空间解析几何常见的曲面
83曲面及其方程
一般地,在空间解析几何
z
方程 F(x, y) 0 表示 柱面,
母线 平行于 z 轴;
x 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F ( x, y) 0
l1
y
z
l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
y
母线 平行于 x 轴;
x
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G( y, z) 0
观察柱面的形 成过程:
准线
C
母线
17
柱面演示
播放
18
例如: 考虑方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以 原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行 于 z 轴的直线L沿xoy面上的 圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称 该曲面为圆柱面.
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
24
(1) 椭球面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
z x2 y2 cot
两边平方
z2 a2( x2 y2 )
o
y
x
---圆锥面的标准方程
13
y2 z2
例6 以 曲 线
a
2
c2
1 为母线,
y 0
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
第三章_第一节 空间解析几何,李养成(新版),
它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程 注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章 常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系 后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球 面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛 物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从 这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出 发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos
OP k OP k
cos
y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1） 已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于 平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的 方程. 解 圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0
解析几何练习之常见曲面
常见曲面习题11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
空间曲面及其方程
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面 成为切平面，该点称为切点。
例 求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方 程。
解： 显然整个球面在同一卦限， 又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在 第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离 为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面 以直线通过一定点， 一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线 定点 固定线 母线 顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。
空间解析几何-第3章 常见的曲面3
2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心
解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线 ，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0
平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛 物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系 直纹面在建筑学上有意义 例如，储水塔、电视塔等 建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章 常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面 锥面 旋转曲面 曲线与曲面的参数方程 椭球面 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 二次直纹面 作图
五种典型的 二次曲面
§3.6 直纹面
由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线 叫直纹面的母线。
双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
解析几何第三章习题及解答
第三章 常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。
证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。
解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。
过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。
3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。
证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。
4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹； （2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹； （3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。
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c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面 可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生 .
用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：
? ? ?
x a
2 2
?
y2 b2
? 1?
h2 c2
(5)
?? z ? h
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
? x2 ?? a 2
?
y2 b2
?
?1
?? z ? 0
—xoy面上的 椭圆叫做腰 椭圆
? ? ?
y b
2 2
?
z2 c2
?1
?? x ? 0
—yoz面 上的双曲 线
? ? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?1
—xoz面上
?? y ? 0
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
xOy面
:
?? ?
x2 a2
?
y2 b2
?1
?? z ? 0
xOz面
:
?? ?
x2 a2
?
z2 c2
?
1
?? y ? 0
yOz面
:
?? ?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
?? x ? 0
椭球面的主截线（主椭圆）
z 椭球面
o
x
y
5.平截线：
z
x2 ? y2 ? z2 ? 1 a 2 b2 c2
?
z2 c2
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
§3.5.1 椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
(a ? 0,b ? 0, c ? 0)
1.对称性：
?主平面:三坐标平面 ?主轴:三坐标轴 ?中心:坐标原点
2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c) 轴:2a,2b,2c ( ) 半轴:a,b,c 截距:±a, ±b, ±c
h ? c ，(5)无图形；
h ?c
h?c
，(5)表示两个点 (0,0,? c) ； (5)表示一个椭圆，两半轴长分别为
a
1?
h2 c2
b 1? h2 c2
由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由 一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平 面与坐标面xoy平行.
椭球面的几种特殊情况：
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
?
z2 c2
? 1?
h2 ， b2
?? y ? h.
①当 h ? b时
截线为双曲线
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
?
z2 c2
? 1?
h2 ， b2
?? y ? h.
①当 h ? b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
?
z2 c2
? 1?
h2 ， b2
?? y ? h.
②当 h ? b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
Cy? h：??? ax22
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
2020/5/16
本章主要内容
1 柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
? 椭球面
? 双曲面
2 顶点、与坐标轴的交点和截距 (vertex and intercept)
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），
（0，±b，0）而与z轴无实交点.
上述四点称为单叶双曲面的实顶点，
z
而与z轴的交点（0，0，±ci）
称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，
? 单叶双曲面 ? 双叶双曲面
? 抛物面
? 椭圆抛物面 ? 双曲抛物面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之为 二次曲面 ．
相应地平面被称ห้องสมุดไป่ตู้ 一次曲面 ．
讨论二次曲面形状的 截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌 ．
(1) a ? b,
x2 a2
?
y2 a2
?
z2 c2
?
1
旋转椭球面
由椭圆?? ?
x a
2 2
?
z2 c2
?
1绕
z 轴旋转而成．
?? y ? 0
方程可写为
x2 ? a2
y2
?
z2 c2
?
1
旋转椭球面 与椭球面的区别：
与平面 z ? z1 (| z1 |? c)的交线为圆 .
截面上圆的方程
?? x2 ?
?
y2
?
a2 c2
(c2
?
z12 ).
??z ? z1
(2) a ? b ? c,
x2 a2
?
y2 a2
?
z2 a2
?
1
球面
方程可写为 x2 ? y2 ? z2 ? a 2 .
三、椭球面的参数方程
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?1
? x ? a cos? cos?
?
? ?
y
?
b
cos?
?? z ? c sin ?
3.范围： x ? a , y ? b, z ? c
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1 与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
?
y2 b2
?
o
y
代入得x,y轴上的截距为: x ? ? a ，y ? ? b ； x 在z轴上没有截距.
3 图形的范围
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
z
由方程
x2 a2
?
y2 b2
?1
知，即曲面存在于椭圆柱面
x2 a2
?
y2 b2
?1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
的双曲线
2020/5/16
有共同的虚 轴和虚轴长
5 平截线
用平行于坐标面的平面截割
z
(1)用z = h 截曲面
Cz? h：??? ax22
?
y2 b2
?
1＋
h2 c2
, ?椭圆?
?? z ? h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
sin ?
? ??
?
?
2
??
?
?
2
,0
?
?
?
2?
? ??
应用实例： 上海科技城椭球体玻璃幕墙
§3.5.2 双曲面
单叶双曲面 z
双叶双曲面 z
oy x
oy x
一、单叶双曲面
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1
单叶双曲面
1 对称性（symmetric ）
关于三坐标平面对称； 关于三坐标轴对称；
关于坐标原点对称， （0，0，0）为其对称中心.