2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集1，2，3，，集合2，，，则为A. 2，B. 3，C. 2，3，D. 2，2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A. B.C. D.3.已知等差数列中，前5项和，，则A. 16B. 17C. 18D. 194.已知平面向量，若与垂直，则A. B. 2 C. D. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是A.B.C.D.7.函数的图象大致为A.B.C.D.8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为A. 3B. 5C. 8D. 119.设，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对的对数为A. 1B. 2C. 3D. 410.刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. B. 3 C. D. 411.过抛物线上点作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别交于不同与P的点A，B，若，，则下列结论正确的是A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12.函数的定义域为，为其导函数．若且，则的解集为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的实轴长是______ ．14.已知函数是偶函数，则k的值为______ ．15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______．16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，用表示它的前n项和，若已知，那么______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率．18.已知中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ求C；Ⅱ若，的面积为，求的值．19.如图在等腰直角三角形ABC中，，，点D为AB中点，将沿DC折叠得到三棱锥，如图，其中，点M，N，G分别为，BC，的中点．Ⅰ求证：平面DCG；Ⅱ求三棱锥的体积．20.已知函数．求在点处的切线方程；求证：在上仅有2个零点．21.椭圆E的焦点为和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的直线，又知点，直线BH记为，与交于点设，已知当时，Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，已知点，点P是曲线上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点M的轨迹的极坐标方程；Ⅱ已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值23.已知函数，．Ⅰ若的最小值为1，求实数a的值；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．由题意，集合，从而求得2，．【解答】解：，2，；故选D．2.答案：A解析：解：复数在复平面内对应的点在第二象限，，解得．实数m的取值范围是．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.答案：B解析：解：，，，则，则公差，，则．故选：B．根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：平面向量，若与垂直，，求得，故选：C．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5.答案：C解析：解：设大正方形的边长为4，则面积，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，故概率．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.答案：B解析：解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上1．，．故选：B．分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列前四项的和再加上利用裂项法求和可求解．本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构．7.答案：D解析：解：，则为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当时，为增函数，排除A，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：作出可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得．结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故选：D．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：解：对于任意实数x都有，则函数的周期相同，若，此时，，此时，若，则方程等价为，，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组，故选：B．根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：，可得设的斜率为k，则，的斜率分别为：，，设直线的方程为：，则的方程为，的方程为，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，所以，代入直线中可得，即；联立直线与抛物线的方程可得，整理可得所以，可得，代入中可得，即；联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，代入抛物线的方程可得，可得；所以为定值；故选：B．由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，B，C 的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12.答案：D解析：解：令，，由题意可得，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，又，时，，由可得即，结合函数图象可知，．故选：D．结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．13.答案：4解析：解：双曲线化为标准方程为即双曲线的实轴长是4故答案为：4双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长．本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14.答案：解析：解：由函数是偶函数，可知即，对一切恒成立，故答案为．利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15.答案：解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，0，，1，，设，，，．1，，，，，．当且仅当时等号成立．令，则．当，即时，．长度的最小值是．故答案为：．以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，可得，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16.答案：解析：解：，，，，，，，，以上累加得：，，，故答案为：．根据条件，利用累加法得到，从而，．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得：，解得，设中位数是，则，解得，中位数是125．Ⅱ由，估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数，这两人均来自区间包含的基本事件个数，这两人均来自区间的概率．解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，而C为三角形的内角，；Ⅱ的面积为，及，得，化简可得，又，由余弦定理，得，化简得，，解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值，Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出．本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，，在三棱锥中，，，是的中点，，，，平面DGC，点M，N，分别为，BC的中点．，平面DCG．Ⅱ解：由图知，，，平面，又，是等边三角形，，，，，，三棱锥的体积：．解析：Ⅰ推导出，，从而，，进而平面DGC，推导出，由此能证明平面DCG．Ⅱ由，，，得平面，推导出是等边三角形，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：切点为．．，在点处的切线方程为：，化为：．证明：．时，，，函数在上单调递增，而，函数在上只有一个零点0．时，．函数在上单调递增，而，，存在唯一实数，使得，且函数在上单调递减，上单调递增．又，，．函数在上存在唯一零点，而在上无零点．综上可得：在上仅有2个零点．解析：切点为可得，利用点斜式即可得出切线方程．分类讨论：时，利用导数研究其单调性可得，函数在上只有一个零点时，可得函数在上单调递增，进而得出零点的个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，，，由椭圆定义得，从而，故此时点A在y轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为：；Ⅱ证明：如图所示：，设点，，设直线AB的方程为：，代入椭圆中，得：，，，，由题设知，直线BH斜率，直线BH的方程为：，而直线方程为：，代入，得，故点C的横坐标是定值3．解析：设椭圆方程为，其中，利用椭圆的定义和已知条件可得，代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程；设点，，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而得到直线BH斜率，再得到直线BH的方程与直线方程联立即可得到点C的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，设，由于点M满足，所以为参数，转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为，设，，由于，所以，即，由于，所以，解得．所以，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数，．，解得或；时，不等式，即：，可得：，．，不等式的解集包含，即：且，．实数a的取值范围：．解析：Ⅰ化简的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a的值；Ⅱ化简不等式的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高．。
2020届山西省太原市一模数学(文科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解： 复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解： 平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解： 对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。
2020届山西省太原市高三下学期模拟(一)数学(文)试题(解析版)
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【答案】A
【解析】根据复数对应的点在第二象限,可得 ,然后解不等式组得到m的取值范围.
【详解】
解:因为复数m+1+(2﹣m)i在复平面内对应的点在第二象限,
将其置入到长方体中，如图所示
易得 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【点睛】
本题考查三视图及几何体外接球的问题，比较特殊的锥体，通常要考虑是否能够置入到长方体或正方体中来解决，查学生的空间想象能力，是一道容易题.
11．过抛物线 上点 作三条斜率分别为 ， ， 的直线 ， ， ，与抛物线分别交于不同于 的点 ．若 ， ，则以下结论正确的是（）
又 ， 为等边三角形，
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，属于中档题.
20．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 上有且仅有 个零点.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.
【答案】
【解析】由已知， ， ，利用累加法即可得到答案.
