等价关系与划分

• 例：整数集 I 上的模 2 同余关系 R，其等价类为 [0],[1]。 • 其中 [0]={ … ,-4,-2,0,2,4, … }=[2]=[4]=[-2]=[4]=… • [1]={…,-3,-1,1,3,…}=[3]=[-1]=[-3]=… • 因此A/R={[0],[1]} • 例 :整数集 I上的模 n同余关系是 I上的等价关系。 I上关于R的等价类为： • [0]={…,-2n,-n,0,n,2n,…} • [1]={…,-2n+1,-n+1,1,n+1,2n+1,…} • … • [n-1]={…,-n-1,-1,n-1,2n-1,3n-1,…} • 这些类又称I上模n同余类。 • I上关于R的商集wenku.baidu.com/R={[0],[1],…,[n-1]}
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定理 2.13：设R是A上的等价关系, 则 (1)对任一aA,有a[a]; (2)若aRb, 则[a]=[b]; (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]=;
(4) [a] A
aA
此定理的(1)说明A中每个元素所产生的等价类是非空的 定理的 (2)、 (3)说明：互相等价的元素属于同一个等价类， 而不等价的元素其所对应的等价类之间没有公共元素 定理的(4)说明：A上等价关系R所对应的等价类的并就等于 A. 由此定理说明 A 上等价关系 R 所对应的等价类集合是 A 的 一个划分。 该定理告诉我们，给定一个等价关系就唯一确定一个划分。
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例：'={{1},{2},{3,4}}，={{1,2}, {3,4}} 因为{1}{1,2}，{2}{1,2}， {3,4}{3,4}， 所以'细分 若 ' 细分 , 则与它们对应的二元关系 R' 和R它们之间有何联系？
• (1)若 '细分 ,则与它们对应的二元关系 R'和R满足R'R。 • 证明：对任意(a,b)R‘，目标是(a,b)R • (2)若R'R，是否有'细分？ • 证明：对任意S‘’,目标是S • S‘S • 定理 2.17：设',是A的划分,它们确定A 上的等价关系分别为R,R',则'细分当 且仅当R'R。
• 证明：(1)对任一aA，因为R是A上的等 价关系，所以有aRa(R自反)，则a[a]。 • ( 2 ) 对 a,bA, aRb, 分 别 证 明 [ a][b]， [b][a]。 • 对任意x[a](目标证明x[b]，即xRb)。 • 下面证明[b][a] • 对任意x[b](目标证明x[a]，即xRa)。 • (3)对a,bA, 如果(a,b)R,则[a]∩[b]= • 采用反证法。假设[a]∩[b]≠，则至少存 在x[a]∩[b]。
• 定理 2.15:设R1和R2是A上的等价关系,R1=R2 当且仅当A/R1=A/R2。 • 定理 2.13 和定理 2.15 说明集合A上的任一等 价关系可以唯一地确定A的一个划分。 • 定理 2.14和定理 2.15说明集合 A的任一划分 可以唯一地确定A上的一个等价关系。 • 集合 A 上给出一个划分和给出一个等价关系 是没有什么实质区别的。 • 设集合A上的等价关系为R1和R2,它们通过并 和交运算而得到的关系是不是等价关系? • 若是,其对应的划分与原来的两个划分有何联 系。
• 四、划分的积与和 • 1.划分的积 • 定理 2.16：设R1和R2是A上的等价关系,则 R1∩R2是A上的等价关系。 • 定义 2.16：设R1和R2是A上的等价关系, 由 R1和 R2确定的A的划分分别为 1和2,A上 的等价关系 R1∩R2 所确定的 A 的划分 , 称为 1与2划分的积,记为1· 2。 • 定义 2.17：设和'是A的划分, 若'的每 一块包含在的一块中, 称'细分,或称' 加细。
• 例：设整数集 I 上的模 2 同余关系为 R, 这 是I上的等价关系。 • 在 R 下，把 I 中所有与 0 有关系即与 0 等价 的整数划分为一类，记为E； • 与1等价的所有整数划分为一类，记为O • 集合 I 中的元素或者属于 E，或者属于 O, 且它们互不相交。 • 由关系R把I分为两类：E和O， • 这就是I的一个划分。
• 设非空集A上划分={A1,A2,…,An}，定义A 上二元关系 R：aRb 当且仅当存在 Ai, 使得 a,bAi。 • 即R=(A1A1)∪(A2A2)∪…∪(AnAn) • 容易证明R是等价关系。 • 定理2.14：集合A上的任一划分可以确定 A 上的一个等价关系R。 • 例：设 A={a,b,c} 的一个划分 ={{a,b},{c}}, 由确定A上的一个等价关系R： • R=({a,b}{a,b})∪({c}{c})={(a,a),(a,b),(b,a) ,(b,b), (c,c)}
(4) [a] A
aA
对任意的x [a], 必存在某个 a A, 使得x [a] A
aA
所以[a] A
aA
又对任意的 x A, 有x [ x] [a]
aA
所以A [a]
aA
因此有[a] A
aA
• 例 ： 设 A={1,2,3,4}，R={(1,1),(2,2), (3,3),(4,4),(1,3),(2,4),(3,1), (4,2)} 为等价关 系。 • 其等价类为[1]={1,3} • [2]={2,4} • [3]={1,3} • [4]={2,4} • 划分={[1],[2]} • 前面是给定等价关系唯一确定划分，反 过来，给定一个划分，也可唯一确定一 个等价关系。
• 三、等价关系与划分 • 定义 2.14：设R是A上的等价关系, 对于 每个aA,与a等价的元素全体所组成的集 合称为由 a 生成的关于 R 的等价类 , 记为 [a]R, 即[a]R={x|xA,xRa},a称为该等价类 的代表元。 • 在不会引起误解的情况下 , 可把 [a]R 简记 为[a]。 • 定义 2.15 ：设 R 是 A 上的一个等价关系 , 关于R的等价类全体所组成的集合族称为 A 上 关 于 R 的 商 集 , 记 为 A/R, 即 A/R={[a]|aA}。