复旦固体物理讲义-11倒格子
固体物理学-倒格子
§3 倒格子
证明： 证明：
v v a i gb j = 2πδ ij
如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应， 如果所考虑的体系足够大，忽略表面效应，布拉 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 菲格子满足平移对称性要求，对应点的物理化学性质， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 如质量、密度、电子云密度、原子实产生的势场等， 亦为周期函数，一般地写成： 亦为周期函数，一般地写成：
v u v v Γ r + R n = Γ r L L L L (1)
(
) ()
u v v v v 其中， 其中，R n = n1 a1 + n2 a 2 + n3 a 3
v 将 Γ r 展成傅里叶级数
()
v u iG h gr v uv v Γ r = ∑ A Gh e L L L L L L L ( 2)
g u v v u v v −iG h gr 1 A Gh = ∫ Γ r e L L L L L L ( 3) Ω Ω Ω为原胞体积， ) 式意味着，对所有布拉菲格子的所有格矢，应有 (1 u v v u v v u − iG h gr v 1 A Gh = ∫ Γ r + R n e dr L L L L L L ( 4 ) Ω Ω uv v u v / 引入r = r + R n , ( 4 ) 式化为 u v uv uu/v u u v v u u v v u v u v iG h gRn 1 / − iG h gr / iG h gR n A Gh = ∫ Γ r e dr ge = A Gh e L L L L L ( 5) Ω Ω 即： u u v v u v iG h gR n A G h 1 − e = 0L L L L L L L L ( 6 )
固体物理学：关于几个结构的倒格子
例：简单立方晶格的倒格子
例：体心立方(bcc)晶格的倒格子 体心立方晶格的初基平移矢量
其原胞的体积
例：面心立方(fcc)晶格的倒格子 面心立方晶格的初基平移矢量
总结倒格子基矢的性质
1、正倒格子基矢的关系 bi a j 2 ij
2、倒格子原胞体积是正格子原胞体积倒数的 (2π)3
倍。
* (2 )3
( * b1 (b2 b3 ) 为倒（h1，h2，h3）所对应的
晶面族的法线。
4、倒格矢 K h 于晶面间距 d h1h2h3
结束
晶面间的距离称为面间距。
通常把米勒指数为（hkl）的一组晶面的 面间距记为dhkl，对于不同晶系，可以求得米 勒指数与面间距的关系式。
注意：晶向指数和晶面指数都依赖于晶轴的选取。
(010)
从晶面指数的图可以看出，密勒指数简单的晶面， 如（100）（110）等，它们的面密度较大，面间距d也 较大，因为单位体积中原子数目是一定的。
关系为 Kh
2
d h1h2h3
5、正格矢 Rl 与倒格矢 K h 的关系 Rl Kh 2 m
（m为整数）
理解： 1、如果有一矢量与正格矢点乘后等于2π的整数
倍，这个矢量一定是倒格矢。
2、如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲 的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。
5.晶面指数和面间距 在一组（或一族）平行的晶面中，两相邻
固体物理学：倒格子
相同。
这种周期函数可以V展(开r)为傅立叶V级 e数iGr G
G
V (r R)
V
eiG(r
R
)
V (r )
G
G
则要求 G R 2m （m为整数）
G R G.(n1a1 n2a2 n3a3) 2m
即
G a1 h1 2
h1 h2 h3 都是整数
G
a2
h2 2
G 称为倒格子平移矢量，简称倒格矢。
由a1 ，a2 ，a3 形成的格子称正格子。 称R 为正格子平移矢量，简称正格矢。
每个格子有两套格子即，正格子和倒格子。
b1
b2
b3
2
V
2
V
2
V
(a2
(a3 (a1
a3 )
a1 )
a2 )
V a1 (a2 a3 )
是原胞的体积
的法线方向
(4)倒格子矢量与面间距的关系
[1]倒格子基矢与正格子基矢的关系------两个基矢正交
设
Gh1h2h3
h1b1 h2b2
所以，Gh1h2h3 • Rl1l2l3 (h1b1
h3b3 h2b2
h3b3 )
•
(n1a1
n2a2
n3a3
)
由此推论：
பைடு நூலகம்i
•
aj
2m 2 ij
[2]倒格子与正格子的原胞体积的关系
一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数
F(r)的周期性而与函数的具体形式无关。我们把在傅里叶
空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子点阵（或倒易点
阵）。
倒格子点阵是晶体结构周期性在傅里叶空间中的数学
固体物理03-倒格子空间
4
dr
nj
(r )r 2
sin Gr Gr
实验发现固体中的原子形状因子与自由原子的差别不大
其它实验手段
1. 电子衍射 （动量空间）
与X射线相比，电子波长更短，所以更加精确；更容易被物体吸收适 合于研究微薄膜、小晶体。
