2019-2020学年福建省泉州市高一上学期期末教学质量跟踪监测数学试题 PDF版
则 sin
， tan
.
答案： sin 4 ， tan 4
5
3
14.已知 2a 3 ， b log3 2 ，则 a
， ab
．
答案： log2 3
1
解析： a log2 3 ab log2 3 log3 2 1 ．
15. 已知 a > 0,b > 0, a + 2b = 4 ，则 a + 1 的最小值为 a
1
8
64
216
512
1000
1728
y4
2.000 3.710
其中关于 x 呈指数增长的变量是
5.419
A． y1
B． y2
C． y3
答案：B
解析：从题中表格可以看出，四个变量 y1 y2 y3 y4 都是越来越大，
D． y4
但是增长速度不同，其中变量 y2 增长速度最快，画出散点图：
保密★启用前
准考证号______________ 姓名______________ （在此卷上答题无效）
泉州市普通高中 2019 级高一上学期教学质量跟踪监测
数学（新教材必修第 1 册部分）
2020.01 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
B. a c b
解析：注意到 c 150.25 160.25 2 ；
C. c b a
D. c a b
因为 22.5 4 2 4 1.5 6 ，所以 a log2 6 log2 22.5 2.5 ；
因为 32.5 9 3 9 1.7 15.3 15 ，且 32 15 ，所以 2 log3 32 b log3 32.5 2.5 . 综上， c b a ．
1)
1 2
n
nN
C．存在 x0 ,0 0, ，使得 f (x0 ) 2
D．函数 g(x) 4 f (x) 1 的零点个数为10
答案：AD
解析：当 2 x 4 时， 0 x 2 2 ，所以 f (x 2) 2 x3 1，
法二：由
f
(x)
x2
4x 4 sin x
x2 2x 2
1
1
2x
2 sin x 1
x2 2x 2
，
记
g(x)
2x
2 sin x 1
x2 2x 2
，则
g(x
1)
x sin x x2 1
在R
上为奇函数，
所以 g(x)max g(x)min g(x 1)max g(x 1)min 0 ，
5.以下命题正确的是
A.若 ac bc ，则 a b
B.若 (a b)c2 0 ，则 a b
C.若
1 a
1 b
，则
a
b
答案：B
D.若 a b ，则 a b
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4
4
观察图像，在 x 0 时，有 5 个交点，
根据对称性可得 x 0 时，也有 5 个交点．共计 10 个交点，故 D 选项正确．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，其中第一问 2 分，第 2 问 3 分，共 20 分。将答案填在答题
卡的相应位置。
13. 在平面直角坐标系中，角 的顶点在原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 的终边经过点 P(3 , 4) ， 55
合题目要求的。 1.已知集合 M {x | 2 x 2} ， N {x | x 1} ，则 M N
A．{x | 2 x 1}
B. {x |1 x 2}
C. {x | x 2}
D. {x | x 2}
答案：A
2.函数 f (x) a x2(a 0 且 a 1) 的图象恒过定点，则该定点是
42 42
4 2
时“＝”成立.
16.
已知函数
f (x)
x2
4x 4 sin x 1
x2 2x 2
，且
f (x 2)
f (x) a
0 ，则 a 的取值范围为_______，
f (x) 的最大值与最小值和为________．
答案： , 2 2
解析：第（1）问：由
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准考证号______________ 姓名______________ （在此卷上答题无效）
二、多项选择题：本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，至少有 2 个选
项符合题目要求。作出的选择中，不选或含有错误选项的得 0 分，只选出部分正确选项的得 2 分，正
确选项全部选出的得 5 分。
11.
已知 A(x1, m) 和 B(x2, m) 为函数
f (x) 2sin
x 3
的图象上两点，若| x2 x1 | kπ, k 1, 2,3, 4,5 ，则
D. x (0, π) ， sin x cos x 4
4. “四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B 解析： “四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，所以 “四边形的对角线互相垂直”不是
充分条件；反之，“四边形是菱形”推出“四边形的对角线互相垂直”，所以“四边形的对角线互相垂直”是必 要条件。
8. 若代数式 4sin2 1 有意义，则锐角 的取值范围是
A. (0, π] 6
答案：C
B. (0, π] 3
C. [ π , π ) 62
D. [ π , π ) 32
解析：由题意可得 4sin2 1 0 ，结合 0 π ，即 0 sin 1， 2
解得 1 sin 1，所以 的取值范围为[ π , π ) ，故选 C .
2
62
9. 已知函数 f (x) ln(x2 ax 1) 在 [2,3] 上单调递减，则 a 的取值范围为
A. (, 4]
B. [6, )
答案：C 解析： f (x) ln(x2 ax 1) 在[2,3] 上单调递减，
C. (10 , 4] 3
D. [10 , 4] 3
m 的值可能为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：ABD
解析：由已知可得 f (x) 的周期为 6π ，
当 k 3 时，如下图所示，此时 m 0
当 k 2 或 k 4 时，如下图所示，结合对称性，此时 m 1
当 k 1 或 k 5 时，如下图所示，结合对称性，此时 m 3
所以 f (x)max f (x)min 1 g(x)max 1 g(x)min 2 ．
准考证号______________ 姓名______________ （在此卷上答题无效）
解析：选项 A 中，若 c 0 ，则 a b ，所以 A 错误；
选项
C
中，取
a
1，b
2
满足
1 a
1 b
，但是 a
b
，所以
C
错误；
选项 D 中，取 a 2 ， b 1 满足 a b ，但是 a b ，所以 D 错误；
2
2
当n
0 时，
f
(1)
1 0 2
1 与
f
(1)
2|11|
1
0
矛盾，故
B
选项错误；
由 f x 为偶函数，可作出正半轴的图像如下：
观察图像， f x 的值域为 0,1 ，故 C 选项错误；
由 g x 的零点个数即为 f x 1 根的个数，即 f x 与 y 1 的交点个数，
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准考证号______________ 姓名______________ （在此卷上答题无效）
所以 f (x) 1 f x 2 2 x3 1 1 ，故 A 选项正确；
可知变量 y2 呈指数增长，选择 B 答案
7. 函数 f (x) x tan x ( π x π ) 的图象大致为
2
2
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A 答案：A
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a b 4a b
4
ab 4
ab
4
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准考证号______________ 姓名______________ （在此卷上答题无效）
当且仅当
2b a
=
a b
即
a b
f
(x)
x
1 12 x 12
福建省泉州市2022-2023学年高一上学期期末教学质量检测数学试题(2)
2021-2022学年度上学期泉州市高中教学质量监测高一数学一，选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. 如图所示,已知全集U =R ,集合{1,3,5,7},{4,5,6,7,8}==A B ,则图中阴影部分表示地集合为（ ）A. {1,3}B. {5,7}C. {1,3,5}D. {1,3,7}【结果】A【思路】【思路】依据文氏图表示地集合求得正确结果.【详解】文氏图表示集合为()U A B ∩ð,所以(){}1,3U A B = ð.故选：A2.函数3()=-f x x 地零点所在地区间为（ ）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【结果】C【思路】【思路】思路函数()f x 地单调性,再利用零点存在性定理判断作答.【详解】函数3()=-f x x 地定义域为(0,)+∞,且()f x 在(0,)+∞上单调递增,而3(2)02f =-<,(3)10f =>,所以函数()f x 地零点所在地区间为(2,3).故选：C3. 函数2()22x x x f x -=+地图象大约是（）的A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据函数地奇偶性排除AC 选项,特殊值检验排除排除B 选项,进而可求出结果.【详解】由于函数2()22x x x f x -=+地定义域为R ,且()()22()2222x x x x x x f x f x ----===++,所以()f x 为偶函数,故排除AC 选项。
5525800(5)221025f -==+,4416256(4)22257f -==+,由于()(5)4f f <,因此()f x 在()0,∞+上不是单调递增,故排除B 选项,故选：D.4. 将整体一分为二,较大部分与整体部分地比值等于较小部分与较大部分地比值,这样地分割被称为黄金分割,黄金分割蕴藏着丰富地数学知识和美学价值,被广泛运用于艺术创作，工艺设计等领域．黄金分制地比,该值恰好等于2sin18︒,则cos36︒=（ ）A. 2-B.C.D. 【结果】C【思路】【思路】依据余弦二倍角公式即可计算求值.【详解】∵2sin18︒,∴sin18︒∴22cos3612sin 1812=-=-⨯=.故选：C.5. 下面命题中正确地是（）A. 若ac bc >,则a b> B. 若22a b >,则a b >C. >则a b > D. 若11a b<,则a b >【结果】C【思路】【思路】利用不等式性质逐一判断即可.【详解】选项A 中,若ac bc >,0c >,则a b >,若ac bc >,0c <,则a b <,故错误。
2024届福建省泉州市高三上学期质量监测数学试题(二)及答案
泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){20},{236}A x xB x x x x =->=-<-∣∣，则A B = （ ）A. ()3,+∞B. ()2,+∞ C. ()2,5 D. ()2,32. 已知复数12ππcos isin ,i 55z z =+=，则12z z 在复平面内对应点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知()0,π,sin cos θθθ∈=，则sin cos =θθ（ ）A. B. 12-C.12D.4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）x -2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1的A. ()xf x ka b=+B. ()e xf x kx b=+C. ()f x k x b =+D. ()2(1)f x k x b=-+6. 若抛物线24y x =与椭圆2222:11x y E a a +=-的交点在x 轴上的射影恰好是E 的焦点，则E 的离心率为（ ）A.B.C.1D.1-7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ）A. 70B. 140C. 252D. 5048. 已知函数()()41134f x x x x=+≤≤-.若函数()y f x a =-存在零点，则a 的取值范围为（ ）A. 97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 913,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 抛掷一枚股子，设事件A =“出现点数为偶数”，事件B =“出现的点数为3的倍数”，则（ ）A. A 与B 是互斥事件B. A B ⋃不是必然事件C. ()13P AB =D ()23P A B ⋃=10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则（ ）的.A. 12033f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23032f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 25052f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，焦点为F ，过F 的直线m 与C 交于,A B 两点，则（ ）A. l 的方程为1y =-B. l 与以线段AB 为直径的圆相切C. 当线段AB 中点的纵坐标为2时，3AB =D. 当m 的倾斜角等于45 时，8AB =12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（ ）A. DE //平面ABC B. 球F 的表面积等于100πC. 点D 到平面ACED. 平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于45三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AB AD ==- ，则||||AC BD +=__________.14. 数列{}n a 中，111,2+==+nn n a a a ，则4a =__________.15. 已知直线:2l x y +=，圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C 的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）16. 若222ln 0x x a x -+≥，则a 的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1133522,5,20a b a b a b ==+=+=.（1）求{}n a 的公差d ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若0n a >，求20S .18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在[)5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：cm ）如下：10.212.8 6.4 6.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为16.1cm .已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列22⨯列联表，依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d=+++α0.050.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.82819. 如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体PABCDQ ..（1）求证：PA 平面QBC ；（2）求平面PCD 与平面QBC 的夹角的正弦值.20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.21. ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin B C b cb B Ca c+-==+-.（1）若π6C =，求a ；（2）点D 是ABC 外一点，AC 平分BAD ∠，且2π3ADC ∠=，求BCD △的面积的取值范围.22. 动圆C 与圆221:(4C x y ++=和圆222:(4C x y -+=中的一个内切，另一个外切，记点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知点()331,,42M t t x ⎛⎫<<⎪⎝⎭轴与E 交于,A B 两点，直线AM 与E 交于另一点P ，直线BM 与E交于另一点Q ，记,ABM PQM 面积分别为12,S S .若214915S S =，求直线PQ 的方程.的泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){20},{236}A x xB x x x x =->=-<-∣∣，则A B = （ ）A. ()3,+∞B. ()2,+∞ C. ()2,5 D. ()2,3【答案】D 【解析】【分析】求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为()236x x x -<-，所以2560x x -+<，解得：23x <<，所以{2},{23}A xx B x x =>=<<∣∣，所以A B = ()2,3.故选：D .2. 已知复数12ππcos isin ,i 55z z =+=，则12z z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算和坐标对应方式即可做出选择.【详解】12ππππcos isin i sin icos 5555z z ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，对应复平面内对应的点ππsin ,cos 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为ππsin0,cos 055-<>，所以ππsin ,cos 55⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.故选：B3. 已知()0,π,sin cos θθθ∈=，则sin cos =θθ（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数关系和θ范围即可解出sin cos θθ==，则得到答案.【详解】因为()0,π,sin cos θθθ∈=，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合22sin cos 1θθ+=，解得sin cos θθ==，则21sin cos 2θθ==，故选：C.4. 已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（ ）A. π B. 2πC. 4πD. 8π【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利用圆柱的体积公式即可求解.【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为r ，则因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，所以()2228r ⨯+=，解得1r =.