【详解】
由已知， ， ，各式相加得
，即 ，又 ， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：
【附加15套高考模拟试卷】山西省太原市2020届高三模拟考试(一)数学(文)试卷含答案
山西省太原市2020届高三模拟考试（一）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()22,?52,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,1-B ．[)1,2-C ．[)2,2-D ．[]0,22．数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．273．已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．36π+B ．66π+C ．312π+D ．124．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD-的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π5．已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B =I （ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]0,1C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 6．运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，890a a +<，则使得0nn s a n+<最小的n 为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．139．已知函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+，将函数()f x 的图象向左平移(0)φφ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π10．已知角a 的终边经过点(,1)A a ，若点A 在抛物线23y x =的准线上，则cos α=（ ）A ．3B ．3C ．12D ．12-11．函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点(0)12，π对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点(0)6π，对称 D ．关于直线6x π=对称 12．已知等比数列{}n a 的前n 项和3nn S a =+（a 为常数），则数列2{}n a 的前n 项和为（ ）A ．1(91)2n- B ．1(91)4n-C ．1(9)8na + D ．3(91)8na +-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年6月10日山西省太原市第五中学2020届高三6月一模考试文数参考答案
i 1
i 1
6
2
又由已知计算得： (x x)( yi y)
r
i 1
=
13.56
13.56 0.998
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
17.5 10.55 4.18 3.25
i 1
i 1
所以：由 R2 r 2 0.996 0.89 ，因此，回归方程 y ketx 的拟合效果要更好.
利用VB1 ABC
VABB1C
得：
1 3
SABC
d
1 3
S BB1C
AO ，
d
21 ，
7
sin d 21 BB1 7
19. 解：（1）由 y ketx 得： ln y tx ln k ，由上表中可得： x 3.5 ， u 3.13 ，
6
6
(ui u)2 10.55 ， (xi x)(ui u) 13.56 ，
6
（2）
①
由题知： t b
i 1
( xi
6
x)(ui (xi x)2
u)
=
13.56 17.5
0.77
i 1
因此有： ln k u b x =3.13-0.775×3.5=0.418
故 ln y 0.775x 0.418 ,
故回归方程为： y e0.775x0.418 ， 即： y 1.520e0.775x
要证： ln x x2 x ，只作差函数即可，余略
22. （1） 点 P 到直线 l 距离的最大值为 2 2
（2） t 的取值范围为 (0, 3) 23. （1） ( 8 ,2) ； （2） (0,8]
3
4
，即
2020届山西省太原市高三年级模拟试题(一)文科数学试题
绝密★启用前山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）文科数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则v B A =U ðA.{0,2,4}B.{1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2.已知i 是虚数单位,复数m+ 1 +(2 - m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A.(-∞, -1)B.(-1,2)C.(2, +∞)D.(-∞,-1)U(2, +∞)3.已知等差数列{}n a 中,前5项和525,S =23,a =,则9a =A.16B.17C.18D.194.已知平面向量a =(4,-2),b =(1,-3),若a + λb 与b 垂直,则λ =A.-2B.2C.-1D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为 5.16A 11.32B 7.16C 13.32D6.某程序框图如图所示,若a = 4,则程序运行后输出的结果是7.4A 9.5B 11.6C 13.13D7.函数21()||x f x x -=的图象大致为8.已知变量x,y 满足约束条件632,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数z=x + 2y 的最大值为A.3B.5C.8D.119.设a ∈R, b ∈[0, 2π ),若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+),则满足条件的有序实数对(a, b)的个数为A.1B.2C.3D.410.刘徽注《九章算术.商功》中，将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为.3 B.3 3C D.411.过抛物线24y x =上点P(1, 2)作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,,l l l 与抛物线分别交于不同于P 的点A,B,C.若12230,1k k k k +=⋅=-,则以下结论正确的是A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定 12. 函数f(x)的定义域为(,2),()f x '-∞为其导函数,若1(2)()()x x x fx f x e '--+=且f(0)=0,则f(x)< 0的解集为A.(-∞, 0)B.(0, 1)C.(1,2)D.(0,2)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___14.已知函数4()log (41)(x f x kx k =++òR )是偶函数，则k=____15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC,BF 上移动，则MN 长度的最小值是____16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，12211,1,(n n n a a a a a n ++===+∈N *).用n S 表示它的前n 项和,若已知2020,S m =那么2020a =_____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步),绘制出如下频率分布直方图:( I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数;( II )若该校有教职工175人,试估计一天行走步数不大于130百步的人数;(III)在(II)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间( 150, 170]的概率.18. (本小题满分12分)已知△ABC 中,a, b,c 分别是内角A, B, C 的对边，212cos sin()cos 362C C ππ++=-. ( I )求C; (II)若c=3,△ABC 33求11a b +的值.19. (本小题满分12分)如图(1) ,在等腰直角△ABC 中，∠ACB = 90° ,AB =4,点D 为AB 中点,将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1-BCD,如图(2) ,其中,160,A DB ︒∠=， 点M,N,G 分别为11,,AC BC A B 的中点.( I )求证:MN ⊥平面DCG ；( II )求三棱锥1G A -DC 的体积.20. (本小题满分12分)已知函数f ()cos .x x e x =-(I )求曲线y =f(x )在点(0,f(0))处的切线方程;( II )证明:f(x)在(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21. （本小题满分12分)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0),F 过2F 的直线1l 交E 于A,B 两点,过A 作与y 轴垂直的直线2,l 又知点H(2, 0),直线BH 记为32,l l 与3l 交于点C.设22,AF F B λ=u u u u r u u u u r 已知当λ=2时,|AB|= |BF 1|.(I)求椭圆E 的方程;( II )求证;无论λ如何变化,点C 的横坐标是定值,并求出这个定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),已知点Q(6,0),点P 是曲线C 1上任意一点, 点M 满足 2PM MQ =u u u u r u u u u r ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程; (II)已知直线l:y=kx 与曲线2C 交于A,B 两点,若4OA AB =u u u r u u u r ,求k 的值.23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x-1|( I )若f(x)+ 2g(x )的最小值为1,求实数a 的值;( II )若关于x 的不等式f(x)+ g(x)< 1的解集包含1[,1]2,求实数a 的取值范围.。
