直线AP方程为：00(2)2yyxx，它与y轴交于点 7
00
2(0,)2yN
x
直线BP方程为：0011yyxx，它与x轴交于点00(,0)1xMy
∴0000022|2|||11xyxAMyy，00000
222|1|||22yxyBNxx
……12分
∴220000000000000000(22)(22)2222422||||(1)(2)22yxxyxyxyxyAMBNyxxyxy 00000000
2222422||2222xyxyxyxy
为定值． ……………………16分
方法（二）若直线BP斜率不存在，则直线BP方程为：0x，此时(0,1)P，则(0,0)M， (0,1)N
∴2222AMBN ………………8分 若直线BP斜率存在，设直线BP方程为：1ykx，且0k ∴1(,0)Mk且 121|2|||kAMkk ………………10分
则联立方程：22112ykxxy，消去y得：22(21)40kxkx，解得： 10x或22421kxk， 即点222421(,)2121kkPkk ∵点P异于点A∴22k ∴2222221212121422422(21)221APkkkkkkkkkk ∴直线AP的方程为：21(2)2(21)kyxk， 则21(0,)21kNk且2122|1|||2121kkBNkk …………14分 ∴2122||||2221kkAMBNkk为定值． ……………16分 20．解：（1）当1a时，lnfxxx ∴11'1xfxxx，令'0fx，则1x，列 8
表得： x (0,1) 1 (1,)
'fx
0
fx 单调减 极小值 单调增
∴fx有极小值11f，无极大值； ……………3分 （2）2lngxaxxx，0x∴2121'2xaxgxaxxx，设2()21Gxxax ①当0a时，0Gx恒成立，即'0gx恒成立，∴gx在(0,)上单调减； ②当0a且280a，即022a时，'0Gx恒成立，且不恒为0，则'0gx恒成立，且不恒为0，∴gx在(0,)上单调减； ③当0a且280a，即22a时， ()0Gx有两个实数根：221288,44aaaaxx，且121210,022axxxx ∴120xx ∴当20xx或1xx时，()0Gx，'()0gx；当21xxx时，()0Gx，'()0gx；
∴()gx在28(0,)4aa和28(,)4aa上单调减，在2288()44aaaa，上单调 增． ∴综上：当22a时，gx在(0,)上单调减；当22a时，()gx在28(0,)4aa和28(,)4aa上单调减，在2288()44aaaa
，上单调增．…………7分
（3）2()lnhxaxxx，1'()2hxaxx，问题即为判断0'()hx的符号． ∵函数2()()hxfxx的图象与x轴交于两点12(,0),(,0)AxBx，且120xx ∴21112222ln0ln0axxxaxxx 两式相减得：22121212()(lnln)()0axxxxxx 9
∴121212lnln()xxaxxxx ……………………9分 ∴01212121'()'()2()hxhxxaxxxx 1212121212
12121212
lnlnlnln11()2()(21)()xxxxxxxxxxxxxxxxxx
∵0且1 ∴210 ∵120xx
∴12(21)()0xx………………11分 研究：121212lnln1xxxxxx的符号，即判断112212lnxxxxxx的符号． 令12,(0,1)xttx，1122121lnlnxxxttxxxt，设1()ln,(0,1)tHtttt
∴2222221()(1)11(21)'()()()()ttttHttttttt 方法（一）设222()(21)Fttt，其对称轴为： 2221212(1)1211222t
∴()Ft在(0,1)上单调减，则222()(1)21()10FtF，即'()0Ht在(0,1)上恒成立 ∴()Ht在(0,1)上单调增 ∴()(1)0HtH，即112212ln0xxxxxx ……………14分 ∵120xx ∴121212lnln10xxxxxx ∴12121212lnln1(21)()0xxxxxxxx，即0'()0hx ∴在点00(,())Mxhx处的切线斜率为正． ………………16分
方法（二）2222222(21)(1)()'()()()ttttHttttt ∵0，01t ∴2210,0tt ∴'()0Ht在(0,1)上恒成立 ∴()Ht在(0,1)上单调增 ∴()(1)0HtH，即112212ln0xxxxxx ……………14分 ∵120xx ∴121212lnln10xxxxxx ∴12121212lnln1(21)()0xxxxxxxx，即0'()0hx