从勾股定理到图形面积关系拓展
勾股定理专题总结
勾股定理专题总结一、勾股定理考点：利用勾股定理进行运算二、勾股定理的逆定理考点：利用勾股定理的逆定理判定直角三角形判断勾股数注意：利用勾股定理的逆定理时，可以先求出两条较短的线段的平方和，在与较长的线段的平方进行比较，最后做出判断。
三、勾股定理的应用考点：求立体图形中最短距离（将立体图形表面展开）利用勾股定理解决实际生活中的问题注意：解决实际问题时，如果题目中没有出现直角三角形，可以先构造出直角三角形，再利用勾股定理解题。
特别注意勾股定理应用的前提是在直角三角形中。
题型一：利用勾股定理求三角形的边长或图形面积例1：在ABC ∆中，C B A B ∠∠∠=∠︒,,90，所对的边分别为c b a ,,。
（1）若c b a 求,15,9==；（2）若a c b a 求,8,25:7:==。
1、如图，在ABD ∆中，︒=∠90D ,BD C 是上一点，已知91017===BC AC AB ，，，求AD 的长。
2、如图，275490====∠=∠︒AF AB BC FAC B ，，，，求正方形CDEF 的面积。
3、在ABC ∆中，BC cm AC cm AB ,20,13==边上的高为12cm ，则ABC ∆的面积为cm.题型二：利用勾股定理说明图形面积之间的关系例2：（1）如图1，分别以ABC Rt ∆三边为边向外作三个正方形，其面积分别用321S S S ，，表示，那么321S S S ，，之间有什么关系？（2）如图2，分别以ABC Rt ∆三边为边向外作三个半圆，其面积分别用321S S S ，，表示，那么321S S S ，，之间有什么关系？4、如图，如果正方形A 的面积是25，正方形C 的面积是169，则正方形B 的面积是。
5、如图是“赵爽弦图”，DAE CDF BCG ABH ∆∆∆∆和,,是四个全等的直角三角形，四边形EFGH ABCD 和都是正方形，如果210==EF AB ，,那么AH 等于。
初二数学(人教版)勾股定理应用(第二课时)—3学习任务单
《勾股定理应用（第二课时）》学习任务单【学习目标】本课应用勾股定理解决问题，体会数形结合、转化、分类讨论的思想方法，感受勾股定理的应用价值，提升数学推理的素养，提高分析问题、解决问题的能力。
共设计四道例题，由图形的几何特征，依据勾股定理发现数量关系（例1，例2，例3（1）），由数量关系发现构图的方法,拼接、画出几何图形(例3（2)，例4)。
【课前预习任务】复习勾股定理.【课上学习任务】1．例1从勾股定理几何原本中的表述起步，改变题目中的条件使图形从正方形到等边三角形到半圆，应用勾股定理，探讨图形发生变化,面积之间不变的数量关系.体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
2．例2的本质是把例1中一条直角边上的正方形经过全等变换改变图形位置得到的新图形，让学生从图形的几何特征，根据勾股定理探讨3个正方形面积间数量关系.使学生再次体验从几何图形特征到代数数量关系的转化，感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
3．例3(1)借助赵爽弦图，根据勾股定理,把图形面积转化为代数式的值；（2）问根据勾股定理，借助根号13的平方等于13恰好等于2与3的平方和这个数量关系，完成了从长方形到正方形的拼接.本题使学生体会从形到数，从数到形的转化,感受勾股定理的应用价值，提升逻辑推理素养。
4．由满足特殊的数量关系边长，根据勾股定理，找到画线段的方法,再通过按空间顺序有序展开线段的位置的分类讨论，最终应用勾股定理计算线段长度，确定图形。
让我们学生感受到数与形的交汇交融，再次感受勾股定理的应用价值.【课后作业】1。
如图,分别以在Rt∆ABC的三边AC ，BC , AB 为直径画半圆，求证：所得两个月形图案AFCD和月形图案BGCE的面积和等于Rt△ABC的面积。
122.有5个边长为1的正方形，排列形式如图，请把它们分割后拼接成一个大正方形。
3。
∆ABC 三边长分别为2216m n +，2294m n +，222m n +，其中 00,m n >>，且m n >， 请你画出∆ABC 并求出它的面积。
从勾股定理到图形面积关系的拓展定稿版
从勾股定理到图形面积关系的拓展HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】从勾股定理到图形面积的拓展教学目标：1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的拓展性思维．2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．感受数学学习的魅力教学重点：利用勾股定理，解决实际问题教学难点：通过体验图形的变式，学会分析问题解决问题的能力及数学建模思想。
教学过程：一、 向外拓展正方形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正四边形，那么有132s s s =+证明：∵ 22b s =，23a s =，21c s = 根据勾股定理：222c b a =+∴ 132s s s =+拓展练习：1、如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试．2、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=（）3、如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11.求正方形b的面积.4、如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号,3号两个正方形的面积为4则A,B,C三个正方形的面积和为多少?二、向外拓展正三角形如图，在Rt △ ABC ，∠C=090中，AB=c,AC=b,BC=a,分别以a,b,c 三边为边做正三角形，那么有132s s s =+如图做三角形2s 的高h ，因为2s 是以b 为边的等边三角形，易得 h=b 23，2s =b b 2321••=243b 同理：2343a s =，2143c s =；)(432232b a s s +=+，根据勾股定理222c b a =+得23243c s s =+=1s 即：132s s s =+三、向外拓展正五边形如图以直角三角形的三边为边长做正五边形，求证：132s s s =+1s S2 3s证明：如图连接正五边形的中心O 与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h,∵cot α=2c h , ∴αcot 2c h =, ∴ααcot 455cot 22121•=••=c c c S . 