数学建模方法及其应用中的随机模型讲解部分随机模型详解演示文稿
数学建模—概率模型 ppt课件
数学建模—概率模型
v3统计图(examp05-03) v箱线图（判断对称性） v频率直方图（最常用） v经验分布函数图 v正态概率图（+越集中在参考线附近，越近似正态分布）
v4分布检验 vChi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 vChi2gof卡方拟合优度检验，检验样本是否符合指定分布。它把观测数据分 组，每组包含5个以上的观测值，根据分组结果计算卡方统计量，当样本够 多时，该统计量近似服从卡方分布。 vjbtest,利用峰度和偏度检验。
3 单因素一元方差分析步骤
（ example07_01.m 判断不同院系成绩均值是否相等）
数据预处理
正态性检验 lillietest （p>0.05接受）
方差齐性检验 vartestn （p>0.05接受）
方差分析
anoval （ｐ＝0 有显著差别）
多重比较：两两比较，找出存在显著差异的学院，multcompare
构造观测值矩阵，每一列对应因素Ａ的一个水平，每一行对应因素Ｂ的一个
水平
方差分析
anova2 得到方差分析表
方差分析表把数据差异分为三部分（或四部分）： 列均值之间的差异引起的变差 列均值之间的差异引起的变差 行列交互作用引起的变差 （随机误差） 后续可以进行多重比较，multcompare，找出哪种组合是最优的
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数学建模—概率模型
目的：用一个函数近似表示变量之间的不确定关系。 1 一元线性回归分析 做出散点图，估计趋势；计算相关系数矩阵； regress函数，可以得到回归系数和置信区间,做残差分析，剔除异常点，重 新做回归分析 Regstats 多重线性或广义回归分析，它带有交互式图形用户界面，可以处 理带有常数项、线性项、交叉项、平方项等模型 robustfit函数：稳健回归（加权最小二乘法）
数学建模课堂PPT(部分例题分析)
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
市场需求等。
概率论中的随机过程和数理统计 中的回归分析在金融、保险等领
域有广泛应用。
概率论与数理统计
概率论与数理统计是研究随机现 象的数学分支，用于对不确定性
和风险进行量化分析。
在解决实际问题时，概率论与数 理统计可以帮助我们描述和预测 随机事件，例如股票价格波动、
例题三：股票价格预测模型
要点一
总结词
要点二
详细描述
描述如何预测股票价格的走势
股票价格预测模型旨在通过分析历史数据和市场信息，来 预测股票价格的走势。该模型通常采用时间序列分析、回 归分析、机器学习等方法，来建立股票价格与相关因素之 间的数学关系。例如，可以使用ARIMA模型或神经网络模 型来预测股票价格的走势。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的适用范围。例如，逻 辑回归模型适用于二分类问题，而K均值聚类模型则适用 于无监督学习中的聚类问题。
总结词
模型的复杂度
详细描述
在选择数学模型时，需要考虑模型的复杂度。如果数据量 较小，应选择简单模型以避免过拟合；如果数据量较大， 可以选择复杂模型以提高预测精度。
例题三：股票价格预测模型
总结词
分析模型的假设条件和局限性
详细描述
股票价格预测模型通常基于一些假设条件，如假设股票 价格是随机的或遵循一定的规律。然而，在实际情况下 ，股票价格受到多种因素的影响，如公司业绩、宏观经 济状况、市场情绪等。因此，这些模型可能存在局限性 ，不能完全准确地预测股票价格的走势。
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
《数学建模培训》PPT课件
数学建模案例解析
04
经济学案例：供需平衡模型
供需平衡理论
通过数学语言描述市场需求与供给之间的平衡关 系，涉及价格、数量等关键变量。
建模过程
收集相关数据，建立需求函数和供给函数，通过 求解方程组找到均衡价格和均衡数量。
模型应用
