二次函数与图形面积问题
二次函数与图形面积练习题
二次函数与图形面积练习题例题1、如图所示、围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成。
围成的花圃是如图所示的矩形ABCD设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米。
（1）求S与x之间的函数关系式并写出自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值？例题2、如图、已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B=30°，若边长AB=xcm,求：（1）求平行四边形ABCD的面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围？（2）求当x取何值时，平行四边形ABCD的面积有最大值？最大值是多少？例题3、如图、一个正方形纸板的边长为10cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）。
设AE=BF=CG=DH=xcm，阴影部分的面积为y（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围？（2）当x取何值时，阴影部分的面积最大？最大值是多少？例题4、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙，墙长为13m，中间隔有一道篱笆的矩形菜园，为了方便出入，在如图所示位置装上1.5m宽的门，这个矩形菜园的长、宽各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？例题5、如图、等腰直角三角形ABC以2cm/s的速度沿直线m匀速向正方形CDEF移动，直到AB与EF 重合。
设移动xs时，三角形与正方形重合部分的面积为y（1）当x=2.7时，y的值分别为多少？（2）求从开始移动时到AB与EF重合时，y与x的关系式，并求出x的取值范围？例题6.汪赛响应国家“自主创业”的号召，在三里铜锣湾广场投资开办了一个运动服装商店，服装的批发价为每件25元，现在的售价为每件45元，经过一段时间经营后查询财务报表可知，每星期可卖出155件．现在开展市场调查发现：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于50元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元，每星期的利润为w元．（1）求w与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？。
二次函数与图形面积问题
二次函数与图形面积问题1、阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：y=a(x-1)2+4 ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△ABC的铅垂高CD及S △ ABC（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使a=-1 ，且S△PAB=9/8 S△CAB若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2,3）,B（6,1）,C（0,-2）．（1）求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E（t,n）是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S．当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?3、如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。
（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。
4、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1。
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______ （任写一个即可）；（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图2，求抛物线l2的函数表达式；（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点，若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标；（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。
22_3 第1课时 二次函数与图形面积问题【人教九上数学学霸听课笔记】
(2)S＝72－12(6－t)·2t＝t2－6t＋72(0≤t≤6).
(3)因为S＝t2－6t＋72＝(t－3)2＋63,
所以当t＝3时,S有最小值,最小值为63.
谢 谢 观 看！
与 围成一个矩形场地ABCD,求该矩形场地的最大面积.
应
用 解：设矩形场地的面积为S m2,平行于墙的
一边BC的长为x m.由题意,得
图22－3－1
S＝x·12(80－x)＝－12(x－40)2＋800,
所以当 x＝40 时,S 最大值＝800,12(80－x)＝20,符合题意.
探 究
所以当所围成的矩形场地ABCD的长为40 m,宽为20 m时,其
故当所围成的矩形场地ABCD的长为30 m,宽为25 m时,其面积最
大,最大面积为750 m2.
探 究
变式 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图J22－3
与 －1所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个
应
用 矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在P处有一棵树与墙
CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含
1.用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 S cm2 的矩形,S 的
小 检
值不．可．能．为( D )
测 A.20
B.40
C.100
D.120
随 [解析] 设矩形的一边长为x cm,则S＝x(20－x)＝－x2＋20x＝－
堂
小 (x－10)2＋100.
检 测
可见S的最大值是100,
所以S的值不可能为120.
探 归纳总结
究 与
应用二次函数解决面积最值问题的“三个关键点”
应 用
二次函数应用 图形面积问题
二次函数应用图形面积问题
1、在创建文明城市的活动中，政府想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB x
200m，求AB的
=m．（Ⅰ）若花园的面积是2
长；（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
2、如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
a=，所ABCD，其中AD MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．（1）若30
围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
3、某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆()
EF，如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD AB
>，矩形ABCD的面积为s 平方米．（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
4、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形
花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数表达式．（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积为50m2的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．。
专题：二次函数与几何图形综合——图形面积问题(后附答案)【精品】
专题二次函数与几何图形综合——图形面积问题类型1 已知三角形的面积，求点的坐标
1．如图所示，二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A(－4，0)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AO P＝8，请求出点P的坐标．
2．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于点A，B，交y轴于点C，P为抛物线上在第二象限内的一点．若△PAC的面积为3，求点P的坐标．
类型2 已知三角形面积之间的数量关系，求点的坐标
3．如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB＝5
4
S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型3 求三角形面积的最值
4．如图，直线l：y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y＝ax2－2ax＋a＋4(a＜0)经过点B.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM，BM.设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S关于m的函数解析式，并求出S的最大值．。
二次函数与图形面积问题
实际问题与二次函数
生活是数学的源泉， 我们是学习数学的主人.