所以该圆柱的体积为2π122π⨯⨯=.故选：B.5. 函数()f x 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）x -2-101235()f x 2.31.10.71.12.35.949.1A. ()xf x ka b=+B. ()e xf x kx b=+C. ()f x k x b =+D. ()2(1)f x k x b=-+【答案】A 【解析】【分析】由函数()f x 的数据即可得出答案.【详解】由函数()f x 的数据可知，函数()()()()22,11f f f f -=-=，偶函数满足此性质，可排除B ，D ；当0x >时，由函数()f x 的数据可知，函数()f x 增长越来越快，可排除C .故选：A .6. 若抛物线24y x =与椭圆2222:11x y E a a +=-的交点在x 轴上的射影恰好是E 的焦点，则E 的离心率为（ ）A.B.C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可.【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A ，椭圆E 右焦点为F ，则根据题意得AF x ⊥轴，()22211c a a =--=，则1c =，则()1,0F ，当1x =时，241=⨯y ，则2A y =，则()1,2A ，代入椭圆方程得22221211a a +=-，结合210a ->，不妨令0a >；解得1a =+，则其离心率1c e a ===-，故选：C.7. 某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（ ） D. 504C. 252B. 140A. 70【答案】B 【解析】【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有15C 5=种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有24A 4312=⨯=种选法，所以此时满足题意的选法有1254C A 51260=⨯=，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有14C 4=种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有45A 5420=⨯=种选法，所以此时满足题意的选法有1245C A 42080=⨯=，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于6080140+=种.故选：B8. 已知函数()()41134f x x x x=+≤≤-.若函数()y f x a =-存在零点，则a 的取值范围为（ ）A. 97,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 713,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 913,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】对()f x 求导，求出()f x 的单调性和最值，函数()y f x a =-存在零点，即()y f x =与y a =的图象有交点，即可求出a 的取值范围.【详解】()()()()()()22222223884133264444x x x x f x x x x x x x -+--+-=-+==--'-，令()0f x '<，解得：813x <<；令()0f x '>，解得：833x <<，所以()f x 在813⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在8,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()411311413f =+=-，()41733433f =+=-，84198834433f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭-，所以()f x 的最大值为133，最小值为94，故()913,43f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()y f x a =-存在零点，即()0f x a -=，即()y f x =与y a =的图象有交点，所以913,43a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C ,二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 抛掷一枚股子，设事件A =“出现的点数为偶数”，事件B =“出现的点数为3的倍数”，则（ ）.A. A 与B 是互斥事件B. A B ⋃不是必然事件C. ()13P AB =D. ()23P A B ⋃=【答案】BD 【解析】【分析】利用事件的关系，互斥事件与对立事件的定义结合古典概型的概率公式，即可判断求解.【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，事件A =“出现的点数为偶数”包含2，4，6三种结果，事件B =“出现的点数为3的倍数”包含3，6两种结果，对于A ，事件A ，B 有可能同时发生，故事件A ，B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A B ⋃包含2,3,4,6四种结果，所以A B ⋃不是必然事件，故B 正确；对于C ，事件AB 包含6一种结果，所以()16P AB =，故C 错误；对于D ，()()()()32126663P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确.故选：BD.10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当1,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则（ ）A. 12033f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. 24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 23032f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 25052f f ⎛⎫⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】求出函数的周期，根据周期性计算函数值再判断即可.【详解】因为()()1f x f x +=-，则()()()21f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为2，对A ，11sin33f π⎛⎫==⎪⎝⎭，因为()()1f x f x +=-，令13x =-，则121223333f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦-⎣，显然12033f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对B ，因为()()2f x f x =+，则2433f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则24033f f ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对C ，31121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2310323f f ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D ，22sin π055f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，51πsin 1222f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则25052f f ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BD.11. 已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，焦点为F ，过F 的直线m 与C 交于,A B 两点，则（ ）A. l 的方程为1y =-B. l 与以线段AB 为直径的圆相切C. 当线段AB 中点的纵坐标为2时，3AB =D. 当m 的倾斜角等于45 时，8AB =【答案】ABD 【解析】【分析】A ，根据抛物线定义及圆与直线相切的判定判断B ，利用抛物线的定义求弦长可判断CD.【详解】由抛物线2:4C x y =的方程可知12p=，所以准线方程为1y =-，故A 正确；设AB 中点为M ，过,,B M A 分别作准线的垂线，垂足分别为,,B M A '''，则由梯形中位线可得2BB AA MM +='''，再由抛物线定义可得，,BF BB AF AA '=='，所以22BF AFAB MM +=='，即圆心到准线的距离等于半径，所以l 与以线段AB 为直径的圆相切，故B 正确；设()()1122,,,A x y B x y ，因为AB 中点的纵坐标为2，所以124y y +=，由抛物线的定义可知12116AB AF BF y y =+=+++=，故C 错误；当m 的倾斜角等于45 时，由于(0,1)F ，所以直线m 的方程为1y x =+，联立214y x x y=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2610y y -+=，所以126y y +=，由抛物线定义可得12118AB AF BF y y =+=+++=，故D 正确.故选：ABD12. 在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，()3,2,1D -，()2,2,1E x 在球F 的球面上，则（ ）A. DE //平面ABC B. 球F 表面积等于100πC. 点D 到平面ACED. 平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值等于45【答案】AC 【解析】【分析】由球心F 在平面ABC 上的投影位置及D 点求球心F 的坐标和球半径，可得E 点坐标，利用空间向量计算点D 到平面ACE 的距离和平面ACD 与平面ACE 的夹角的正弦值.【详解】平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =，2(3,0,0)DE x =+ ，则0n DE ⋅=，又因为DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ，A 正确；因为()0,0,0A ，()1,1,0B ，()0,2,0C ，则AB BC ⊥，球心F 在平面xOy 上的投影点即ABC 外接圆圆心(0,1,0)F '，的设(0,1,)F z ，因FC FD =，则22222(12)(03)(12)(1)z z -+=++-+-，得5z =，即(0,1,5)F，球半径R FC ==，球F 表面积4π26104πS =⨯=，B 错误；由FE R =，2222(0)(21)(15)26x -+-+-=，得23x =，(3,2,1)E ，(0,2,0)AC =，(3,2,1)AE = ，设平面ACE 的一个法向量(,,)m a b c = ，AE m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以32020a b c b ++=⎧⎨=⎩，取(1,0,3)m =- ，(3,2,1)AD =- ，点D 到平面ACE的距离等于AD m m ⋅== ，C 正确；同理可得平面ACD 的一个法向量(1,0,3)s =，平面ACD 与平面ACE的夹角的余弦值等于45s m s m ⋅==⋅ ，正弦值等于35，D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：注意到A ，B ，C 三点共面，且平面ABC 即为平面xOy ，所以易得球心F 在平面ABC 上的投影，将空间问题平面化.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在平行四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AB AD ==- ，则||||AC BD +=__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，则()5,0A A C AB D =+=，()3,4BD AD AB =-=-，则||||10AC BD +==，故答案为：10.14. 数列{}n a 中，111,2+==+nn n a a a ，则4a =__________.【答案】15【解析】【分析】根据递推关系求解即可.为【详解】由111,2+==+nn n a a a ，可得2123a a =+=，2322347a a =+=+=，34327815a a =+=+=.故答案为：1515. 已知直线:2l x y +=，圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则圆C 的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）【答案】224x y +=（答案不唯一）【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可.【详解】若圆C 被l 所截得到的两段弧的长度之比为1:3，则劣弧所对圆心角为1242ππ⨯=，设圆C 的半径为r ，则圆心到直线l 的距离为sin4r π=，不妨使得圆心为坐标原点，设圆C 的方程为222x y r +=，，解得2r =，则此时圆C 的方程为224x y +=，故答案为：224x y +=（答案不唯一.）16. 若222ln 0x x a x -+≥，则a 的取值范围为__________.【答案】{2}-【解析】【分析】令2()22ln f x x x a x =-+，根据(1)0f =，可转化为min ()(1)f x f =，利用()01f '=求出a ，再检验即可得解.【详解】令2()22ln f x x x a x =-+，则定义域为(0,)+∞，且(1)0f =，由题意，0x ∀>，()0(1)f x f ≥=，min ()(1)f x f ∴=，又()f x 在(0,)+∞上可导，所以1x =为函数()f x 的极值点，()42af x x x'=-+，(1)420f a '∴=-+=，即2a =-，当2a =-时，224222(21)(1)()42x x x x f x x x x x--+-'=--==，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以min ()(1)0f x f ==，()0f x ≥成立.综上，222ln 0x x a x -+≥时a 的取值范围为{2}-.故答案为：{2}-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，1133522,5,20a b a b a b ==+=+=.（1）求{}n a 的公差d ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，若0n a >，求20S .【答案】（1）12d =或52d =- （2）10-【解析】【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前n 项和公式即可求解.【小问1详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意得222252440d q d q ⎧++=⎨++=⎩，整理，得22232210q d q d ⎧+=⎨++=⎩，消去q ，得24850d d +-=，解得12d =或52d =-.【小问2详解】由（1）得112q d =-⎧⎪⎨=⎪⎩或252q d =⎧⎪⎨=-⎪⎩.因为0n a >，所以0d >，故112q d =-⎧⎪⎨=⎪⎩.从而()13,212n n n n a b -+==⋅-，()()131n n n a b n -=+⨯-1122334455661919202200S a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++= 4567892223--+-+=+-+ ()()4682257923++++-+++=+ ()()10422105231022⨯+⨯+=-=-.18. 教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在[)5,10的男生有4人.高二男生成绩（单位：cm ）如下：10212.8 6.4 6.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为15cm ，高二男生为16.1cm .已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列22⨯列联表，依据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？.等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.050.0100.0050.001x α3.8416.6357.87910.828【答案】（1）15，16.35 （2）详见解析【解析】【分析】（1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分位数定义求高二男生成绩第40百分位数；（2）列出列联表，计算2χ.【小问1详解】依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以450.140a ⨯==，解得002a =.由(0.010.070.04)51ab ++⨯++=，解得0.06b =.由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数()1 2.50.017.50.0212.50.0717.50.0622.50.045x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯12.5(100.0550.100.3550.3100.2)15=⨯⨯⨯+--+++=⨯⨯.由200.48⨯=，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20) 有8人,所以第40百分位数m 在[15,20)中，故15.916.816.352m +==.由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为 16.35.【小问2详解】根据样本，知高一男生成绩良好及以上占50%，良好以下占50%，高二男生成绩良好及以上占1260%20=，良好以下占840%20=，由样本估计总体，可得22⨯列联表如下：良好及以上良好以下合计高一300300600高二300200500合计6005001100零假设为0H ：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.