电磁场及电磁波实验报告

电磁场与电磁波

实验报告

实验名称：有限差分法解电场边值问题

实验日期：2012年12月8日

姓名：赵文强

学号：100240333

XX工业大学（威海）

问题陈述

如下图无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。

参数说明：a=b=10m,

U=100v

实验要求

1)使用分离变量法求解解析解；

2)使用简单迭代发求解，设-10

=100.1,1

x y

ε∆=∆=

，两种情况分别求解数值解；

3)使用超松弛迭代法求解，设-10

=100.1

x y

ε∆=∆=

，确定∂（松弛因子）。

求解过程

一、分离变量法求解

因为矩形导体槽在z方向为无限长，所以槽内电位函数满足直

角坐标系中的二维拉普拉斯方程。

22

22

(0,)0,(,)0(0)

(,0)0,(,)(0)

x y

y a y y b

x x b U x a

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

∂∂

+=

∂∂

==≤≤

==≤≤

根据边界条件可以确定解的形式：

1ππ(,)sin()sinh()n

n n x n y

x y A a a

ϕ∞

='=∑ 利用边界条件0(,)x b U ϕ=求解系数。

01

ππsin(

)sinh()n n n x n b A U a a

∞

='=∑ 01

πsin(

)n n n x

U f a

∞

==∑ 0

0041,3,5,2πsin()d π

2,4,6,a

n U n n x f U x n a a n ⎧=⎪

==⎨⎪=⎩

⎰

011

πππsin()sinh()sin()n n

n n n x n b n x A U f a a a ∞

∞

=='==∑∑ 041,3,5,πsinh(π/)

'πsinh()02,4,6,n n U n f n n b a A n b n a

⎧

=⎪

==⎨⎪=

⎩

01,3,5,

4ππ(,)sin()sinh()πsinh(π/)n U n x n y

x y n n b a a a

ϕ∞

==

∑

简单迭代法求解

二、 有限差分法

有限差分法（Finite Differential Method ）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数ϕ的泊松方程的问题转换为求解网格节点上ϕ的差分方程组的问题。 泊松方程的五点差分格式

)(4

1

4243210204321Fh Fh -+++=⇒=-+++ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

当场域中,0=ρ得到拉普拉斯方程的五点差分格式

)(4

1

044321004321ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+++=⇒=-+++

差分方程组的求解方法(1) 高斯——赛德尔迭代法

][)(,)(,)(,)(,)(,2

k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i 1k j i Fh 4

1

-+++=+++-+-+ϕϕϕϕϕ (1-14)

式中：⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,2,1,0,2,1,k j i ，

• 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 • 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分 格式，直到所有节点电位满足εϕ

ϕ<-+)(,)

(,k j

i l k j

i 为止。

（2）超松弛迭代法

][)

(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,k j i 2k 1j i k j 1i 1k 1j i 1k j 1i k j i 1k j i 4Fh 4

ϕϕϕϕϕαϕϕ--++++=+++-+-+ (1-15)

式中：α——加速收敛因子)21(<<α 可见：迭代收敛的速度与α有明显关系 (一)

简单迭代法

简单迭代法程序： 1) 步长=1

clear all;clc;close all; %设置节点数,步长1 hx=11; hy=11;

v1=ones(hy,hx); %% %%

%设置边界条件

v1(hy,:)=ones(1,hx)*100; v1(1,:)=zeros(1,hx); v1(1:hy,1)=0; v1(1:hy,hx)=0; %% %%

%初始化 v2=v1;

图1-4 高斯——赛德尔迭代法

maxt=1;

t=0;

k=0;

%%

%%

while(maxt>1e-10)

k=k+1; %计算迭代次数

maxt=0;

for i=2:hy-1

for j=2:hx-1

v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4;%拉普拉斯方程差分形式t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));

if(t>maxt) maxt=t;end

end

end

v1=v2;

end

%%

%%

%可视化显示

subplot(1,2,1),mesh(v2); %画电势的三维曲面图

axis([0 ,11,0,11,0,100]);

title('步长=1，各点电位');

subplot(1,2,2),contour(v2); %画等势线

title('等位线');

实验结果：

步长=1，各点电位等位线