2. 中子散射 （动量空间）
可以测量晶体磁结构
3. 扫描隧道显微镜（实空间，表面）
S v1v2v3 f {1 exp i v2 v3 exp i v1 v3 exp i v1 v2 }
S 4 f 所有指数均为奇数，或均为偶数 S 0 其它情况
面心立方 的x-ray 散射图像
原子形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
对自由原子：
f j 2 dr r 2 d cos n j exp(iGr cos )
j
ρ r rj
定义原子的形状因子 f j dV n j (ρ)eiGρ
结构因子
化简后可以得到晶体的结构因子
SG
f eiGr j j
j
对于第 j 个原子
G rj v1b1 v2b2 v2b2 x ja1 y ja2 z ja3 2 v1x j v2 y j v3z j
散射幅度
SG
dV n(r)eiGr
cell
结构因子
结构因子
假设晶胞中有 s 个原子，可以把原胞中的电荷密度分配到每一 个原子上（分配方法不唯一），即:
s
n(r) n j (r rj )
j 1
SG
cell dV n j (r r j )eiGr
j
eiGrj cell dV n j (ρ)eiGρ
晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆 变换。正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格子的量钢是 长度的倒数 L-1，称作波矢空间（或称动量空间）。
简述倒格子点阵的物理意义
简述倒格子点阵的物理意义
倒格子点阵是固体物理学中的一个重要概念，用于描述晶体中离子、原子或分子的排列方式。
它表示了晶体中离子在晶格中的周期性排列。
倒格子点阵在物理意义上具有以下重要特征：
1.倒格子与晶体结构的相互关系：倒格子是晶体格矢的补格。
晶体格矢是描述晶体结构的向量，而倒格子则是晶格矢的傅里叶变换。
倒格子点阵的形状和大小与晶体结构紧密相关。
2.表征晶体的动量空间：倒格子点阵的形成使得晶体在动量空间中的结构得以描述。
晶体具有动量离散化的性质，电子、声子等载流子在动量空间中的行为可以通过倒格子点阵的形态和性质来理解和
分析。
3.描述布里渊区和能带结构：倒格子点阵的布里渊区（Brillouin Zone）是动量空间中与晶格有关的基本单元。
布里渊区的形状和大小直接决定了电子能带结构、光学性质和输运特性等重要物理现象。
4.反映物质衍射性质：倒格子点阵的概念是描述晶体衍射的基础。
实验中利用晶体的衍射现象可以确定物质的结构和性质，倒格子点阵提供了理论上的基础框架。
倒格子点阵在固体物理学中具有重要的物理意义，它是描述晶体结构和性质的关键概念，并与动量空间、能带结构、衍射性质等密切相关。
通过倒格子点阵的分析，可以深入理解晶体的属性和行为，为研究材料科学和固体物理学提供了有力的工具和理论基础。
固体物理倒格矢
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
b b b 倒格矢 Kn n1 1 n2 2 n3 3
2
a
[(n2
n3 )i
(n1
n3 )
j
(n1
n2
)k ]
体心立方的倒格子是面心立方;离原点最近的有十
二个倒格点，在直角坐标系中它们的坐标为：
2
a
(n2
n3, n1
射后光程差为： A0 OB -Rl S0 RlS Rl (S-S0)
当X光为单色光;衍射加强的条件为： Rl•SS0=u •λ
令 k 2 S
k0
2
S0
，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• k -k0 = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
1 9 倒格子倒易点阵reciprocal
1 9 1 倒格子倒易点阵的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P
原子可向空间任何方向散射 X光线;只有一些固定方向可 形成衍射
B AO
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3;Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量，
S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍
布里渊区示意图32
Γ：2 0,0,0
a
X：2 1,0,0
a
K：2 3 , 3 ,0
a 4 4
L： 2
a
1 2
,
1 2
,
1 2
简约布里渊区：十四面体
V
4
2
a
3
V倒易原胞
返回
面心立方晶格的第一布里渊区
固体物理§1.5倒格子
r r r Kh ⊥ CA Kh ⊥ CB ⇒ Kh ⊥ 晶面 ABC。 ，
9
r 3.倒格矢 Kh和面间距的关系 倒格矢 晶面ABC为晶面族中最靠近原点的晶面。 为晶面族中最靠近原点的晶面。 晶面 为晶面族中最靠近原点的晶面
dh1h2h3 r a1 = ⋅ h1
r r r r r Kh a1 ⋅ h1b1 + h2b2 + h2b3 r = r Kh h1 Kh
( Ω Ω＝2π )
∗
3
