(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业 专题17 直接证明与间接证明(学)

专题17 直接证明与间接证明
学一学------基础知识结论
1.综合法证明
（1）综合法的的定义
一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
（2）综合法的的基本思路：执因索果
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题．
综合法这种由因导果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
（3）综合法的思维框图：
用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒
（已知） （逐步推导结论成立的必要条件） （结论）
温馨提醒：（1）从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，由因导果，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件；（2）用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹；（3）因用综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为：
（4）综合法证明不等式时常用的不等式
（1）a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时取“=”号）；
（2
）2a b +≥a ，b ∈R*，当且仅当a=b 时取“=”号）；
（3）a2≥0，|a|≥0，(a －b)2≥0；
（4）2b a a b +≥（a ，b 同号）；2b a a b +≤-（a ，b 异号）；
（5）a ，b ∈R ，
2221()2a b a b +≥
+，
（6）不等式的性质
定理1 对称性：a ＞b ⇔b ＜a 。

定理2 传递性：a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭。

定理3 加法性质：a b
a c
b
c c R
>⎫
⇒+>+
⎬
∈⎭。

推论a b
a c
b d
c d
>⎫
⇒+>+
⎬
>⎭。

定理4 乘法性质：
a b
ac bc c
>⎫
⇒>
⎬
>⎭。

推论1
a b
ac bc c d
>>⎫
⇒>
⎬
>>⎭。

推论2
*
n n
a b
a b
n N
>>⎫
⇒>
⎬
∈⎭。

定理5
开方性质：
*
a b
n N
>>⎫
⇒>
⎬
∈⎭。

2.分析法证明
（1）分析法的定义
一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.
（2）分析法的基本思路：执果索因
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
分析法这种执果索因的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法。

（3）分析法的思维框图
用
123
i
P i =
（，，，）
表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，
Q所要证明的结论，
则用分析法证明可用框图表示为：
11223...
Q P P P P P
⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件
（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）
（4）分析法的格式
要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。

温馨提醒：（1）分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找它的充分条件．（2）由于分析法是逆推证明，故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述．
3．综合法与分析法的横向联系
（1）综合法是把整个不等式看做一个整体，通过对欲证不等式的分析、观察，选择恰当不等式作为证题的出发点，其难点在于到底从哪个不等式出发合适，这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式，还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用．
分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握，而综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁．
我们在证明不等式时，常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证题过程．分析法一般用于综合法难以实施的时候．
（2） 有些不等式的证明，需要把综合法和分析法联合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ．若由P 可以推出Q 成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法，或称“两头挤法”． 分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点．
命题“若P 则Q ”的推演过程可表示为：
4.反证法证题
间接证明不是从正面确定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，间接地达到目的，反证法是间接证明的一种基本方法．
（1）反证法定义
一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
（2）反证法的基本思路：假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．
（3）反证法的格式：
用反证法证明命题“若p 则q ”时，它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：
⌝−−−→−−→−−→推理“若p则q”导致逻“若p则q”肯定条件p,辑矛盾为假命题否定结论q 为真命题
温馨提醒：
（1）反证法是间接证明的一种基本方法.
它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.
(2) 反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.
（4）反证法的一般步骤：
（1）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；
（2）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；
（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
温馨提醒：
（1）结论的反面即结论的否定，要特别注意：
“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”，不是“都不是”； “都有”的反面为“不都有”，即“至少有一个没有”，不是“都没有”；
“都不是”的反面是“部分是或全部是”，即“至少有一个是”，不是“都是”；
“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少有一个有”，不是“都有”
（2）归谬的主要类型：
①与已知条件矛盾；
②与假设矛盾（自相矛盾）； ③与定义、定理、公理、事实矛盾．
学一学------方法规律技巧
间接证明(反证法)
反证法体现出正难则反的思维策略（补集的思想）和以退为进的思维策略，故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时，有独特的效果．常用的有这样几方面：① 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；比如“存在性问题、唯一性问题”等；② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
例1、已知f(x)＝ax ＋x －2x ＋1
(a ＞1)． (1) 证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2) 用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
【答案】详见解析
【解析】 (1) 设－1＜x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，ax1＞0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
从而f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝ax1(ax2－x1－1)＋3x2－x1x2＋1x1＋1
＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2) 设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1
. 由0＜ax0＜1
0＜－x0－2x0＋1＜1，即12＜x0＜2，此与x0＜0矛盾，故x0不存在．。