根据列联表中的数据，得()220.0051100300200300300117.879600500600500x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有关，此推断犯错误的概率不大于0.005.19.如图，两个棱长均等于2PABCDQ .（1）求证：PA 平面QBC ；（2）求平面PCD 与平面QBC 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线可得//PA QC ，再由线面平行的判定定理得证；的（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求出平面夹角的余弦，再转化为正弦即可.【小问1详解】连结,AC BD ，交于点O ，连结,PO QO ，由正四棱锥性质可知PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ，所以,,P O Q 三点共线，又四边形ABCD 是正方形，可得,,PO AC BD 两两垂直，且交于点O .以O 为原点，分别以,,OB OC OP的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图，由2AO PA ==，在Rt PAO △中，PO =，则(()()())(,0,,,,,0,0,P A D C BQ ，从而((0,,PA QC ==，故PA QC =-，又A QC ∉，所以//PA QC ，又PA ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ，所以PA 平面QBC .【小问2详解】由（1）可得(((,,,PC PD QC QB ====，设平面PCD 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111110n PC n PD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令11z =，得1(1,1,1)n =-，设平面QBC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222220n QB n QC ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令21z =，得2(1,1,1)n =--，所以1212121cos ,3n n n n n n ⋅===，设平面PCD 与平面QBC 的夹角为θ，则121cos cos ,3n n θ==，所以sin θ==.20. 一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.（1）求第2次摸到红球的概率；（2）设第1,2,3次都摸到红球的概率为1P ；第1次摸到红球的概率为2P ；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为3P ；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为4P .求1234,,,P P P P ；（3）对于事件,,A B C ，当()0P AB >时，写出()()()(),,,P A P BA P C AB P ABC ∣∣的等量关系式，并加以证明.【答案】（1）710（2）详见解析 （3）详见解析【解析】【分析】（1）根据全概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；（3）根据（2）猜想()()()()P ABC P A P B A P C AB =，由条件概率公式证明即可.【小问1详解】记事件“第i 次摸到红球”为()1,2,3,,10i A i = ，则第2次摸到红球的事件为2A ，于是由全概率公式，得()()()()()2121121||P A P A P A A P A P A A =+7237710310910=⨯+⨯=.【小问2详解】由已知得()371123310A 7A 24P P A A A ===，()21710P P A ==，()()()21273212110A 107102|A 71573P A A P P A A P A ===⨯=⨯=，()()()1234312127155|2478P A A A P P A A A P A A ===⨯=.【小问3详解】由（2）可得1234P P P P =，即()()()()123121312||P A A A P A P A A P A A A =，可猜想：()()()()P ABC P A P B A P C AB =,证明如下：由条件概率及()0()0,P A P AB >>，得()()()|P AB P B A P A =，()()()|P ABC P C AB P AB =，所以()()()()()()()()()P AB P ABC P A P B A P C AB P A P ABC P A P AB =⋅⋅=.21. ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知()sin sin sin B C b cb B Ca c+-==+-.（1）若π6C =，求a ；（2）点D 是ABC 外一点，AC 平分BAD ∠，且2π3ADC ∠=，求BCD △的面积的取值范围.【答案】（1）2 （2）0BCD S < 【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出即可；（2）由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式1sin 2BCD S BC CD BCD =×Ð 结合导数求出范围.【小问1详解】由正弦定理可知sin sin sin a b cA B C==，所以()()sin sin πsin sin sin sin sin sin sin B C A A a b cB CB CB C b c a c+--====++++-，所以222222a ac b c a c b ac -=-Þ+-=，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==，因为ABC 的内角,,A B C ，所以π3B =，又π6C =，所以π,2π2cos 6b A a ====.【小问2详解】由正弦定理22sin sin sin AC BC BC BACB BAC ===Þ=ÐÐ，22sin sin sin AC CD CD DACADC DAC ==Þ=ÐÐÐ，又AC 平分BAD ∠，所以BAC DAC ∠=∠，因为四边形ABCD 的内角和为2π，且πB ADC ∠+∠=，易知π2BAC BCD -Ð=Ð，所以1sin 2BCD S BC CD BCD =×Ð 1=2sin 2sin sin 2BAC DAC BCD ´Ð´Ð´Ð()22sin sin π2BAC BAC =д-Ð22sin sin 2BAC BAC =дÐ()1cos 2sin 2BAC BAC =-ÐÐ，①设2BAC x Ð=，则①()1cos sin sin cos sin x x x x x =-=-，令()sin cos sin f x x x x =-，则()()()222()cos sin cos 2cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x x ¢=--+=-++=+-+，因为在ACD 中π03DAC <Ð<，所以202π3BAC <Ð<，所以1cos 12x -<<，所以1cos 12x -<<时()0f x '>恒成立，且1cos 2x =-，2π3x =时()f x =，cos 1x =，0x =时()0f x =，则0()f x <，所以0BCD S < .22. 动圆C 与圆221:(4C x y ++=和圆222:(4C x y -+=中的一个内切，另一个外切，记点C 的轨迹为E .（1）求E 的方程；（2）已知点()331,,42M t t x ⎛⎫<<⎪⎝⎭轴与E 交于,A B 两点，直线AM 与E 交于另一点P ，直线BM 与E交于另一点Q ，记,ABM PQM 的面积分别为12,S S .若214915S S =，求直线PQ 的方程.【答案】（1）2214x y -=（2）280x y --=【解析】【分析】（1）根据题意可得1212||||4||CC CC C C -=<=，利用双曲线的定义可判断轨迹，写出方程；（2）联立直线与双曲线的方程，分别求出,P Q 关于t 的坐标，利用三角形面积公式及面积比值可得1t =，可得,P Q 坐标，据此求出直线方程.【小问1详解】由题意，圆心分别为12(C C ，两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，由题意得12||2||2R CC CC =-=+或21||2||2R CC CC =-=+，故1212||||4||CC CC C C -=<=，所以点C 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为4的双曲线,其中21,a c b ====，所以轨迹E 的方程为2214x y -=.【小问2详解】如图，由题意可得()(),,,203,2,0AM BM tA B k k t -==-，所以直线AM 的方程为()23ty x =+，直线BM 的方程为(2)y t x =--，设()()1122,,,P x y Q x y ，由()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y ，得()2222941616360t x t x t ----=，由2121636,2,94A A P P t x x x x x t --⋅==-=-，得21281894t x t+=-，从而212281812239494t t ty t t ⎛⎫+=+= ⎪--⎝⎭，故22281812,9494t t P t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，由()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y ，得()222214161640t x t x t -+--=，由2216414B Q t x x t --⋅=-，22,B Q x x x ==，得2228241t x t +=-，从而222282424141t ty t t t ⎛⎫+-=-⋅-= ⎪--⎝⎭，故22282441,14t t Q t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，因为,ABM PQM 的面积分别为12,S S ，且214915S S =，sin sin PMQ AMB ∠∠=，所以211sin 21sin 2MP MQ PMQS S MA MB AMB ⋅∠==⋅∠()()121211|1||1|||||||||1(2)123x x x x MP MQ MA MB ---⋅-⋅==⋅--⋅-，由214915S S =，得214915S S =，即()()()22224349159441t t t+=--，又因为34t <()()()22224349159441t t t+=--，化简，可得21t =，解得1t =，当1t =时，2655,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，1033,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以124532261053PQk +==-,所以直线PQ 的方程为1226255y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即280x y --=.。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)8
【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（ ）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________． 【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题
福建省泉州市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题含解析
福建省泉州市2019-2020学年中考第二次质量检测数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a+b＞0 B．ab＞0 C．a﹣b＜o D．a÷b＞02．已知抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a，则抛物线的顶点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（）A．1 B．2 C．5 D．64．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s=20t﹣5t2，汽车刹车后停下来前进的距离是（）A．10m B．20m C．30m D．40m5．一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×1056．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（）A．12a-B．1(1)2a-+C．1(1)2a--D．1(3)2a-+7．在0，π，﹣3，0.6，2这5个实数中，无理数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．估计10﹣1的值在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A ＝24°，则∠BDC的度数为()A．42°B．66°C．69°D．77°10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1 E1E2B2、A2B2 C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为l，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…，则正方形A2017B2017C2017 D2017的边长是（）A．（）2016B．（）2017C．（）2016D．（）201711．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学记数法表示为（）A．0.4×108B．4×108C．4×10﹣8D．﹣4×10812．长度单位1纳米米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）A．米B．米C．米D．米二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-1,2) .作点A关于x 轴的对称点，得到点A1，再将点A1向下平移4个单位，得到点A2，则点A2的坐标是_________．14．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数y=kx的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为．16．如果点A （－1，4）、B （m ，4）在抛物线y ＝a （x －1）2+h 上，那么m 的值为_____．17．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD=5，AE=2，AF=1．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是______．18．如图，点A （m ，2），B （5，n ）在函数k y x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A 、B 的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k 的值为 ．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，▱ABCD 中，点E ，F 分别是BC 和AD 边上的点，AE 垂直平分BF ，交BF 于点P ，连接EF ，PD ．求证：平行四边形ABEF 是菱形；若AB ＝4，AD ＝6，∠ABC ＝60°，求tan ∠ADP 的值．20．（6分）（1）计算：（12）﹣3×[12﹣（12）3]﹣4cos30°12； （2）解方程：x （x ﹣4）=2x ﹣821．（6分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A 、B ，使∠CAD=30︒，∠CBD=60︒．(1)求AB 的长(精确到0.13 1.732 1.41≈≈，)；(2)已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．22．（8分）某商场计划购进A ，B 两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏）A 型30 45 B 型 50 70（1）若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏．（2）若设商场购进A 型台灯m 盏，销售完这批台灯所获利润为P ，写出P 与m 之间的函数关系式． （3）若商场规定B 型灯的进货数量不超过A 型灯数量的4倍，那么A 型和B 型台灯各进多少盏售完之后获得利润最多？此时利润是多少元．23．（8分）如图，抛物线y=﹣12x 2﹣x+4与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，点B 的坐标；（2）P 为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP 面积的最大值．24．（10分）已知，抛物线2:23L y x bx =--（b 为常数）．（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含b 的代数式表示）；（2）若抛物线L 经过点()2,1M --且与k y x=图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线L 的简图，并求k y x=的函数表达式； （3）如图2，规矩ABCD 的四条边分别平行于坐标轴，1AD =，若抛物线L 经过,A C 两点，且矩形ABCD 在其对称轴的左侧，则对角线AC 的最小值是 ．25．（10分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有1张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，1．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．26．（12分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A 型丝绸的件数与用8000元采购B 型丝绸的件数相等，一件A 型丝绸进价比一件B 型丝绸进价多100元．（1）求一件A 型、B 型丝绸的进价分别为多少元？（2）若销售商购进A 型、B 型丝绸共50件，其中A 型的件数不大于B 型的件数，且不少于16件，设购进A 型丝绸m 件．①求m 的取值范围．②已知A 型的售价是800元/件，销售成本为2n 元/件；B 型的售价为600元/件，销售成本为n 元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w （元）与n （元）的函数关系式.27．