预测市场趋势，分析政策对市场的影响，为企业 决策提供支持。
物理学案例：热传导模型
Lingo在数学建模中的应 用案例
展示Lingo在数学建模中的实 际应用，如线性规划、整数规 划、非线性规划等优化问题的 求解。
其他数学建模相关软件与工具简介
Mathematica软件
简要介绍Mathematica的特点和功能，以及其 在数学建模中的应用。
SAS软件
简要介绍SAS的特点和功能，以及其在数学建模 中的应用。
数据预处理
包括数据清洗、缺失值处 理、异常值检测等，保证 数据质量。
数据可视化
利用图表、图像等手段展 示数据，便于理解和分析 。
数据分析方法
如回归分析、时间序列分 析、聚类分析等，用于挖 掘数据中的信息和规律。
数学建模常用方法
03
回归分析
线性回归
通过最小二乘法拟合自变量和因 变量之间的线性关系，得到最佳
模型应用
预测舆论走向，分析社会热点问题，为政府和企业提供决策支持。
数学建模软件与工
05
具介绍
MATLAB软件介绍及使用技巧
MATLAB概述
简要介绍MATLAB的历史、功能和应用领域 。
MATLAB常用函数
列举并解释MATLAB中常用的数学函数、绘 图函数、数据处理函数等。
MATLAB基础操作
详细讲解MATLAB的安装、启动、界面介绍 、基本语法和数据类型等。
化学反应动力学的数学建模分析
化学反应动力学的数学建模分析化学反应是自然界中常见的过程之一，它涉及原子和分子之间的相互作用，由此而引起的能量和物质的转化。
对于化学反应的研究，化学反应动力学是一个非常重要的分支领域。
它主要研究反应的速率、化学反应速率与反应物浓度的关系、反应的气体动力学等方面，对于深入理解化学反应过程及其工业应用具有重要作用。
化学反应动力学是一个涉及多个学科知识的领域，其中重要的一部分就是数学建模分析。
数学建模是指根据已知的原理、概念和数据，利用数学方法，建立适当的模型，来描述所研究的现象或系统。
数学建模分析在化学反应动力学领域的应用，包括了多个方面，下面我们将逐一进行介绍。
一、手推式建模手推式建模是一种基本的方法，可以对于一些简单的化学反应模型进行模拟和分析。
手推式建模通常基于质量守恒和能量守恒原理，构建反应物浓度变化的微分方程。
比如，AB反应的模型可以写成以下形式：d[A]/dt = - k[A][B]d[B]/dt = - k[A][B]其中，k是反应的速率常数，[A]和[B]分别表示反应物A和B 的浓度。
从这个方程式中我们可以看出，当反应物A的浓度减少时，反应速率也会随之减小。
这种手推式建模方法对于一些简单的反应体系的分析非常有用，但是对于复杂体系而言，手推式建模则显得力不从心。
二、动态系统建模动态系统建模是一种可以描述化学反应中各个组分之间耦合关系的方法。
动态系统建模涉及到微分方程和控制论的知识，可通过建立反应动力学的微分方程，用数学的方法进行求解，来得到化学反应的动力学行为。
举个例子，对于单一组分分子总体达到平衡的一个反应体系，其化学反应的动态系统可以用以下控制方程来描述：dN/dt = C●N（1-N/K）其中，N是化学反应体系中分子的数目；K是达到最大平衡态时化学反应体系中分子的最大数目；C是最大化学反应速率的控制因子。
这个方程描述了组分数量随时间的变化，并考虑了反应速率与组分浓度之间的关系。
三、随机过程建模随机过程建模是一种更为复杂和跨学科的建模方法，适用于非线性或混沌系统的模拟。
数学建模第五章随机模型
05
随机模拟
随机模拟的基本原理
随机模拟是一种基于概率统计的数值计算方法，通过模拟随机事件或过程来求解实 际问题。
随机模拟的基本原理包括抽样、统计推断和误差分析，其中抽样是随机模拟的核心 步骤，通过从概率分布中抽取样本，模拟随机事件的概率特征。
随机模拟的精度取决于样本数量和分布的准确性，样本数量越多，模拟结果越接近 真实情况。
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蒙特卡洛积分
蒙特卡洛积分是一种基于随机抽样的 数值积分方法，通过将积分转化为求 和的形式，利用大数定律和中心极限 定理来估计积分值。
蒙特卡洛积分在金融、物理、工程等 领域有广泛应用，可以用于求解复杂 的高维积分问题。
