江苏省扬州中学20162017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案

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江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期期中数学试卷含解析

2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．命题:“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．2．直线y=x+1的倾斜角是．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是．4．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是．5．与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．7．如果p：x＞2，q：x＞3,那么p是q的条件．（从“充分不必要"、“必要不充分”、“充要"、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空)8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8,则M到右准线的距离为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直,则实数a=．10．如果实数x,y满足等式(x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P，若|PF1｜2﹣｜PF2｜2=c2．则双曲线离心率的值为．13．已知直线：ax+by=1（其中a，b是实数) 与圆：x2+y2=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是直角三角形，点P（a，b)是以点M（0,1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为．14．已知直线l:y=x+4,动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A,B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知命题p：“关于x,y的方程x2﹣2ax+y2+2a2﹣5a+4=0（a∈R）表示圆”，命题q:“∀x ∈R，使得x2+(a﹣1）x+1＞0（a∈R）恒成立”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2）若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．16．已知直线l过点P（2，1）(1)点A(﹣1,3）和点B(3，1）到直线l的距离相等,求直线l的方程；（2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A,B两点，且△ABO的面积为4，求直线l 的方程．17．如图，F1，F2分别是椭圆C: +=1（a＞b＞0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°（1)求椭圆C的离心率；（2）若a=2，求△AF1B的面积．18．为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．（1）求灯罩轴线所在的直线方程；（2)若路宽为10米，求灯柱的高．19．已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：x+y﹣a=0上，过点P 作圆O的切线，切点为T（1）若a=8，切点T（，﹣1）,求点P的坐标；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围；（3）若不过原点O的直线与圆O交于B，C两点，且满足直线OB，BC，OC的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率．20．如图,在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为．A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=，（1)若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B,C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积﹣，求实数m的值；（3)在（1)的条件下，是否存在定圆M,使得过圆M上任意一点T都能作出该椭圆的两条切线,且这两条切线互相垂直?若存在，求出定圆M；若不存在,说明理由．2016—2017学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以,命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R,x2﹣x﹣1≥0；故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．2．直线y=x+1的倾斜角是．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=x+1的倾斜角为α,α∈［0，π)．可得tanα=1，解得α即可得出．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α,α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．3．若方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是a＞7．【考点】椭圆的标准方程．【分析】方程=1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即可求出实数m 的取值范围．【解答】解：∵方程+=1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：a＞7．∴实数m的取值范围是a＞7．故答案为：a＞7．4．命题“若a＞b,则a2＞b2"的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”．【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题,结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆命题是“若a2＞b2，则a＞b”，故答案为:“若a2＞b2，则a＞b”5．与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0）,离心率为，由此能求出椭圆方程．【解答】解：由椭圆+=1，得a2=9，b2=4,∴c2=a2﹣b2=5,∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）．设所求椭圆方程为，a＞b＞0，则，又，解得a=5．∴b2=25﹣5=20．∴所求椭圆方程为：．故答案为:．6．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由(3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解:由（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k(x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+(1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为:（﹣1，2)7．如果p:x＞2,q：x＞3，那么p是q的必要不充分条件．（从“充分不必要”、“必要不充分"、“充要"、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可．【解答】解:因为p：x＞2,得不到q：x＞3；但是x＞3；得到x＞2；所以么p是q的必要不充分条件．故答案为:必要不充分．8．已知椭圆+上一点M到左焦点F1的距离是8，则M到右准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由椭圆的第一定义求出点M到左焦点的距离,再用第二定义求出点M到右准线的距离d即可．【解答】解:由椭圆+，得a=5，b=3，c==4，由椭圆的第一定义得点M到右焦点的距离等于10﹣8=2，离心率e=,再由椭圆的第二定义得=e=,∴点M到右准线的距离d=．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，则实数a=2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出直线方程的斜率，并表示出双曲线方程的渐近线,再由双曲线C：﹣y2=1(a＞0）的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直可知两直线的斜率之积等于﹣1，可求出a的值．【解答】解：直线l:2x﹣y+1=0的斜率等于2，双曲线C:﹣y2=1（a＞0)的渐近线可以表示为：y=±又因为双曲线C：﹣y2=1（a＞0)的一条渐近线与直线l：2x﹣y+1=0垂直，∴2×（﹣)=﹣1，∴a=2,故答案为210．如果实数x,y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设,的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解:设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得｜OE|=1，于是可得到,即为的最大值．故答案为：11．圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x ±1）2+（y﹣）2=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意设出圆心坐标,由相切列出方程求出圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可．【解答】解：由题意知,设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切,∴|t|=t2+,∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+(y﹣）2=1．故答案为：（x±1)2+（y﹣）2=1．12．已知F1、F2为双曲线﹣=1(a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线,垂足为P,若｜PF1|2﹣|PF2｜2=c2．则双曲线离心率的值为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式,求得｜PF2｜=b，运用余弦函数的定义和余弦定理,计算即可得到所求值．【解答】解:设双曲线﹣=1(a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为y=x，F2（c，0）到渐近线的距离为d=｜PF2｜==b，cos∠POF2==，在△POF1中,|PF1|2=｜PO｜2+｜OF1|2﹣2｜PO|•|OF1|•cos∠POF1=a2+c2﹣2ac•（﹣）=3a2+c2，则|PF1｜2﹣｜PF2|2=3a2+c2﹣b2=4a2，∵｜PF1|2﹣|PF2｜2=c2，∴4a2=c2，∴e=2．故答案为2．13．已知直线：ax+by=1(其中a,b是实数）与圆：x2+y2=1(O是坐标原点）相交于A,B 两点,且△AOB是直角三角形，点P（a，b）是以点M（0，1）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积最小值为（3﹣2)π．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和半径，由|OA|=｜OB｜根据题意可知△AOB是等腰直角三角形，根据勾股定理求出｜AB|的长度，根据等腰直角三角形的性质可得圆心到直线的距离等于|AB|的一半，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，两者相等即可得到a与b的轨迹方程为一个椭圆，圆M的面积最小时,所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0,1）的距离最小值，即可得出结论．【解答】解：由圆x2+y2=1，所以圆心（0，0），半径为1所以|OA|=｜OB|=1，则△AOB是等腰直角三角形,得到｜AB｜=则圆心（0,0）到直线ax+by=1的距离为，所以2a2+b2=2，即a2+=1．因此，圆M的面积最小时，所求半径为椭圆a2+=1上点P（a，b）到焦点（0，1)的距离最小值，由椭圆的性质,可知最小值为﹣1．所以圆M的面积最小值为π(﹣1)2=（3﹣2）π．故答案为：(3﹣2）π．14．已知直线l:y=x+4，动圆O：x2+y2=r2(1＜r＜2），菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是（0，）∪（,6）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设AB=a,直线CD的方程为y=x+b,则圆心到直线的距离为d=＜r，进而可得b的范围,结合=，可得a的范围,再由菱形ABCD的面积S=a2，得到答案．【解答】解:设AB=a，直线CD的方程为y=x+b，则圆心到直线的距离为d=＜r，又由1＜r＜2，∴﹣2＜b＜4,且b≠1∵=，∴b=4﹣a，∴a=（4﹣b)∴0＜a＜,或＜a＜2，∴菱形ABCD的面积S=a2∈（0，）∪（，6),故答案为：(0，)∪（,6）二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。