（12分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上．（1）MN 是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：3≈1.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】利用数轴先判断出a、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可．【详解】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＜1，b＞1，且|a|＞|b|，∴a+b＜1，ab＜1，a﹣b＜1，a÷b＜1．故选：C．2．D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．【详解】抛物线y＝x2+（2a+1）x+a2﹣a的顶点的横坐标为：x＝﹣212a+＝﹣a﹣12，纵坐标为：y＝()()224214a a a--+＝﹣2a﹣14，∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y＝2x+34，∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．3．C【解析】分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案．详解：∵数据1，2，x，5，6的众数为6，∴x=6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选C.点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.4．B【解析】【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【详解】∵s=20t-5t2=-5（t-2）2+20，∴汽车刹车后到停下来前进了20m．故选B．【点睛】此题主要考查了利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．5．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6．D【解析】【分析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣12（a+3），故选：D．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．7．B【解析】【分析】分别根据无理数、有理数的定义逐一判断即可得．【详解】解：在0，π，-3，0.6这5个实数中，无理数有π这2个，故选B．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．8．B【解析】【分析】<<.【详解】<∴34<，∴213<<﹣1的值在2和3之间.故选B.【点睛】的大小，在确定答案的范围.9．C【解析】在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，∴∠B=90°-∠A=66°．由折叠的性质可得：∠BCD=12∠ACB=45°，∴∠BDC=180°-∠BCD-∠B=69°. 故选C.10．C【解析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2017B2017C2017D2017的边长是：（）2．故选C．“点睛”此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．11．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.【详解】0.000 000 04=4×10-8,故选C【点睛】此题考查科学记数法，难度不大12．D【解析】先将25 100用科学记数法表示为2.51×104，再和10-9相乘，等于2.51×10-5米．故选D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（-1, -6）【解析】【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出点A1坐标，再利用平移的性质得出答案．【详解】∵点A的坐标是（-1，2），作点A关于x轴的对称点，得到点A1，∴A1（-1，-2），∵将点A1向下平移4个单位，得到点A2，∴点A2的坐标是：（-1，-6）．故答案为：（-1, -6）．【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．14．1【解析】试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可．解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm．∴1.6：1.2=x：9∴x=1．即旗杆的高是1米．故答案为1．考点：相似三角形的应用．15．﹣1【解析】【详解】∵OD=2AD，∴23 ODOA=，∵∠ABO=90°，DC⊥OB，∴AB∥DC，∴△DCO∽△ABO，∴23 DC OC ODAB OB OA===，∴22439 ODCOABSS⎛⎫==⎪⎝⎭VV，∵S四边形ABCD=10，∴S△ODC=8，∴OC×CD=8，OC×CD=1，∴k=﹣1，故答案为﹣1．16．1【解析】【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．【详解】由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得：（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，m﹣1=1﹣（﹣1），解得：m=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题的关键．17r<<【解析】【分析】因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r，求得圆D与圆O的半径代入计算即可.【详解】连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF.AN=12AE=1，AM=12AF=2，MD=AD-AM=3∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°，∴四边形OMAN是矩形∴OM=AN=1∴=∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交r<<【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键.18．2．【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案为2．考点：2．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】（1）证明：∵AE垂直平分BF，∴AB＝AF，∴∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠FAE＝∠AEB，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，∴AF＝BE．∵AF∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH ⊥AD 于H ，∵四边形ABEF 是菱形，∠ABC ＝60°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABF ＝∠AFB ＝30°，AP ⊥BF ，∴AP ＝AB ＝2，∴PH ＝，DH ＝5，∴tan ∠ADP ＝＝．【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大． 20．（1）3；（1）x 1=4，x 1=1．【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（1）先移项，再提取公因式求解即可.【详解】解：（1）原式=8×（12﹣18）﹣4×323 =8×38﹣33=3；（1）移项得：x （x ﹣4）﹣1（x ﹣4）=0，（x ﹣4）（x ﹣1）=0，x ﹣4=0，x ﹣1=0，x 1=4，x 1=1．【点睛】本题考查了有理数的混合运算与解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算法则与根据因式分解法解一元二次方程.21．（1）24.2米(2) 超速，理由见解析【解析】【分析】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，从而求得AB的长．（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【详解】解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，CDADtan30︒==，在Rt△BDC中，CDBDtan60===︒，∴AB=AD－BD=14 1.73=24.2224.2-≈⨯≈（米）．（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．22．（1）应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）P=﹣5m+2000；（3）商场购进A型台灯20盏，B 型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．【解析】【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，表示出B型台灯为（100-x）盏，然后根据进货款=A型台灯的进货款+B型台灯的进货款列出方程求解即可；（2）根据题意列出方程即可；（3）设商场销售完这批台灯可获利y元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值．【详解】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏，根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500，解得x=75，所以，100﹣75=25，答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏；（2）设商场销售完这批台灯可获利P元，则P=（45﹣30）m+（70﹣50）（100﹣m），=15m+2000﹣20m，=﹣5m+2000，即P=﹣5m+2000，（3）∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍，∴100﹣m≤4m，∴m≥20，∵k=﹣5＜0，P随m的增大而减小，∴m=20时，P取得最大值，为﹣5×20+2000=1900（元）答：商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程的应用. 23．(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.【解析】【分析】（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣12x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣12t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=12PD×OA=12PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．【详解】(1)解：设y=0，则0=﹣12x2﹣x+4∴x1=﹣4，x2=2∴A（﹣4，0），B（2，0）(2)作PD⊥AO交AC于D设AC解析式y=kx+b∴404b k b=⎧⎨=-+⎩ 解得：14k b =⎧⎨=⎩∴AC 解析式为y=x+4.设P （t ，﹣12t 2﹣t+4）则D （t ，t+4） ∴PD=（﹣12t 2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣12t 2﹣2t=﹣12（t+2）2+2 ∴S △ACP =12PD×4=﹣（t+2）2+4 ∴当t=﹣2时，△ACP 最大面积4.【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.24．（1）2,3b b --；（2）图象见解析，6y x =或9y x=-；（3 【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；（2）根据抛物线经过点M ，用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式； （3）设出A 的坐标，表示出C,D 的坐标，得到CD 的长度，根据题意找到CD 的最小值，因为AD 的长度不变，所以当CD 最小时，对角线AC 最小，则答案可求．【详解】解：（1）()2222222323()3y x bx x bx b b x b b =--=-+--=--+Q ， ∴抛物线的顶点的坐标为2(,3)b b --．故答案为：2(,3)b b --（2）将(2,1)M --代入抛物线的解析式得：4431b +-=- 解得：12b =-， ∴抛物线的解析式为23y x x =+-．抛物线L 的大致图象如图所示：将3y =代入23y x x =+-得： 233x x +-=，解得：2x =或3x =-∴抛物线与反比例函数图象的交点坐标为(2,3)或()3,3-．将(2,3)代入k y x=得：6k =， 6y x∴=． 将()3,3-代入k y x=得：9k =-， 9y x=-∴． 综上所述，反比例函数的表达式为6y x =或9y x=-． （3）设点A 的坐标为()2,23x x bx --，则点D 的坐标为()21,23x x bx +--， C 的坐标为21,(22)2)2(x x b x b ++---．()2223(22)22221DC x bx x b x b x b ⎡⎤∴=---+---=-+-⎣⎦ DC ∴的长随x 的增大而减小．Q 矩形ABCD 在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为x b =，1x b ∴+≤1x b ∴≤-∴当1x b =-时，DC 的长有最小值，DC 的最小值2(1)211b b =--+-=．AD Q 的长度不变，∴当DC 最小时，AC 有最小值．AC ∴的最小值222AD DC +=．【点睛】本题主要考查二次函数，反比例函数与几何综合，掌握二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键．25．不公平【解析】【分析】列表得到所有情况，然后找出数字之和是3的倍数的情况，利用概率公式计算后进行判断即可得.【详解】根据题意列表如下：所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：（2，1），（1，2），（1，2），（3，3），（2，1），共5种，∴P （甲获胜）=516，P （乙获胜）=1﹣516=1116， 则该游戏不公平．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（1）一件A 型、B 型丝绸的进价分别为500元，400元；（2）①1625m ≤≤，②7512500(50100)5000(100)6611600(100150)n n w n n n -+≤<⎧⎪==⎨⎪-+<≤⎩．【解析】【分析】（1）根据题意应用分式方程即可；（2）①根据条件中可以列出关于m 的不等式组，求m 的取值范围；②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y 与m 的函数关系，通过讨论所含字母n 的取值范围，得到w 与n 的函数关系．【详解】（1）设B 型丝绸的进价为x 元，则A 型丝绸的进价为()100x +元,根据题意得：100008000100x x=+，解得400x =，经检验，400x =为原方程的解，100500x ∴+=，答：一件A 型、B 型丝绸的进价分别为500元，400元．（2）①根据题意得：5016m m m -⎧⎨⎩„…， m ∴的取值范围为：1625m 剟，②设销售这批丝绸的利润为y ，根据题意得：()()()8005002600400?50y n m n m =--+---，()1001000050n m n =-+-50150n Q 剟，∴（Ⅰ）当50100n <„时，1000n ->，25m =时，销售这批丝绸的最大利润()2510010000507512500w n n n =-+-=-+；（Ⅱ）当100n =时，1000n -=，销售这批丝绸的最大利润5000w =；（Ⅲ）当100150n <„时，1000n -<当16m =时，销售这批丝绸的最大利润6611600w n =-+．综上所述：7512500(50100)50001006611600(100150)n n w n n n -+<⎧⎪==⎨⎪-+<⎩„„．【点睛】本题综合考察了分式方程、不等式组以及一次函数的相关知识．在第（2）问②中，进一步考查了，如何解决含有字母系数的一次函数最值问题．27．（1）MN 不会穿过森林保护区.理由见解析；（2）原计划完成这项工程需要25天.【解析】试题分析：（1）要求MN 是否穿过原始森林保护区，也就是求C 到MN 的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解．试题解析：（1）如图，过C 作CH ⊥AB 于H ，设CH=x，由已知有∠EAC=45°, ∠FBC=60°则∠CAH=45°, ∠CBA=30°，在RT△ACH中，AH=CH=x，在RT△HBC中，tan∠HBC=CH HB∴HB=tan30CHo=3=3x，∵AH+HB=AB∴x+3x=600解得x≈220（米）>200（米）．∴MN不会穿过森林保护区．（2）设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要y-5根据题意得：15y=(1+25％)×1y，解得：y=25知：y=25的根．答：原计划完成这项工程需要25天．。
福建省泉州市2019_2020学年高一化学上学期期中试题(含解析)
福建省泉州市2019-2020学年高一化学上学期期中试题（含解析）可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 N-14 S-16一、单选题（本大题共24小题，共48分）1.下列说法正确的是（）①Na2O、Fe2O3、Al2O3属于碱性氧化物，CO2、SiO2、NO2属于酸性氧化物②碳酸钠、氢氧化钡、氯化铝、过氧化钠都属于离子化合物③漂白粉、水玻璃、Fe（OH）3胶体、冰水混合物均属于混合物④醋酸、烧碱、纯碱和生石灰分别属于酸、碱、盐和氧化物⑤硅导电，食盐水导电均属于物理变化⑥盐酸属于混合物，而液氯、冰醋酸均属于纯净物。
A. ①③⑤B. ④⑤⑥C. ②④⑥D. ④⑥【答案】D【解析】【详解】①Na2O、Fe2O3能和酸反应生成盐和水，属于碱性氧化物；Al2O3既能和酸反应生成盐和水又能和碱反应生成盐和水，属于两性氧化物；CO2、SiO2、NO2能和碱反应生成盐和水，属于酸性氧化物，故此项错误；②碳酸钠、氢氧化钡、过氧化钠中含有离子键，属于离子化合物，而氯化铝属于共价化合物，故此项错误；③漂白粉的主要成分是氯化钙和次氯酸钙，属于混合物；水玻璃是硅酸钠水溶液，属于混合物；Fe（OH）3胶体是分散系，属于混合物；冰水混合物中只含有H2O，属于纯净物，故此项错误；④醋酸是弱酸；烧碱是氢氧化钠，属于碱；纯碱是碳酸钠，属于盐；生石灰是氧化钙，属于氧化物，故此项正确；⑤食盐水导电过程中发生了化学变化：2NaCl+2H2O 通电2NaOH+H2↑+Cl2↑，故此项错误；⑥盐酸是HCl的水溶液，属于混合物；而液氯中只含Cl2，冰醋酸指纯醋酸，均属于纯净物，故此项正确；故选D。