山西省太原市2020届高三一模考试文科数学(含答案)
太原市2020年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科）(考试时间:下午3 ： 00——5 ： 00)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，第I 卷1至4页，第n 卷5至8页。
2.回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答第I 卷时，选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第n 卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.若全集[/ = {0,1,2,3，4}，集合/1={1,2,3}』={2，4}，则511(^=A.{0,2,4} B.{1,3，4}C.{ 2,3,4}D.{0，2，3,4}2.已知i 是虚数单位，复数m + 1 + (2 - m ) i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是A.(-«, -1) B.(-l,2)C.(2,+oo)D.(-oo,-l)U(2,+oo)3.已知等差数列faj 中，前5项和S5 =25,o 2 = 3,则a,=A. 16 B. 17C.18D.19高三数学(文）第1页（共8页）m鄭酿餘4.已知平面向量a = (4，-2)，b = (l，-3)，若a+ A6与6垂直,则A =A. -2B. 2C.-lD. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.（清)陆以 渐《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多 至千余，体物肖形，随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜 为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为C.1616113213325.某程序框图如图所示,若a = 4，则程序运行后输出的结果是A.B.D.11 137.函数/00:太2W -的图象大致为/ 输$s/A B D高三数学(文)第2页（共8页)已知变量l y满足约束条件A.C.+ J^6,-3;^-2，则目标函数2:B. 5D. 112y的最大值为9•设a eif, 6 e[0，277")，若对任意实数x都有sin(3* - y)= s i n(a»: + 6),则满足条件的有序实 数对(a, 6)的个数为A. 1B.2C. 3D.410.刘徽注《九章算术•商功》中,将底面为矩形’一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. V3B. 3正视图V2-侧视图C.V3_D. 4 俯视图11.过抛物线；r2= 4*上点P(l，2)作三条斜率分别为h,fc2，A3的直线，与抛物线分别交于不同于P的点束B,C.若幻+k2= 0,k2.k3 = -1，则以下结论正确的是A.直线/IB过定点B.直线斜率一定C.直线SC斜率一定D.直线斜率一定12.函数/(幻的定义域为（-»，2)，/'00为其导函数，若（*-2)/'(*)+/(*):e*.且/(0) = 0，则/(*.)< 0的解集为A. (-00, 0) C.(l,2)B.(0, 1)D.(0,2)高三数学(文）第3页（共8页)高三数学(文）第4页（共8页)太原市2020年高三年级模拟试题(一)m w•E数学试卷(文科）第n卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.13.双曲线2*2 - y2 = 8的实轴长是________.14.已知函数/(*)=log4(4* + 1) + &(^/?)是偶函数，则&=________.15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面/isa)与平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线/1C，S F上移动，则M V长度的最小值是_____—.16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列f a j中，a, = 1,o2= l,a… +2= an+1 + a…(neN*).用S…表不它的前n项和，若已知= ;n，那么高三数学(文）第5页（共8页)50 70 90 110 130 150 170 190 210 百步18.(本小题满分12分）2tT T T已知 A A B C 中，a ，6，c 分别是内角y 4，B ，C 的对边，2cos~^~sin( — + C) + cosC = •3 6 2(I )求C;(n )^c =3，z u 执:的面积为与芝，求丄+1的值.1ab三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步）,绘制出如下频率分布直方图：(I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；(n )若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；(m )在（n )的条件下，该校从行走步数大于iso 百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间（150,170]的概率.频数/组距高三数学(文）第6页（共8页)19.(本小题满分12分）如图（1),在等腰直角A4B C中，ZA C B= 90。
山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学试题(含解析)
数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4}，则B ∪（∁U A ）为（ ） A ．{0，2，4}B ．{1，3，4}C ．{2，3，4}D ．{0，2，3，4}2．已知i 是虚数单位，复数m +1+（2﹣m ）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣1，2）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）3．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝25，a 2＝3，则a 9＝（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．15．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．1132C ．716D ．13326．某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．74B ．95C ．116D ．1377．函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．119．设a ∈R ，b ∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ），则满足条件的有序实数对（a ，b ）的对数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）A ．√3B ．3C ．√32D ．411．过抛物线y 2＝4x 上点P （1，2）作三条斜率分别为k 1、k 2、k 3的直线l 1、l 2、l 3，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 过定点 B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．函数f （x ）的定义域为（﹣∞，2），f '（x ）为其导函数．若（x ﹣2）f '（x ）+f （x ）=1−xe x 且f（0）＝0，则f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．双曲线2x2﹣y2＝8的实轴长是．14．已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数，则k的值为．15．在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16．我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{a n}中，a1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*）．用S n表示它的前n项和，若已知S2020＝m，那么a2022＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间（150，170]的概率．18．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos 2π3sin(π6+C)+cosC =−12．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c ＝3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b的值． 19．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB ＝60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣cos x ．（1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求证：f （x ）在（−π2，+∞）上仅有两个零点．21．椭圆E 的焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H （2，0），直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ．设AF 2→=λF 2B →，已知当λ＝2时，|AB |＝|BF 1|． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM →=2MQ →，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA →=4AB →，求k 的值 [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）+2g （x ）的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，求实数a 的取值范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，2，4}B．