解析几何复习

解析几何及线性规划复习
1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ＝3
2.以双曲线C 的
实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E . (1)求椭圆E 的方程；
(2)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为－1
4，问直线
PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、
G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →
(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253
时，求实数t 的取值范围．
3．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，求如何租车费用最少？最少为多少？
解析几何及线性规划复习
1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为27，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ＝3
2
.以双曲线C 的
实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E . (1)求椭圆E 的方程；
(2)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为－1
4，问直线
PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由． 解 (1)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦距2
c ＝27，
则c ＝7，∴a 2＋b 2＝7.① 渐近线方程y ＝±b
a x ，
由题意知tan θ＝b a ＝3
2.②
由①②得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)在(1)的条件下，当直线PQ 的斜率存在时， 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
3＝1y ＝kx ＋m
，消去y 得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，
又A (－2,0)， 由题意知k AP ·k AQ ＝
y 1x 1＋2·y 2x 2＋2
＝－1
4，
则(x 1＋2)(x 2＋2)＋4y 1y 2＝0，且x 1x 2≠－2. 则x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋4k 2)x 1x 2＋(2＋4km )(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0. 则m 2－km －2k 2＝0.
∴(m －2k )(m ＋k )＝0.∴m ＝2k 或m ＝－k . 当m ＝2k 时，直线PQ 的方程是y ＝kx ＋2k . 此时直线PQ 过定点(－2,0)，显然不符合题意．
当m ＝－k 时，直线PQ 的方程为y ＝kx －k ，此时直线PQ 过定点(1,0)． 当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点，
P ，Q 点的坐标分别是(1，32)，(1，－3
2)，
满足k AP ·k AQ ＝－1
4
.
综上，直线PQ 恒过定点(1,0)．
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2
2，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、
G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →
(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．
解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝2
2
，
∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝1
2，即a 2＝2b 2.
又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42， ∴a 2＝2，b 2＝1.
∴椭圆C 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.
设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －2)，x 22＋y 2
＝1，
得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.
x 1＋x 2＝8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，
∵OA →＋OB →＝tOP →，
∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )， x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)
，
y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2)
.
∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2
[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2，
∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．
∵|P A →－PB →|<25
3，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253
，
∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<20
9，
∴(1＋k 2
)[64k 4
(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209
，
∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14.∴14<k 2<1
2.
∵16k 2
＝t 2
(1＋2k 2
)，∴t 2
＝16k 21＋2k 2＝8－8
1＋2k 2
，
又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－8
1＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263
<t <2，
∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(26
3
，2)．
3．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，求如何租车费用最少？最少为多少？ 答案 36 800
解析 设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时，租金为z 元，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ， 且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤21
y －x ≤7
36x ＋60y ≥900，
x ，y ≥0，x
，y ∈N
画出可行域如图，
直线y ＝－23x ＋z
2 400过点
A (5,12)时纵截距最小，
所以z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少为36 800元．。