2.下列说法不正确的是（）A. SO2溶于水能导电，但是 SO2属于非电解质。
B. 酒精、次氯酸钠消毒液均可以将病毒氧化而达到消毒的目的C. 一束平行光线射入蛋白质溶液里,从侧面可以看到一条光亮的通路D. 氢氧化铁胶体中逐滴滴入稀硫酸,先看到红褐色沉淀生成而后沉淀溶解【答案】B【解析】【详解】A. SO2溶于水能导电，是因为与水反应生成亚硫酸，亚硫酸属于电解质，但是 SO2本身不能电离，属于非电解质，故A正确；B. 酒精可以使病毒中的蛋白质变性，并非氧化作用，故B错误；C. 蛋白质溶液是胶体，具有丁达尔现象，所以一束平行光线射入蛋白质溶液里，从侧面可以看到一条光亮的通路，故C正确；D. 氢氧化铁胶体中逐滴滴入稀硫酸，硫酸电离出的阴阳离子使得胶体发生聚沉现象，先看到红褐色沉淀，氢氧化铁与硫酸反应后沉淀溶解，故D正确；故选B。
福建省泉州市2024届高三高中毕业班质量监测(一)数学试题
一、单选题1.随机变量的分布列如下：nPab c其中a ，b ，c成等差数列，则（ ）A ．与n有关，有最大值B ．与n有关，有最小值C ．与n无关，有最大值D ．与n无关，有最小值2. 已知函数，设甲：，乙：是偶函数，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3. 已知椭圆：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为A．B．C．D．4. 根据如下样本数据：12345-10.52.5得到的回归方程为.样本点的中心为，当增加1个单位，则近似A ．增加0.8个单位B ．减少0.8个单位C ．增加2.3个单位D ．减少2.3个单位5. 正实数x ，y 满足，则的最小值是（ ）A ．3B ．7C．D．6.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数，则的大致图象为（ ）A．B．C．D．福建省泉州市2024届高三高中毕业班质量监测（一）数学试题二、多选题三、填空题8.已知直线，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.如图所示，在正六边形中，下列说法正确的是（）A．B．C．D ．在上的投影向量为10. 乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（ ）A．三局就结束比赛的概率为B ．的常数项为3C ．函数在上单调递减D．11. 已知函数的零点为，下列判断正确的是（ ）A．B．C．D．12. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ）参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.A．B．估计该年级学生成绩的中位数约为C．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为D．估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为13. 取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a 2；⑤体积为．以上结论正确的是________________．（填上所有正确的序号）四、解答题14. 函数，有下列命题：①的图象关于轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值．其中正确命题的序号是______．（请填上所有正确命题的序号）15. 已知函数f (x )＝4x ＋ (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.16.已知抛物线()的焦点为，点在上，且.（1）求的方程；（2）过点作两条直线，，分别交于点，，若以线段为直径的圆过点，试讨论直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.17. 设曲线在点（1，0）处的切线方程为.(1)求a ，b 的值；(2)求证：；(3)当，求a 的取值范围.18. 如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，，为正三角形，D 为AC 的中点..(1)证明：平面平面；(2)若二面角的平面角为锐角，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.19. 如图，在三棱锥中，和均是以边长为的等边三角形，且．(1)证明：平面PAC 平面ABC ；(2)若点M 在线段BC 上，且，求二面角的余弦值．20. 已知数列满足.（1）若数列的首项为，其中，且，，构成公比小于0的等比数列，求的值；（2）若是公差为d(d＞0)的等差数列的前n项和，求的值；（3）若，，且数列单调递增，数列单调递减，求数列的通项公式.21. 已知点为抛物线；的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以，为焦点的椭圆为椭圆．（1）若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，且，求椭圆的离心率；（2）若，点为抛物线上一点，点，以为直径的圆与直线交于，，试探究弦的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由．。
福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题
福建省泉州市泉港区第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,3M =，{}|03,N x x x Z =<<∈，又P M N =U ，那么集合P 的真子集共有（ ）A ．3个B ．7个C ．8个D ．9个2．已知集合,,1yA x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,,0B x x y =+，若A B =，则20232024x y +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．下列对应关系：①{}{}149321123:A B f x x ==---→，，，，，，，，，的平方根；②:A R B R f x x ==→，，的倒数；③2:2A R B R f x x ==→-，，；④{}{}2101101:.A B f x x =-=-→，，，，，，其中f 是A 到B 的函数的是（ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④4．已知实数1x >，则函数221y x x =+-的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．下列说法正确的是（ ）.A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a bd c >C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+D ．若0a b >>，0c <，则b cba c a ->-6．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是（ ）A ．()()3,12,-+∞UB ．()()3,13,-+∞UC ．()()1,13,-+∞UD ．()(),31,3-∞-U7．区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则3a b +的最小值是（）A ．2 B C ．52D ．18．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任意的实数(),x f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()0,8C ．[)2,8D ．(),0-∞二、多选题9．下列四个结论中，正确的结论是（ ）A ．=y y =B ．“13x <<”的充分不必要条件是“04x ≤≤”．C ．已知23,21a b <<-<<-，则a b的取值范围的取值范围是(3,1)--．D ．函数y x =3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 10．下列说法正确的有（ ）A ．21x y x+=的最小值为2． B ．函数2y 的最小值为2．C ．若,x y 为正实数，若23x y xy +=，则2x y +的最小值为3．D ．设,x y 为正实数，若2291x y xy ++=，则3x y + 11．对R,[]x x∀∈表示不超过x 的最大整数，如[3.14]3,[ 2.7]3=-=-，我们把[],R y x x =∈叫做取整函数，也称为高斯函数．以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有（ ）A ．,R,[][][]x y x y x y ∃∈-<-B ．,x y ∀∈R ，若[][]x y =，则1x y -<C ．R,[||]|[]|x x x ∀∈=D ．不等式22[][]30x x --≥的解集为(,0)[2,)-∞⋃+∞三、填空题12．已知命题22:,p x y x y ∀≠≠，则p 的否定是，命题p 是（填入“真”或“假”）命题.13．若函数(1)y f x =+的定义域是[0,3]，则函数()g x =14．已知函数2,0()2,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式[]2()(1)()0f x m f x m -++<恰有两个整数解，则实数m 的取值范围是．四、解答题15．已知全集U R =，集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()U P Q⋂；ð (2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．16．已知()2,R f x ax x a a =+-∈．(1)若不等式2()2312f x x x a >--+-对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求不等式()1f x >的解集．17．某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有x 万人游客，则需另投入成本()R x 万元，且225,05()20100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-≤<⎨⎪⎪+-≥⎩，该游玩项目的每张门票售价为60元．(1)求2024年该项目的利润()W x （万元）关于人数x （万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；(2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．18．已知函数)21=+g x . (1)求函数()g x 的解析式；(2)设()()2-=g x xf x x ，若存在[]2,3x ∈使()0f x kx -≤成立，求实数k 的取值范围.19．取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数()f x ，在其定义域内存在一点0x ，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个“不动点”．若()()00f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．将函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即，(){}()(){},A x f x x B x f f x x ====．已知函数2()(1)f x mx m x n =-++．(1)当1,2m n ==时，求函数()f x 的不动点；(2)若对于任意1,04n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围； (3)若1m =时，且A B =≠∅，求实数n 的取值范围．。
2019-2020学年人教A版福建省三明市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）2．用二分法求解方程e x+3x﹣8＝0近似解的过程中，设f（x）＝e x+3x﹣8，经计算得部分函数值近似值如表：x 1 1.25 1.5 2 2.25 f（x）﹣2.28 ﹣0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程的根所在区间是（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.25）3．若向量＝（2，4）与向量＝（x，6）垂直，则实数x＝（）A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣34．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（）A．﹣1 B．C．2 D．35．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．36．在平面直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为（）A．y＝tan x B．y＝sin x C．y＝2cos x D．y＝2sin x7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O是该平面上任意一点，设，则x﹣y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．48．设函数f（x）＝3x，g（x）＝ax2﹣4x+2，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．16二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．f（x）＝x与B．f（t）＝|t﹣1|与g（x）＝|x﹣1|C．f（x）＝x与D．与g（x）＝x﹣110．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称11．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ使得＝λB．若⊥，则|+|＝|﹣|C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影为||D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||12．已知函数f（x）＝方程|f（x）﹣1|＝2﹣m（m∈R），则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增C．当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D．当m∈（﹣1，0）时，方程有3个不同的实数根三、填空题13．已知f（x+1）＝x2+2x+3，则f（1）＝．14．计算＝．15．已知函数，则f（x）图象的一条对称轴方程是；当时，f（x）的值域为．16．使不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|1≤log2x≤2}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝log2（ax+2）．（1）若实数a满足32a﹣3a＝6，求f（2）的值；（2）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上．（1）求tanα的值；（2）求的值．20．在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD＝2DB，设＝，＝．（1）若||＝2，||＝3，且与的夹角为，求（2+）•（﹣）；（2）若向量与共线，求实数k的值．21．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x．（1）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的值域；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）设函数φ（x）＝ag（x）﹣2cos2x+1（a∈R），试判断φ（x）在（0，2π）内的零点个数．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【分析】函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为{x|x﹣1＞0}，由此能求出结果．解：函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为：{x|x﹣1＞0}，解得{x|x＞1}，故选：A．2．用二分法求解方程e x+3x﹣8＝0近似解的过程中，设f（x）＝e x+3x﹣8，经计算得部分函数值近似值如表：x 1 1.25 1.5 2 2.25 f（x）﹣2.28 ﹣0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程的根所在区间是（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.25）【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知．解：由表格可得，函数f（x）＝e x+3x﹣8的零点在（1.25，1.5）之间；结合选项可知，方程方程e x+3x﹣8＝0的根所在区间是（1.25，1.5）故选：B．3．若向量＝（2，4）与向量＝（x，6）垂直，则实数x＝（）A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣3【分析】由向量与垂直便可得到，进行向量数量积的坐标运算便可得出关于x 的方程，解出x即可．解：∵；∴；即2x+24＝0；∴x＝﹣12．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（）A．﹣1 B．C．2 D．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m的值．解：∵幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），∴22m﹣1＝8，∴m＝2，故选：C．5．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）＝f（3）＝log33，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（1）＝f（3）＝log33＝1；故选：B．6．在平面直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为（）A．y＝tan x B．y＝sin x C．y＝2cos x D．y＝2sin x【分析】结合图象以及三角函数线的定义即可求解．解：因为⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为y＝2sin x；故选：D．