江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是命题．（填“真”或“假”之一）2．双曲线的两条渐近线方程为．3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=．5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为．6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C，离心率为，且过点（2，3），则曲线C的方程为．9．在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为．12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为．13．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A （﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求△BCD面积的最大值．19．（16分）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．2016-2017学年江苏省扬州中学高二（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“∀x∈R，x2+2＞0”的否定是假命题．（填“真”或“假”之一）【考点】特称命题．【分析】先判断原命题的真假性，根据原命题与命题的否定真假相反的原则即可判断命题的否定的真假【解答】解：∵x2+2≥2∴命题“∀x∈R，x2+2＞0”是真命题∴原命题的否定是假命题故答案为：假【点评】有些命题的真假难以判断时，不防以怀疑的眼光看问题，用正难则反思想走到它的“背后”考虑问题．是个基础题2．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分条件（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=﹣1时直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．【解答】解：当m=﹣1时，两直线的方程mx+（2m﹣1）y+1=0，与3x+my+3=0，化为﹣x﹣3y+1=0和3x﹣y+3=0，可得出此两直线是垂直的，当两直线垂直时，①当m=0时，符合题意，②当m≠0时，两直线的斜率分别是﹣与，由两直线垂直得﹣得m=﹣1，由上知，“m=﹣1”可得出直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”可得出m=﹣1或m=0，所以m=1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件故答案为：充分条件．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误．4．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（﹣1）=．【考点】导数的运算．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），∴f′（x）=2x﹣2f′（1），令x=﹣1，则f′（﹣1）=﹣2﹣2f′（﹣1），则f′（﹣1）=，故答案为．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的导数公式进行求解是解决本题的关键．比较基础．5．若抛物线y2=8x的焦点F与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则n的值为1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点为（2，0），由双曲线的a，b，c的关系，可得=2，解方程可得n=1．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F为（2，0），双曲线﹣=1的右焦点为（，0），由题意可得，=2，解得n=1，故答案为：1．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和a，b，c的关系，属于基础题．6．已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数在区间单调递增，则导函数在该区间的值大于等于0恒成立，在通过换主元求参数范围．【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了利用函数单调性求参数范围，同时也考查了恒成立中求参数的基本方法．7．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在处取得极大值，则正数a的取值范围是（0，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，结合已知条件，判断即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=+2ax﹣（a+2）=，①a≤0时，ax﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故是函数的极小值点，不合题意，②0＜a＜2时，＜，令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，令f′（x）＜0，解得：＜x＜，∴f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f（x）在处取得极大值，符合题意，③a=2时，f′（x）≥0，f（x）递增，无极值，④a ＞2时，＞，令f′（x ）＞0，解得：x ＞或x ＜，令f′（x ）＜0，解得：＜x ＜，∴f （x ）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴函数f （x ）在x=处取得极大值，不符合题意，综上，a ∈（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．8．若中心在原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ，离心率为，且过点（2，3），则曲线C 的方程为 y 2﹣x 2=5 ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0），把点P 的坐标代入即可得出．【解答】解：∵离心率为，∴a=b ，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=λ（λ≠0），又点P （2，3）在双曲线上，则λ=4﹣9=﹣5， ∴所求双曲线的标准方程为x 2﹣y 2=﹣5，即y 2﹣x 2=5．故答案为：y 2﹣x 2=5【点评】本题着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9．在平面直角坐标系xOy 中，记曲线y=2x ﹣．（m ∈R ，m ≠﹣2）在x=1处的切线为直线l ，若直线l 在两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 ﹣3或﹣4．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意求导y′=2+，从而求出切线方程，从而求出截距而得到﹣2m+=12，从而解得．【解答】解：∵y=2x﹣，∴y′=2+；故当x=1时，y=2﹣m，y′=2+m；故直线l的方程为y=（2+m）（x﹣1）+2﹣m；令x=0得，y=﹣（2+m）+2﹣m=﹣2m；令y=0得，x=+1=；故﹣2m+=12，解得，m=﹣3或m=﹣4．故答案为：﹣3或﹣4．【点评】本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用，属于中档题．10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【点评】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．11．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为[﹣，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离+2≥3，从而可得实数k的取值范围．【解答】解：以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，只要求点M在弦的中点上满足，其它的点都满足，即圆心C到直线的距离d+2≥3，所以+2≥3，所以k≥﹣．故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查实数k的取值范围，考查直线与圆，圆与圆的位置关系，比较基础．12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线y=x与双曲线相交于A、B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的右焦点，将直线y=x代入双曲线方程，求得x2=，则设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），由•=0，根据向量数量积的坐标表示，求得c2=x2，由双曲线的方程可知：c2=a2+b2，代入即可求得（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，则可知b2﹣4a2=0，即可求得b=2a，根据双曲线的渐近线方程可知：y=±x=±2x．【解答】解：由题意可知：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，右焦点F（c，0），则，整理得：（9b2﹣16a2）x2=9a2b2，即x2=，∴A与B关于原点对称，设A（x，），B（﹣x，﹣），=（x﹣c，），=（﹣x﹣c，﹣），∵AF⊥BF，∴•=0，即（x﹣c）（﹣x﹣c）+×（﹣）=0，整理得：c2=x2，∴a2+b2=×，即9b4﹣32a2b2﹣16a4=0，∴（b2﹣4a2）（9b2+4a2）=0，∵a＞0，b＞0，∴9b2+4a2≠0，∴b2﹣4a2=0，故b=2a，双曲线的渐近线方程y=±x=±2x，故答案为：y=±2x．【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件，双曲线的渐近线方程，考查计算能力，属于中档题．13．已知函数f（x）=e x﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是[2，3] ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，求得（x+1）+﹣2的范围，即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的导数为f′（x）=e x﹣1+1＞0，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，即为g（x2）=0且|1﹣x2|≤1，即x2﹣ax﹣a+3=0在0≤x≤2有解，即有a==（x+1）+﹣2在0≤x≤2有解，令t=x+1（1≤t≤3），则t+﹣2在[1，2]递减，[2，3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．14．设函数f（x）=|e x﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．【解答】解：当x≥2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=e x﹣e2a，此时为增函数，当x＜2a时，f（x）=|e x﹣e2a|=﹣e x+e2a，此时为减函数，即当x=2a时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2，即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣＜a＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（﹣e x2）=﹣e x1+x2=﹣1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，∴2a＜1，解得a＜，综上﹣＜a＜，故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用数形结合以及直线垂直的性质是解决本题的关键，属于中档题..二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2015秋•常州期末）已知命题p：函数在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．【解答】解：命题p：f′（x）=3x2+2ax+a+，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上有极值，∴f′（x）=0有两个不等实数根，∴△=4a2﹣4×3（a+）=4a2﹣4（3a+4）＞0，解得a＞4或a＜﹣1；命题q：双曲线的离心率e∈（1，2），为真命题，则∈（1，2），解得0＜a＜15．∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，∴p与q必然一真一假，则或，解得：a≥15或0＜a≤4或a＜﹣1．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系以及双曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）（2015•北京）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=．因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e当k=e时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，）上唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，]上仅有一个零点．【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型．17．（14分）（2016秋•江苏期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…因为，而，所以，…解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）（2015•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E的离心率为，右焦点到右准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求△BCD面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）利用，，计算即可；（2）通过设B、C点坐标、写出直线AB、AC、BD、CD的斜率，联立直线BD、CD的方程，计算即可；（3）通过计算可得点D的纵坐标，进而可得点D到直线BC的距离，利用三角形的面积公式及基本不等式即得结论．【解答】（1）解：由题意得，，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆E的标准方程为．（2）证明：设B（x0，y0），C（﹣x0，y0），显然直线AB，AC，BD，CD的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则，，∴直线BD，CD的方程为：，消去y得：，化简得x=3，故点D在定直线x=3上运动．（3）解：由（2）得点D的纵坐标为，又∵，∴，则，∴点D到直线BC的距离h=，将y=y0代入，得，∴△BCD面积=，当且仅当，即时等号成立，故时，△BCD面积的最大值为．【点评】本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆的位置关系、三角形的面积计算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16分）（2016秋•盐城期中）如图所示，有一块矩形空地ABCD，AB=2km，BC=4km，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG，筝形的顶点A，E，F，G为商业区的四个入口，其中入口F在边BC上（不包含顶点），入口E，G分别在边AB，AD上，且满足点A，F恰好关于直线EG对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区．（1）请确定入口F的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，EG⊥AF，求出EG的方程，列出不等式即可求出；（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．转化为求其最小值．【解答】解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0），设F（2，2a）（0＜2a＜4），则AF的中点为（1，a），斜率为a，而EG⊥AF，故EG的斜率为，则EG的方程为，令x=0，得；令y=0，得；由，得，∴，即入口F的选址需满足BF的长度范围是（单位：km）．（2）因为，故该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小．设，则，令f'（a）=0，得或（舍），a，f'（a），f（a）的情况如下表：，）故当，即入口F满足km时，该商业区的环境舒适度指数最大．【点评】本题主要考查了直角坐标系在应用题中的应用，考查了利用导数研究函数单调性与函数最值，属中等题．20．（16分）（2016秋•盐城期中）设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若直线y=3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出f（）=ln﹣，代入直线y=3x﹣1求得a值；（2）求出原函数的导函数，然后对a分类得到函数在[1，e2]上的单调性，并进一步求出函数在[1，e2]上的最大值，由最大值等于1﹣ae求得a值；（3）把ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）转化为ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），构造函数g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣ax，得f′（x）==3，∴x=，则f（）=ln﹣，∴ln﹣=，得ln=0，即a=﹣2；（2）f′（x）=，当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）=2﹣ae2=1﹣ae，得（舍）；当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故由﹣lna﹣1=1﹣ae，a无解；当时，f（x）max=﹣a=1﹣ae，得a=；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max=f（1）=﹣a=1﹣ae，得a=（舍）；综上，a=；（3）ln（2x2﹣x﹣3t）+x2﹣x﹣t=ln（x﹣t）⇔ln（2x2﹣x﹣3t）（2x2﹣x﹣3t）=ln（x﹣t）（x﹣t），令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+∞）上是增函数，又g（2x2﹣x﹣3t）=g（x﹣t），∴2x2﹣x﹣3t=x﹣t⇒2（x2﹣x﹣t）=0，即⇒，作出图象如图：由图可知，实数t的取值范围是t=﹣或0＜t＜2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，难度较大．。