3 r r r (2π ) (a a ) [(a a ) (a a )] r r r r r r ∗ Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 2× 3 ⋅ 3× 1 × 1× 2 3 Ω r r r r r r r r r 利用： A 利用： × (B × C) = ( A⋅ C)B − ( A⋅ B)C r r r r r r r r r r r r r (a3 × a1 ) × (a1 × a2 ) = [(a3 × a1 ) ⋅ a2 ]a1 − [(a3 × a1 ) ⋅ a1 ]a2 = Ωa1
1
2.倒格子基矢和正格子基矢之间的关系 倒格子基矢和正格子基矢之间的关系
r r r r r r 正格子基矢： a 正格子基矢： 1、a2、a3；倒格子基矢： 1、b2、b3; 倒格子基矢： b
晶面族： a d 晶面族： 1a2、a2a3、a3a1的面间距分别为 3、d1、d2;
r b3
r a3
r b2
3.倒格矢和正格矢的关系 倒格矢和正格矢的关系
r r r r r r r r Kh ⋅ Rl = (l1a1 + l2a2 + l3a3 ) ⋅ (h b1 + h2b2 + h3b3 ) 1 = 2πµ (µ为整数)
固体物理(第4课)倒易空间
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b3 2 a1 a 2 V V a1 ( a 2 a3 ) 原胞体积
1 ：b1的方向沿a2、a3构成的晶面的法线方向 2：b 2 d1是a2、a3构成的晶面族的面间距 1 d1
点阵：原胞基矢 a1、a 2、a3
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 ， V a1 (a 2 a3 ) 原 胞 体 积 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
b1、 b2、 b3： 原胞基矢 倒易点阵 a1、 a 2、 a 3： 原胞基矢 正点阵
（2）. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系： i j 2， ai b j 2ij 0，i j
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
(4) 倒格矢和正点阵晶面族之间的关系： 正点阵中一族晶面，晶面指数为：（h1h2 h3） 倒易点阵中倒格矢： Gh h1b1 h2 b2 h3b3 Gh // ( h1h2 h3 ) 法线方向 2 则有： 证明如下： Gh ＝ d h1h2h3
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P B A O
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量， S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍 射后光程差为： A0 OB -R S R S R ( S-S )
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上讲回顾
•用轨道物理学理解晶体中原子近程结构*原子轨道之间相互作用由原子轨道角分布决定
*为适应周围化学环境，与邻近原子成键，原子轨道
可以杂化(重组) 以适应环境
杂化最大方向由价电子数、配位、键上电子转
移等共同决定
*键合分类：离子、共价、金属、分子和氢键
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子1
本讲内容
•在k空间看晶体结构
*倒格子(reciprocal lattice)
倒格子基矢
*正格子(direct lattice)和倒格子之间的关系
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子2
第11讲、倒格子
1.为什么倒空间？
2.晶格的Fourier变换
3.倒格子
4.二维倒格子
5.正、倒格子对应关系
6.重要的例子
7.Brillioun区
8.X射线晶体衍射实验
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子3
1、为什么倒空间(reciprocal space)？•一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写
*坐标表象r，动量表象k
•为什么选择不同的表象？
*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理
*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但
k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单•正空间的格矢(R
)描写周期性；在动量空间？
l
•这两个空间完全是等价的
*只是一个变换
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子4
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子8
看格点的Fourier 变换？