7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O是该平面上任意一点，设，则x﹣y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】由D，E分别是AB，AC的中点，由＝﹣2，求出x，y，再得到结论．解：D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，由＝﹣2所以x＝﹣2，y＝2，故x﹣y＝﹣4，故选：A．8．设函数f（x）＝3x，g（x）＝ax2﹣4x+2，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．16【分析】设g（x）＝ax2﹣4x+2的值域设为A，由指数函数的值域和题意可得[1，+∞）⊆A，讨论a＝0，a＞0，a＜0，求得g（x）的值域，计算可得所求a的最大值．解：函数f（x）＝3x，x≥0，可得f（x）的值域为[1，+∞），g（x）＝ax2﹣4x+2的值域设为A，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），可得[1，+∞）⊆A，当a＝0时，可得A＝R，且[1，+∞）⊆A成立；当a＞0时，A＝[2﹣，+∞），由[1，+∞）⊆A，可得2﹣≤1，解得0＜a≤4；当a＜0时，A＝（﹣∞，2﹣]，则[1，+∞）⊆A不成立，综上可得0≤a≤4，即有a的最大值为4．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．f（x）＝x与B．f（t）＝|t﹣1|与g（x）＝|x﹣1|C．f（x）＝x与D．与g（x）＝x﹣1【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．解：对于A，函数f（x）＝x与g（x）＝＝|x|的解析式不同，表示相同函数；对于B，函数f（t）＝|t﹣1|的定义域为R，g（x）＝|x﹣1|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝log22x＝x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数f（x）＝＝x﹣1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），g（x）＝x﹣1的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选：BC．10．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．解：A．x∈⇒x+∈（，）；故单调递增；A正确B．函数f（x）的最小正周期是＝π，故B正确，C．正切函数没有对称轴，故C错误，D．令x+＝⇒x＝﹣，k∈Z；则f（x）图象关于点（，0）成中心对称，故D正确，故选：ABD．11．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ使得＝λB．若⊥，则|+|＝|﹣|C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影为||D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||【分析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后：A得出与共线且反向；B得出；C得出与同向；D也是与共线且反向，然后对每个选项逐一查验正误即可．解：A，对式子两边平方、变形得：，∴，而，∴，即与共线且反向，∴当λ＜0时，有＝λ，所以A正确；B，∵⊥，∴对|+|＝|﹣|两边平方、变形得：，因为，所以B正确；C，对式子两边平方、变形得：，所以即与同向，此时在方向上的投影并不一定为||，所以C错误；D，由A选项可知，只有当λ＜0时，才有|+|＝||﹣||，并不是存在λ使得＝λ，就有|+|＝||﹣||，所以D错误．故选：AB．12．已知函数f（x）＝方程|f（x）﹣1|＝2﹣m（m∈R），则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增C．当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D．当m∈（﹣1，0）时，方程有3个不同的实数根【分析】先画出函数f（x）的大致图象，即可判断A，B选项的正误，再画出函数y＝|f （x）﹣1|的大致图象，把方程|f（x）﹣1|＝2﹣m根的个数转化为函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象交点个即可判断．解：函数f（x）的大致图象如图所示：，显然函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故选项A错误，有图象可知函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，故选项B正确，函数y＝|f（x）﹣1|的大致图象如图所示：，当m∈（1.2）时，0＜2﹣m＜1，此时函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象有2个交点，∴方程|f（x）﹣1|＝2﹣m有2个不同的实数根，故选项C正确，当m∈（﹣1，0）时，2＜2﹣m＜3，此时函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象有4个交点，∴方程|f（x）﹣1|＝2﹣m有4个不同的实数根，故选项D错误，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知f（x+1）＝x2+2x+3，则f（1）＝ 3 ．【分析】根据题意，令x＝0可得：f（1）＝0+0+3＝3，即可得答案．解：根据题意，f（x+1）＝x2+2x+3，令x＝0可得：f（1）＝0+0+3＝3，即f（1）＝3；故答案为：314．计算＝．【分析】利用指数对数运算性质即可得出．解：原式＝+lg5（lg5+lg2）﹣lg5＝+lg5﹣lg5＝．故答案为：．15．已知函数，则f（x）图象的一条对称轴方程是；当时，f（x）的值域为[﹣，3] ．【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．解：①当x＝时，函数的值为3．②当时，所以，所以f（x）的值域为．故答案为：，16．使不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．【分析】分析y＝log2x，y＝x2，y＝2x函数图象，即可得到答案．解：不等式log2x＜x2＜2x，由于函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，0），函数y＝x2在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，1），函数y＝2x在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，2），当x＞0时，函数y＝x2与y＝2x交点为（2，4），（4，16）如图，所以不等式成立的x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．故答案为：（0，2）∪（4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|1≤log2x≤2}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）由A∩B＝B，得B⊂A，由B＝{x|2≤x≤4}，又A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，得，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，不等式1≤log2x≤2可化为log22≤log2x≤log24，则2≤x≤4，即B＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x≤3}．（2）因为A∩B＝B，所以B⊂A，由（1）知B＝{x|2≤x≤4}，又A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，所以，解得．则实数a的取值范围是{a|}．18．已知函数f（x）＝log2（ax+2）．（1）若实数a满足32a﹣3a＝6，求f（2）的值；（2）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知结合二次方程可求3a的值，然后结合指数的运算可求a，进而可求；（2）结合一次函数与对数函数及复合函数的单调性可求a的范围．解：（1）因为32a﹣3a＝6，所以（3a﹣3）（3a+2）＝0，因为3a＞0，所以3a+2＞0，则3a﹣3＝0，解得a＝1，所以f（x）＝log2（x+2），因此f（2）＝2．（2）令t＝ax+2，则f（x）＝g（t）＝log2t，而g（t）＝log2t是（0，+∞）上的增函数，要使f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，则问题等价于t＝ax+2在区间（﹣∞，1）上单调递减，且t＞0在区间（﹣∞，1）上恒成立，所以，解得﹣2＜a＜0．故a的范围（﹣2，0）．19．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：（1）在直线y＝﹣2x上任取一点P（m，﹣2m）（m≠0），由已知角α的终边在直线y＝﹣2x上，所以．（2）由（1）知tanα＝﹣2，故＝﹣sinα•（﹣sinα）+1﹣2sinαcosα＝1+＝1+＝1+＝．20．在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD＝2DB，设＝，＝．（1）若||＝2，||＝3，且与的夹角为，求（2+）•（﹣）；（2）若向量与共线，求实数k的值．【分析】（1）直接代入数量积的运算公式求解即可；（2）先分别求出向量与；再结合其共线即可求出结论．解：（1）因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，所以，则．（2）由已知，，因为，，所以，，则，又因为与共线，所以存在实数λ使得，即，所以，因为a与b不共线，所以解得；所以实数k的值为．21．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x．（1）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的值域；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由单调性的定义判断f（x）在R上递增，计算可得f（x）的值域；（2）判断f（x）在R上为奇函数，运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．解：设﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则，因为x1＜x2，所以，即，又，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．（1）由上可知f（x）在区间[﹣3，3]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣3，3]上最小值为，最大值为，因此f（x）的值域是；（2）因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）在R是上奇函数，所以不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0对于任意t∈R恒成立，等价于不等式f（t2﹣2t）＞f（k﹣2t2）对于任意t∈R恒成立，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，所以问题等价于不等式t2﹣2t＞k﹣2t2对于任意t∈R恒成立，即3t2﹣2t＞k对于任意t∈R恒成立，设g（t）＝3t2﹣2t，则g（t）的最小值为，所以，所以k的取值范围是．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）设函数φ（x）＝ag（x）﹣2cos2x+1（a∈R），试判断φ（x）在（0，2π）内的零点个数．【分析】（1）根据其周期和对称中心即可求出函数f（x）的解析式；再结合图象之间的变化关系求出g（x）的解析式；（2）转化为h（t）＝﹣2t2+at+1在t∈[﹣1，1）的零点个数；结合余弦函数的图象即可求解解：（1）因为f（x）的周期为2，所以ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），又因为f（x）的图象的一个对称中心为，所以，因为0＜φ＜π，所以，所以，所以．（2）由（1）可知，φ（x）＝a cos x﹣2cos2x+1，设cos x＝t，因为x∈（0，2π），所以t∈[﹣1，1），则φ（x）＝at﹣2t2+1，设h（t）＝﹣2t2+at+1，t∈[﹣1，1），则h（0）＝1＞0，①当a＜﹣1或a＞1时，h（t）在（﹣1，1）内有唯一零点，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有两个零点．②当﹣1＜a＜1时，h（t）在（﹣1，1）内有两个不等零点，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有四个零点．③当a＝﹣1时，h（t）＝﹣2t2﹣t+1，由h（t）＝0，得或t＝﹣1，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有三个零点．④当a＝1时，h（t）＝﹣2t2﹣t+1，由h（t）＝0，得或t＝﹣1（舍），这时，函数φ（x）在（0，2π）内有两个零点．综上可得，当a＜﹣1或a≥1时，φ（x）在（0，2π）内有两个零点；当a＝﹣1时，φ（x）在（0，2π）内有三个零点；当﹣1＜a＜1时，φ（x）在（0，2π）内有四个零点．。
2019年-2020学年高一上学期数学期末模拟考试试题(含答案解析)
2019年-2020 学年高一数学期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．110．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是2512．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．13．函数的递减区间是（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．2019年-2020 学年高一期末模拟考试试题一．选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【答案】A【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．2．某同学用二分法求方程3x+3x﹣8＝0在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝3x+3x ﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学在第二次应计算的函数值为（）A．f（0.5）B．f（1.125）C．f（1.25）D．f（1.75）【答案】C【解答】解：∵f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x﹣8存在一个零点该同学在第二次应计算的函数值＝1.25，故选：C．3．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．4．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：由于连续函数满足f（）＝﹣2＜0，f（）＝＞0，且函数在区间（，）上单调递增，故函数函数的零点所在的区间为（，）．故选：C．5．已知a，b是非零实数，则“a＞b”是“ln|a|＞ln|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解答】解：由于ln|a|＞ln|b|⇔|a|＞|b|＞0，由a＞b推不出ln|a|＞ln|b|，比如a＝1，b＝﹣2，有a＞b，但ln|a|＜ln|b|；反之，由ln|a|＞ln|b|推不出a＞b，比如a＝﹣2，b＝1，有ln|a|＞ln|b|，但a＜b；∴“a＞b”是“ln（a﹣b）＞0”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．函数的值域为（）A．B．C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c【答案】B【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．8．已知函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1] B．[0，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【答案】B【解答】解：函数f（x）＝lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，设g（x）＝ax2﹣2x+a，则g（x）能取边所有的正数，即（0，+∞）是g（x）值域的子集，当a＝0时，g（x）＝﹣2x的值域为R，满足条件．当a≠0时，要使（0，+∞）是g（x）值域的子集，则满足得，此时0＜a≤1，综上所述，0≤a≤1，故选：B．9．若x1是方程xe x＝4的解，x2是方程xlnx＝4的解，则x1•x2等于（）A．4 B．2 C．e D．1【答案】A【解答】解：由于x1和x2是函数y＝e x和函数y＝lnx与函数y＝的图象的公共点A和B的横坐标，而A（），B（）两点关于y＝x对称，可得，因此x1x2＝4，故选：A．10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】设蒲草每天长的高度为数列{a n}，莞草每天长的高度为数列{b n}，由题意得：{a n}为等比数列，求首项为3，公比为，所以通项公式a n＝3•（）n﹣1，前n项和S n＝6[1﹣（）n]，{b n}为等比数列，首项为1，公比为2，所以通项公式b n＝2n﹣1，前n项和T n＝2n﹣1；由题意得设n天莞草是蒲草的二倍，即2n﹣1＝2•6[1﹣（）n]⇒（2n）2﹣13•2n+12＝0⇒2n＝12或1（舍）两边取以10为底的对数，n＝＝＝2+由相关数据可得，n＝4，故选：C．二．填空题（共5小题）11．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则3x+4y的最小值是25【答案】25【解答】解：因为x＞0，y＞0，+＝1，所以3x+4y＝（3x+4y）（+）＝13++≥13+2＝25（当且仅当x＝2y 时取等号），所以（3x+4y）min＝25．故答案为：25．12．函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为（4，），若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（9）＝．【答案】（4，）；．【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），令2x﹣7＝1，求得x＝4，y＝，可得它的图象恒过定点P（4，）．