{1，3，4}C．{2，3，4}D．{0，2，3，4}由题意，集合∁U A＝{0，4}，从而求得（∁U A）∪B＝{0，2，4}．∵∁U A＝{0，4}，∴（∁U A）∪B＝{0，2，4}；故选：A．本题考查了集合的运算，属于基础题．2．已知i是虚数单位，复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．∵复数m+1+（2﹣m）i在复平面内对应的点在第二象限，∴{m+1＜02−m＞0，解得m＜﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．故选：A．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3．已知等差数列{a n}中，前5项和S5＝25，a2＝3，则a9＝（）A．16B．17C．18D．19根据等差中项求出a3，然后求出a1和d，求出a9∵S5＝25，a2＝3，∴S5＝25＝5a3，则a3＝5，则公差d＝a3﹣a2＝2，a1＝1，则a9＝1+8×2＝17．故选：B．本题考查等差数列性质，属于基础题．4．已知平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得λ的值． ∵平面向量a →=(4，−2)，b →=(1，−3)，若a →+λb →与b →垂直， ∴（ a →+λb →）•b →=a →⋅b →+λb →2=4+6+10λ＝0，求得λ＝﹣1， 故选：C ．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．1132C ．716D ．1332先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高√2，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．设大正方形的边长为4，则面积4×4＝16，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为2√2，面积12×2√2×2√2=4，另外一部分为梯形，上底为√2，下底为2√2，高√2，面积√2+2√22×√2=3，故概率P =716． 故选：C ．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6．某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（ ）A ．74B ．95C ．116D ．137分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列{1n(n+1)}前四项的和再加上1．利用裂项法求和可求解．由题意知，该程序计算的是数列{1n(n+1)}前四项的和再加上1．∵1n(n+1)=1n −1n+1，∴S ＝1+（1−12）+(12−13)+(13−14)+(14−15) =95． 故选：B ．本题考查了直到型循环结构求数列前n 项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构． 7．函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ） A ．B．C．D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当x＞0时的单调性，利用排除法进行求解即可．f（﹣x）=(−x)2−1|−x|=x2−1|x|=f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当x＞0时，f（x）=x2−1x=x−1x为增函数，排除A，故选：D．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8．已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．11先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z ＝x +2y 过点P （2，1）时，z 最大值即可． 作出可行域如图，由z ＝x +2y 知，y =−12x +12z ，所以动直线y =−12x +12z 的纵截距12z 取得最大值时，目标函数取得最大值． 由{x =1x +y =6得A （1，5）． 结合可行域可知当动直线经过点A （1，5）时， 目标函数取得最大值z ＝1+2×5＝11． 故选：D ．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9．设a ∈R ，b ∈[0，2π），若对任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ），则满足条件的有序实数对（a ，b ）的对数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同． ∵对于任意实数x 都有sin （3x −π3）＝sin （ax +b ）， 则函数的周期相同，若a ＝3，此时sin （3x −π3）＝sin （3x +b ）， 此时b =−π3+2π=5π3，若a ＝﹣3，则方程等价为sin （3x −π3）＝sin （﹣3x +b ）＝﹣sin （3x ﹣b ）＝sin （3x ﹣b +π）， 则−π3=−b +π，则b =4π3， 综上满足条件的有序实数组（a ，b ）为（3，5π3），（﹣3，4π3），共有2组， 故选：B ．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10．刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）A ．√3B ．3C ．√32D ．4首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径． 根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体． 如图所示：所以r =√(12)2+(√22)2=√32．故选：C ．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11．过抛物线y 2＝4x 上点P （1，2）作三条斜率分别为k 1、k 2、k 3的直线l 1、l 2、l 3，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 过定点 B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定由k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1，可设直线l 1的方程，可得l 2，l 3的方程，分别于抛物线联立可得A ，B ，C 的坐标，进而可得直线AB 的斜率为定值﹣1．k 1+k 2＝0，k 2•k 3＝﹣1可得设l 1d 的斜率为k ，则l 2，l 3的斜率分别为：﹣k ，1k ，设直线l 1的方程为：y ＝k （x ﹣1）+2， 则l 2的方程为y ＝﹣k （x ﹣1）+2， l 3的方程为y =1k（x ﹣1）＝2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），联立直线l 1与抛物线的方程：{y =k(x −1)+2y 2=4x ，整理可得k 2x 2+[2k （2﹣k ）﹣4]x +（2﹣k ）2＝0， 所以x A •1=(2−k)2k2，所以x A =(2−k)2k2，代入直线l 1中可得y A ＝k （x ﹣1）+2＝k [(2−k)2k −1]+2=4−4kk ，即A （(2−k)2k ，4−2k k）；联立直线l 2与抛物线的方程可得{y =−k(x −1)+2y 2=4x，整理可得k 2x 2﹣[2k （2+k ）+4x +（2+k ）2＝0，所以x B •1=(2+k)2k2，可得x B =(2+k)2k2，代入l 2中可得y B ＝﹣k （x ﹣1）+2＝﹣k [(2+k)2k 2−1]+2=−2k+4k ，即B （(2+k)2k 2，−2k+4k ）； 联立直线l 3与抛物线的方程：{y =1k (x −1)+2y 2=4x ，整理可得y 2﹣4ky +8k ﹣4＝0，y C •2＝8k ﹣4，所以y C ＝4k ﹣2，代入抛物线的方程可得x C ＝（2k ﹣1）2，可得C （（2k ﹣1）2，4k ﹣2）； 所以k AB =4−2k k +2k+4k (2−k)2k 2−(2+k)2k2=8k −8k k2=−1为定值；故选：B ．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12．函数f （x ）的定义域为（﹣∞，2），f '（x ）为其导函数．若（x ﹣2）f '（x ）+f （x ）=1−xe x且f （0）＝0，则f （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（0，2）结合已知构造函数g （x ）＝（x ﹣2）f （x ），x ＜2，结合已知可知g （x ）的单调性，结合其函数的特征可求解不等式． 令g （x ）＝（x ﹣2）f （x ），x ＜2， 由题意可得，g ′（x ）=1−xe x， 当x ＞1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减，当0＜x ＜1时，g ′（x ）＜0，函数单调递减， 又g （0）＝0，x →2时，g （x ）→0， 由f （x ）＜0可得g (x)x−2＜0即g （x ）＞0，结合函数图象可知，0＜x ＜2． 故选：D ．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．双曲线2x 2﹣y 2＝8的实轴长是 4 ． 双曲线2x 2﹣y 2＝8化为标准方程为x 24−y 28=1，即可求得实轴长．双曲线2x 2﹣y 2＝8化为标准方程为x 24−y 28=1∴a 2＝4 ∴a ＝2 ∴2a ＝4即双曲线2x 2﹣y 2＝8的实轴长是4 故答案为：4本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14．已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （k ∈R ）是偶函数，则k 的值为 −12． 利用函数为偶函数的定义寻找关于k 的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．（1）由函数f （x ）是偶函数，可知f （x ）＝f （﹣x ） ∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx即 log 44x +14−x +1=−2kx ，log 44x ＝﹣2kx∴x ＝﹣2kx 对一切x ∈R 恒成立， ∴k =−12故答案为−12．