2018年湖南省普通高中学业水平考试信息模拟数学试卷(四)(附答案)
2018年湖南省普通高中学业水平考试信息模拟数学试卷（四）
（附答案）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则下列关系成立的是
A. B. C. D.
2.化简
A. B. C. D.
3.已知等差数列的通项公式为，则它的公差为
A. 2
B. 3
C. -2
D. -3
4.已知，则等于
A. B. C. D.
5.如右图所示，一个几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为
A.
6.如右图所示，长方形的面积为1，将100个豆子随机撒在长方形内，其中恰有20个豆子落在阴影部分，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为 A. B. C. D.
7.设向量的夹角为，则
8.运行右边的程序，则输出的结果是
A. B. C. D.
9.下列函数中，不能用二分法求函数零点的图标号是
{}1,2M =1M ∈2M ∉{}2M ∈{}2M ⊇212sin 10S -=cos 20sin 20cos0sin10{}n a 32n a n =-d log 162x =4-4256215451201100
1,,a b a b ==60a b +=43,21,23,12,1
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D.①②③
10.圆截直线所得弦长等于
B.
C. 1
D. 2 第Ⅱ卷（非选择题
共60分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.若幂函数的图象经过点，则 .
12.若直线和直线垂直，则 .
13.以为圆心，且过点的圆的标准方程为 .
14.已知三角形中，，则三角形的面积 .
15.某城市出租车按如下方法收费：起步价为8元，可行3km （含3km ），3 km 到10 km （含10 km ）每行驶1 km 加价1.5元，超过10 km 后每行驶1 km 加价0.8元，某人座该城市的出租车走了20 km ，他应付 元.
三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
16.（本题满分6分）已知函数
（1）求它的最小正周期和最大值；
（2）求它的单调增区间.
17.（本题满分8分），某省为了确定合理的阶梯电价分档方案，对全
省居民用电量进行了一次抽样调查，得到居民用电量（单位：度）的频
率分布直方图（如图所示），求：
（1）有频率分布直方图可估计，居民月用电量的众数为多少？
（2）若要求80%的居民按基本档的用电量收费，则基本档的用电量应定为多少度？ 22
4460x y x y +-++=50x y --=2
()y f x =19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
()25f =310x y -+=630x my --=m =()8,3C -()5,1M ABC 2,60,30a B C ===ABC S =()()2sin cos 1.f x x x =++
18.（本题满分8分）四边形为平行四边形，为平面外一点，平面，且
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（本题满分8分）等差数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20.（本题满分10分）已知函数有两个零点和，且,和的图象关于原点对称.
（1）求函数, 的解析式；
（2）解不等式；
（3）如果定义在上，且的最大值为，求的解析式.
ABCD P ABCD PA ⊥
ABCD 2,1,PA AD AB AC ====ACD ⊥PAC PC BD {}n a 71994,2.a a a =={}n a 1n n
b na =
{}n b n n S ()2f x x bx c =++02-()g x ()f x ()f x ()g x ()()64f x g x x ≥+-()f x [],1m m +()f x ()g m ()g m。
(完整版)2018年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(20200814150428)
2018年湖南省普通高中学业水平考试本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量 120分钟 满分100分一、选择题：本大题共 10小题，每小题4分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的5. 已知函数y = f (x ) ( x [ 1,5])的图象如图A • [ 1,1]B . [1,3]C • [3,5]D • [ 1,5]6. 已知a >b , c >d ,则下列不等式恒成立的是A . a+c >b + dB . a+d>b+cC . a-c>b-dD . a-b>c-d机密★启用前1.下列几何体中为圆柱的是 （）3所示，则f （x ）的单调递减区间为（7.为了得到函数y cos(x4)的图象象只需将 y cosx 的图象向左平移()1 A •丄个单位长度2 1C •丄个单位长度4B .—个单位长度2二、 填空题；本大题共 5小题，每小题4分，共20分， 11. 直线y x 3在y 轴上的截距为 ___________________ 。
12. ______________________ 比较大小：sin25 sin23 (填、”或 N ” 13.已知集合 A 1,2 , B 1,x .若 A 「|B2，则 x= _______ 。
14•某工厂甲、乙两个车间生产了同一种产品，数量分别为 60件、40件，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n 的样本进行质量检测，已知从甲车间抽取了 6件产品，则n =。
x 215•设x , y 满足不等等式组y 2 ，贝U z = 2x — y 的最小值为 __________ 。
x y 2三、 解答题：本大题共 5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演步 16. (本小题满分6分)函数 f(x) log 2(x1)的零点为(1 A .-Bi C .乜D . 122210.过点M (:2, 1)作圆 C : (x1)2 y 22的切线, 则切线条数为()A . 0B . 1C . 2D . 3在△ ABC 中, 已知 A = 30 ° B = 45 9.AC = •. 2，贝U BC =( )O4个单位长度7. 为了得到函数y cos(x 4)的图象象只需将y cosx的图象向左平移( )1已知函数f (x) x (x 0)x(1 )求f (1)的值(2)判断函数f (x)的奇偶性，并说明理由.(2)设函数f (x) 2，求f (x)的值域,17. (本小题满分8分)某学校为了解学生对食堂用餐的满意度，从全校在食堂用餐的 取100名学生对食堂用餐的满意度进行评分. 根据学生对食堂用餐满意度的评分，得到如图4所示的率分布直方图， (1) 求顺率分布直方图中 a 的值(2) 规定：学生对食堂用餐满意度的评分不低于80分为满意”试估计该校在食堂用 餐的3000名学生中 满意”的人数。
2018年湖南省湘潭市高考数学四模试卷(理科)
2018年湖南省湘潭市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z =(−1+3i)(1−i)在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 若X ∼B(5, 15)，则（ ） A.E(X)=1且D(X)=45 B.E(X)=15且D(X)=1 C.E(X)=1且D(X)=15 D.E(X)=45且D(X)=13. 设集合A ={x|x 2−6x −7<0}，B ={x|x ≥a}，现有下面四个命题： p 1:∃a ∈R ，A ∩B =⌀；p 2：若a =0，则A ∪B =(−7, +∞)； p 3：若∁R B =(−∞, 2)，则a ∈A ； p 4：若a ≤−1，则A ⊆ A.p 1，p 4 B.p 1，p 3，p 4 C.p 2，p 3 D.p 1，p 2，p 44. 若双曲线y 2a2−x 29=1(a >0)的一条渐近线与直线y =13x 垂直，则此双曲线的实轴长为（ ） A.2 B.4C.18D.365. 若sin(2α−β)=16，sin(2α+β)=12，则sinαcosαcosβ=( ) A.23B.13C.16D.1126. 执行如图所示的程序框图，则输出的x =( )A.6B.7C.8D.97. 函数f(x)=x44x−4−x的大致图象为（）A.B.C.D.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.56B.1763C.883D.889. 已知F是椭圆C：x29+y25=1的左焦点，P是C上一点，A（1，43），则|PA|+|PF|的最小值为( )A. 103B. 113C.4D. 13310. 已知函数f(x)=2sin(π3x+π6)+2，对任意的a∈[1, 2)，方程f(x)−a=2(0≤x<m)有两个不同的实数根，则m的取值范围为（）A.(2, 6]B.[2, 6]C.(2, 7]D.[2, 7]11. 在△ABC 中，AB ＝3AC ＝6，tanA =−√3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ＝3，记△ADE ，四边形BCED 的面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2的最大值为（ ）A.14 B.38C.13D.51212. 若函数f(x)＝a(x −2)e x +lnx +1x 在(0, 2)上存在两个极值点，则a 的取值范围为（ ） A.(−∞, −14e 2) B.(−1e , 14e 2)∪(1, +∞) C.(−∞, −1e )D.(−∞, −1e )∪(−−1e , −14e 2)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）(a −b2)8的展开式中a 5b 3的系数为________．在菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，AB =2，E 为CD 的中点，则BA →∗AE →=________．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体（记为ABCD −A 1B 1C 1D 1）的粮仓，宽3丈（即AD =3丈），长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列判断正确的是________．（填写所有正确结论的编号） ①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD 与BC 1所成角的正弦值为3√1313； ③长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为1334π平方丈．设x ，y 满足约束条件{2x +y −3≤02x −2y −1≤0x −a ≥0 ，若x−yx+y 的最大值为2，则z =x −y 的最小值为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知正项数列{an3n}是公差为2的等差数列，且a 1，9，a 2成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．从某小区抽取50户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，将用电量的数据绘制成频率分布直方图如图1所示．（1）求频率分布直方图中x的值并估计这50户用户的平均用电量；（2）若将用电量在区间[50, 150)内的用户记为A类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间[250, 350)内的用户记为B类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，让其对供电服务进行打分，并将打分数据绘制成茎叶图如图2所示：①从B类用户中任意抽取3户，求恰好有2户打分超过85分的概率；②若打分超过85分视为满意，没超过85分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”？附表及公式：K2=n(ad−bc)2，n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点，G为棱AA1上一点，AB1∩A1B=O．(1)确定点G 的位置，使得平面C 1OG // 平面ABD ，并说明理由；(2)设二面角D −AB −C 的正切值为√22，AC ⊥BC ，E 为线段A 1B 上一点，且CE 与平面ABD 所成角的正弦值为2√23，求线段BE 的长．