空间解析几何复习重点
解析几何知识点
解析几何知识点
解析几何是数学的一个分支，研究几何图形的性质及其几
何变换的方法和原理。
下面是一些常见的解析几何知识点：
1. 直线的方程：点斜式、两点式、截距式等
2. 圆的方程：一般式、标准式等
3. 直线与直线的位置关系：平行、垂直、相交等
4. 直线与圆的位置关系：相切、相离、相交等
5. 二次曲线的方程：椭圆、双曲线、抛物线等
6. 直线的点到直线的距离公式
7. 直线的点到平面的距离公式
8. 两点间的距离公式
9. 平面中的向量运算：加法、减法、数量积、向量积等
10. 平面向量的坐标表示方法
11. 平面直角坐标系与极坐标系的转换
12. 三角形的面积公式和重心、外心、内心等相关概念
13. 圆的切线和切点的性质
14. 空间几何中的点、直线和平面的关系
15. 空间向量运算：加法、减法、数量积、向量积等
16. 空间直角坐标系与球坐标系的转换
17. 空间几何中的球的方程和相关性质
18. 空间几何中的立体几何概念和计算
以上只是解析几何的一些基础知识点，还有更深入的内容如曲线的性质、三维空间中的曲面方程、解析几何在几何证明中的应用等等。
大一空间解析几何知识点总结
大一空间解析几何知识点总结大一空间解析几何是大一数学课程中的一部分，涵盖了三维空间中的点、直线和平面的相关知识。
以下是一些大一空间解析几何的知识点总结。
1. 空间直角坐标系：空间直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成，通常用x、y和z表示。
在该坐标系中，每个点都可以表示为一个有序三元组(x, y, z)，称为点的坐标。
2. 点和向量：点表示空间中的位置，而向量表示从一个点到另一个点的方向和长度。
向量可以表示为两点之间的位移。
3. 向量的加法和减法：向量的加法是将两个向量的对应分量相加，而向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
4. 向量的数量积和向量积：向量的数量积（点积）是两个向量的对应分量相乘再求和，而向量的向量积（叉积）是两个向量的乘积向量的模长等于原来两个向量的模长乘积与这两个向量夹角的正弦积。
5. 直线的方程：直线可以由点和方向向量来表示。
给定一点P和平行于向量v 的直线L，直线L可以表示为L：r = P + tv，其中r是直线上的任意一点，t 是实数。
6. 平面的方程：平面可以由一个点和一个法向量来表示。
给定一点P和法向量n，平面可以表示为n·(r - P) = 0，其中r是平面上的任意一点。
7. 平面与直线的位置关系：平面和直线有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和直线平行意味着它们没有公共点；平面和直线相交意味着它们有一个公共点；平面和直线重合意味着它们有无数个公共点。
8. 平面与平面的位置关系：平面和平面也有三种可能的位置关系：平行、相交和重合。
平面和平面平行意味着它们没有公共点；平面和平面相交意味着它们有一条公共直线；平面和平面重合意味着它们完全重合。
这些知识点是大一空间解析几何的基础，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决三维空间中的几何问题。
在学习过程中，还可以进一步学习曲面、二次曲线、空间几何体等更高级的知识。
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
空间解析几何
空 间
证
将直线 L1 化为参数方程
y z
2t t
2
5，
L1
L2
解 析 几 何
代入方程又Ls21解 得1,
t 1，故两直线相交于点(1,3,1)．
2,1，
s2
3,1,1，
故所求平面的 法向量 可取
i jk
n s1 s2 1
2
1 1,2, 5 ，
311
所求平面的方程为 x 2 y 5z 0.