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15．在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是√33．以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，AM →=λAC →=(0，λ，λ)，BN →=μBF →=(μ，−μ，0)，0≤λ≤1，0≤μ≤1，可得MN →=（μ，1﹣λ﹣μ，﹣λ），求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值． 如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A （0，0，0），B （0，1，0），F （1，0，0），C （0，1，1），设AM →=λAC →=(0，λ，λ)，BN →=μBF →=(μ，−μ，0)，0≤λ≤1，0≤μ≤1． MN →=AB →−AM →+BN →=（0，1，0）﹣（0，λ，λ）+（μ，﹣μ，0） ＝（μ，1﹣λ﹣μ，﹣λ）．∴|MN →|=√μ2+(1−λ−μ)2+λ2=√λ2+μ2+(λ+μ)2−2(λ+μ)+1≥√(λ+μ)22+(λ+μ)2−2(λ+μ)+1=√32(λ+μ)2−2(λ+μ)+1（当且仅当λ＝μ时等号成立）．令λ+μ＝t （0≤t ≤2），则|MN →|≥√32t 2−2t +1． ∴当t =23，即λ=μ=13时，|MN →|min =√13=√33． ∴MN 长度的最小值是√33． 故答案为：√33． 本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16．我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{a n }中，a 1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*）．用S n表示它的前n项和，若已知S2020＝m，那么a2022＝m+1．根据条件，利用累加法得到a1+a2+a3+……+a2020＝a2022﹣a2＝m，从而a2022＝m+1，．∵a1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n（n∈N*），∴a1+a2＝a3，a2+a3＝a4，a3+a4＝a5，……a2019+a2020＝a2021，a2020+a2021＝a2022，以上累加得：a1+2a2+2a3+2a4+……+2a2020+a2021＝a3+a4+……+a2021+a2022，∴a1+a2+a3+……+a2020＝a2022﹣a2＝m，∴a2022＝m+1，故答案为：m+1．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间（150，170]的概率．（Ⅰ）由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．（Ⅱ）由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．（Ⅲ）在区间（150，170]中有28人，在区间（170，190]中有7人，在区间（190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从（150，170]中抽取4人，（170，190]和（190，210]中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间（150，170]的概率．（Ⅰ）由题意得：0.002×20+0.006×20+a×20+0.002×20+0.002×20＝1，解得a＝0.008，设中位数是110+x，则0.002×20+0.006×20+0.008×20+0.012x＝0.5，解得x＝15，∴中位数是125．（Ⅱ）由175×（0.002×20+0.006×20+0.008×20）＝98，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间（150，170]中有28人，在区间（170，190]中有7人，在区间（190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从（150，170]中抽取4人，（170，190]和（190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数n=C62=15，这两人均来自区间（150，170]包含的基本事件个数m=C42=6，∴这两人均来自区间（150，170]的概率p=mn=615=25．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos 2π3sin(π6+C)+cosC =−12．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c ＝3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b的值． （Ⅰ）根据三角函数的化简即可求出C 的值， （Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出． （Ⅰ）2cos2π3sin(π6+C)+ccosC =−12， ∴sin （π6+C ）﹣cos C =12， ∴12cos C +√32sin C ﹣cos C =12，∴√32sin C −12cos C =12， ∴sin （C −π6）=12， 而C 为三角形的内角， ∴C =π3；（Ⅱ）△ABC 的面积为3√32，及C =π3，得12ab sin π3=3√32， 化简可得ab ＝6，又c ＝3，由余弦定理，得a 2+b 2﹣2ab cos C ＝9， 化简得a 2+b 2＝15， ∴a +b ＝3√3， ∴1a +1b=a+b ab=√32本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19．如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1﹣BCD ，如图（2），其中∠A 1DB ＝60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点． （Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ； （Ⅱ）求三棱锥G ﹣A 1DC 的体积．（Ⅰ）推导出A1D＝BD，A1C＝BC，从而DG⊥A1B，CG⊥A1B，进而A1B⊥平面DGC，推导出MN∥A1B，由此能证明MN⊥平面DCG．（Ⅱ）由CD⊥A1D，CD⊥BD，A1D∩BD＝D，得CD⊥平面A1DG，推导出△A1DB是等边三角形，三棱锥G﹣A1DC的体积V G−A1DC =V C−A1DG=13S△A1DG×CD，由此能求出结果．（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC＝BC＝2√2，AD＝BD＝CD＝2，∴在三棱锥A1﹣BCD中，A1D＝BD，A1C＝BC，∵G是A1B的中点，∴DG⊥A1B，CG⊥A1B，∵DG∩CG＝G，∴A1B⊥平面DGC，∵点M，N，分别为A1C，BC的中点．∴MN∥A1B，∴MN⊥平面DCG．（Ⅱ）解：由图（1）知CD⊥A1D，CD⊥BD，A1D∩BD＝D，∴CD⊥平面A1DG，又∠A1DB＝60°，∴△A1DB是等边三角形，∴DG⊥A1B，A1B＝2，A1G=12A1B＝1，DG=√3，∴S△A1DG=12×A1G×DG=12×1×√3=√32，∴三棱锥G﹣A1DC的体积：V G−A1DC =V C−A1DG=13S△A1DG×CD=13×√32×2=√33．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知函数f（x）＝e x﹣cos x．（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：f（x）在（−π2，+∞）上仅有两个零点．（1）f（0）＝0．切点为（0，0）．f′（x）＝e x+sin x．可得f′（0）＝1，利用点斜式即可得出切线方程．（2）f′（x）＝e x+sin x．分类讨论：x≥0时，利用导数研究其单调性可得f′（x）≥0，函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点0．x∈（−π2，0）时，f″（x）＝e x+cos x＞0．可得函数f′（x）在x∈（−π2，0）上单调递增，进而得出f（x）零点的个数．（1）f（0）＝0．∴切点为（0，0）．f′（x）＝e x+sin x．∴f′（0）＝1，∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣0＝x﹣0，化为：x﹣y＝0．证明：（2）f′（x）＝e x+sin x．x≥0时，e x≥1，∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，而f（0）＝0，∴函数f（x）在[0，+∞）上只有一个零点0．x∈（−π2，0）时，f″（x）＝e x+cos x＞0．∴函数f′（x）在x∈（−π2，0）上单调递增，而f′(−π2)=1eπ2−1＜0，f′（0）＝1＞0，∴存在唯一实数x 0∈（−π2，0），使得f ′（x 0）=e x 0+sin x 0＝0， 且函数f （x ）在x ∈（−π2，x 0）上单调递减，x ∈（x 0，0）上单调递增． 又f(−π2)=1e π2＞0，f （x 0）=e x 0−cos x 0＝﹣sin x 0﹣cos x 0＜0，f （0）＝0．∴函数f （x ）在x ∈（−π2，x 0）上存在唯一零点，而在x ∈[x 0，0）上无零点． 综上可得：f （x ）在（−π2，+∞）上仅有2个零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．椭圆E 的焦点为F 1（﹣1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H （2，0），直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ．设AF 2→=λF 2B →，已知当λ＝2时，|AB |＝|BF 1|． