高考文科数学练习题解析等比数列及其前n项和

1 第三节 等比数列及其前n项和 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列有关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系．

突破点一 等比数列的基本运算

[基本知识] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义

的表达式为an＋1an＝q. (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：Sn＝ na1，q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( ) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )

(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝a1－an1－a.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

二、填空题 2

1．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则a13a10＝________. 答案：2 2．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为________． 答案：2 3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________． 答案：4 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于________．

答案：32n－1

[典例感悟] 1．(2019·山东测试)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项和S5＝( )

A.3312 B．31

C.314 D．以上都不正确 解析：选B 设{an}的公比为q，则q>0且q≠1.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝a11－q51－q

＝1×1－251－2＝31. 2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－－2n3. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n－1，则Sn＝1－2n1－2＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. [方法技巧] 3

解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，

{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q. [针对训练] 1．(2019·豫北重点中学联考)数列{an}满足a4＝27，an＋1＝－3an(n∈N*)，则a1＝( ) A．1 B．3 C．－1 D．－3

解析：选C 由题意知数列{an}是以－3为公比的等比数列，∴a4＝a1(－3)3＝27，∴a1

＝27－33＝－1.故选C.

2．(2019·绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4

＝1，S3＝7，则S5等于( )

A.152 B．314

C.334 D．172

解析：选B 设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得 a1q·a1q3＝1，a11－q31－q＝7，解得

 a1＝4，q＝12或 a1＝9，q＝－13(舍去)，∴S5＝a11－q51－q＝41－1251－12＝314.

3．(2019·兰州诊断性测试)设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127. (1)求a5的值； (2)求数列{an}的前n项和． 解：(1)由题可知a3＋1＝8，a7＋1＝128，则有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1 024，可得a5＋1＝32，即a5＝31.

(2)设数列{an＋1}的公比为q，由(1)知 a3＋1＝a1＋1q2，a5＋1＝a1＋1q4，得 a1＋1＝2，q＝2，所以数列{an

＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1， 4

利用分组求和可得，数列{an}的前n项和Sn＝21－2n1－2－n＝2n＋1－2－n. 突破点二 等比数列的性质

[基本知识] (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar

＝a2s，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项

的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．

(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和panqbn(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.

(5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列． [基本能力] 1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________. 答案：4 2．(2019·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________. 答案：14 3．已知等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于________． 答案：4 4．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于________．

答案：18

[典例感悟] 1．(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0

的根，则a2a16a9的值为( )

A．－2＋22 B．－2 C.2 D．－2或2 5

解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a9＝－2，故选B. 2．(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30

＝70，那么S40等于( )

A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50 解析：选A 易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.故选A. [方法技巧] 应用等比数列性质解题时的2个注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． [针对训练] 1．(2019·惠州调研)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2

＋…＋log3a10＝( )

A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解析：选B ∵a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.

2．(2019·兰州一中测试)在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝158，a2a3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4

等于( )

A.35 B．53 C．－35 D．－53 解析：选D 1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝a1＋a4a1·a4＋a2＋a3a2·a3. ∵在等比数列{an}中，a1·a4＝a2·a3， ∴原式＝a1＋a2＋a3＋a4a2·a3＝158×－89＝－53.故选D.