已知点A(−12, y 0)是抛物线C:x 2＝2py(p >12)上一点，且A 到C 的焦点的距离为58． （1）若直线y ＝kx +2与C 交于B 1，B 2两点，O 为坐标原点，求∠B 1OB 2；（2）若P 是C 上一动点，且P 不在直线l:y ＝2x +9y 0上，过P 作直线l 1垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N ，试判断|AN|2|AM|与|AM|2|AN|中是否有一个定值？若是，请指出哪一个为定值，并加以证明；若不是，请说明理由．已知函数f(x)=x 3−6x 2+ax +b(a,b ∈R)的图象在与x 轴的交点处的切线方程为y =9x −18．(1)求f(x)的解析式；(2)若110kx(x −2)2<f(x)<9x +k 对x ∈(2, 5)恒成立，求k 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2t 2−1y =2t −1 （t 为参数）．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(2sinθ−cosθ)=m ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与曲线C 相切，且l 与坐标轴交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|3x −1|−|2x +1|+a ． （1）求不等式f(x)>a 的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得f(n)<0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年湖南省湘潭市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】∵z=(−1+3i)(1−i)=2+4i，∴复数z=(−1+3i)(1−i)在复平面内对应的点的坐标为(2, 4)，位于第一象限．2.【答案】A【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】根据二项分布的性质计算．【解答】∵X∼B(5, 15)，∴E(X)=5×15=1，D(X)=5×15×(1−15)=45．3.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意化简集合A，再判断命题p1、p2、p3和p4是否正确．【解答】集合A={x|x2−6x−7<0}={x|−1<x<7}，B={x|x≥a}；对于命题p1:a≥7时，A∩B=⌀，∴p1正确；对于命题p2:a=0时，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1, +∞)，∴p2错误；对于命题p3：若∁R B=(−∞, 2)，则a=2，且a∈A，p3正确；对于命题p4：若a≤−1，把集合A、B用数轴表示出来，如图所示，∴A⊆B，p4正确．综上，所有的真命题为p1、p3、p4．4.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意知双曲线的一条渐近线的方程为y =−a3x ， 则有−a3×13=−1，得2a =18． 故选C ． 5.【答案】 C【考点】两角和与差的三角函数 【解析】利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简求解即可． 【解答】sin(2α−β)=16，可得sin2αcosβ−cos2αsinβ=16sin(2α+β)=12，可得sin2αcosβ+cos2αsinβ=12， 则2sin2αcosβ=16+12=23， 可得：sinαcosαcosβ=16． 6.【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】直接利用程序框图中的应用求出结果． 【解答】当x =1时，t =2−2=0，当x =2时，t =2⋅22−22=4， 当x =3时，t =2⋅32−23=10， …当x =6时，t =2⋅62−26=8，当x =7时，t =2⋅72−27=−30<0， 故输出：x =7． 7.【答案】 A函数与方程的综合运用函数的图象与图象的变换【解析】判断函数的奇偶性排除选项，特殊值对于点的位置排除选项即可．【解答】函数f(x)=x44x−4−x是奇函数，排除选项BD，当x=2时，f(2)=1616−116>1，对应点在y=1的上方，排除C．8.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【解答】由题意可知几何体的直观图如图：是正方体挖去一个四棱锥剩余部分，所以几何体的体积为：43−13×2×2×4=1763．9.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】本题考查椭圆的定义及几何性质. 【解答】解：因为19+1695<1，所以点A(1,43)在椭圆C的内部，设椭圆x29+y25=1的右焦点为F′，易知F′(2,0).由A(1,43)，得|AF′|=53，根据椭圆的定义可得|PF|+|PF′|=2a=6，所以|PA|+|PF|=|PA|+6−|PF′|，因为|PA|−|PF′|≥−|AF′|，所以|PA|+|PF|≥6−|AF′|=6−53=133，所以|PA|+|PF|的最小值为133.10.【答案】A【考点】三角函数的最值【解析】直接利用三角函数的图象及三角函数的性质求出结果．【解答】方程f(x)−a=2(0≤x<m)等价于f(x)=a+2(0≤x<m)，所以：对任意的a∈[1, 2)，方程f(x)−a=2(0≤x<m)有两个不同的实数根，等价于：函数f(x)=2sin(π3x+π6)+2，(0≤x<m)的图象与直线y=a+2有两个交点，由于：a∈[1, 2)，所以：a+2∈[3, 4)，令f(x)=3，即2sin(πx3+π6)+2=3，所以：πx3+π6=2kπ+π6或πx3+π6=2kπ+5π6(k∈Z)，解得：x=6k或x=2+6k(k∈Z)，所以：2<m≤6，故m的取值范围是：(2, 6]．11.【答案】C【考点】解三角形【解析】可设AD＝x，AE＝y，利用余弦定理与基本不等式求解．【解答】由题意可知A＝120∘，S△ABC=12×2×6×sin120=3√3．设AD＝x(0<x≤6)，AE＝y(0<y≤2)，由余弦定理得DE2＝x2+y2−2xycos120∘，即9＝x2+y2+xy，从而9≥2xy+xy＝3xy，即xy≤3．当且仅当x＝y=√3时等号成立．∴S1=12xysinA=√34xy≤3√34，∴S1S2的最大值为3√343√3−3√34=13．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】函数f(x)在(0, 2)上存在两个极值点，等价于f′(x)在(0, 2)上有两个零点，令f′(x)＝0，求出x ＝1和ae x +1x 2=0，且x ≠1，x ∈(0, 2)； 求出a =−1e x ⋅x 2，x ∈(0, 1)∪(1, 2)；设t(x)＝e x ⋅x 2，x ∈(0, 1)∪(1, 2)，求出t(x)的取值范围，即得a 的取值范围． 【解答】函数f(x)＝a(x −2)e x +lnx +1x 在(0, 2)上存在两个极值点， 等价于f′(x)＝a(x −1)e x +1x −1x 2在(0, 2)上有两个零点， 令f′(x)＝0，则a(x −1)e x +x−1x 2=0，即(x −1)(ae x +1x 2)＝0， ∴ x −1＝0或ae x +1x 2=0，∴ x ＝1满足条件，且ae x +1x 2=0（其中x ≠1且x ∈(0, 2)）； ∴ a =−1e x ⋅x 2，其中x ∈(0, 1)∪(1, 2)； 设t(x)＝e x ⋅x 2，其中x ∈(0, 1)∪(1, 2)； 则t′(x)＝(x 2+2x)e x >0， ∴ 函数t(x)是单调增函数， ∴ t(x)∈(0, e)∪(e, 4e 2)， ∴ a ∈(−∞, −1e )∪(−1e , −14e 2)．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −7【考点】二项展开式的特定项与特定系数 二项式定理的应用 【解析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中a 5b 3的系数． 【解答】(a −b2)8展开式的通项公式为：T r+1=C 8r⋅a 8−r ⋅(−b2)r ，令r =3，求得展开式中a 5b 3的系数为：C 83⋅(−12)3=56×(−18)=−7．【答案】 −4【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算求出结果． 【解答】利用菱形的特点，建立平面直角坐标系．则：菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，AB =2，E 为CD 的中点， 如图所示，所以：A(−√3,0)，B(0, −1)，C(√3,0)，D(0, 1)，E(√32,12)，所以：BA →=(−√3,1)，AE →=(3√32,12)， 故：BA →∗AE →=−92+12=−4． 【答案】 ①③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①，根据长方体的体积公式求出它的高AA 1； ②，根据异面直线所成的角的定义求出即可；③，求出长方体的对角线是外接球的直径，再求外接球的表面积． 【解答】长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AD =3，AB =4.5，V =10000×2.7×10−3=27， 粮仓的高AA 1=V AD∗AB =273×4.5=2（丈），①正确； 如图①所示，AD // BC ，∴ ∠CBC 1是异面直线AD 与BC 1所成的角， ∴ sin∠CBC 1=CC 1BC1=22=2√1313，②错误； 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的直径为 (2R)2=(AC 1)2=22+32+4.52=33.25=1334，∴ 外接球的表面积为4πR 2=1334π（平方丈），③正确．综上，正确的命题是①③．【答案】34【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，然后分别利用目标函数的几何意义求解． 【解答】由x ，y 满足约束条件{2x +y −3≤02x −2y −1≤0x −a ≥0作出可行域如图，x−yx+y 的最大值为2，即x +3y ≤0恒成立，x >0时，可得y x ≤−13．由可行域可知不正确； 当x <0时，y x ≥−13由可行域可知OA 的斜率是最小值−13，联立{x +3y =02x +2y −1=0，解得A(34, −14)；可得a =34， 联立{x =342x +y −3=0，解得B(34, 32)； 化z =x −y 为y =x −z ，由图可知，当直线y =x −z 过B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：34−32=34；三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】因为数列{a n 3n }是公差为2的等差数列，所以a232−a 13=2，则a 2=3a 1+18，又a 1，9，a 2成等比数列，所以a 1a 2=a 1(3a 1+18)=81， 解得a 1=3或a 1=−9，因为数列{a n3}为正项数列，所以a 1=3．所以an3n =1+2(n −1)=2n −1，故an =(2n −1)3n ．由（1）得S n =1×3+3×32+...+(2n −1)3n ， 所以3S n =1×32+3×32+...+(2n −1)3n+1， 所以−2S n =3+2(32+33+...+3n )−(2n −1)3n+1，=3+2×9−3n−11−3−(2n −1)3n+1=3n+1−6+(1−2n)3n+1， 故S n =(n −1)3n+1+3． 【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】（1）利用已知条件求出数列的首项，然后求解数列的通项公式． （2）利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】因为数列{a n 3n }是公差为2的等差数列，所以a232−a 13=2，则a 2=3a 1+18，又a 1，9，a 2成等比数列，所以a 1a 2=a 1(3a 1+18)=81，解得a 1=3或a 1=−9，因为数列{an3n }为正项数列，所以a 1=3． 所以an3n =1+2(n −1)=2n −1，故an =(2n −1)3n ．由（1）得S n =1×3+3×32+...+(2n −1)3n ，所以3S n=1×32+3×32+...+(2n−1)3n+1，所以−2S n=3+2(32+33+...+3n)−(2n−1)3n+1，=3+2×9−3n−11−3−(2n−1)3n+1=3n+1−6+(1−2n)3n+1，故S n=(n−1)3n+1+3．