•数学上如何用一个函数来描写格点？•δ函数！()
∑-=l
l R R r r δρ)(•对这个函数进行Fourier 变换
()()∑∑⎰⎰∙-∙-∙-=-==l l
l i i l i e d e
d e R R k R r k r k r R r r r k δρρ)(•格点满足平移周期性，则有K h 满足
m
l h π2=∙R K •那么乘上不变因子()∑∑∙--∙-==l l
h l l i i e e
R R K k R R k k ρ
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子9
•这告诉了我们什么信息，K h 对应什么？•坐标空间里，δ(r-R l )函数表示在R l 的格点，当满足上述条件时，其Fourier 变换也是δ(k-K h )函数，表示的是倒空间里的一个点！
•后面会知道，这些点就是倒格点，K h 即倒格矢*或者说前面K h 与R l 的关系定义了倒格矢，满足上述条件矢量就是倒格矢 格矢
*K h 的量纲为R l 的倒数
•利用Poisson 求和公式，即可得
()()∑∑-==∙--h
l l
h h i e K R R K k k K k δρ•即当矢量K h 与R l 乘积是2π的整数倍时，在坐标空间R l 处的δ函数的Fourier 变换为在动量空间以K h 为中心的δ函数！
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子103、倒格子(reciprocal lattice)1
=∙l h i e R K 为整数
m m l h ,2π=∙R K •因此，Bravais 格子也称为正格子(direct lattice )•等价关系：知道K h ，就知道R l ；反过来也一样•它们满足Fourier 变换关系，因此，倒空间也称Fourier 空间
•定义：对Bravais 格子中所有的格矢R l ，有一系列动量空间矢量K h ，满足的全部端点K h 的集合，构成该Bravais 格子的倒格子，这些点称为倒格点，K h 称为倒格矢
http://10.107.0.68/~jgche/
倒格子
11
倒格子基矢
•对正格子
3
32211a a a R l l l l ++=•如果选择一组b ，使3
32211b b b K h h h h ++=•那么矢量K 就可由b 组成
ij
j i πδ2=⋅a b m l l l h h h l h π2332211=⋅+⋅+⋅=⋅a K a K a K R K •有•它满足上述关系，因此K h 具有平移对称性
→可用基矢和整数表示的平移周期性
→K h 定义倒空间的Bravais 格子，b i 就是倒格子基矢
•K h 为倒格矢——K h 所有的端点即为倒格点
http://10.107.0.68/~jgche/
倒格子
21
等价的周期性
•如果K h 是倒格矢，那么物理量的Fourier 级数在晶体任何平移变换下具有所期待的不变性
∑+∙=+h i l l h h e
F F )
()(R r K K R r )
(r r
K K F e
F h
i h h ==∑∙
)(
)]
ˆˆˆˆ2=+-+++k j i k π
6、重要的例子
•简单立方结构：sc
•面心立方结构：fcc
•体心立方结构：bcc
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子25
7、Brillioun区——倒空间的原胞
•倒空间中的Wigner-Seitz原胞
•为什么引入Brillioun区？
*下一讲会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界
面满足Bragg反射条件
*第3章会知道，这样定义的Brillioun区，它的边界面
有特别意义
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子30
http://10.107.0.68/~jgche/
倒格子34
体心立方的第一布里渊区
•倒格子呈面心立方•对顶角的倒格点来说，最近邻
的倒格点即12个面心格点，所
以最短的倒格矢显然是指向12
个面心格点的矢量，它们的中
垂面截成正十二面体，正好是
倒空间原胞的体积
35
本讲要点
•倒格子的意义
•倒格子
*倒格子基矢
*倒格矢
*Brillioun区(倒空间原胞)
•正格子和倒格子之间的关系
*互为正、倒
*与晶面正交
*几何关系：倒格点←→晶面→
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子39
概念要点
•倒格子
•Brillioun区
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子40
下讲预告：观察晶体结构的理论和实验
•实验观察晶体周期性结构
•晶体衍射理论
•晶体衍射的实验方法
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子41
思考问题
•倒格子是否保持其正格子的宏观对称性？http://10.107.0.68/~jgche/倒格子42
习题
10.试确定二维蜂窝结构的倒格子基矢，并作它
的第一布里渊区。
http://10.107.0.68/~jgche/倒格子43。