，顶点坐标是
. ( b ,4acb2) 2a 4a
当a>0时，
开口向向上，有最 低 点，函数有最 小 值，是
4ac b2 4a
.
当a<0时，开口向 向下 ，有最 高 点，函数有最 大 值
，是
4ac b2 4a
。
温故知新
3.二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线_x__=__3____, 顶点坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y有最 小 值 是5 .
点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度 A
移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，
几秒后Δ PBQ的面积最大？
最大面积是多少？
P
C
Q
B
快乐展示
解：根据题意，设经过x秒后Δ PBQ的面积y最大，则
A 2 P x ,P B 8 2 x ,Q x B
过程
一 温故知新 二 学习目标 三 自主学习 四 合作探究 五 快乐展示 六 归纳小结
温故知新
温故知新
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，
它的对称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
2.二次函数的一般式是 ya2xbxc，它的图像的对
称轴是
人教九年级数学上册《二次函数与图形面积问题》课件
第1课时 二次函数与图形面积问题
重难互动探究
探究问题 求几何图形的最大（小）面积 例 ［教材探究1变式题］ 一条隧道的截面如图22－3－2所 示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形 ABCD.
图22－3－2
第1课时 二次函数与图形面积问题
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（平方米）关于半径r（米）的函数关系 式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14， 结果精确到0.1平方米）.
与x间的函数关系，再求解.
解： 不妨设矩形纸较短边长为 a，设 DE＝x，则 AE＝a －x.
那么两个正方形的面积和为 y＝x2＋（a－x）2 ＝2x2－2ax＋a2. 当 x＝－－2×22a＝12a 时， y 最小＝2×12a2－2a×12a＋a2＝12a2. 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的 面积和最小.
［解析］ （1）已知AD＝4米，即半圆O的半径为2米，直接根 据圆的面积公式计算；（2）①隧道的截面积由两部分组成， 即半圆面积和矩形面积；②注意自变量的取值范围，在实际问 题中求最大（小）值，要注意自变量的范围是否符合实际意义.
第1课时 二次函数与图形面积问题
解：（1）当 AD＝4 米时，S 半圆＝12π·A2D2＝12π×22＝2 π（平方米），
数学
新课标（RJ） 九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
第1课时 二次函数与图形面积问题
新知梳理
► 知识点 用二次函数求几何图形的最大（小）面积 在解答有关二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时 ，应遵循以下规律： （1）利用几何图形的面积（或体积）公式得到关于面积（ 或体积）的二次函数关系式； （2）由已得到的二次函数关系式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答 案.
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
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M点的坐标
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与 y轴交于点C（3）
在X 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 垂直于X轴于点G，
使以A、M、G三点为顶点的三角形与 △PCA相似．若存在，请求出
M点的坐标
2.在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角 形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c经过A， B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；
如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q （2，-1），且 与 Y轴交于点C(0,3) ，与X 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点 P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合 ），过点P作PD∥ Y轴，交AC于点D． (2)当△ADP是直角三角形时， 求点P的坐标；
二次函数与图形面积问题
1.如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B
两点，与 y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
解：（1）当y=0,得：x2-1=0, 解得：x=1或x=-1 令x=0得，y=-1 所以A(-1,0) B(1,0) C(0,-1)
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与
y轴交于点C． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P， 求四边形ACBP的面积;
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与 y轴交于点C（3）
在X 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 垂直于X轴于点G，
使以A、M、G三点为顶点的三角形与 △PCA相似．若存在，请求出
M点的坐标
（3）在（2）的条件下：②在抛物线上是否存在一点P， 使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所 有点P的坐标；若不存在，说ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理由.
（3）在（2）的条件下：②在抛物线上是否存在一点P， 使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所 有点P的坐标；若不存在，说明理由.
如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q （2，-1），且 与 Y轴交于点C(0,3) ，与X 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点 P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合 ），过点P作PD∥ Y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；
(3)在问题(2)的结论下，若点E在 X轴上，点F在抛物线上，问是否存 在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若 不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q （2，-1），且 与 Y轴交于点C(0,3) ，与X 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点 P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合 ），过点P作PD∥ Y轴，交AC于点D． (2)当△ADP是直角三角形时， 求点P的坐标；
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与 y轴交于点C（3）
在X 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 垂直于X轴于点G，
使以A、M、G三点为顶点的三角形与 △PCA相似．若存在，请求出
M点的坐标
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与 y轴交于点C（3）
在X 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 垂直于X轴于点G，
（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)， 过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大 时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶
点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使 △EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有 点P的坐标；若不存在，说明理由.