【答案】由频率分布直方图知，x=150−(0.006+0.0036+0.0024×2+0.0012)=0.0044，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为6×75+9×125+15×175+11×225+6×275+3×32550=186度．①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为P=C62C31C93=1528；②根据题意填写列联表如下；计算K2的观测值为k=24×(6×9−6×3)212×12×9×15=1.6<3.841，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”．【考点】独立性检验【解析】（1）由频率和为1求得x的值，计算平均值；（2）①根据古典概型的概率公式计算所求的概率值；②根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】由频率分布直方图知，x=150−(0.006+0.0036+0.0024×2+0.0012)=0.0044，按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为6×75+9×125+15×175+11×225+6×275+3×32550=186度．①B类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为P=C62C31C93=1528；②根据题意填写列联表如下；计算K 2的观测值为k =24×(6×9−6×3)212×12×9×15=1.6<3.841，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”． 【答案】解：(1)G 为棱AA 1的中点．∵ 四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∴ O 为A 1B 的中点，∴ OG//AB ．∵ AG //C 1D ，∴ 四边形ADC 1G 为平行四边形，则C 1G//AD ．又∵ OG ∩C 1G =G ，AB ∩AD =A ， ∴ 平面C 1OG//平面ABD ．(2)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连结DH ， 则∠DHC 即为二面角D −AB −C 的平面角． ∵ DC =1,tan∠DHC =√22，∴ CH =√2．又∵ AC =2,AC ⊥BC ，∴ BC =2．以C 为原点，CA,CB,CC 1所在直线分别为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系C −xyz ，如图所示， 则A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1)，A 1(2,0,2)， ∴ AB →=(−2,2,0),BD →=(0,−2,1)． 设平面ABD 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{AB →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,即{−2x +2y =0,−2y +z =0.令y =1，得n →=(1,1,2)．设BE →=λBA 1→(0≤λ≤1)，∵ BA 1→=(2,−2,2)， ∴ CE →=CB →+λBA 1→=(2λ,2−2λ,2λ)． ∴ CE 与平面ABD 所成角的正弦值为 |cos⟨CE →,n →⟩|=6×√12λ2−8λ+4=2√23， ∴ 36λ2−44λ+13=0，∴ λ=12或λ=1318． 又∵ BA 1=2√3，结合|BE →|=λ|BA 1→|可知BE =√3或13√39．【考点】平面与平面平行的性质 平面与平面平行的判定 二面角的平面角及求法 点、线、面间的距离计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)G 为棱AA 1的中点．∵ 四边形ABB 1A 1为平行四边形， ∴ O 为A 1B 的中点，∴ OG//AB ．∵ AG //C 1D ，∴ 四边形ADC 1G 为平行四边形，则C 1G//AD ．又∵ OG ∩C 1G =G ，AB ∩AD =A ， ∴ 平面C 1OG//平面ABD ．(2)过点C 作CH ⊥AB 于点H ，连结DH ， 则∠DHC 即为二面角D −AB −C 的平面角． ∵ DC =1,tan∠DHC =√22，∴ CH =√2．又∵ AC =2,AC ⊥BC ，∴ BC =2．以C 为原点，CA,CB,CC 1所在直线分别为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系C −xyz ，如图所示， 则A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1)，A 1(2,0,2)， ∴ AB →=(−2,2,0),BD →=(0,−2,1)． 设平面ABD 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 则{AB →⋅n →=0,BD →⋅n →=0,即{−2x +2y =0,−2y +z =0.令y =1，得n →=(1,1,2)．设BE →=λBA 1→(0≤λ≤1)，∵ BA 1→=(2,−2,2)， ∴ CE →=CB →+λBA 1→=(2λ,2−2λ,2λ)．∴ CE 与平面ABD 所成角的正弦值为 |cos⟨CE →,n →⟩|=√6×√12λ2−8λ+4=2√23， ∴ 36λ2−44λ+13=0，∴ λ=12或λ=1318． 又∵ BA 1=2√3，结合|BE →|=λ|BA 1→|可知BE =√3或13√39．【答案】由题意得{2py 0=14y 0+p 2=58 ，即18p +p 2=58， ∵ p >12，∴ p ＝1， ∴ C 的方程为x 2＝2y ．由{x 2=2yy =kx +2 ，得x 2−2kx −4＝0， 设B 1(x 1, y 1)，B 2(x 2, y 2)， 则x 1x 2＝−4，y 1y 2=(x 1x 2)24=4，∴ OB 1→⋅OB 2→=0， ∴ ∠B 1OB 2=π2； 由（1）知，y 0=18， ∴ l 的方程为y =2x +98， 设P(m, m 22)(m ≠−12且m ≠92)，则M 的横坐标为m ，|AM|=√5|m +12|，由题意可知PN:y −m 22=−12(x −m)与y =2x +98联立可得，x N =15(m 2+m −94)，∴ |AN|=√5|15(m 2+m −94)+12|=√55(m +12)2，则|AN|2|AM|=√525|(m +12)3|不是定值，|AM|2|AN|=5√5为定值．【考点】 抛物线的性质 【解析】（1）由题意得{2py 0=14y 0+p 2=58，即可求出p 的值，可得C 的方程为x 2＝2y ，联立{x 2=2y y =kx +2，得x 2−2kx −4＝0，设B 1(x 1, y 1)，B 2(x 2, y 2)，由韦达定理结合向量知识即可求出∠B 1OB 2；（2）由（1）知，y 0=18，则l 的方程为y =2x +98，设P(m, m 22)(m ≠−12且m ≠92)，则M 的横坐标为m ，求出|AM|，由题意可知PN:y −m 22=−12(x −m)与y =2x +98联立可得，x N =15(m 2+m −94)，再求出|AN|，则可得|AN|2|AM|=√525|(m +12)3|不是定值，|AM|2|AN|=5√5为定值． 【解答】由题意得{2py 0=14y 0+p 2=58 ，即18p +p 2=58， ∵ p >12，∴ p ＝1， ∴ C 的方程为x 2＝2y ．由{x 2=2yy =kx +2 ，得x 2−2kx −4＝0， 设B 1(x 1, y 1)，B 2(x 2, y 2)， 则x 1x 2＝−4，y 1y 2=(x 1x 2)24=4，∴ OB 1→⋅OB 2→=0， ∴ ∠B 1OB 2=π2； 由（1）知，y 0=18， ∴ l 的方程为y =2x +98， 设P(m, m 22)(m ≠−12且m ≠92)，则M 的横坐标为m ，|AM|=√5|m +12|，由题意可知PN:y −m 22=−12(x −m)与y =2x +98联立可得，x N =15(m 2+m −94)，∴ |AN|=√5|15(m 2+m −94)+12|=√55(m +12)2，则|AN|2|AM|=√525|(m +12)3|不是定值，|AM|2|AN|=5√5为定值． 【答案】解：(1)由9x −18=0得x =2，所以切点为(2, 0)，因为f′(x)=3x 2−12x +a ，所以f′(2)=a −12=9，所以a =21．又f(2)=8−24+2a +b =0，所以b =−26，所以f(x)=x 3−6x 2+21x −26．(2)由f(x)<9x +k 得k >f(x)−9x =x 3−6x 2+12x −26.设g(x)=x 3−6x 2+12x −26，则g′(x)=3(x 2−4x +4)=3(x −2)2>0对x ∈(2, 5)恒成立，所以g(x)在(2, 5)上单调递增，所以k ≥g(5)=9．因为f(x)=x 3−6x 2+12x −8+9(x −2)=(x −2)3+9(x −2)， 所以由110kx(x −2)2<f(x)对x ∈(2, 5)恒成立得 110k <x−2x +9x(x−2)=1+13−2x x −2x 对x ∈(2, 5)恒成立，设ℎ(x)=1+13−2xx 2−2x(2<x <5)，则ℎ′(x)=2(x 2−13x+13)x 2(x−2)2，当2<x <5时，x 2−13x +13<0，所以ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(2, 5)上单调递减，所以110k ≤ℎ(5)=65，即k ≤12．综上，k 的取值范围为[9, 12]． 【考点】函数恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由9x −18=0得x =2，所以切点为(2, 0)，因为f′(x)=3x 2−12x +a ，所以f′(2)=a −12=9，所以a =21．又f(2)=8−24+2a +b =0，所以b =−26，所以f(x)=x 3−6x 2+21x −26．(2)由f(x)<9x +k 得k >f(x)−9x =x 3−6x 2+12x −26.设g(x)=x 3−6x 2+12x −26，则g′(x)=3(x 2−4x +4)=3(x −2)2>0对x ∈(2, 5)恒成立，所以g(x)在(2, 5)上单调递增，所以k ≥g(5)=9．因为f(x)=x 3−6x 2+12x −8+9(x −2)=(x −2)3+9(x −2)， 所以由110kx(x −2)2<f(x)对x ∈(2, 5)恒成立得 110k <x−2x +9x(x−2)=1+13−2x x 2−2x 对x ∈(2, 5)恒成立，设ℎ(x)=1+13−2xx 2−2x(2<x <5)，则ℎ′(x)=2(x 2−13x+13)x (x−2)，当2<x <5时，x 2−13x +13<0，所以ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(2, 5)上单调递减，所以110k ≤ℎ(5)=65，即k ≤12．综上，k 的取值范围为[9, 12]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线C 的参数方程为{x =2t 2−1y =2t −1 （t 为参数）．由y =2t −1，得t =y+12，x =2t 2−1=2(y+12)2−1，即(y +1)2=2(x +1)，故曲线C 的普通方程为(y +1)2=2(x +1)． 由ρ(2sinθ−cosθ)=m ，当2y −x =m ， 联立{(y +1)2=2(x +1)2y −x =m ， 得y 2−2y +2m −1=0， 因为l 与曲线C 相切，所以△=4−4(2m −1)=0， m =1，所以l 的方程为2y −x =1， 不妨假设A(0,12)，则B(−1, 0)， 线段AB 的中点为(−12,14)． 所以|AB|=√52，又OA ⊥OB ，故：以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x +12)2+(y −14)2=(√54)2．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用曲线的位置关系，根据一元二次方程的解法求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =2t 2−1y =2t −1 （t 为参数）．由y =2t −1，得t =y+12，x =2t 2−1=2(y+12)2−1，即(y +1)2=2(x +1)，故曲线C 的普通方程为(y +1)2=2(x +1)． 由ρ(2sinθ−cosθ)=m ，当2y −x =m ， 联立{(y +1)2=2(x +1)2y −x =m ， 得y 2−2y +2m −1=0， 因为l 与曲线C 相切，所以△=4−4(2m −1)=0， m =1，所以l 的方程为2y −x =1， 不妨假设A(0,12)，则B(−1, 0)， 线段AB 的中点为(−12,14)． 