点P在幂函数g（x）＝xα的图象上，则4α＝，即22α＝2﹣1，∴α＝﹣，g（x）＝＝，故g（9）＝＝，故答案为：（4，）；．13．函数的递减区间是（3，+∞）．【答案】（3，+∞）【解答】解：由2x2﹣5x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣，设t＝2x2﹣5x﹣3，则当x＞3时，函数t为增函数，当x＜﹣时，函数t为减函数，∵y＝log0.1t为减函数，∴要求y＝log0.1（2x2﹣5x﹣3）的递减区间，即求函数t＝2x2﹣5x﹣3的递增区间，即（3，+∞），即函数f（x）的单调递减区间为为（3，+∞）．故答案为：（3，+∞）．14．已知函数f（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是（，1）．【答案】（，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝有3个零点，∴a＞0 且y＝ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，∴，解得＜a＜1，故答案为：（，1）．15．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”．设f（x）＝3x+2m﹣1（m∈R，且m≠0是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是．【解答】解：∵f（x）＝3x+2m﹣1是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在x0∈[﹣1，1]满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），∴3+2m﹣1＝﹣3﹣2m+1，∴4m＝﹣3﹣3+2，构造函数y＝﹣3﹣3+2，x0∈[﹣1，1]，令t＝3，t∈[，3]，y＝﹣﹣t+2，y∈[﹣，0]，∴﹣＜0，∴﹣，故答案为：[﹣，0）．三．解答题（共4小题）16．已知函数的定义域为集合A，集合B＝{x|1＜x＜8}，C＝{x|a ＜x＜2a+1}，（1）求集合（∁R A）∪B；（2）若A∪C＝A，求a的取值范围【解答】解：（1）∵函数的定义域为集合A，∴A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，∴∁R A＝{x|x≤﹣1或x≥2}，∵集合B＝{x|1＜x＜8}，∴集合（∁R A）∪B＝{x|x≤﹣1或x＞1}．（2）∵A＝{x|}＝{x|﹣1＜x＜2}，C＝{x|a＜x＜2a+1}，A∪C＝A，∴C⊆A，当C＝∅时，a≥2a+1，解得a≤﹣1，当C≠∅时，，解得﹣1＜x．综上，a的取值范围是（﹣∞，]．17．（1）已知5a＝3，5b＝4，用a，b表示log2536．（2）求值．【解答】解：（1）5a＝3，5b＝4，得a＝log53，b＝log54，log2536＝，（2）原式＝﹣1+2＝﹣1﹣2+2＝2.5﹣1＝1.5．18．已知函数f（x）＝log a（1﹣x），g（x）＝log a（x+3），其中0＜a＜1．（1）解关于x的不等式：f（x）＜g（x）；（2）若函数F（x）＝f（x）+g（x）的最小值为﹣4，求实数a的值．【解答】解：（1）不等式即为log a（1﹣x）＜log a（x+3），∵0＜a＜1，∴1﹣x＞x+3＞0，得解为﹣3＜x＜﹣1，（2），由﹣x2﹣2x+3＞0解得其定义域为（﹣3，1），∵h（x）＝﹣x2﹣2x+3z在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，∴h（x）max＝h（﹣1）＝4．∵0＜a＜1，且F（x）的最小值为﹣4，∴log a4＝﹣4．得a﹣4＝4，所以a＝＝．19．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．（1）由题意可知x年的维修，使用x年后的总保养、维修费用为8x+【解答】解：＝2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x﹣（2x2+6x）﹣128＝﹣2x2+48x﹣128（x∈N×）．（2）由y＞0，得﹣2x2+48x﹣128＞0，即x2﹣24x+64＜0，解得，由x∈N*，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．（3）方案①年平均盈利，当且仅当，即x＝8时取等号，．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝﹣2（x﹣12）2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．。
福建省泉州市高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线，则直线的倾斜角为（ ） :l y =l A ． B ．C ．D ．30 60 120 150 【答案】B【分析】设直线l 的倾斜角为，，可得，即可得出． θ0θ180<< tan θ=【详解】设直线l 的倾斜角为，． θ0θ180<<则tan θ=．60θ∴= 故选：B2．已知点P 为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则22142x y +=1F 2F 21=3PF PF 1PF =（ ）A ．BC ．1D ．312【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P 为椭圆上的一点，所以，因为，所以22142x y +=12+=4PF PF 21=3PF PF .1=1PF 故选：C.3．已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（ ） {}n a 26182a a a a ={}n a A ．B ．C ．2D ．41412【答案】B【分析】根据给定条件，利用等比数列通项列式计算作答.【详解】设等比数列的公比为，由，得，而，解得{}n a q 26182a a a a =7111512a q a a q q a =⋅⋅10a q ≠， 12q =所以数列的公比为. {}n a 12故选：B4．三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若，则=O ABC -OA a,OB b,OC c === OE（ ）A ．B ．1122a b c --+ 1122-++a b c C ． D ．111244a b c --+ 111244a b c ++ 【答案】D【分析】利用给定的空间向量的基底，结合空间向量的线性运算表示作答.OE【详解】三棱锥中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，且，如图，O ABC -OA a,OB b,OC c ===.11111111()22222244OE OA OD OA OB OC a b c =+=+⋅+=++故选：D5．已知O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），则点O 到直线BC的距离为（ ） A BCD【答案】A【分析】先求得，得到向量在方向上的投影为(2,0,0),(2,2,2)OB BC ==- OB BC ||OB BC BC ⋅=，进而求得点O 到直线的距离．BC 【详解】由O （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，2），，可得， (2,0,0),(2,2,2)OB BC ==-则向量在方向上的投影为OB BC||OB BC BC⋅==所以点O 到直线 BC =故选：A.6．已知双曲线C 的右顶点为A ，左、右焦点分别为，，以为直径22221(0,0)x y a b a b -=>>：1F 2F 12F F 的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且，则该双曲线的离心率为（ ）1||2MFMA =A BC ．2 D1【答案】C【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断cos MOA ∠||MA 形状即可求解作答.MOA A 【详解】设双曲线的半焦距为c ，直线的方程为，有，如图 C OM by x a =tan b MOA a∠=即有，而，解得， sin cos bMOA MOA a ∠=∠22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=cos a MOA c∠==在中，由余弦定理得：MOA A ||MA b ===，因此，即有，而，则，222||||||MA OA OM +=90OAM ∠= 1||2MF MA =130MF A ∠=又，于是，1||||OM OF c ==1260MOA MF A ∠=∠=所以双曲线的离心率. ||112||cos cos 60c OM e a OA MOA =====∠故选：C7．数列满足，∀，则实数的取值范围是（ ）{}n a 114,32n n a a a +==-()*N 128n n n a a λ∈-<-，λA ． B ． (,9)-∞-(,8)-∞-C ． D ．(12,9)--(12,7)--【答案】B【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项，再分离参数，借助数列单调性求{}n a 解作答.【详解】因为数列满足，则，而， {}n a 132n n a a +=-113(1)n n a a +-=-113a -=因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，则，即，{1}n a -11333n n n a --=⨯=31n n a =+又∀，因此对恒成立，即， ()*N 128n n n a a λ∈-<-，3327n n λ<-N n *∈2713nλ<-而数列是递增数列，则当时，，有， 27{1}3n -1n =min 27(183n-=-8λ<-所以实数的取值范围是.λ(,8)-∞-故选：B8．已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这A B P PBPAλ=0λ>1λ≠P种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线()0,0O Q ⎛ ⎝1:230l kx y k -++=，若为，的交点，则的最小值为（ ） 2:320l x ky k +++=P 1l 2l 32PO PQ +A ．B ．C ．D ．6-9-3【答案】A【分析】由直线方程可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程12l l ⊥P CD D P为，即，取()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-)3y ≠-，则，结合，可得，进而求解.5,02A ⎛⎫⎪⎝⎭32PQ PA =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥【详解】由已知过定点，1:230l kx y k -++=()2,3C -过定点，2:320l x ky k +++=()2,3D --因为，，所以，即，1l k k =21l k k=-121l l k k ⋅=-12l l ⊥所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，P CD D ()2,0-则的轨迹方程为，即，易知O 、Q 在该圆内，P ()()22293x y y ++=≠-()22453x y x y ++=≠-又32PO ===即， )332PO y ==≠-取，则，又 5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭32PO PA ==所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以的最小值为32PO PQ +故选：A.二、多选题9．记是数列的前n 项和，且，则下列说法正确的有（ ） n S {}n a 112n a n =-A ．数列是等差数列 B ．数列是递减数列 {}n a {}n S C ． D ．当 时，取得最大值46S S =5n =n S 【答案】ACD【分析】由等差数列的定义可判断A ；求出可判断B 、C ；根据的表达式结合二次函数的46,S S n S 性质可判断D.【详解】∵，∴数列是等差数列，故A 正确；1112(1)(112)2n n a a n n +-=-+--=-{}n a ， 21()(9112)1022n n n a a n n S n n ++-===-+∵，从而，可知数列不是递减数列，故B 错误，C 正确；4624,24S S ==46S S ={}n S ∵，，∴当 时，取得最大值，故D 正确.2210(5)25n S n n n =-+=--+*N n ∈5n =n S 故选：ACD.10．已知点P 为圆上的动点，直线l 过点，过l 上一点Q 作圆O 的229O x y +=：(6,0),(0,6)A B --切线QC ，QD ，切点分别为C ，D ，则下列说法正确的有( )A ．当∠PAB 最大时，PA =B ．点P 到l 的距离的最大值为 3C ．四边形CQDO 的面积的最小值为9D ．四边形CQDO 的面积最小时，直线OQ 的方程为 220x y -+=【答案】BC【分析】选项A ，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大；选项B ，点P 到l 最大距离为圆心到直线l O O 的距离加上半径；选项C ，D ，当时，四边形CQDO 的面积最小.OQ AB ⊥【详解】对于A ，如图1，当PA 与圆相切时，∠PAB 最大，设圆半径为，229O x y +=：O r,，A 错误；OP PA ⊥6OA =3OP r ==对于B ，由已知直线l 的方程为，当点P 到l 的距离最大时，最大距离为圆心到直线60x y ++=Ol 的距离加上半径，即为，故B 正确； 33d r +==对于C ，如图2，QC ，QD 是圆O 的切线，则，， OC CQ ⊥OD DQ ⊥四边形CQDO 的面积， 1232S OC CQ OC CQ CQ =⨯==四边形CQDO 的面积最小时，即为取最小，又，即， CQ 222OC CQ OQ +=229CQ OQ =-所以当最小时，取最小，即当时， OQ CQ OQ AB ⊥OQ d ==则，四边形CQDO 的面积的最小值为9，故C 正确；3CQ =对于D ，四边形CQDO 的面积最小时，，直线OQ 的斜率为，方程为，故OQ AB ⊥1k =0x y -=D 错误；故答案为：BC.11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过下顶点A 和右焦点的直线与E 交于2212x E y +=：1F 2F 2F 另一点B ，与y 轴交于点P ，则（ ） 1BFA ．B ． 12AF AF ⊥2BF =C ．△D ．1ABF 1430F P PB -= 【答案】ABD【分析】根据给定条件，求出焦点及下顶点坐标，画出图形，再逐项分析计算、判断作答.【详解】依题意，椭圆的焦点，下顶点，如图，22:12+=x E y 12(1,0),(1,0)F F -(0,1)A -对于A ，，因此，A 正确；12||||||OF OF OA ==12AF AF ⊥对于B ，直线，由消去y 得：，则点， 2:1AF y x =-22122y x x y =-⎧⎨+=⎩2340x x -=41(,)33B于是，B 正确；2||BF ==对于C ，的周长为，， 1ABF A r ()1121141233ABF S F F =⋅--=A因此，解得C 错误；1423⨯=r =对于D ，，设点，则，而，即有，41(,)33B 0(0,)P y 10041(1,),(,)33F P y PB y ==- 1//F P PB 143F P PB = 因此，D 正确. 1430F P PB -=故选：ABD12．正方体的棱长为2，H 为线段AB 中点，P 在正方体的内部及其表面运动，若1111ABCD A B C D -，则（ ）1HP DB ⊥A ．三棱锥的体积为定值 11P A BC -B ．若P DP =C ．正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等D ．正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角不都相等 【答案】ABC【分析】根据给定条件，作出点P 的轨迹所在平面截正方体所得截面，再逐项分析、计算判断作答.【详解】点O 为正方体的中心，连接，过AB 的中点H 作交BC 1111ABCD A B C D -,BD AC //HI AC 于I ，则I 为的中点，如图，BC平面，平面，有，而，1BB ⊥ABCD AC ⊂ABCD 1BB AC ⊥1,BD AC BD BB B ⊥= 平面，则平面，又平面，即有，1,BD BB ⊂1BB D AC ⊥1BB D 1DB ⊂1BB D 1AC DB ⊥连接，同理，而平面，则1111,,A B BC A C 1111,A B DB BC DB ⊥⊥1111,,A B BC B A B BC =⊂ 11A BC 1DB ⊥平面，11A BC 令点P 的轨迹所在平面与正方体的棱所在直线交于点， 1111ABCD A B C D -,,,,,H I J K L M 平面平面，平面平面，而平面平面HIJKLM ABCD HI =HIJKLM 1111A B C D KL =//ABCD ，1111D C B A 于是，同理，依题意，平面，因此平面平面//KL HI //,//IJ LM HM JK 1DB ⊥HIJKLM 11//A BC ，HIJKLM 平面平面，平面平面，于是， 11A BC ⋂111BCC B BC =HIJKLM 11BCC B IJ =1//IJ BC 又为棱中点，则为棱中点，同理点分别为棱中点， I BC J 1CC ,,K L M 11111,,C D A D AA 因此点P 的轨迹为正六边形及内部，HIJKLM 对于A ，因为平面平面，则点P 到平面的距离为定值，又的面积为11//A BC HIJKLM 11A BC 11A BC V 定值，于是三棱锥的体积为定值，A 正确； 11P A BC -对于B ，P 在以点D 为半径的球面上，而点D 到正六边形DP =HIJKLM 则点P 的轨迹是该球截正六边形所得截面小圆，而点D 到平面距离HIJKLM HIJKLM112DO DB ==因此这个截面小圆半径，B 正确； r ===对于C ，由于平面平面，则正方体的每个面与平面所成角等于正方体该11//A BC HIJKLM HIJKLM 面与平面所成角，11A BC 又三棱锥是正三棱锥，即正方体的侧面，侧面，上底面与平面111B A BC -11ABB A 11BCC B 1111D C B A 所成角都相等，11A BC 又正方体的相对面平行，所以正方体的每个面与P 的轨迹所在平面所成角都相等，C 正确； 对于D ，正三棱锥的侧棱与平面所成角都相等， 111B A BC -11111,,A B B C BB 11A BC 即正三棱锥的侧棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，111B A BC -11111,,A B B C BB而，，， 1111/////AB CD C D A B 1111//////BC AD A D B C 1111//////AA DD CC BB 所以正方体的每条棱与P 的轨迹所在平面所成角都相等，D 错误. 