江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期开学考试数学试题含解析

一、填空题（本大题共14小题,每题5分,满分70分．）1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为．【答案】(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞) 【解析】试题分析：因xy )31(=是单调减函数,且1||-=x y 在(,0)-∞上也是单调递减函数,故函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为(,0)-∞，故应填答案(,0)-∞（亦可写成(,0]-∞）。

考点：复合函数的单调性的判断和运用．2．在ABC ∆中，若错误!＝错误!＝错误!，则ABC ∆的形状是_________三角形．【答案】等边考点：正弦定理及运用．3．已知n m ,为直线，βα,为空间的两个平面，给出下列命题:①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥；② n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα；③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ；④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为．【答案】③④ 【解析】试题分析:关于①，也会有α⊂n 的结论，因此不正确;关于②，也会有n m ,异面的可能的结论,因此不正确;容易验证关于③④都是正确的，故应填答案③④. 考点：空间的直线与平面的位置关系及运用．4．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 13【解析】试题分析:因139213241644)2(222=+⨯⨯⨯-=+⋅-=-b b a a b a ,故13|2|=-b a ，故应填答案13。

考点：向量的数量积公式及模的计算方法的运用．5．数列{}n a 满足：2123()n a a a a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈,则通项公式是：n a = _ ____．【答案】21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 【解析】试题分析：当1=n 时,1=n a ；当2≥n 时,由2123()n a a a a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈可得2121)1(-=⋅⋅⋅⋅-n a a a n ,以上两式两边相除可得2)1(-=n n a n ，故应填答案21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩。

2016-2017扬州高二第一学期数学期中试卷(文科)