所以|AB|=√52，又OA ⊥OB ，故：以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x +12)2+(y −14)2=(√54)2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】由f(x)>a ，得|3x −1|>|2x +1|， 平方得：9x 2−6x +1>4x 2+4x +1， 即5x 2>10x ，解得：x >2或x <0， 故不等式的解集是(−∞, 0)∪(2, +∞)； 设g(x)=|3x −1|−|2x +1|={2−x,x ≤−12−5x,−12<x <13x −2,x ≥13作出g(x)的图象，如图示： ，∵ g(0)=g(2)=0，g(3)<g(4)=2<g(−1)=3， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得f(n)<0， 故{f(3)<0f(4)≥0 即{1+a <02+a ≥0 ， 故a 的范围是[−2, −1)．【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）通过平方求出不等式的解集即可；（2）求出f(x)的分段函数的形式，得到关于a 的不等式组，解出即可． 【解答】由f(x)>a ，得|3x −1|>|2x +1|， 平方得：9x 2−6x +1>4x 2+4x +1， 即5x 2>10x ，解得：x >2或x <0， 故不等式的解集是(−∞, 0)∪(2, +∞)； 设g(x)=|3x −1|−|2x +1|={2−x,x ≤−12−5x,−12<x <13x −2,x ≥13作出g(x)的图象，如图示：试卷第21页，总21页 ，∵ g(0)=g(2)=0，g(3)<g(4)=2<g(−1)=3， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得f(n)<0， 故{f(3)<0f(4)≥0 即{1+a <02+a ≥0 ，故a 的范围是[−2, −1)．。
湖南省普通高中2018年学业水平考试数学试题
2018年湖南省普通高中学业水平考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列几何体中为圆柱的是2．执行如图1所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出y 的值为 A ．10 B ．15 C ．25 D ．353．从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数为偶数的概率是A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．如图2所示，在平行四边形ABCD 中中，AB AD += A ．AC B ．CA C ．BD D ．DB5．已知函数y ＝f （x ）（[1,5]x ∈-）的图象如图3所示，则f （x ）的单调递减区间为 A ．[1,1]- B ．[1,3] C ．[3,5] D ．[1,5]- 6．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式恒成立的是 A ．a +c ＞b ＋d B ．a +d >b +c C ．a -c >b -d D ．a -b >c-d 7．为了得到函数cos()4y x π=+的图象象只需将cos y x =的图象向左平移A ．12个单位长度 B ．2π个单位长度C ．14个单位长度 D ．4π个单位长度 8．函数(1)2()log x f x -=的零点为A ．4B ．3C ．2D ．1 9．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，AC，则BC ＝A ．12BCD ．110．过点M （2，1）作圆C ：22(1)2x y -+=的切线，则切线条数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题；本大题共5小题，每小题4分，共20分， 11．直线3y x =+在y 轴上的截距为_____________。
12．比较大小：sin25°_______sin23°（填“＞”或“＜”） 13．已知集合{}{}1,2,1,A B x ==-．若{}2AB =，则x ＝______。
2018年普通高中学业水平考试数学模拟试卷四
2018年普通高中学业水平考试数学模拟试卷(四)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分：时量120分钟，满分100分．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上．2．选择题和非选择题均须在答题卡土作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．3．本卷共8页，如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、填空题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，3}，集合N={0，2，4}，则 A ．{0}∈M ∩N B ．M ∪N={0，1，2，3，4} C ．M ∩N=∅ D ．M ∪N={1，2，3，4} 2．直线3x +y +2=0的倾斜角是 A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒3．下图左是一个正方体被截去一个三棱锥所得几何体的直观图，则其俯视图是4．在等差数列{a n }中，已知a 4=-2，a 8=2，则S 12= A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．已知a >0，a ≠1，M>0，则下列各式中错误的是 A ．log a 1=0 B ．log a a =1 C ．log a 2M=2log a M D ．log a M 2=2log a M 6．已知sin α=-45，且α为第四象限角，则tan α的值为A ．43B ．34C ．-34D ．-437．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知a =1，sinA=13，sinB=23，则b =A ．2B ．3C ．4D ．5 8．执行如图所示的程序，则输出的结果是 A ．1B ．2C ．5D ．8 9．函数f (x )=2x +x -4的零点所属区间为 A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)10．右图是2017年“唱响中国”电视歌手大奖赛中，七位专家评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m ，n 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则一定有 A ．a 1>a 2 B ．a 1，a 2的大小与m 的值有关 C ．a 2>a 1D ．a 1，a 2的大小与m ，n 的值都有关题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．将函数f (x )=cos x 的图像向右平移π6得到函数g (x )的图像，则g (π3)=________．12．若圆(x +1)2+(y +2)2=9的圆心在直线y =3x +t 上，则实数t =________．13．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥21y y x xy ，则目标函数z =-12x +y 的最小值为________． 14．已知|a |=1，|b |=2，且a 与b 的夹角为120︒，则(a -3b )⋅(a +b )=________． 15．如图，已知圆O 的半径长为5，正方形ABCD 内接于半圆O 内。
2018年湖南省高中数学学业水平考试仿真试卷Word版含解析
2018年湖南省高中数学学业水平考试仿真试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合M={0，1}，集合N满足M∪N={0，1}，则集合N共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）D．（3，﹣4）3．不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域（用阴影表示）是（）A．B．C． D．4．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．56．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A．10 B．12 C．14 D．168．已知tanα=2，则tan（α﹣）=（）A．B．C．D．﹣39．圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．相外切B．相内切C．相交D．相离10．如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．不等式x2﹣5x≤0的解集是．转化为十进制的数为．12．把二进制数10011（2）13．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是．14．已知函数f（x）=4﹣logx，x∈[2，8]，则f（x）的值域是．215．点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．三、解答题（共5小题，满分40分）16．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．17．已知向量=（sinx，1），=（2cosx，3），x∈R．（1）当=λ时，求实数λ和tanx的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的最小正周期和单调递减区间．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O、D分别是AB，PB的中点．（1）求证：PA∥平面COD；（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．19．已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．20．已知数列{an }的各项均为正数，其前n项和为Sn，且an2+an=2Sn，n∈N*．（1）求a1及an；（2）求满足Sn＞210时n的最小值；（3）令bn=4，证明：对一切正整数n，都有+++…+＜．2018年湖南省高中数学学业水平考试仿真试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知集合M={0，1}，集合N满足M∪N={0，1}，则集合N共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】19：集合的相等．【分析】根据集合的包含关系求出集合N的个数即可．【解答】解：M={0，1}，集合N满足M∪N={0，1}，则N⊆M，故N=∅，{0}，{1}，{0，1}共4种可能，故选：D．2．直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（）A．（2，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，1）D．（3，﹣4）【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】根据题意，联立两直线的方程，解可得x、y的值，即可得交点坐标，即可得答案．【解答】解：根据题意，联立，解可得，即直线x+2y+2=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（2，﹣2）；故选：A．3．不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域（用阴影表示）是（）A．B．C． D．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式是否成立后得二元一次不等式表示的平面区域．【解答】解：画出不等式2x+y﹣3≤0对应的函数2x+y﹣3=0的图象，取点（0，0），把该点的坐标代入不等式2x+y﹣3≤0成立，说明不等式2x+y﹣3≤0示的平面区域与点（0，0）同侧，所以不等式2x+y﹣3≤0表示的平面区域在直线2x+y﹣3=0的右下方，并含直线．故选B．4．已知cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．【解答】解：∵cosα=﹣，α是第三象限的角，则sinα=﹣=﹣，故选：C．5．已知函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．