同理：αcot 4522•=b s ，αcot 4523•=a s ，∴)(cot 45cot 45cot 45222232a b a b s s +=•+•=+ααα 由勾股定理得：222c b a =+，∴1232cot 45s c s s =•=+α 即：132s s s =+依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n 边形时. αcot 422•=b n s ，αcot 423•=a n s ，αcot 421•=c n S ，根据勾股定理：222cb a =+，1232cot 4sc n s s =•=+α 即：132s s s =+通过上面的证明我们就得到了“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和.”四、向外拓展半圆 同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”. 下面我们来看证明： 已知：如图，直角三角形的两直角边为a,b ，斜边为c,分别以a,b,c 为直径做半圆. 求证：132s s s =+证明：∵ 2218)2(21c c s ππ==，2228)2(21b b s ππ==， 2238)2(21a a s ππ== ∴ )(888222232a b a b s s +=+=+πππ，由勾股定理222c b a =+得：122222328)(888s c a b a b s s ==+=+=+ππππ，即：132s s s =+拓展练习：把大半圆向上翻折，得到如下图：SS欣赏勾股图教学总结：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就．。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(学生版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.322(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.53(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a，b，c，若a+b=10cm,c=8cm，则Rt△ABC的面积为()A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2【变式训练】1在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=4,AB=410,AC=5，则△ABC的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或302直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c=66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD= 12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则CE的长是()A.54B.74C.154D.254【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC= 3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为()A.34B.1.5 C.53D.32(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2，点D是AC的中点，点E是斜边AB上一动点，沿DE所在直线把△ADE翻折到△A DE的位置，A D交AB于点F．若△BA F为直角三角形，则AE的长为．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在AC、AB边上(不与端点重合)．将△ADE沿DE折叠，点A落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B重合且BC=3,AB=5．①直接写出AC的长；②求△BCD的面积．(2)当∠A=37°．①A 与点E在直线AC的异侧时．如图②，直接写出∠A EB-∠A DC的大小；②A 与点E在直线AC的同侧时，且△A DE的一边与BC平行，直接写出∠ADE的度数．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC∥DM，AB=12，BM=18，求BC的长．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺)．将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长尺．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC的长．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．。
勾股定理数形结合
勾股定理数形结合勾股定理是数学中非常重要的概念之一，指的是一个直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方，即a²+b²=c²。
这个简单的公式在很多领域都有广泛的应用，例如在建筑、物理、航空、地理、计算机等领域。
在数学中，勾股定理可以用来推导其它三角形的性质和关系，例如三角形面积公式，三角恒等式等。
同时，勾股定理也与许多数学图形和形式紧密相关，例如矩形、正方形、梯形、圆等。
矩形是一个具有四个直角的平面图形。
以矩形为例，可以利用勾股定理推导出其边长和对角线的关系：假设矩形的长为a，宽为b，则矩形的对角线的长度为c，根据勾股定理可以得到a²+b²=c²。
因此，可以得出矩形对角线的长度为sqrt(a²+b²)。
正方形是一个四边相等、四角相等的矩形。
因此，正方形的对角线长度可以利用勾股定理计算。
如果设正方形的边长为a，则正方形对角线长度为sqrt(2a²)。
可以看出，正方形的对角线长度是其边长的sqrt(2)倍。
梯形是一个上底和下底不相等的四边形。
如果将梯形划分成两个直角三角形，可以利用勾股定理求出梯形的高：假设梯形上底长度为a，下底长度为b，斜边长度为c，梯形高为h，则有a²-h²=d，b²-(c-h)²=d，其中d是梯形的高平方。
将这两个式子相加可以消去h²，得到(a²-b²+c²)/2 = h²，从而可以得到梯形的高，即h=sqrt{(a²-b²+c²)/2}。
圆和勾股定理总结勾股定理作为数学中的重要概念，可以与许多数形结合进行应用，例如矩形、正方形、梯形、圆等。
在应用勾股定理时，需要注意图形的性质和特点，根据不同的情况灵活运用公式，才能得出正确的结论。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
中考数学专题复习拓展勾股定理与图形面积关系公开课精品课件
勾股定理的惊奇之处
勾股定理与图形面积关系
重温经典 勾股定理 不同版本教材中的证明方法
a2+b2=c2
c a
b
浙教版
苏教版
沪教版
人教版
简单问题 探寻奥秘
5 3
❶
4
5
=
3❸❷4源自❶=❷5