几 何
(4 )若b,c 不是共线向量, a 是 b,c 平面上的一个
向量当且仅当存在 , 使得 a b c
杨建新
空间解析几何
1 已知 a,b,c 都是单位向量，且 a b c 0, 求 ab bc ca
解 由于 a b c 0, 于是 (a b c) (a b c) 0,
a
xb |2 xb
| a |2 | | a |)
2
1 |a
|
lim
x0
2xa
b
x
x2
|
b
|2
a b | b | cos(a ^ b) 1 |a|
杨建新
空间解析几何
6、设向量 p、q、r 两两垂直，且 | p | 1，| q | 2，
|r |
3，求向量
s
p
q
r
的模及
s
（1）向量 (2) 向量 a
a
的模为
| a |
的方向角的余弦为
x2 a
y2 z2 的方向余弦。
cos cos
x
,
x2 zy2 z2 .
x2 y2 z2
cos
y ,
x2 y2 z2
第一节 空间解析几何的基本知识.
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
空间解析几何复习重点
适用于求过已知直线的平面方程
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12
距离、夹角
点到直线的距离
M
d M0M v . v
d M0
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面 图2.8
Ax By Cz D 0之间的距离为
Ax By Cz D d
A2 B2 C 2
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平面束
• 定理2.3.1 设两个平面
1 : A1x B1 y C1z D1 0, 2 : A2x B2 y C2z D2 0
交于一条直线 ，则以 l为轴的共轴平面束方 程是
A1x B1y C1z D1 A2x B2y C2z D2 0,
其中 ,是不全为零的任意实数.
.
锥面由它的准线和顶点所确定
22
设点 Px, y, z 不是顶点P0 ,则点P 在锥面上当且仅当由
点P0 与P 所确定的直线必与准线 相交于某点P x, y, z ,
因此
x x
F
x x
x, y,
y y y y
z ,
z z z z
,
G x, y, z .
(3.2.3)
v2
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
15
例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,
l
:
x
y
z
1
0
在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l与
的夹角.
解 直线 l的方向向量为1,1,11, 1,1 20,1,1 为简单起见，取为v 1,1,1. 又平面 的法向量n 1,1,1.
第一节空间解析几何基础知识
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当 a=b=d=0, 而 c≠0 时 , 得平面方程 z=0, 也就是 xOy 平 面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平 面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
11
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
界点的集合,称为D的边界.
30
开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
31
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
16
3.二次曲面 三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 所表示的空间曲面称为二
次
曲
面
,
其
中
ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
17
(1)球面 球心在原点，半径为R的球面： x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
( x 2) ( y 3) ( z 4) ( 29)
2 2 2
2
所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .
25
二次曲面用三元二次方程表示： a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 而 x2+y2+z2－4x+6y+8z=0 表示一个圆. 因此,由(7.5)式所表示的曲面方程是球面方 程的必要条件是:
空间解析几何复习资料(优.选)
P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
例4 已知两点 M1(2,2, 2) 和 M2(1,3,0), 计算向量
M
1
M
的模
2
,
方向余弦和方向角.
解
M1M2 = {1 − 2, 3 − 2, 0 − 2} = {−1,1, − 2};
M1M2 = (−1)2 + 12 + (− 2)2 = 2;
3．定比分点公式 M ( x, y, z)是 AB的分点： AM = λ ，
MB
点 A, B 的坐标为 A( x1, y1, z1 )， B ( x2 , y2 , z2 )则
x = x1 + λ x2 , y = y1 + λ y2 , z = z1 + λ z2
1+ λ
1+ λ
1+ λ
当 M 为中点时，
（线）的方程。 （2）已知坐标 x, y和 z 间的一个方程（组），研究这方
程（组）所表示的曲面（线）。
2．距离公式 空间两点 A( x1, y1, z1 )与 B ( x2 , y2 , z2 )间的距
离d 为
d = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2 + ( z2 − )z1 2
向量积的坐标表达式
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk
i jk a × b = ax ay az
bx by bz
4、向量的混合积
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk , c = cxi + cy j + czk,
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x c11 x + c12 y + c13 z x0 , y c21 x + c22 y + c23 z y0 , z c x + c y + c z z . 31 32 33 0
课后作业： P122
1,3,5
选做：9
4-2 课件、作业
i a b ax bx
j ay by
k az bz
a // b
a x a y az bx b y bz
6、混合积
ax [ a b c ] ( a b ) c bx cx ay by cy az bz cz
• 重点 • 1-2，1-4，1-5
M0
M
d
v
l
推论 2 ：点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 与平面
图2.8
Ax By Cz D 0 之间的距离为
d
Ax By Cz D A B C
2 2 2
• 两异面直线之间的距离
M M ,v ,v d .