2016-2017学年度第二学期高二数学期中测试卷数学（文科）2017．04（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}12,S x x x =+∈R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = ▲ ．2.设复数z 满足(32)z i i =-，则z 的虚部为 ▲ ．3. 用反证法证明命题“已知x R ∈，21a x =-，22b x =+，则,a b 中至少有一个不小于0”应该反设为 ▲ ．4．满足条件M {}1,2＝{}1,23，的集合M 的个数是 ▲ ．5．若函数)(x f y =的定义域为[]2,2-，求函数(1)(1)y f x f x =+⋅-的定义域为 ▲ ．6．已知虚数z 满足216z z i -=+，则 z = ▲ ．7．若函数2()()F x f x x =+为奇函数，且()()2g x f x =+，已知(1)1f =，则(1)g -的值为 ▲ ．8. 由命题“x R ∃∈，220x x m ++<”是假命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9．0<a 是方程0122=++x ax 至少有一个负数根的 ▲ 条件（填“必要不充分、充分不必要、充要、既不充分也不必要”）．10．已知=2，=3，=4=（a ，t 均为正实数），则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a t + = ▲ ．11．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ▲ ．12．将正整数排成如图所示：其中第i 行，第j 列的那个数记为j i a ，则数表中的2017应记为 ▲ ．13．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n ）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有可能的取值构成的集合为 ▲ ．14．下列使用类比推理所得结论正确的序号是 ▲ ．（1）直线a ，b ，c ，若//a b ，//b c ，则//a c ．类推出：向量a ，b ，c ，若//a b ，//b c 则//a c ；（2）同一平面内，三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；（3）任意a ，b ∈R （实数集），a -b ＞0则a ＞b ．类比出：任意a ，b ∈C （复数集），a -b ＞0，则a ＞b ；（4）若a 为一平面向量，则有2a ＝2()a ．类比出：若z 为一复数，则22()z z =；（5）在△ABC 中，若BC ⊥AC ，AC=b ，BC=a ，则△ABC 的外接圆半径2r =，类比出：在四面体S ﹣ABC 中，若SA 、SB 、SC 两两垂直，SA=a ，SB=b ，SC=c ，则四面体S ﹣ABC的外接球半径．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分）函数()f x =的定义域为集合A ，函数()g x x a =-（04x <<）的值域为集合B ．求集合A ，B ；若集合A ，B 满足A B B = ，求实数a 的取值范围．已知复数2(1)13z i i =-++（1）求z 及z ；（2）若212+z az b i i++=+，求实数a ，b 的值．17．（本小题满分14分）已知函数()f x = （1）分别求(0)(1)f f +，(1)(2)f f -+，(2)(3)f f -+的值，（2）根据（1）的结果，归纳猜想一般性结论，并给出证明．18．（本小题满分16分）已知函数2()1xx f x a x -=++，其中1a >；（1）证明：函数()f x 在(1,)-∞上为增函数；（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =；已知函数()212a f x ax =-+，()a g x x x=+ （1）若()0f x >在[)1,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a >时，对任意的[]11,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）．（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？。

江苏省扬州中学2016-2017学年高二上学期开学考试数学含答案

江苏省扬州中学高二年级开学考试高二数学2016．08一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．函数113x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为．2．在ABC ∆中,若错误!＝错误!＝错误!,则ABC ∆的形状是_________三角形． 3．已知n m ,为直线,βα,为空间的两个平面,给出下列命题：①αα//,n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥;②n m n m //,//⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊂βαβα;③βαβα//,⇒⎩⎨⎧⊥⊥m m ;④n m n m //,⇒⎩⎨⎧⊥⊥ββ．其中的正确命题为．4．已知||2a =,||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 5．数列{}n a 满足：2123()n a aa a n n N *⋅⋅⋅⋅⋅=∈，则通项公式是：n a = _ ____．6．定义：区间[],()m n m n <的长度为n m -，已知函数12logy x=的定义域为[],,a b 值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为．7．已知)(),(x g x f 均为R 上的奇函数且0>)x (f 解集为（4,10），0>)x (g 解集为（2，5），则0)()(>⋅x g x f 的解集为．8．设函数)0(sin >=ωωx y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上是增函数,则ω的取值范围为 ____．9．已知()1,5x ∈，则函数2115y x x=+--的最小值为．10．设实数b y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x ,,02若y x z +=2的最小值为3，则实数b 的值为．11．已知ABC ∆中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则ACBC AB AC BC BC AC ⋅++2的最大值为．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AB 的中点，在面ABCD 中取一点F ，使1EF FC +最小，则最小值为__________． 13．设{}na 是等比数列，公比2=q ，nS 为{}na 的前n 项和，记)(1712*+∈-=N n a S S T n nn n ，设0n T 为数列{}n T 的最大值,则0n = ．14．当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅, 设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n nSN N N N N N =+++++-+,则n S = ．二、解答题:（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15． (本题满分14分) 在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且错误! ＝－错误!．(1）求角B 的大小；（2）若b ＝错误!，a ＋c ＝4，求ABC ∆的面积．16．（本题满分14分) 如图，在四棱锥ABCD P -中,BCAD //，且ADBC 2=,CDPB CD AD ⊥⊥,,点E 在棱PD上，且ED PE 2=．(1)求证:平面⊥PCD 平面PBC ； (2）求证：//PB 平面AEC ．17．(本题满分15分)设不等式⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 30所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点个数为n a （n ∈*N ），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)(1）求数列｛a n ｝的通项公式；(2）记数列｛a n ｝的前项和为S n ，且123-⋅=n nns T,若对于一切正整数n ,总有≤nT m,求实数m 的取值范围．18．（本题满分15分）如图，半径为1,圆心角为错误!的圆弧AB 上有一点C ．（1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动,求|错误!＋错误!|的最小值;(2）若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时,求错误!•错误!的取值范围．19．（本题满分16分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间[m ，n ］⊆D ，同时满足:①)(x f 在［m ，n ］内是单调函数;②当定义域是[m ，n ]时,)(x f 的值域也是[m ，n ］．则称［m ，n ］是该函数的“和谐区间"． (1）证明:［0，1]是函数)(x f y ==2x 的一个“和谐区间"．（2）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”．（3)已知：函数xa x a a x h y 221)()(-+==（∈a R ，0≠a )有“和谐区间"[m ，n ],当a 变化时，求出n ﹣m 的最大值．20． (本题满分16分）已知首项为1的正项数列{}na 满足221152n n n n a a a a +++<,n *∈N ． (1）若232a =，3a x =,44a =，求x 的取值范围;（2）设数列{}na 是公比为q 的等比数列,n S 为数列{}na 前n 项的和．若1122n n n S S S +<<,n *∈N ，求q 的取值范围；（3）若1a ,2a ,⋅⋅⋅，k a （3k ≥)成等差数列，且12120k a aa ++⋅⋅⋅+=，求正整数k 的最小值，以及k 取最小值时相应数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，ka 的公差．扬州中学2016-2017高二第一学期开学考查(高二数学）2016．8 答案：1．(,0)-∞(亦可写成(,0]-∞) 2．等边 3．③④ 45．21(1)(2,)1n n n n N n *=⎧⎪⎨⎛⎫≥∈ ⎪⎪-⎝⎭⎩ 6．3 7．(5,4)(4,5)-- 8．(0,2]910．9411． 1213．414．423n +15.解：(1)由余弦定理知：cos B ＝错误!，cos C ＝错误!. 将上式代入错误!＝－错误!得：错误!·错误!＝－错误!，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac 。