故选：ABC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知空间向量，若，则x =___________. (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥【答案】1【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】空间向量，由，得，解得， (1,2,),(3,2,1)a x b x =-= a b ⊥ 340a b x x ⋅=-+=1x =所以. 1x =故答案为：114．若圆M 的圆心在直线上，且与两坐标轴都相切，则圆M 的标准方程可以为___________.y x =（写出满足条件的一个答案即可）【答案】（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=【分析】由题意可设圆心为，与两坐标轴都相切可得出半径为， (,)a a ||a 列出圆的标准方程，取一个特殊值即可得出结果.【详解】因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心坐标为， M y x =(,)a a 又因为与两坐标轴都相切，所以圆的半径为，即圆的标准方程为||a ，取，得， 222()()x a y a a -+-=1a =22(1)(1)1x y -+-=故答案为：（答案不唯一）22(1)(1)1x y -+-=15．已知P 是圆上任一点，，线段PA 的垂直平分线l 和半径CP 交于点()22:116C x y -+=(1,0)A -Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为___________.【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q 满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.【详解】圆的圆心，半径，点Q 在线段PA 的中垂线l 上，如图，22:(1)16C x y -+=(1,0)C 4r=有，则，||||QP QA =||||||||4||QA QC QP QC r AC +=+==>因此点Q 的轨迹是以A ，C 为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，24a=b ==所以点Q 的轨迹方程为.22143x y +=故答案为：22143x y +=16．对于数列，记：…，（其中），并称{}n a ()()()()()()()1212311112n n n nn n n n n a a +++∆∆∆=∆=∆=∆∆，，()()()111k k n n k n-+-∆∆=∆*n ∈N 数列为数列的k 阶商分数列.特殊地，当为非零常数数列时，称数列是k 阶等(){}k n ∆{}n a (){}kn ∆{}n a 比数列.已知数列是2阶等比数列，且，若，则{}n a 20123220482a a a ===，，n m n a a -=m =___________. 【答案】23【分析】根据给定的定义，计算，进而求出数列的公比及通项，再借助累乘法求出数(1)(1)12,∆∆(1){}n ∆列的通项即可推理计算作答.{}n a 【详解】由数列是2阶等比数列，得，即， {}n a (2)(0)nq q ∆=≠(1)(2)1(1)n nnq +∆∆==∆且，即数列是首项为，公比为的等比数列， (1)(1)10(1)932212(1)12112,2,2a a q a a ∆∆==∆====∆(1){}n ∆10212则有，即，当时， (1)10111112()()22n n n --∆=⨯=1111(2n n n a a -+=2n ≥，22320109121(10)(9)(12)3221121111112(((()()22222nn n n n n n a a a a a a a a -+----+-+-++--=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯== 而满足上式，因此，12a =22320212n n n a -+⎛⎫= ⎪⎝⎭由得：，即，n m n a a -=222320()23()202211()()22n n m n m n -+---+=222320()23()20n n m n m n -+=---+整理得，又为小于的任意正整数，所以. (2)23(2)m n m n m -=-n m 23m =故答案为：23【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.四、解答题17．已知抛物线经过点（），焦点为F ，且. 2:2(0)C y px p =>()2,A t 0t >52AF =(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点A 且斜率为2的直线交C 于另一点B ，求|AB |. 【答案】(1) 22y x =【分析】（1）由抛物线定义得，解得，得到抛物线方程．5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =（2）求得，得到直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，弦长公式求解. ()2,2A AB 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，准线为， 2:2(0)C y px p =>F 2p x =-点是抛物线上一点，且， ()2,A t C 52AF =所以由抛物线定义得，解得，5222p ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1p =因此抛物线的方程为．C 22y x =（2）点在抛物线上，则，又，可得，． ()2,A t 222t =⨯0t >2t =()2,2A 直线的方程：，即，AB 22(2)y x -=-22y x =-联立方程，整理得：，2222y x y x=-⎧⎨=⎩22520x x -+=设，则，1122(,),(,)A x y B x y 12125,12x x x x +==AB ∴==18．设等差数列的前n 项和为，已知 {}n a n S 452439.a S a ==+，(1)求数列{}的通项公式；n a (2)若，求数列{}的前n 项和.2n an n b a =+n b n T 【答案】(1)；n a n =(2).21112222n n T n n +=+-+【分析】（1）设出等差数列的公差，利用给定条件列出方程组，解方程组作答. {}n a （2）由（1）的结论，利用分组求和法及等差等比数列前n 项和公式求解作答.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意，，解得，{}n a d 111345103()9a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩111a d =⎧⎨=⎩所以数列{}的通项公式是.n a 1(1)n a a n d n =+-=（2）由（1）知，，2nn b n =+所以. 2321(1)2(12)11(123)(2222)2221222n n n n n n T n n n ++-=+++++++++=+=+-+- 19．四棱锥中，底面ABCD 为菱形，，.P ABCD -60BAD ∠= BDP CDP ∠∠=(1)求证：：DP BC ⊥(2)若，平面PBC ⊥平面ABCD ，且，求平面与平面PBC 的夹角大小. 2AB =PB PC ⊥PAD 【答案】(1)证明见解析； (2). π3【分析】（1）根据给定条件，利用三角形全等证明，再取中点，借助线面垂直的判定PB PC =BC 性质推理作答.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算二面角大小作答.【详解】（1）四边形为菱形，，则为正三角形，即， ABCD 60BAD ∠= BDC A BD CD =在与中，，而为公共边，则≌， PDB △PDC △BDP CDP ∠=∠PD PDB △PDC △有，取的中点O ，如图，连接，则有，PB PC =BC ,PO DO ,PO BC DO BC ⊥⊥而平面，则平面，又平面， ,,PO DO O PO DO =⊂POD BC ⊥POD DP ⊂POD 所以.DP BC ⊥（2）由（1）知，，因为平面平面，平面平面,OD BC OP BC ⊥⊥PBC ⊥ABCD PBC ⋂，ABCD BC =平面，于是平面，又平面，则，OP ⊂PBC OP ⊥ABCD OD ⊂ABCD OP OD ⊥以O 为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， ,,OD OB OP ,,x y z 因为，，则由（1）得，，PB PC ⊥2BC AB ==1OP=(0,0,1),2,0)D P A ，令平面的一个法向量，(0,2,0),1)DA PD ==- PAD (,,)n x y z =则，令，得，200n DA y n PD z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1x=n = 显然平面的一个法向量为，设平面与平面PBC 的夹角为PBC OD =PAD θ因此，则，||1cos |cos ,|2||||n OD n OD n OD θ⋅=〈〉===π3θ=所以平面与平面PBC 的夹角大小为. PAD π320．设为数列的前项和，，，，令. n S {}n a n 123n n n a a S +=-11a =0n a ≠21n n b a -=(1)求，，及数列的通项公式；2b 3b {}n b (2)令，求数列的前项和.2n bn n c b =⋅{}n C n n T 【答案】(1)，， 23b =35b =21n b n =-(2)()21106529n n n T ++-⋅=【分析】（1）利用和的关系，可得，进而求解；n a n S ()1122n n a a n +--=≥（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 123n n n a a S +=-所以时，，2n ≥1123n n n a a S --=-两式相减，可得， ()11123232n n n n n n n a a a a S S a +----=--=由，所以， 0n a ≠112n n a a +--=当时，，即，1n =21123a a a =-21a =-所以当为奇数时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列， n {}n a 当为偶数时，数列是以为首项，2为公差的等差数列. n {}n a 1-所以，， 23123b a a ==+=351225b a a ==+⨯=.()2111221n n b a a n n -==+-⨯=-（2）由，()212122n b n n n n c b --⋅==⋅所以，()13521123123252212n n n T c c c c n -=++++=⨯+⨯+⨯+-⋅ 则，()2357212123252212n n T n +⋅=⨯+⨯+⨯+-⋅两式相减可得，，()()352121322222212n n n T n -+-=+⋅+++--⋅ 即， ()()21321221232221212n n n T n -+⎡⎤⋅-⎣⎦-=+⋅--⋅-即， 2110532233n n T n +⎛⎫-=-+-⋅ ⎪⎝⎭即.()21106529n n n T ++-⋅=21．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B 为底面圆周上异于12O O 11A ACC 111224AC AA A C ===A ，C 的点.(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；1BCC 1C 1A AB(2)设平面∩平面，与平面QAC 所成角为，当四棱锥的体积1A AB 1C CB l Q l =∈，1BC α11B A ACC -最大时，求的取值范围. sin α【答案】(1)作图及理由见解析；(2).【分析】（1）取中点P ，作直线，再利用线面平行的判定推理作答.BC 1C P （2）延长交于点O ，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B 的位置，然后建立空间11,AA CC BO 直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答. 【详解】（1）取中点P ，作直线，则直线即为所求， BC 1C P 1C P 取中点H ，连接，则有，如图， AB 1,A H PH 1//,2PH AC PH AC =在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形， 11A ACC 1112AC AC =1111//,HP A C HP A C =11A C PH 即有，又平面，平面， 11//C P A H 1A H ⊂1A AB 1C P ⊄1A AB 所以平面.1//C P 1A AB （2）延长交于点O ，作直线，则直线即为直线，如图，11,AA CC BO BO l过点B 作于，因为平面平面，平面平面，BO AC '⊥O '11A ACC ⊥ABC 11A ACC ⋂ABC AC =BO '⊂平面，ABC 因此平面，即为四棱锥的高，在中，，BO '⊥11A ACC BO '11B A ACC -Rt ABC △90ABC ∠= ，当且仅当时取等号，此时点与重合，22122BA BC BA BC BO AC AC AC ⋅+'=≤=BA BC =O '2O 梯形的面积为定值，四棱锥的体积，11A ACC S 11B A ACC -1113B A ACC V S BO -'=⋅于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，， BO 'O '2O 11B A ACC -22,2BO AC BO ⊥=以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系， 2O 2221,,O A O B O O ,,x y z 在等腰梯形中，，此梯形的高11A ACC 111224AC AA A C ===h ==显然为的中位线，则，11A C OACA 1(0,0,(2,0,0),(0,2,0),(O ABC -， 12(1,(2,2,0),(0,2,(2,0,0)BC AB BO O A =--=-=-=设，则,R BQ BO λλ=∈ (2,22,)AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=--设平面的一个法向量，则，令，得QAC (,,)n x y z = 2202(22)0n O A x n AQ xy z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩y =，,1)n λ=-则有111||sin |cos ,|||||n BC n BC n BC α⋅=〈〉===，令，则时，，1t λ=+sin α=0=t sin 0α=当时，，即时取0t≠0sin α<==≤75t =2=5λ等号，综上得， 0sin α≤≤所以的取值范围是. sin α【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.22．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C ：的阿22(0)y px p =>基米德三角形为例，经探究发现：若AB 为过焦点的弦，则：①点P 在定直线上；②PAB ；③.已知△PAB 为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB 过PF AB ⊥PA PB ⊥220x y λλΓ-=>：（）Γ的右焦点F .(1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可）(2)若，弦AB 的中点为Q ，，求点P 的坐标.2λ=3AB FP FQ =（注：双曲线的以为切点的切线方程为 22221x y a b -=00(,)x y 0022 1.x x y y a b -=）【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. (1,(1,【分析】（1）选①②③，设出点A ，B ，P 的坐标，借助切线方程求出直线AB 的方程，代入焦点坐标，求出点P 的横坐标，再利用斜率计算判断作答.（2）设出直线AB 的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答.【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 112200(,),(,),(,)A x y B x y P x yΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y y λ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =所以点P 在定直线P 在定直线上成立. x =选②，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A x y B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，显然有，00y =P PF AB ⊥当时，直线AB 的斜率PF 的斜率00y ≠00AB x k y ==PF k ==则有，即， 1AB PF k k ⋅=-PF AB ⊥所以成立.PFAB ⊥选③，设点，双曲线的焦点，112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ΓF 依题意，过点A 的切线方程为，过点B 的切线方程为， 11x x y y λ-=22x x y y λ-=而两切线交于点，于是，且，00(,)P x y 1010x x y y λ-=2020x x y y λ-=因此是方程的两组实数解，即点在直线1122(,),(,)x y x y 00x x y y λ-=1122(,),(,)A xy B x y 00x x y yλ-=上，则直线AB 的方程为，又直线AB 过点，解得， 00x x y y λ-=F 0λ=0x =当时，点，直线AB 垂直于x 轴，直线00y =P :AB x =由得， 22x x yλ⎧⎪⎨-=⎪⎩||y =A B直线PA 的斜率PB 的斜率PA k ==PB k ==有，显然不垂直于， 2PA PB k k ⋅=-PA PB 所以不成立.PA PB ⊥（2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB 的方程为：2λ=22:2x y Γ-=()2,0F 0(1,)P y ，02x y y -=由消去x 整理得：，显然， 02222x y y x y -=⎧⎨-=⎩2200(1)420y y y y -++=20201Δ8(1)0y y ⎧≠⎨=+>⎩，弦AB 的中点Q 的纵坐标为， 0121222042,11y y y y y y y -+==--01220221y y y y -+=-，||AB =，而，12||||2y y FQ +=||FP =3AB FP FQ =，解得=200)3||y y +=0y =0y =所以点P 的坐标是，. (1,(1,【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点间的距离； 1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB x x =-直线l ：x =my +t 上两点间的距离.1122(,),(,)A x y B x y 12||||AB y y =-。