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值． （1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，其中b 2＝a 2﹣1，利用椭圆的定义和已知条件可得B （32，b 2），代入椭圆方程解得a ，b ，c 的值，从而得到椭圆方程；（2）设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为：x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得m =y 1+y2y 1y 2，进而得到直线BH 斜率k BH ＝y 1，再得到直线BH 的方程与直线l 2方程联立即可得到点C 的横坐标是定值3． （Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，其中b 2＝a 2﹣1，由已知当λ＝2时，不妨设|BF 2|＝m ，则|AF 2|＝2m ， ∵|AB |＝|BF 1|，∴|BF 1|＝3m ，由椭圆定义得2a ＝4m ，从而|AF 1|＝|AF 2|＝2m ，故此时点A 在y 轴上，不妨设A （0，﹣b ），从而由已知条件可得B （32，b2），代入椭圆方程，解得a 2＝3，所以b 2＝a 2﹣1＝2， 故所求椭圆方程为：x 23+y 22=1；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为：x ＝my +1，代入椭圆2x 2+3y 2＝6 中，得：（2m 2+3）y 2+4my ﹣4＝0， ∴y 1+y 2=−4m 2m 2+3，y 1y 2=−42m 2+3， ∴m =y 1+y2y 1y 2，由题设知H （2，0），直线BH 斜率k BH =y 2x 2−2=y 2my 2−1=y2y 1+y 2y 1−1=y 1，∴直线BH 的方程为：y ＝y 1（x ﹣2），而直线l 2方程为：y ＝y 1，代入y ＝y 1（x ﹣2），得x ＝3，故点C 的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM →=2MQ →，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA →=4AB →，求k 的值（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数），设P （3cos θ，3sin θ），由于点M 满足PM →=2MQ →， 所以{x =4+cosθy =sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣4）2+y 2＝1． 转换为极坐标方程为ρ2﹣8ρcos θ+15＝0（Ⅱ）直线l ：y ＝kx 转换为极坐标方程为θ＝α， 设A （ρ1，α），B （ρ2，α），由于OA →=4AB →， 所以5OA →=4OB →，即5ρ1＝4ρ2， 由于ρ2﹣8ρcos θ+15＝0， 所以{ρ1+ρ2=8cosθρ1ρ2=155ρ1=4ρ2，解得cosθ=9√316．所以k 2=tan 2θ=1cos 2θ−1=13243， 解得k ＝tan θ=±√3927．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）若f （x ）+2g （x ）的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）化简f （x ）+2g （x ）的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a 的值；（Ⅱ）化简不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集，通过解集包含[12，1]，列出不等式，然后求实数a 的取值范围．（Ⅰ）函数f （x ）＝|2x +a |，g （x ）＝|x ﹣1|． f （x ）+2g （x ）＝|2x +a |+2|x ﹣1| ＝|2x +a |+|2x ﹣2|≥|2x +a ﹣（2x ﹣2）|＝|a +2|＝1，解得a ＝﹣1或a ＝﹣3；（Ⅱ）x ∈[12，1]时，不等式f （x ）+g （x ）＜1，即：|2x +a |+|x ﹣1|＜1，可得：|2x +a |+1﹣x ＜1，∴|2x +a |＜x ． ∴−a 3＜x ＜﹣a ，不等式f （x ）+g （x ）＜1的解集包含[12，1]，即：−a 3＜12且﹣a ＞1，∴−32＜a ＜−1． 实数a 的取值范围：（−32，﹣1）．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。
山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学试题含答案
山西省太原市2020年高三年级模拟试题（一）文科数学试题4.21第I 卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则v B A =U ðA.{0,2,4}B.{1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2.已知i 是虚数单位,复数m+ 1 +(2 - m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A.(-∞, -1)B.(-1,2)C.(2, +∞)D.(-∞,-1)U(2, +∞)3.已知等差数列{}n a 中,前5项和525,S =23,a =,则9a =A.16B.17C.18D.194.已知平面向量a =(4,-2),b =(1,-3),若a + λb 与b 垂直,则λ =A.-2B.2C.-1D.15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. (清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为 5.16A 11.32B 7.16C 13.32D6.某程序框图如图所示,若a = 4,则程序运行后输出的结果是7.4A 9.5B 11.6C 13.13D7.函数21()||x f x x -=的图象大致为8.已知变量x,y 满足约束条件632,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩则目标函数z=x + 2y 的最大值为A.3B.5C.8D.119.设a ∈R, b ∈[0, 2π ),若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+),则满足条件的有序实数对(a, b)的个数为A.1B.2C.3D.410.刘徽注《九章算术.商功》中，将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图,是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为.3B.3 3C D.411.过抛物线24y x =上点P(1, 2)作三条斜率分别为123,,k k k 的直线123,,,l l l 与抛物线分别交于不同于P 的点A,B,C.若12230,1k k k k +=⋅=-,则以下结论正确的是A.直线AB 过定点B.直线AB 斜率一定C.直线BC 斜率一定D.直线AC 斜率一定 12. 函数f(x)的定义域为(,2),()f x '-∞为其导函数,若1(2)()()x x x fx f x e '--+=且f(0)=0,则f(x)< 0的解集为A.(-∞, 0)B.(0, 1)C.(1,2)D.(0,2)第II 卷(非选择题共90分)二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.双曲线2228x y -=的实轴长是___14.已知函数4()log (41)(x f x kx k =++òR )是偶函数，则k=____15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M,N 分别在正方形对角线AC,BF 上移动，则MN 长度的最小值是____16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，12211,1,(n n n a a a a a n ++===+∈N *).用n S 表示它的前n 项和,若已知2020,S m =那么2020a =_____三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. (本小题满分12分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步),绘制出如下频率分布直方图:( I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数;( II )若该校有教职工175人,试估计一天行走步数不大于130百步的人数;(III)在(II)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间( 150, 170]的概率.18. (本小题满分12分)已知△ABC 中,a, b,c 分别是内角A, B, C 的对边，212cos sin()cos 362C C ππ++=-. ( I )求C; (II)若c=3,△ABC 33求11a b +的值.19. (本小题满分12分)如图(1) ,在等腰直角△ABC 中，∠ACB = 90° ,AB =4,点D 为AB 中点,将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1-BCD,如图(2) ,其中,160,A DB ︒∠=， 点M,N,G 分别为11,,AC BC A B 的中点.( I )求证:MN ⊥平面DCG ；( II )求三棱锥1G A -DC 的体积.20. (本小题满分12分)已知函数f ()cos .x x e x =-(I )求曲线y =f(x )在点(0,f(0))处的切线方程;( II )证明:f(x)在(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.21. （本小题满分12分)椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0),F 过2F 的直线1l 交E 于A,B 两点,过A 作与y 轴垂直的直线2,l 又知点H(2, 0),直线BH 记为32,l l 与3l 交于点C.设22,AF F B λ=u u u u r u u u u r 已知当λ=2时,|AB|= |BF 1|.(I)求椭圆E 的方程;( II )求证;无论λ如何变化,点C 的横坐标是定值,并求出这个定值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22. (本小题满分10分)[选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),已知点Q(6,0),点P 是曲线C 1上任意一点, 点M 满足 2PM MQ =u u u u r u u u u r ，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求点M 的轨迹2C 的极坐标方程; (II)已知直线l:y=kx 与曲线2C 交于A,B 两点,若4OA AB =u u u r u u u r ,求k 的值.23. (本小题满分10分)[选修4- -5:不等式选讲]已知函数f(x)=|2x-a|,g(x)=|x-1|( I )若f(x)+ 2g(x )的最小值为1,求实数a 的值;( II )若关于x 的不等式f(x)+ g(x)< 1的解集包含1[,1]2,求实数a 的取值范围.11。