江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷

，
的通项公式
15.
过原
点作一条
倾斜角为휃的直线
与椭圆푥2
푎2
+
푦2 푏2
=
1(푎
>푏
> 0)交于
A、B
两点，퐹1，
퐹2为椭圆的左，右焦点，若∠퐹1퐴퐹2
=
휋
2，且该椭圆的离心率푒
∈
[
2
2,
36]，则휃的取值
范围为______．
16.
过抛物线푦2
=
4푥 焦点的直线
l
与抛物线交于
A，B
两点，与圆(푥−1)2
则弦
AB
的中点到直线푥
+
1 2
=
0的
距离
等于
2
+
1 4
=
94．
故选：B．
求出弦 AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到
弦 AB
的中点到直线푥
+
1 2
=
0的距离．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置
关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．
10.【答案】A
第 8 页，共 18 页
【解析】解：由题意푎푛
2.【答案】D
【解析】解：设两数 2 +1与 2−1
x
푥2 = ( 2
的等比中项是，则由等比中项的定义可得
+1)( 2−1) = 1，
∴ 푥 = ± 1，
故选：D．
设两数 2 +1与 2−1的等比中项是 x，则由等比中项的定义可得푥2 = ( 2 +1)( 2 −1) = 1，解方程求得 x 的值．