蒙特卡洛积分的精度与样本数量和积 分的可积性有关，对于不可积的积分， 可以通过增加样本数量来提高估计精 度。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
总结词
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种基于马尔科夫链的随机抽样方法，常用于求解复杂数学 问题的不确定性。
详细描述
马尔科夫链蒙特卡洛方法通过构造一个马尔科夫链，使其平稳分布为目标分布，从而通 过抽样得到目标分布的近似解。这种方法在统计学、物理、经济学等领域有广泛应用， 可以用于求解复杂数学问题的不确定性，如概率论中的积分、统计推断中的参数估计等。
描述随机变量取值概率分布的函数称 为随机变量的分布函数。常见的分布 函数有离散型分布和连续型分布，如 二项分布、泊松分布、正态分布等。
03
随机过程
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间上的扩展，描述了一个随机现象在连续时间或 离散时间上的变化。
分类
根据过程的性质和特点，随机过程可以分为平稳随机过程、非平稳随机过程、离 散随机过程和连续随机过程等。
数学建模方法详解
数学建模方法详解数学建模是指利用数学方法来研究和分析实际问题，并通过构建数学模型来描述和解决这些问题的过程。
数学建模具有很高的理论性和广泛的应用性，可以应用于科学、工程、经济等众多领域。
下面详细介绍几种常用的数学建模方法。
一、优化建模方法优化建模方法是指在给定的约束条件下，寻求其中一种目标函数的最优解。
该方法常用于生产、运输、资源分配等问题的优化调度。
优化建模的一般步骤包括确定决策变量、建立目标函数和约束条件、制定求解算法以及分析和验证最优解。
二、动力系统建模方法动力系统建模方法是指将实际问题转化为一组微分方程或差分方程，研究系统在时间上的演化规律。
该方法可以用于描述和预测物理、生物、经济等多个领域的系统行为。
动力系统建模的关键在于建立正确的微分方程或差分方程，并选择合适的求解方法。
三、决策分析建模方法决策分析建模方法是指将决策问题转化为数学模型，并采用数学方法进行决策分析和评估。
该方法常用于风险管理、投资决策、供应链管理等领域。
决策分析建模的关键在于准确描述决策者的目标和偏好，并选择合适的决策规则进行决策分析。
四、统计建模方法统计建模方法是指利用统计学理论和方法来描述和分析实际问题。
该方法多用于数据分析、预测和模式识别等领域。
统计建模的过程包括收集数据、建立概率模型、估计模型参数以及进行模型检验和应用。
五、图论建模方法图论建模方法是指利用图论的理论和方法来描述和分析网络结构和关联关系。
该方法常用于社交网络分析、路径规划、电力网络优化等领域。
图论建模的关键在于构建网络模型，并选择适当的图算法进行分析和优化。
六、随机模型建模方法随机模型建模方法是指利用随机过程和概率论的理论和方法来描述和分析随机现象。
该方法常用于金融风险管理、信号处理、系统可靠性评估等领域。
随机模型建模的关键在于建立正确的随机过程模型，并进行概率分布和随机变量的分析。
七、模拟建模方法模拟建模方法是指利用计算机仿真技术来模拟和分析实际问题。
数学模型之随机模型
用数学公式或位移寄存器的 移位操作来产生的随机数，实际 上是伪随机数
几种产生均匀随机数的方法
2
(1) 利用计算机移位寄存器的移位操作来产生均匀分 布的伪随机数
如 取 原 整 数 45086273, 可 以 得 到 第 一 个 随 机 数 0.45086273；
将 45086273 右 移 三 位 得 00045086 ， 将 45086273 与 00045086 按 位 相 加 得 45021259 ， 将 45021259 左 移 四 位 得 12590000, 将12590000 与 45021259 按位相加得57511259， 于是得到第二个随机数0.5751129；
X1 2lnU1 cos(2U2 )
X2 2lnU1 sin(2U2 ).
8
证明: 由
y1 2ln v1 cos(2v2)
y2 2ln v1 sin(2v2).