2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(6月份) (含解析)
2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x+2>0}，B={x|x<3}，则A∩B=()A. (−2,3)B. (0,3)C. (−3,0)D. (−3,−2)2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的中位数为5，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，84.已知a=log1513，b=log35，c=log5(cos15π)，则()A. b<a<cB. a<b<cC. c<a<bD. c<b<a5.已知向量a⃗=(1,0)，b⃗ =(t,2t)，t为实数，则|a⃗−b⃗ |的最小值是A. 1B.C.D.6.谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是：(1)取一个实心的等边三角形(图1)；(2)沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；(3)挖去中间的那一个小三角形(图2)；(4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(3)(4)(图3)．制作出来的图形如图4，…．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为()A. 916B. 419C. 2764D. 8277. 如图所示的程序框图表示的算法功能是( )A. 计算2+22+⋯+264B. 计算1+2+22+⋯+264C. 计算1+2+22+⋯+265D. 以上均不对8. 过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 且斜率为12的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，若2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率等于( )A. √10B. √13C. √102 D. √1329. 已知平面四边形ABCD 是菱形，∠BAD =π3，AB =2√3，将△ABD 沿对角线BD 翻折至△A′BD 的位置，且二面角A′−BD −C 的平面角为2π3，则三棱锥A′−BCD 的外接球的表面积为( )A. 16πB. 24πC. 28πD. 32π10. 若函数f(x)={log 2x,x >0log 12(−x),x <0，若af(−a)>0，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(0,1)11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 16+16√2B. 32+16√2C. 48D. 64312. 设函数f(x)=e x x+t (1nx −2x −1x )恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是( )A. {√e 2}∪(1,+∞)B. {e3}∪[1,+∞) C. {√e 2,e 3}∪[1,+∞)D. [1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若等比数列{a n }满足a n a n+1=9n ，则此等比数列的公比为______ ．14. 要得到y =cos(2x −π4)的图象，只需将y =cos2x 的图象向右平移______ 个单位长度． 15. 若抛物线y =ax 2(a >0)的焦点到准线的距离为1，则a =________________ ．16. 已知数列a n 的前n 项和S n =−a n −(12)n−1+2(n ∈N ∗)，则数列{2n a n }的前100项的和为______． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c −acosB)=√3b ．(1)求角A ；(2)若a =2，求△ABC 面积的取值范围．18. 某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； 其中：参考公式：b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x −⋅y −∑x i 2n i=1−n⋅x −2，a ̂=y −−b ̂x ， 参考数据：∑x i 25i=1=145，∑x i 5i=1y i =1270(2)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．19.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=120°，且AC=BC=AA1=2，E是CC1中点，F是AB中点．(1)求证：CF//平面AEB1；(2)求点B到平面AEB1的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为√2−1．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点F 且不与坐标轴平行的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，线段AB 的中点为M ，直线MP ⊥AB ，若P 点的坐标为(x 0,0)，求x 0的取值范围．21. 已知函数，x ∈(1,2)(1)求函数f(x)的值域；(2)设b ≠0，函数g(x)=13bx 3−bx ，x ∈(1,2).若对任意x 1∈(1,2)，总存在x 2∈(1,2)，使f(x 1)=g(x 2)，求实数b 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程{x =4ty =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23.已知函数f(x)=｜2x+1｜−｜x−2｜−1，不等式f(x)≤k的解集为[−5,1]．(1)求实数k的值；(2)若正数a、b满足√ab=k，求2a+4b的最小值．2-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：集合A={x|x+2>0}={x|x>−2}，B={x|x<3}，则A∩B={x|−2<x<3}=(−2,3)．故选：A．化简集合A，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：A解析：解：∵z=2i1−i +2+i=2i(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+2i，∴复数z的虚部为2．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：甲组数据分别为：9，12，10+x，24，27；乙组数据分别为：9，15，10+y，18，24．因为甲组的中位数为15，所以10+x=15，所以x=5；因为乙组的平均数为16.8，所以9+15+10+y+18+245=16.8，所以y=8，故选：C．根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x、y的值．本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．4.答案：C解析：本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数的单调性的合理运用，是基础题． 利用对数函数的单调性直接求解即可． 解：∵0=log 151<a =log 1513<log 1515=1，b =log 35>log 33=1，c =log 5(cos 15π)<log 51=0， ∴c <a <b ． 故选：C ．5.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质，属于中档题．由题意利用两个向量的数量积的定义求得|a ⃗ −b ⃗ |=√5(t −15)2+45，利用二次函数的性质求得它的最小值．解：∵a⃗ =(1,0)，b ⃗ =(t,2t)， 则|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√(a ⃗ )2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1−2t +5t 2=√5(t −15)2+45，故当t =15时，|a ⃗ −b ⃗ |取得最小值为√5=2√55， 故选B ．6.答案：C解析：本题考查了归纳推理的应用，属于基础题．根据每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后，剩余部分的面积是原图形面积的34倍．求出图4的阴影面积即可．解：由题知，每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后，剩余部分的面积是原图形面积的34倍．∵若图1(阴影部分)的面积为1，则图4阴影部分的面积为1×34×34×34=2764． 故选C ．7.答案：B解析：解：由已知可知程序的功能是利用循环进行累加运算，由于循环变量i 的初值为0，终值为64，步长为1，故循环共进行了65次， 由于累加变量的初值为0，步长为2i ，故第一次累加的值为1，第二次为2，…，第65次为264， 可得程序框图表示的算法功能是计算1+2+22+⋯+264． 故选：B ．由已知中的程序框图，我们分析循环变量的初值，终值，步长后可以确定循环的次数，进而分析累加项的通项公式，及步长，即可确定答案．本题考查的知识点是程序框图，其中根据循环变量的初值，终值，步长确定循环的次数，是解答本题的关键．8.答案：D解析：解：依题意可知点A 在第二象限，点B 在第一象限，直线l 方程为y =12(x +c)， 由{y =12(x +c)y =−b a x 得x A =−ac a+2b ，由{y =12(x +c)y =b a x 得x B =ac2b−a，(2b >a)， 由2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得2|x A |=|x B |，即2aca+2b =ac2b−a 整理得2b =3a ， 又因为b 2=c 2−a 2，所以4(c 2−a 2)=9a 2，得4c 2=13a 2， 所以e =ca =√132．故选：D ．求出直线方程，利用双曲线的渐近线求出A ，B 的横坐标，利用向量的关系，求解a 、b 关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，向量共线条件的应用，是中档题．。