扬州市2016—2017学年度高三数学第一学期期中测试参考答案

2016-2017学年度高三第一学期期中测试数学试题Ⅰ参考答案2016．11一、填空题1． 2．1 3．22x y = 4．(,0)(1,)-∞+∞ 56．8 7．2-或1 8．34- 9．[1,1]- 10． 27 11．23 12．20k -≤<13．2y x =± 14．)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）2()2cos()sin (sin cos )sin 2cos222f x x x x x x x π=-++=-+)24x π-+ ……4分由()222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以()f x 的单调递增区间是()3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ ……8分（2）由（1）知())24f x x π-+把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)24y x π=-+的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到 ())212g x x π++的图象， ……12分即())212g x x π=++，所以()36g π=． ……14分16．解：（1）由2280x x +->，解得：4x <-或2x >，则(,4)(2,)A =-∞-+∞ ，……2分若4m =-，2()34g x x x =--，由2340x x --≤，解得：14x -≤≤，则[1,4]B =- ……4分所以(2,4]A B = ； ……6分（2）存在1[0,]2x ∈使得不等式2(1)1x m x m +++≤-成立，即存在1[0,]2x ∈使得不等式211x x m x ++-≥+成立，所以2min 1()1x x m x ++-≥+ ……10分因为2111111111x x x x x x x ++=+=++-≥+++，当且仅当11x +=，即0x =时取得等号所以1m -≥，解得：1m ≤-． ………14分17．解：（1）若8a =-，圆M ：22(1)9x y -+=，圆心M (1,0)，半径为3． ………2分若切线斜率不存在，圆心M 到直线4x =的距离为3，所以直线4x =为圆M 的一条切线； ………4分若切线斜率存在，设切线方程为：5(4)y k x -=-，化简为：450kx y k --+=，则圆心到直3=，解得：815k =．所以切线方程为4x =或815430x y -+=； ………7分（2）圆M 的方程可化为22(1)1x y a -+=-，圆心M (1,0)，则1OM =设圆的半径1)r a < …………9分因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA MB =- ，且||||M A M B r ==，则222()()()()()()1OA OB OM MA OM MB OM MB OM MB OM MB r ⋅=+⋅+=-⋅+=-=- …12分又因为6OA OB ⋅=-，解得：r………14分18．解：（1）在ABC ∆中，222900490064001cos 2230707AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⋅⨯⨯ ……3分所以sin ABC ∠=………5分（2）在ABD ∆中，由sin sin sin AD AB BDABD BAD θ==∠∠得：30sin θ==所以7sin AD θ=，30sin 30777sin sin 7BD θθθθθ-==- ………9分设水路运输的每百人每公里的费用为k 元，陆路运输的每百人每公里的费用为2k 元，则运输总费用(53)282[5(70)34]y CD BD k k AD k BD BD AD =+⨯+⨯⨯==-++3o s3632c o s7720[352()4]20[35]sin 7sin 7sin k k θθθθθ-=--+⨯=++ ……11分令2cos ()sin H θθθ-=，则212cos '()sin H θθθ-=，设'()0H θ=，解得：1cos ,23πθθ==当03πθ<<时，()0,()H H θθ'<单调减；当32ππθ<<时，()0,()H H θθ'>单调增3πθ∴=时，()H θ取最小值，同时y 也取得最小值． ……14分此时30907sin 77BD θθ=-=，满足900707<<，所以点D 落在BC 之间所以3πθ=时，运输总成本最小．答：3πθ=时，运输总成本最小． ………16分19．解：（1）设(,0)F c 且222c a b =-，00(,)P x y ，则00(,)Q x y -，所以00y k x c =-，00'y k x c =--，因为2NF FP = ，所以02()c x c =-，即032x c = ………3分 ∴0002y y k x c c ==-，0002'5y y k x c c ==--- ∴5'k k =-，即5'k k =-为定值 ………6分（2）若AN FP =，则3AF FP =，所以3AF FP = ，解得：01(,3)2A c y --因为点A 、P 在椭圆C 上，则220222202291149124y c a b y c a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩（）（），(1)9(2)⨯-得：228084c a =，解得：2225c a = ………10分则2223c b =，代入（1）得：22002213102y y c b ==，202320y c =因为0013462APQ S c y cy ∆=⨯⨯=且APQ S ∆=，解得：220125c y =，则24c = ………14分所以椭圆方程为：221106x y +=． ………16分20．解：（1）∵22(1)'()x ae x x f x x -+= ∴'(1)1f =, (1)1f ae =+∴函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：(1)1y ae x -+=-，又直线过点(0,1)-∴1(1)1ae --+=-，解得：1a e=- ………2分（2）若0a <，22(1)'()x ae x x f x x-+=，当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >恒成立，函数在(,0)-∞上无极值；当(0,1)x ∈时，'()0f x >恒成立，函数在(0,1)上无极值；方法（一）在(1,)+∞上，若()f x 在0x 处取得符合条件的极大值0()f x ，则0001()0'()0x f x f x >⎧⎪>⎨⎪=⎩，…5分则00000200201102(1)03x x x ae x x ae x x x ⎧⎪>⎪⎪⎪+>⎨⎪⎪-+⎪=⎪⎩（）（）（），由（3）得：02001x x ae x =--，代入（2）得： 00001x x x -+>-，结合（1）可解得：02x >，再由0000()0x ae f x x x =+>得：020x x a e >-，设2()x x h x e=-，则(2)'()xx x h x e -=，当2x >时，'()0h x >，即()h x 是增函数，所以024()(2)a h x h e>>=-，又0a <，故当极大值为正数时，24(,0)a e ∈-，从而不存在负整数a 满足条件． ………8分方法（二）在(1,+)x ∈∞时，令2()(1)x H x ae x x =-+，则'()(2)x H x ae x =+ ∵(1,+)x ∈∞ ∴(,+)x e e ∈∞ ∵a 为负整数 ∴1a ≤- ∴x ae ae e ≤≤- ∴20x ae +< ∴'()0H x < ∴()H x 在(1,)+∞上单调减又(1)10H =>，22(2)440H ae e =+≤-+< ∴0(1,2)x ∃∈，使得0()0H x = …5分且01x x <<时，()0H x >，即'()0f x >；0x x >时，()0H x <，即'()0f x <； ∴()f x 在0x 处取得极大值0000()x ae f x x x =+ （*）又02000()(1)0x H x ae x x =-+=∴00001x x ae x x =--代入（*）得：0000000(2)()011x x x f x x x x -=-+=<-- ∴不存在负整数a 满足条件． ………8分（3）设2()(1)x g x ae x x =-+，则'()(2)x g x x ae =+，因为0a >，所以，当0x >时，'()0g x >，()g x 单调递增；当0x <时，'()0g x <，()g x 单调递减；故()g x 至多两个零点．又(0)0g a =-<，(1)10g =>，所以存在1(0,1)x ∈，使1()0g x = 再由()g x 在(0,)+∞上单调递增知，当1(0,)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x =<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0g x >，故2()'()0g x f x x=>，()f x 单调递增；所以函数()f x 在1x 处取得极小值． ………12分当0x <时，1x e <，且10x -<，所以222()(1)(1)x g x ae x x a x x x ax a =-+>-+=+-，函数2y x ax a =+-是关于x 的二次函数，必存在负实数t ，使()0g t >，又(0)0g a =-<，故在(,0)t 上存在2x ，使2()0g x =，再由()g x 在(,0)-∞上单调递减知，当2()x x ∈-∞,时，()0g x >，故2()'()0g x f x x =>，()f x 单调递增；当2(,0)x x ∈时，()0g x <，故2()'()0g x f x x=<，()f x 单调递减；所以函数()f x 在2x 处取得极大值．综上，函数()f x 既有极大值，又有极小值． ………16分数学试题Ⅱ参考答案21．解：解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f a a λλλλλ--==----- ………4分矩阵231M a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为4 ………8分所以4为方程0)(=λf 的一个根，则2330a ⨯-=，解得2a =． ………10分22．解：解：随机变量ξ的取值可能为0，1，2．272107(0)15C P C ξ=== ………3分11372107(1)15C C P C ξ=== ………6分232101(2)15C P C ξ=== ………9分则7713()0121515155E ξ∴=⨯+⨯+⨯= 答：数学期望()E ξ为35． …………10分23．解：（1）如图，以A 为坐标原点，,,AD AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,1,0)C 、(0,0,2)P 、D(1,0,0)、1(0,,1)2E，………2分从而1(1,,1),(1,0,2).2CE PD =--=-∴cos ||||CE PDCE PD CE PD ⋅<>==⋅,即CE 与PD． ………4分（2）点F 在棱PC 上，且P F P C λ=，所以P F P C λ=，于是(,,22F λλλ-，(,1,22)BF λλλ=-- ，又(0,1,0)CD =- ，1(1,,1)2CE =-- ．设(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，则00n CD n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得0102y x y z -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取1x =，则(1,0,1)n = ………6分设直线BF 与平面CDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF n θ=<>=………8分令2t λ=-，则[1,2]t ∈，所以sin θ=当179t =，即9[1,2]7t =∈时，29146t t -+有最小值59，此时sin θBF 与平面CDE 所成的角最大，此时952277t λ=-=-=，即λ的值为57． ……10分24．解：（1）设121{}A A a = ，共有3种，即(2,1)3f =； ………1分设1212{,}A A a a = ，若1A =∅，则有1种；若11{}A a =，则有2种；若12{}A a =，则有2种；若112{,}A a a =，则有4种；即(2,2)9f =； ………2分设12312{,}A A A a a = ，若1A =∅，则2312{,}A A a a = ，所以有(2,2)9f =种；若11{}A a =，则2312{,}A A a a = 或232{}A A a = ，所以有(2,2)(2,1)12f f +=；若12{}A a =，则有12种；若112{,}A a a =，则2312{,}A A a a = 或231{}A A a = 或232{}A A a = 或23A A =∅ ，所以有133916+++=种；即(3,2)49f =； ………4分（2）猜想2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈，用数学归纳法证明．当2n =时，(2,2)9f =，结论成立； ………5分假设n k =时，结论成立，即2(,2)(21)k f k =-，当+1n k =时，123112{,}k A A A A a a +=当1k A +=∅时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种；当11{}k A a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，共有2(21)k k -种；同理当12{}k A a +=时，共有2(21)k k -种；当112{,}k A a a +=时，12312{,}k A A A A a a = ，所以有2(,2)(21)k f k =-种，或1231{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或1232{}k A A A A a = ，所以有21k -种，或123k A A A A =∅ ，所以有1种，共有22k 种；则212(1,2)4(21)4(21)1(21)k k k f k ++=-+-+=-所以，当+1n k =时，结论成立； ………9分所以2(,2)(21)n f n =-(2,*)n n N ≥∈………………10分。