4
？
+❸
3
对比探索 领悟共性 猜想
a2 b2 c2 线段关系
s1+s2=s3 面积关系
A
S1 3S1aSS11
B
S2 SSS333 4b C
S3 5c
D
9 + 16 = 25
SSS222
实验
推理 共性
S1 1• a2
S1
3 a2 4
S1
8
a2
S2 1•b2
S2
3 b2 4
S2
8
b2
S3 1• c2
S3
3 c2 4
S3
8
c2
S1 Fa2 S2 Fb2 S3 Fc2
提炼总结 品味经典
S3 S1
S2
S3 S1
S2
S3 S1
S2
…… 形状相同，大小不同
在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积， 等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和。
35 4
形状相同，大小不同
……
拓展延伸，精准深化
S3 S1
S2
S3 S1
S2
S1
S5
S4
S3
S2
S1 S3
S4 S2
S3 S1
S2
S1
S3
S2
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结一、勾股定理的定义在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
这一定理是数学中非常重要的一个定理，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，以下为大家介绍几种常见的证明方法。
1、赵爽弦图法赵爽弦图是由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间是一个小正方形。
大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上小正方形的面积。
设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
大正方形的边长为 c，面积为 c²。
四个直角三角形的面积为 4×（1/2)ab ＝ 2ab，小正方形的边长为（b a)，面积为（b a)²＝ a² 2ab ＋ b²。
所以 c²＝ 2ab ＋ a² 2ab ＋ b²，即 c²＝ a²＋ b²，证明完毕。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作一个正方形，再以两条直角边为边长分别作两个正方形。
通过计算三个正方形的面积，可以证明勾股定理。
设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
斜边为边长的正方形面积为 c²，两条直角边为边长的正方形面积分别为 a²和 b²。
通过将直角边为边长的两个正方形进行分割和拼接，可以发现它们能够恰好填满斜边为边长的正方形，从而证明 a²＋ b²＝ c²。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条边，求第三条边例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。
2、实际生活中的应用（1）建筑工程中，计算建筑物的高度、跨度等。
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如图所示， sⅠ，sⅡ，sⅢ之间有什么数量关系？
sⅡ
sⅠ
sⅢ
s1s2 s3 sⅠ+ sⅡ=sⅢ
这节课你收获了……
a2+b2=c2
s1+s2=s3
如图，已知△ABC的三边长为别为5，12， 13，分别以三边为直径向上作三个半圆， 求图中阴影部分的面积。
四边形ABCD中AB∥CD，∠ADC＋∠BCD＝ 90°，以AD、AB、BC为斜边均向形外作等腰 直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 ＋S3＝4S2，则CD＝( ) A．2.5AB B．3AB C．3.5AB D．4AB
E
S1
F
A
D
C
B
G
S3
S2
M
如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＞BC，分别以AB、BC、CA来自一边向△ABC外作正方形ABDE、
BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、
△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3，则下 列结论正确的是（ ）
A．S1＝S2＝S3 C．S1＝S3＜S2
B．S1＝S2＜S3 D．S2＝S3＜S1
已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c为
边分别向外作等腰直角三角形．面积分别为S1、
S2、S3，若斜边c＝6，则S1+S2为
．
斜边或直角边
其实，在欧几 里得时代，人 们就已经知道 了勾股定理的 一些拓展。例 如，《原本》 第六卷曾介绍： “在一个直角 三
角形中，在斜边 上所画的任何图 形的面积，等于 在两条直角边上 所画的与其相似 的图形的面积之 和。”
AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积 分别记为S1、S2，则S1+S2的值等于 2π .
S1
A
C
S2
B
已知：如图，以Rt△ABC的三边a、b、c为
边分别向外作等腰直角三角形．面积分别为S1、
S2、S3，若斜边c＝6，则S1+S2为
．
S1+S2= 18
S1+S2= 9
s11 2a2,s21 2b2,s31 4c2
A、13 B、26 C、47
D、94
34
13
2、如图，阴影正方形部分的面积是 84 .
3、如图，直线l上有三个正
10 4
方形，面积分别为a,b,c,若
a=5,c=11，则b为（ C ）
A．5 B．6 C．16 D．55
如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为 边，向外分别作正三角形，那么是否存在 s1+s2=s3呢？
如图，如果以直角三角形的三条边a，b，c为 直径，向外分别作半圆，那么s1+s2=s3依然成 立吗？
s112π(a2)2
1πa2 8
同理 s2， 8 1b2,s38 1c2
s1 s28 1a 28 1b 28 1(a 2 b 2)
a2b2c2
s1s2
1c2
8
s3
如图，已知在Rt△ABC中， ∠ ACB=Rt∠，
在Rt△ABC中，分别以a,b,c为边向外作正方 形，如图所示，则s1,s2,s3有什么数量关系？
a2+b2=c2
s1+s2=s3
1．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四
边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形．若正方形A、B、C、D的面积分别是9、
25、4、9，则最大正方形E的面积是 （ C ）