解得
v1 exp(( y12 y22 ) / 2)
v2
1
2
arctan(
y2 y1
)
F (x1, x2 ) P{X1 x1, X 2 x2}
再将 57511259与右移三位的数按位相加得57568760， 将57568760与左移四位的数相加得整数34168760，这就得 到第三个随机数0.34168760。按此规律一直重复下去，可以 得到一个随机数序列。
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由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r) （r=0，1，2，… ），报亭每天购进 n 份报纸的 平均收入为 G(n)元。
n 1
即得一名健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为
p1
p
m
n 1
。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了求出一名健康人每天被感染为病人的
概率 p2 ，利用对立事件概率的计算方法:
p2
1 (1
p1)i
1
(1
m )i 。
n 1
健康人被感染为病人的人数也服从二项分布，
其平均值 sp2 (n i) p2 ，
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
问题为在已知 p(r) 和 a,b, c ，求进报数量 n 使 G(n) 有最大值。
通常需求量 r 的取值和购进量 n 都比较大，将 r
视为连续变量，这时概率 p(r) 转化为概率密度函数
f (r) ，则
G(n)
n
0
(a
b)r
(b
c)(n
r)f
(r)dr
n n 1
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品
的概率为
n
P( ) 1 e1 0.63212
i 1
1、初等概率模型
问题2：传染病的传播模型
现在的问题：
对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和 健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机 的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是 随机的.
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
根据报亭每天的需求量（即销售量）的不确定性。
如果某天的需求量 r n ，则售出 r 份，退回 n r 份；
如果某天的需求量 r n ，则 n 份将全部售出。
考虑到该报亭需求量为 r 的概率是 p(r) ，平均收入
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] p(r) r 0 (a b)np(r) r n1
均方差为 sp2 (1 p2 ) (n i) p2(1 p2) 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了简便，将上式右端作 Taylor 展开，并取 前两项：
p2
1
(1
mi
n 1
) mi mi , (n
n 1 n
m, n
1)
最后得到： mi(n i) ，
n
1 p2 n mi 。 (n i) p2 mi(n i)
也随之减少。
问题3：售报厅的进报策略模型
(1)问题的提出
报纸每份购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元，且 a b c 。
则报亭售出一份赚 a b 元，退回一份 赔 b c 元。报亭应该如何确定每天购进
报纸的数量，以获得最多的收入？
问题3 报亭的进报策略模型
(2) 问题的分析
有一个抽取到自己所带礼品的概率为
n
n
P( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
C C C 1 1 2 1 1 3 1 1 1 (1)n1 1 1 1
n n n n n 1 n n n 1 n 2
数学建模方法及其应用中的随机 模型讲解部分随机模型详解演示 文稿
（优选）数学建模方法及其应用 中的随机模型讲解部分随机模型
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2, , n) 表示第 i 个
同学抽取到自己所带的礼品。
这个结果合理吗？
为了直观，给出几组检验数据的计算结果。
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
不妨设 m 20, 0.1，对于不同的i ，计算 和 。
从计算结果可以看出：随着病人数 i 的增加，平均感
染率 随之增加，而相对误差 随之减少；
当病人的比例 i 一定，总人口数 n 变大时，相对误差 n
如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种 估计的准确性有多大？
问题2：传染病的传播模型
(1)问题的分析与假设
假设将人群分为病人和健康人两类，病人
数和健康人数分别记为 i 和 s ，总人数为 n ，短 时间内不变，即 i s n 。
人群中任何两人的接触是相互独立的，且
P( Ai Aj )
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
P( A1 A2
11
An )
n
n 1
1
n
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
由概率的加法公式与乘法公式，则 n 个同学中至少
n 个同学中至少有一人抽取到自己所带的礼品
为 A1 A2
n
An ，简记为 Ai 。 i 1
n
要解决的问题是求事件的概率 P( Ai ) 。 i 1
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
事实上,第 i 个同学抽取到自己所带礼品的概率为
P(
Ai
)
1 n
,
(i
1,
2,
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
具有相同概率 p ，每人每天平均与 m 人接触。
当一个健康人与病人接触时，这个健康人
被感染的概率为 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
由于任何两人接触的概率为 p ，且两两接触的独立 性，一名健康人每天接触的人数服从二项分布，其平均值 为 m 。利用二项分布的基本性质，并注意到人群总数为 n ， 则有 m (n 1) p ，于是， p m 。
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
健康人群每天平均被感染的人数 与人群中每人 每天平均接触的人数 m 以及接触时被感染的概率 成
正比，并且随着人群总数 n 的增加而增加。
平均感染率 与病人数 i 的关系，当 i 很小或很大 （接近 n ）时， 值都很小，而当 i n 时， 值最大。
2