2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷
2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第1题5分若全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则B∪∁U A=（）．A. {0,2,4}B. {1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第2题5分2020年四川宜宾高三一模文科第2题5分已知i是虚数单位，复数m+1+(2−m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）．A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (2,+∞)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)3、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第3题5分已知等差数列{a n}中，前5项和S5=25，a2=3，则a9=（）．A. 16B. 17C. 18D. 194、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第4题5分已知平面向量a→=(4,−2)，b→=(1,−3)，若a→+λb→与b→垂直，则λ=（）．A. −2B. 2C. −1D. 15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第5题5分2020年山西太原高三一模理科第3题5分2019~2020学年6月湖北武汉高三下学期月考文科供题（二）第7题5分七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）．A. 516B. 1132C. 716D. 13326、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第6题5分某程序框图如图所示，若a=4，则程序运行后输出的结果是（）．A. 74B. 95C. 116D. 1377、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第7题5分2020年山西太原高三一模理科第5题5分函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）． A.B.C.D.8、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第8题5分2019~2020学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第5题5分已知变量x，y满足约束条件{x+y⩽6x−3y⩽−2x⩾1，则目标函数z=x+2y的最大值为（）．A. 3B. 5C. 8D. 119、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第9题5分2016年高考真题上海卷文科第17题5分2019~2020学年浙江杭州拱墅区杭州源清中学高一下学期期中第7题4分2020~2021学年11月浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期周测D卷第8题2017~2018学年重庆北碚区西南大学附属中学校高一上学期期末第10题5分设a∈R，b∈[0,2π)．若对任意实数x都有sin(3x−π3)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第10题5分刘徽注《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）．A. √3B. 3C. √32D. 411、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第11题5分过抛物线y2=4x上点P(1,2)作三条斜率分别为k1，k2，k3的直线l1，l2，l3，与抛物线分别交于不同于P的点A，B，C．若k1+k2=0，k2⋅k3=−1，则以下结论正确的是（）．A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第12题5分且f(0)=0，则函数f(x)的定义域为(−∞,2)，f′(x)为其导函数，若(x−2)f′(x)+f(x)=1−xe xf(x)<0的解集为（）．A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第13题5分2018~2019学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期中第15题3分双曲线2x2−y2=8的实轴长是．14、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第14题5分已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数，则k=．15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第15题5分2020年山西太原高三一模理科第15题5分在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第16题5分我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n}中，a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N∗)，用S n表示它的前n项和，若已知S2020=m，那么a2022=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第17题12分手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：(1) 求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数．(2) 若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数．(3) 在（2）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150,170]的概率．18、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第18题12分已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos2π3sin(π6+C)+cosC =−12． (1) 求C ．(2) 若c =3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第19题12分2020年河南郑州高三一模文科第18题12分如图(1)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 的中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1−BCD ，如图(2) ，其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．(1) 求证：MN ⊥平面DCG ．(2) 求三棱锥G −A 1DC 的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第20题12分已知函数f (x )=e x −cosx ．(1) 求曲线y =f (x )在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 证明：f (x )在(−π2,+∞)上有且仅有2个零点．21、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第21题12分椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1,0)，过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H (2,0)，直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ，设AF 2→=λF 2B →，已知当λ=2时，|AB|=|BF 1|．(1) 求椭圆E 的方程．(2) 求证：无论λ如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第22题10分2020年山西太原高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3cosθy=3sinθ（θ为参数)，已知点Q(6,0)，点P是曲线C1上任意一点，点M满足PM→=2MQ→，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹C2的极坐标方程．(2) 已知直线l:y=kx与曲线C2交于A，B两点，若OA→=4AB→，求k的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第23题10分2020年山西太原高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|，g(x)=|x−1|．(1) 若f(x)+2g(x)的最小值为1，求实数a的值．(2) 若关于x的不等式f(x)+g(x)<1的解集包含[12,1]，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】4;14 、【答案】−1;2.;15 、【答案】√3316 、【答案】m+1;17 、【答案】 (1) a=0.008，125．;(2) 98人．;(3) 2．5;18 、【答案】 (1) C=π．3;(2) √3．2;19 、【答案】 (1) 证明解析．;(2) √3．3;20 、【答案】 (1) x−y=0．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x23+y22=1．;(2) 证明见解析，3．;22 、【答案】 (1) ρ2−8ρcosθ+15=0．;(2) k=±√3927．;23 、【答案】 (1) a=1或a=3．;(2) (1,32)．;。