数学-高二-江苏省扬州中学度高二第一学期10月份测试数学试题

江苏省扬州中学2016-2017学年度第一学期10月份测试高二数学试卷 2016年10月7日（本试卷考试时间120分钟，满分160分，请将答案做在答题卡上）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.直线的倾斜角为 ▲ ．2. 焦点在轴上的椭圆m x2＋4y2＝1的焦距是2，则m 的值是____▲____． 3.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点____▲___．4. 从点引圆的切线，则切线长是 ▲ ．5. 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆25x2＋9y2＝1上一点，则三角形PF 1F 2的周长等于 ▲ ． 6. 圆，圆，则这两圆公切线的条数为▲ ．7. 经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 ▲ ．8. 圆关于直线对称的圆的标准方程是 ▲ .9. 已知是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为 ▲ ． 10. 圆，则圆上到直线距离为3的点共有▲个．11. 在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则实数的值是 ▲ ． 12. 已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线与直线的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为____▲ __. 13. 已知圆，点在直线上，为坐标原点.若圆上存在点使得，则的取值范围为 ▲ ．14. 若对于给定的负实数，函数的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为2，则的取值范围为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15.（本小题满分14分）已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）；（2）．16.（本小题满分14分）已知椭圆818x2＋36y2＝1上一点，且，．（1）求的值；（2）求过点M 且与椭圆9x2＋4y2＝1共焦点的椭圆的方程．17.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，己知点，，、分别为线段，上的动点，且满足.（1）若，求直线的方程;（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）.18.（本小题满分15分）在一个特定时段内，以点为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点正北55海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过40分钟又测得该船已行驶到点北偏东(其中，)且与点相距海里的位置. （1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.19.（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆经过，，三点，是线段上的动点，、是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．（I）若，求直线的方程；（II）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．20.（本小题满分16分）已知函数,．（1）当时，求的最小值；（2）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；（3）若函数在上有零点，求的最小值.10月份测试数学参考答案1.2π2.53. (0,2)4.35.186.27. 3y x =或2y x =+8. 22(4)1x y -+= 9. 2π10.3 11. －1 12.12 13. []0,2 14. 902k -<<15.解：（1）∵12l l ，∴(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当25-=m 时，1211:50,:665,22l x y l x y -+-=-=即12l l∴当25-=m 时，12l l ．（2）由6(2)(3)(21)0m m m +++-=得1m =-或92m =-； ∴当1m =-或92m =-时，12l l ⊥．16.解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.故M 的横坐标03x =-.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.17. 解：（1）因为(3,4)A -，所以22(3)45OA =-+=，又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55C -，由4BD =，得(5,0)D ，所以直线CD 的斜率40153755-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以直线CD 的方程为1(5)7y x =--，即750x y +-=．（2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．则55AC OA OC m =-=-，因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，所以D 点的坐标为 (5+4,0)m又设OCD ∆的外接圆的方程为22+0x y Dx Ey F +++=，则有()()2220,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩解之得(54),0D m F =-+=,103E m =--,所以OCD ∆的外接圆的方程为22(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，令2243=0,+2=0x y x y x y ⎧+--⎨⎩，所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．18.解：（I ）如图，AB =402，AC=1013，26,sin .26BAC θθ∠==由于0<θ<90,所以cos θ=2265261().2626-= 由余弦定理得BC=222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=所以船的行驶速度为10515523=（海里/小时）.（II ）如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）,C （x 1，y 2）,BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1=AB=40,x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20CAD θ∠=-=. 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d7.=<所以船会进入警戒水域.19.解：（I ）由题意可知，圆C 的直径为A D ，所以，圆C 方程为：22(3)(1)10x y -+-=．当直线2l 垂直于x 轴时，方程为1x =，不合题意；当直线2l 不垂直于x 轴时，设2l 方程为：(1)y k x =-，则222(21)3101k k-+=+，解得 10k =，243k =，当0k=时，直线1l 与y 轴无交点，不合，舍去．所以，43k =此时直线2l 的方程为4340x y --=．（II ）设(,)M x y ，由点M 在线段A D 上，得12x yt +=，即220x ty t +-=．由AM ≤2ＢM ，得224220()()339x y -++≥．依题意知，线段A D 与圆224220()()339x y -++≥至多有一个公共点，≥，解得t ≥或t ≥．因为t 是使AM ≤2BM 恒成立的最小正整数，所以，t =4．所以，圆C 方程为：22(2)(1)5x y -+-= （1）当直线2l ：1x =时，直线1l 的方程为0y =，此时，2EPQS =；（2）当直线2l 的斜率存在时，设2l 的方程为：(1)yk x =-（0k ≠），则1l 的方程为：1(1)y x k =--，点1(0,)E k．所以，BE =．又圆心Ｃ到2l，所以，PQ ==故12EPQSBE PQ =⋅===．2<所以，()EPQ minS =20.解：（1）min ()1f x =- （2）由题意可知，()f x ax =+1x ≥-在[)1,-+∞上恒成立，把根式换元之后容易计算出12a ≤≤；（3）422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=+-+++⎣=0，即2210a x ax b x x ++++=，令1t x x=+,方程为220,2t at b t ++-=≥，设2()2g t t at b =++-，2t ≥，当22a->，即4a <-时，只需2480a b ∆=-+≥，此时，2216a b +>；当22a -≤，即4a -≤时，只需22220a b ++-≤，即220a b ++≤，此时2245a b +≥．故22a b +的最小值为45．。