【解答】解：根据指数函数的性质：当x=1时，f（x）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f（x）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a2=6．∵a＞0，a≠1，∴a=2．故选：A．6．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB=，结合B的范围即可得解B 的值．【解答】解：∵a=b，A=120°，∴由正弦定理，可得：sinB=，又∵B∈（0°，60°），∴B=30°．故选：A．7．一支田径队有男运动员49人，女运动员35人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为24的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得所求．【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，则应从男运动员中抽出的人数为49×=14，故选：C8．已知tanα=2，则tan（α﹣）=（）A．B．C．D．﹣3【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则tan（α﹣）==，故选：B．9．圆x2+y2=1与圆（x+1）2+（y+4）2=16的位置关系是（）A．相外切B．相内切C．相交D．相离【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）半径为1；圆（x+1）2+（y+4）2=16的圆心（﹣1，﹣4），半径为4，圆心距为： =，半径和为5，半径差为：3，（3，5）．所以两个圆的位置关系是相交．故选：C．10．如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，计算圆O的面积S圆和△ABC的面积S△ABC，求它们的面积比即可．【解答】解：圆O的直径AB=2，半径为1，所以圆的面积为S圆=π•12=π；△ABC的面积为S△ABC=•2•1=1，在圆O内随机撒一粒黄豆，它落在△ABC内（阴影部分）的概率是P==．故选：D．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．不等式x2﹣5x≤0的解集是{x|0≤x≤5} ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式x2﹣5x≤0化为x（x﹣5）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣5x≤0可化为x（x﹣5）≤0，解得0≤x≤5，∴不等式的解集是{x|0≤x≤5}．故答案为：{x|0≤x≤5}．12．把二进制数10011（2）转化为十进制的数为19 ．【考点】WC：mod的完全同余系和简化剩余系．【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．=1+1×2+1×24=19【解答】解：10011（2）故答案为：1913．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是3，2 ．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象信息即可求出A，ω的值．【解答】解：根据图象，可知最高点为3，最低点﹣3，∴A=3．从图可以看出周期T=π，即=π，∴ω=2．故答案为：3，2．x，x∈[2，8]，则f（x）的值域是[1，3] ．14．已知函数f（x）=4﹣log2【考点】34：函数的值域．【分析】由x∈[2，8]上结合对数函数的单调性，即可求出函数的值域．【解答】解：∵函数f（x）=4﹣logx在x∈[2，8]时单调递减，22=3，∴当x=2时函数取最大值4﹣log28=1，当x=8时函数取最小值4﹣log2∴函数f（x）的值域为[1，3]，故答案为：[1，3]．15．点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．【解答】解：圆心（0，0）到直线x+y﹣2=0的距离d==．再由d﹣r=﹣1，知最小距离为1．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分40分）16．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图．【分析】（1）由茎叶图性质利用中位数定义列出方程，求出m．（2）由篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20，40]内，能估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．【解答】解：（1）由茎叶图性质得：中位数为： =33，解得m=4．（2）∵篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20，40]内，∴可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率为．17．已知向量=（sinx，1），=（2cosx，3），x∈R．（1）当=λ时，求实数λ和tanx的值；（2）设函数f（x）=•，求f（x）的最小正周期和单调递减区间．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的运算性质，向量相等即可求解．（2）根据函数f（x）=•，求出f（x）的解析式，即可求出f（x）的最小正周期和单调递减区间．【解答】解：（1）向量=（sinx，1），=（2cosx，3），x∈R．当=λ时，可得∴，即tanx=．（2）函数f（x）=•，∴f（x）=2sinxcosx+3=sin2x+3．∴f（x）的最小正周期T=．∵f（x）单调递减．则，k∈Z，得：≤x≤．∴f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=2，O、D分别是AB，PB的中点．（1）求证：PA∥平面COD；（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由O、D分别是AB，PB的中点，得OD∥AP，即可得PA∥平面COD．（2）连接OP，得OP⊥面ABC，且OP=．即可得三棱锥P﹣ABC的体积V==．【解答】解：（1）∵O、D分别是AB，PB的中点，∴OD∥AP又PA⊄平面COD，OD⊂平面COD∴PA∥平面COD．（2）连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB又∵平面PAB⊥平面ABC，∴OP⊥面ABC，且OP=．∴三棱锥P﹣ABC的体积V==．19．已知函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），a为常数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（a，+∞）上是减函数．【考点】3E：函数单调性的判断与证明；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）把点（2，3）代入函数解析式求出a的值；根据f（x）的解析式，求出它的定义域；（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数即可．【解答】解：（1）函数f（x）=2+的图象经过点（2，3），∴2+=3，解得a=1；∴f（x）=2+，且x﹣1≠0，则x≠1，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠1}；（2）用函数单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数如下；设1＜x1＜x2，则f （x 1）﹣f （x 2）=（2+）﹣（2+）=，∵1＜x 1＜x 2，∴x 2﹣x 1＞0，x 1﹣1＞0，x 2﹣1＞0， ∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在（1，+∞）上是减函数．20．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a n 2+a n =2S n ，n ∈N *． （1）求a 1及a n ；（2）求满足S n ＞210时n 的最小值；（3）令b n =4，证明：对一切正整数n ，都有+++…+＜．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和．【分析】（1）当n=1时，，由此能求出a 1=1，由a n 2+a n =2S n ，得，从而（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0，进而数列{a n }是首项和公差都为1的等差数列，由此能求出a n =n ．（2）求出S n =，由此能求出满足S n ＞210时n 的最小值．（3）由题意得，从而数列{}是首项和公比都是的等比数列，由此能证明对一切正整数n ，都有+++…+＜．【解答】解：（1）∵数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a n 2+a n =2S n ，n ∈N *．∴当n=1时，，且a 1＞0，解得a 1=1，∵a n 2+a n =2S n ，①，∴，②①﹣②，得：，整理，得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣1）=0， ∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是首项和公差都为1的等差数列， ∴a n =n ．（2）∵数列{a n }是首项和公差都为1的等差数列，a n =n ．∴S=，n∵S＞210，∴，n整理，得n2+n﹣420＞0，解得n＞20（n＜﹣21舍），∴满足S＞210时n的最小值是21．n证明：（3）由题意得，则，∴数列{}是首项和公比都是的等比数列，∴+++…+==．故对一切正整数n，都有+++…+＜．。
2018年4月普通高中学业水平考试数学仿真演练试题(word版附答案)
2018年4月普通高中学业水平考试数学仿真演练试题考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．设集合{}101,M N =-，，为自然数集，则 M N = A ．{}1,0-B ．{}1-C ．{}0,1D ．{}12．已知()23231f x x x -=-+，则()1f =A ．15B ．21C ．3D ．0 3．过点()1,2且与直线12+=x y 垂直的直线的方程为A ．230x y +-=B ．240x y -+=C ．230x y ++=D ．250x y +-= 4．cos75cos15sin 255sin165︒︒-︒︒的值是A ．12-B ．12C ．2D ．0 5．在下列区间中，函数()e 43xf x x -=+-的零点所在的区间为A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．函数1y =的值域为A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞ 7．已知sin 20,cos 0αα<<，则下列各式一定成立．．．．的是 A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．sin cos 0αα+> D ．sin cos 0αα->8．直线MN 的斜率为2，其中点()1,1N -，点M 在直线1y x =+上，则A ．()5,7MB ．()4,5MC ．()2,1MD ．()2,3M9．已知点(),P x y 的坐标满足约束条件3,3,220,x y y x O x y ì+?ïïï£íïï+-?ïïî为坐标原点，则 A ．1 B．5 C．5D10．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若132,,S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比q =A ．2-B ．1-C ．12-D ．1211．不等式1122x x x x --->-++的解集为 A ．()(),21,-∞-+∞ B ．(),2-∞- C ．()1,+∞ D ．()2,1-12．如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形且1D D ⊥平面ABCD ，则1AC 与BD 所成的角是A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒ 13．已知向量()()5,,2,2k ==-a b ，则使5-≤a b 成立的充分不必要条件是A ．62k -≤≤B ．62k -≤≤-C ．26k -≤≤D ．26k ≤≤ 14．函数()()()sin ,0,f x x x ωϕωϕ=+∈>-π≤<πR 的部分图象如图所示，则A ．,2ωϕπ==-π B ．,02ωϕπ== C ．,44ωϕππ== D ．3,44ωϕππ==-15．已知点()1,0M -和()1,0N -，若某直线上存在点P ，使得4PM PN +=，则称该直线为“椭型直线”．现有下列直线：①260x y -+=；②0x y -=；③210x y -+=；④30x y +-=．其中是“椭型直线”的是A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④16．已知函数()()212f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是A ．[]2,0-B ．9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,4 D ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面111A B C ，且111111111,2,AC BC AC BC CC P ⊥===是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值为A ．B ．5C D ．18．已知直线10x y -+=与双曲线()2210x y ab a b+=<相交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则11a b+=A ．1 BC ．2D非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19．CB AD AB +-=．20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线4y =与C 的交点为P ，与y 轴的交点为Q ，且32PF PQ =，则抛物线C 的方程为 ，点P 的坐标为 ．21．已知数列{}n a 满足111,3,1,, 3.3n n n n n a a a a a a ++<⎧⎪==⎨≥⎪⎩则数列{}n a 的前12项和12S = ．22．已知函数211x y x -=+的图象与函数2y kx =+的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量(sin sin ,sin sin )C A C B =--m 与(,)b c a =+n 共线．（I ）求角B 的大小；（II ，求ABC △的面积．24．（本小题满分10分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，椭圆C 和抛物线x y =2交于N M ,两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点． （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）A 为椭圆的右顶点，经过原点的直线和椭圆C 交于,B D 两点，设直线AB 与AD 的斜率分别为12,k k ．问12k k ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则，请说明理由．25．（本小题满分11分）已知,u v 是方程()2410x tx t --=∈R 的两个不相等的实数根，函数()2222x tf x x -=+的定义域为[],u v ，它的最大值、最小值分别记为()()max min ,f x f x ．（I ）当0t =时，求()()max min ,f x f x ；（II ）令()()()max min g t f x f x =-，求函数()g t 的解析式．参考答案19．CD ． 20．2y =，()421．24．22.)()0,11,4()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+sin sin b Aa B===此时11sin 22ABC S ac B ==⋅⋅=△综上所述，3ABC S =△ABC S =△………………………………………10分 24．（I ）由22=a c 知，可设λλλ2,2,2===bc a ，其中0>λ，由已知(,M c ±，代入椭圆中得：1222=+b c a c ，即122212=+λλ，解得2=λ，从而2,2,22===c b a ，故椭圆C 的标准方程为14822=+y x ．………………………………5分 （II ）12k k ⋅为定值，…………………………………………6分 下面给出证明．证明：设000( )(0)B x y y >，，则00()D x y --，，且2200221x y a b+=，………………7分而22022200012222220000(1)x b y y y b a k k x a x a x a x a a-⋅=⋅===--+--，……………………9分 由（I ）为定值． (10)分（II ）任取[]12,,x x u v ∈且12x x <，则221122410,410x tx x tx --≤--≤，两式相加得7分()()()()()()21121212122222121221222222211x x x x t x x x t x t f x f x x x x x --+-⎡⎤--⎣⎦∴-=-=++++．………8分 1221,0u x x v x x ≤<≤∴-> ，又()()()()()()12121212210,0,,x x t x x f x f x f x f x f x -+-<∴-<∴<∴在[],u v 上单调递增，()()()()max min ,f x f v f x f u ∴==，…………………9分又4,1u v t uv +==-，()()()()()()())()2222222122222221182.2164221v u t u v uv v t u t g t f v f u v u u v t t uv u v uv -+-+⎡⎤--⎣⎦∴=-=-=+++++===+++-+⎣⎦。
最新-湖南省2018届高考数学文科模拟试卷(四)含答案解
2018年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（四）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．22．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1]D．（﹣3，3）3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．185．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．20187．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲] 22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．2018年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z满足1+z=（1﹣z）i，则|z|=（）A．B．1 C．D．2【考点】复数求模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数．【分析】由1+z=（1﹣z）i，可得z=，再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵1+z=（1﹣z）i，∴z====i，则|z|=1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．2．设全集为R，集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|﹣1＜x≤5}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，﹣1） C．（﹣3，﹣1]D．（﹣3，3）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据补集的定义求得∁R B，再根据两个集合的交集的定义，求得A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|﹣1＜x≤5}，∴∁R B={x|x≤﹣1，或x＞5}，则A∩（∁R B）={x|﹣3＜x≤﹣1}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算求出a的范围，根据对数的运算性质得到b，c的范围，比较即可．【解答】解：==＞2，＜0，0＜＜1，即a＞2，b＜0，0＜c＜1，即a＞c＞b，故选：A．【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质，是一道基础题．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6 C．14 D．18【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．5．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．已知等差数列{a n}前四项中第二项为606，前四项和S n为3834，则该数列第4项为（）A．2004 B．3005 C．2424 D．2018【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可．【解答】解：已知a2=606，S4=3834，则S3=a1+a2+a3=3a2=1818即a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2018，故选：D【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用，比较基础．7．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．8．已知向量满足，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得cosθ，进而可得θ【解答】解：设与的夹角为θ，∵，，，∴=||||cosθ=1×2×cosθ=，∴cosθ=﹣，∴θ=故选：D【点评】本题考查数量积与向量的夹角，属基础题．9．已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；直线与圆．【分析】根据条件令x=0，求出AB的长度，结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论．【解答】解：当y=0时，得x2﹣4x=0，解得x=0或x=4，则AB=4﹣0=4，半径R=2，∵CA2+CB2=（2）2+（2）2=8+8=16=（AB）2，∴△ACB是直角三角形，∴∠ACB=90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故选：C．【点评】本题主要考查圆心角的求解，根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键．10．将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再将图象上所有点向左平移个单位，则所得函数图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴．【解答】解：将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x+）的图象；再把所得图象象左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x+），令2x+=kπ+，求得x=﹣，k∈z，故所得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈z．结合所给的选项，故选：A．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面体P﹣ABC的体积为，则该球的体积为（）A．B．2πC．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，==，∴V P﹣ABC即R3=9，R3=3，=×πR3=×π×3=4π．所以：球的体积V球故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．12．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．曲线y=e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；方程思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，利用导数求出函数的切线方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=﹣e﹣x，则f′（0）=﹣1，则切线方程为y﹣2=﹣x，即y=﹣x+2，切线与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，2），∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=，故答案为：2【点评】本题主要考查三角形面积的计算，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键．