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江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中考试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．命题：“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是． 2. 直线1y x =+的倾斜角是________．3.若方程22152x y a +=-表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 .4．命题“若b a >，则22b a >”的逆命题是 .5.与椭圆22194x y +=5的椭圆标准方程为．6.如果对任何实数k ，直线(3)(12)150k x k y k ++-++=都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________.7. 如果:2p x >，:3q x >，那么p 是q 的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空）8.已知椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离是8，则M 到右准线的距离为．9.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a -=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a ．10．如果实数,x y 满足等式()2223x y -+=，那么yx的最大值是． 11．圆心在抛物线212y x =上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为．12. 已知21,F F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过2F 作双曲线渐近线的垂线，垂足为,P 若22221||||c PF PF =-，则双曲线离心率的值为 .13. 已知直线),(12R b R a by ax ∈∈=+与圆1:22=+y x O (O 为坐标原点)相交于B A ,两点,且AOB ∆是直角三角形,点),(b a P 是以点)1,0(M 为圆心的圆M 上的一点,则圆M 的面积的最小值为 .14. 已知直线:34l y x =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上.当r 变化时，菱形ABCD 的面积S 的取值范围是 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15. 已知命题:p “关于,x y 的方程)(04522222R a a a y ax x ∈=+-++-表示圆”，命题:q “x R ∀∈,使得2(1)10()x a x a R +-+>∈恒成立”.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∧为真命题，求实数a 的取值范围.16．已知直线l 过点(2,1)P ,（1）点(1,3)A -和点(3,1)B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 与x 正半轴、y 正半轴分别交于A B 、两点，且ABO ∆的面积为4，求直线l 的方程．.17．如图，12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ∠=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若2a =,求1AF B ∆的面积．18.某城市在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB 是抛物线22y x =的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F 且与路面垂直，其中C 在抛物线上，B 为抛物线的顶点，DH 表示道路路面，BF ∥DH ，A 为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A 处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是 m ，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．(1) 求灯罩轴线所在的直线方程； (2) 若路宽为10 m ，求灯柱的高．19．已知圆22:4O x y +=与x 轴负半轴的交点为A ,点P 在直线30l x y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T .（1）若8a =，切点(3,1)T -,求点P 的坐标；（2）若2PA PT =，求实数a 的取值范围;(3) 若不过原点O 的直线与圆O 交于C B ,两点,且满足直线OC BC OB ,,的斜率依次成等比数列，求直线l 的斜率.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）2．A为椭圆上异于顶点的一点，点P 满足2OP AO = ，（1）若点P 的坐标为(2，求椭圆的方程；（2）设过点P 的一条直线交椭圆于,B C 两点，且BP mBC =，直线,OA OB 的斜率之积12-，求实数m 的值; （3）在（1）的条件下，是否存在定圆M ，使得过圆M 上任意一点T 都能作出该椭圆的两条切线，且这两条切线互相垂直?若存在,求出定圆M ;若不存在,说明理由.yxCPOAB命题、校对:刘晓静审核:沈红、姜卫东江苏省扬州中学2016-2017学年第一学期期中高二数学答案一、填空题1. 2,10x R x x ∀∈--≥ 2.4π3. 7a >4. 充分不必要5.1202522=+y x6. (1,2)-7. 25 8．29.3 10.1)21()1(22=-+±y x11. 4 13. π)223(- 14. 33330,,6322⎛⎛ ⎝⎭⎝ 二、解答题 15. 解：（1）若命题p 为真，则22(2)4(254)0a a a整理得到2540a a -+<得14a（2）若命题q 为真，则2(1)40a ∆=--< 即2230aa --<得13a -<<若p q ∧为真，则1413a a <<⎧⎨-<<⎩，得13a <<所以，若p q ∧为真，则a 的取值范围是13a <<.16. 解：（1）若直线斜率不存在，即2x =，此时，点,A B 到直线l 的距离不相等. 故直线l 的斜率一定存在,设直线l 的方程为(2)1y k x =-+即210kx y k --+=由题意得:2211k k =++解之得:12k =-或1k =- 故所求直线方程为240x y +-=或30x y +-=(2)由题可知，直线1l 的横、纵截距a b 、存在，且00a b >>、，则1:1x yl a b+=，又1l 过点(2,1)，ABO ∆的面积为4，∴211142a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故1l 方程为142x y +=，即122y x =-+．17. 解:（1）由题意可知，1AF B ∆为等边三角形，2a c =，所以12e =.（2）由题意得：2,1a c ==,故3b =23),(1,0)A F ,所以直线AC 的方程为33y x =+联立直线AC 与椭圆C 的方程得:2233143y x x y⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得:8533x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或03x y =⎧⎪⎨=⎪⎩舍) 所以点B 的坐标为833,5⎛ ⎝⎭,所以 11212121211113383||||||||2322222AF B AF F BF F B S S S F F AO F F y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=18. 解：(1) 由题意知，BF ＝12，则x A ＝＋12＝2，代入y 2＝2x 得y A ＝2，故A(2，2)．设点A 处的切线方程为y －2＝k(x －2)，代入抛物线方程y 2＝2x 消去x ，得ky 2－2y ＋4－4k ＝0. 则Δ＝4－4k(4－4k)＝0，解得k ＝12.故灯罩轴线的斜率为－2，其方程为y －2＝－2(x －2)，即y ＝－2x ＋6. (2) 由于路宽为10，则当x ＝112时，y ＝－5，从而FD ＝5.又CF ＝1，则CD ＝6. 答：灯柱的高为6 m.19. 解：（1）由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点(3,1)T -，所以3OT k =，13PT OTk k =-= 故直线PT 的方程为13(3)y x +=-，340x y --=.联立直线l 和PT ，340,380,x y x y ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩解得23,2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(23,2)P .（2）设(,)P x y ，由PA ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x +--=，即满足PA ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线30x y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以223833(3)1a d ⨯-=+，即2316|3a ≤，解得16231623a -++. (3)当直线BC 垂直与x 轴时，显然不成立，所以设直线BC 为(0)y kxb b =+≠，将它与圆方程联立并消去y 得222(1)240k x kbx b +++-=，设1122(,),(,)B x y C x y ，则212122242,11b kb x x x x k k --=+=++，因为2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2222222222424111b k b k b k b k k k --+=⋅-+=+++，故2221221244OB OC y y k b k k k x x b -+⋅===-，即22(1)0b k -=，因为0b ≠，所以21k =，即1k =±. 20. 解：（1）因为2)P ,所以21,2A ⎛--⎝⎭．代入椭圆方程，得221112a b +=，① 又椭圆的离心率为222221b a -=由①②，得222,1a b ==，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，因为2OP AO =，所以()112,2P x y --．因为BP mBC =，所以()()121232322,2,x x y y m x x y y ----=--，即()()123212322,2,x x m x x y y m y y --=-⎧⎪⎨--=-⎪⎩于是32132112,12,mx x xm mmy y ym m-⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩．代入椭圆方程，得2221212212121m mx x y ym m m ma b--⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，(3)存在定圆M223x y+=在定圆M上任取一点00(,)T x y,其中2x≠±设过点00(,)T x y的椭圆的切线方程为00()y y k x x-=-即00y kx kx y=-+,将其与椭圆方程2212xy+=联立得:2220000(12)4()2()20k x k kx y x kx y+--++-+-=2222000016()8(12)[()1]0k kx y k kx y∆=-+-+-+-=整理得:2220000(2)210x k x y k y-++-=故过点00(,)T x y的椭圆的两条切线斜率12,k k分别是2220000(2)210x k x y k y-++-=的两解.故2220001222200011(3)21222y x xk kx x x----====----,所以两条切线垂直.当02x=±,显然存在两条互相垂直的切线.。