14．已知等比数列{a n}中，a3+a5=8，a1a5=4，则=9．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解出a3，分别可得q2，而=q4，代入可得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得a1a5=a32=4，解得a3=2，或a3=﹣2，当a3=2时，可得a5=8﹣a3=6，q2==3当a3=﹣2，可得a5=8﹣a3=10，q2==﹣5，（舍去）∴=q4=32=9故答案为：9【点评】本题考查等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属基础题．15．若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为1．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】数形结合；综合法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍）．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是[﹣2，0]．【考点】绝对值不等式的解法；指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得，当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，则此时应有a≤0．当x≤0时，|f（x）|=x2﹣2x≥ax，再分x=0、x＜0两种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．【解答】解：由于函数，且|f（x）|≥ax，①当x＞0时，log2（x+1）＞0恒成立，不等式即log2（x+1）≥ax，则此时应有a≤0．②当x≤0时，由于﹣x2+2x 的取值为（﹣∞，0]，故不等式即|f（x）|=x2﹣2x≥ax．若x=0时，|f（x）|=ax，a取任意值．若x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上，a的取值为[﹣2，0]，故答案为[﹣2，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，对数不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度）以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240）[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量[240，260），[260，280），[280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则越平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【专题】计算题；数形结合；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12【点评】此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．[选修4-4坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线l与圆C的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆．【分析】（1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程．（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线l上．可得：cos（﹣）=a，解得a=．直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=，即：ρcosθ+ρsinθ=2，直线l的直角坐标方程为：x+y﹣2=0．（2）圆C的参数方程为（α为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1．圆心（1，0），半径为：1．因为圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．【点评】本题考查参数方程与极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）化简函数f（x）的解析式，画出函数的f（x）的图象，数形结合求得不等式f（x）＜4的解集．（2）由条件利用绝对值的意义求得g（a）的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2|x﹣1|+|x﹣3|=，由图可得，不等式f（x）＜4的解集为（，3）．（2）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到a、1、3对应点的距离之和，可得f（x）的最小值为g（a）=，故g（a）的最小值为2．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
湖南省湘潭市2018届高三下学期第四次模拟考试理数试题(精编含解析)
1．A【解析】,所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 2．A【解析】分析：根据二项分布的期望与方差的公式，即可求解随机变量的期望与方差．详解：根据二项分布的期望与方差的公式，即可得，故选A．点睛：本题主要考查了二项分布的期望与方差，其中熟记二项分布的期望与方差的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．点睛：此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”.4．C【解析】分析：由双曲线的方程，求解其中一条渐近线方程，利用题设垂直，求得，即可得到双曲线的实轴长．详解：由双曲线的方程，可得一条渐近线的方程为，所以，解得，所以双曲线的实轴长为，故选C．点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．5．C【解析】分析：利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，化简即可求解．详解：由题意，则，所以，故选C．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中熟记三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．7．A 【解析】∵()()444xxx f x f x --==--，∴函数()f x 为奇函数，排除B ，D. 又()44444144f -=>-，故排除C ， 故选：A点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 8．B 【解析】分析：由给定的三视图，得到该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，即可借助正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即可得到几何体的体积．详解：由三视图可知，该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得， 其直观图如图所示则该几何体的体积为，故选B．点睛：本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．点睛：本题主要考查了椭圆的定义的应用，其中根据椭圆的定义和三角形三边的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．10．D【解析】分析：把方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，即可借助三角函数的图象与性质，即可求解．详解：由题意，方程在内有两个不同的实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点，又由，可得当时，结合三角函数的图象，即可求解，故选D点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，及函数与方程，其中把方程的解转化为两个函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12．D 【解析】函数()()12x f x a x e lnx x=-++在(0,2)上存在两个极值点， 等价于()()211'1x f x a x e x x =-+- 在(0,2)上有两个零点， 令f′(x)=0,则()2110x x a x e x--+= ，即()2110xx ae x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ∴x −1=0或210x ae x += ， ∴x=1满足条件,且210x ae x+= (其中x≠1且x ∈(0,2)；∴21a ex x =-⋅ ,其中x ∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex ⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)； 则t′(x)=(x 2+2x)e x>0， ∴函数t(x)是单调增函数， ∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e 2)， ∴a ∈2111,,4e e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.本题选择D选项.点睛：1．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得．13．【解析】分析：根据二项式得到展开式的通项，即可求解的系数．详解：由题意，二项式的展开式的通项为，令，得，所以的系数为．点睛：本题主要考查了二项展开式的指定项的系数问题，其中熟记二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．15．①③【解析】分析：由题意①中，根据长方体的体积公式，即可求得的长；②中，根据异面直线所成的角的定义，即可求解；③中，求出长方体的对角线是外接球的直径，即可求解外接球的表面积．详解：由题意，因为，解得尺尺，故①正确；异面直线与所成角为，则，故②错误，此长方体的长、宽、高分别为丈、丈、丈，故其外接球的表面积为平分丈，所以③是正确的．点睛：本题主要考查了长方体的体积、两角异面直线所成的角的应用，以及几何体的外接球的计算等问题，着重考查了学生的空间想象能力，以及推理与计算能力，试题有一定的难度，属于中档试题．16．【解析】分析：令，得，作出不等式组表示的可行域，解得，进而可求得得最小值．点睛：本题主要考查了线性规划的应用，其中正确理解题意，作出不等式组表示平面区域，利用斜率求解的值是解答的关键，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题．17．（1）；（2）【解析】分析：（1）利用已知条件可列出的两个方程，联立，解出，从而再由是等差数列得通项公式；点睛：解决数列求和问题首先要掌握等差数列和等比数列的前项和公式，其次要掌握一些特殊数列的求和方法，设是等差数列，是等比数列，则数列用分组求和法求和，数列用错位相减法求和，数列用裂项相消法求和.18．（1）0.0044x =，186（2）23，没有【解析】试题分析：（1）由矩形面积和为1，求得x ，再由每一个矩形的中点横坐标乘以矩形面积求和可得平均值；（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，则216339C C C 即为所求； （2）根据数据完成列联表，利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算查表下结论即可.试题解析： 解：（1）1(0.0060.00360.002450x =-++ 20.0012)0.0044⨯+=， 按用电量从低到高的六组用户数分别为6，9，15，11，6，3，所以估计平均用电量为675912515175112256275332550⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 186=度.（2）①B 类用户共9人，打分超过85分的有6人，所以从B 类用户中任意抽取3户，恰好有2户打分超过85分的概率为2163391528C C C =. ②因为2K 的观测值()22469631212915k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 1.6 3.841=<，所以没有95%的把握认为“满意与否与用电量高低有关”.点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 19．（1）为棱的中点；（2）或.∴，∴或，又，∴或．点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（1）证明见解析；（2）.【解析】分析：（1）依题意得，列出方程组，求得，即可得到的方程，把直线方程与曲线的方程联立，求得，，结合向量的运算，即可证得；（2）由（1）知，，故的方程为，设，则的横坐标为，求出，由题意知：，与联立可得，求出，则不是定值，为点睛：本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线与抛物线的位置关系和向量知识的运用，解答此类题目确定抛物线安（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解．21．（1）；（2）.点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用和利用导数研究不等式恒成立问题，通常首先通过分离参数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出极值与最值，进而求出参数的取值范围是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，22．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数t,可得曲线的普通方程为.（2）将化直后与曲线C联立得，由与曲线相切，所以，，进而可求以为直径的圆的直角坐标方程为，由极直互化公式可得对应【解析】分析：（1）由，得，不等式两边同时平方，即可求解不等式的解集；（2）根据绝对值的意义，去掉绝对值号，得到分段函数，作出的图象，利用函数的图象，列出不等式组即可求解实数的取值范围．详解：（1）由，得，不等式两边同时平方，得，即，解得或，所以不等式的解集为．点睛：本题主要考查了含绝对值的不等式的求解以及分段函数的图象与性质的应用，其中合理去掉绝对值号和正确利用分段函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。
2018年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷Word版含答案
2018年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{n a }的前3项分别为2、4、6，则数列{n a }的第4项为A ．7B ．8C ．10D ．12 2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A ．球B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥 3．函数)2)(1()(+-=x x x f 的零点个数是A ．0B ．1C ．2D ．34．已知集合}2,0,1{-=A ，}3,{x =B ，若}2{=B A ，则x 的值为 A ．3 B ．2 C ．0 D ．-15．已知直线1l ：12+=x y ，2l ：52+=x y ，则直线1l 与2l 的位置关系是 A ．重合 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．平行6．下列坐标对应的点中，落在不等式01<-+y x 表示的平面区域内的是A ．（0，0）B ．（2，4）C ．（-1，4）D ．（1，8）7．某班有50名同学，将其编为1、2、3、…、50号，并按编号从小到大平均分成5组．现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为A ．14B ．23C ．33D ．438．如图，D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点，则下列等式恒成立的是A ．0=⋅CB CA B ．0=⋅AB CDC ．0=⋅CD CA D ．0=⋅CB CD9．将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．)3sin(π+=x yB ．)3sin(π-=x y（第2题图）俯视图（第8题图）CABDC ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π-=x y 10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A ．32B ．54C ．56D ．34二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．比较大小：5log 2 3log 2 （填“＞”或“＜”）．12．已知圆4)(22=+-y a x 的圆心坐标为)0,3(，则实数=a ．13．某程序框图如图所示，若输入的c b a ,,值分别为3，4，5，则输出的y 值为 ． 14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ． 15．如图，A ，B 两点在河的两岸，为了测量A 、B 之间的距离，测量者在A 的同侧选定一点C ，测出A 、C 之间的距离是100米，∠BAC=105º，∠ACB=45º，则A 、B 两点之间的距离为 米．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知函数)(x f y =（]6,2[-∈x ）的图象如图．根据图象写出： （1）函数)(x f y =的最大值； （2）使1)(=x f 的x 值．（第10题图）（第13题图）（第15题图）（第16题图）一批食品，每袋的标准重量是50g，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．18．（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=2．（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC⊥平面BB1D1D．4 5 6 6 95 0 0 0 1 1 2（第17题图）（第18题图）A BCDA1B1C1D1已知向量a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），∈x R ． （1）当4π=x 时，求向量a + b 的坐标；（2）若函数=)(x f |a + b |2m +为奇函数，求实数m 的值． 20．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S n n +=2(a 为常数，∈n N *)． （1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2018年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案二、填空题（每小题4分，满分20分） 11．＞； 12． 3； 13．4； 14． 21； 15． 2100． 三、解答题（满分40分）16．解：（1）由图象可知，函数)(x f y =的最大值为2； …………………3分（2）由图象可知，使1)(=x f 的x 值为-1或5． ……………6分 17．解：（1）这10袋食品重量的众数为50（g ）， ………………2分 因为这10袋食品重量的平均数为491052515150505049464645=+++++++++（g ）， 所以可以估计这批食品实际重量的平均数为49（g ）； ……………4分（2）因为这10袋食品中实际重量小于或等于47g 的有3袋，所以可以估计这批食品重量的不合格率为103，故可以估计这批食品重量的合格率为107． 8分 18．（1）解：因为D 1D ⊥面ABCD ，所以BD 为直线B D 1在平面ABCD 内的射影，所以∠D 1BD 为直线D 1B 与平面ABCD 所成的角， …………………2分又因为AB=1，所以BD=2，在Rt △D 1DB 中，1tan 11==∠BDDD BD D ， 所以∠D 1BD=45º，所以直线D 1B 与平面ABCD 所成的角为45º； 4分 （2）证明：因为D 1D ⊥面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，所以D 1D ⊥AC ， 又底面ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ， …………………6分 因为BD 与D 1D 是平面BB 1D 1D 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面BB 1D 1D ． …………………………8分 19．解：（1）因为a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），4π=x ，所以a + b )2,2()2,cos (sin =+=x x ； …………………4分 （2）因为a + b )2,cos (sin x x +=，所以m x m x x x f ++=+++=52sin 4)cos (sin )(2， ……………6分因为)(x f 为奇函数，所以)()(x f x f -=-，即m x m x ---=++-52sin 5)2sin(，解得5-=m ． ……………8分 注：由)(x f 为奇函数，得0)0(=f ，解得5-=m 同样给分．20．解：（1）211+==a S a ， ……………………1分由212a a S +=，得22=a ， ……………………2分 由3213a a a S ++=，得43=a ； …………………3分 （2）因为21+=a a ，当2≥n 时，112--=-=n n n n S S a ，又{n a }为等比数列，所以11=a ，即12=+a ，得1-=a ， …………5分 故12-=n n a ； …………………………………6分 （3）因为12-=n n a ，所以3242)(2-⋅-⋅=n n n f λλ， ………………7分 令n t 2=，则2≥t ，34)2(34)(22---=-⋅-⋅=λλλλt t t n f ， 设34)2()(2---=λλt t g ，当0=λ时，03)(<-=n f 恒成立， …………………8分当0>λ时，34)2()(2---=λλt t g 对应的点在开口向上的抛物线上，所以0)(<n f 不可能恒成立， ……………9分当0<λ时，34)2()(2---=λλt t g 在2≥t 时有最大值34--λ，所以要使0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，只需034<--λ，即43->λ，此时043<<-λ，综上实数λ的取值范围为043≤<-λ． …………………………10分说明：解答题如有其它解法，酌情给分．。
2018湖南省普通高中学业水平考试数学试题
机密★启用前2018年湖南省普通高中学业水平考试数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列几何体中为圆柱的是 ( )2．执行如图1所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出y 的值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．35 3．从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数为偶数的概率是( )A ．45 B ．35 C ．25 D ．154．如图2所示，在平行四边形ABCD 中中，AB AD +=u u u r u u u r( )A ．AC u u u rB ．CA u u u rC ．BD u u u r D ．DB u u u r5．已知函数y ＝f （x ）（[1,5]x ∈-）的图象如图3所示，则f （x ）的单调递减区间为( ) A ．[1,1]- B ．[1,3] C ．[3,5] D ．[1,5]-6．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．a +c ＞b ＋d B ．a +d >b +c C ．a -c >b -d D ．a -b >c-d7．为了得到函数cos()4y x π=+的图象象只需将cos y x =的图象向左平移 ( )A ．12个单位长度 B ．2π个单位长度 C ．14个单位长度 D ．4π个单位长度8．函数)1(log )(2-=x x f 的零点为( )A ．4B ．3C ．2D ．19．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝45°，AC，则BC ＝( )A ．12B．2 C．2 D ．110．过点M （2，1）作圆C ：22(1)2x y -+=的切线，则切线条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题；本大题共5小题，每小题4分，共20分， 11．直线3y x =+在y 轴上的截距为_____________。