1 2 1 2
v1 v2
P2
d
M2
(3.2.3)
.
旋转曲面方程
点 P x,y,z S 当且仅当存在点 P ,使得点 P 1 x1 ,y1 ,z1 位于过点 P1 的纬圆上, 因此有
x x0 2 y y0 2 z z0 2 x1 x0 2 y1 y0 2 z1 z0 2 , l x x1 m y y1 n z z1 0, F x1 , y1 ,z1 0, (3.3.1) G x1 , y1 ,z1 0.
v2
l2
P 1
M1 v1 l1
异面直线
l M1 v1
l1
v1 v2
x x1 y y1 z z1 X1 Y1 Z1 0 X Y Z x x2 y y2 z z 2 X2 Y2 Z2 0 X Y Z
1
M2
v2
2
l2
图2.10
公垂线方程
例2.4.5 试求直线 x y z 1 0,
l : x y z 1 0 在平面 : x y z 0 上的射影直线方程，并求 l 与
的夹角. 解 直线 l 的方向向量为1,1, 1 1, 1,1 2 0,1,1 为简单起见，取为 v 1,1,1 . 又平面 的法向量 n 1,1,1. 依公式(2.4.9)，直线 l 与平面 的夹角 满足
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az ay
重点
柱面方程
锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面 五种常见的二次曲面
（四）二次曲面的一般理论
坐标变换 利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简 二次曲面的方程
坐标变换
c11 c12 i, j, k i , j, k c21 c22 c 31 c32 c13 c23 , c33
（二）直线和平面方程
平面方程
直线方程 平面与直线位置关系 平面束 距离、夹角 异面直线
平面的点位式方程
x x0 X1 X2
y y0 Y1 Y2
z z0 Z1 Z2 0
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
已知一个平面过空间中的一点 M 0 x0 , y0 , z0 且其法向量为 n X , Y , Z 则平面的点法式方程为：
x
y z c . c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
故得 x , y
y ,
xy c 中得 ，代入 c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为
z xy c .
图3.1
锥面方程
.
锥面由它的准线和顶点所确定
设点 P x, y, z 不是顶点P ,则点P 在锥面上当且仅当由 0 点P x , y , z , 0 与P 所确定的直线必与准线 相交于某点 P 因此
x x y y z z xx y y zz , F x , y , z , G x , y , z .
nv 6 sin . n v 3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
6 所以 arcsin . 3
即
以直线 l为轴的平面束方程为 x y z 1 x y z 1 0,
x y z 0, 在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
。。。
直的条件，有 解得 : 1: 1，于是经过直线 l 且与平面 垂直的平 面方程为 y z 1 0, 所求的射影直线方程为 x y z 0, y z 1 0.
1 1 1 0,
从上述方程组中消去 x1, y1, z1 ,便得到旋转曲面 S 的一般 方程.
Z P0 P1
O
X
Y
五种常见的二次曲面
x z 1 2 2 2 a b C
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2 2 2
2
y
2
2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z 2 p 2q
• 重点、难点 • 2-4
（三）常见的曲面
柱面方程
锥面方程 旋转曲面方程 直纹曲面 曲线族生成的曲面
柱面方程
柱面由它的准线和母线方向所确定
x x y y z z l m n , F x , y , z , G x , y , z .
x y z 4 2 1 1 3 2 4 0, 2 4 4
的方向向量为 2 , 4 , 4 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同法可求出属于 族的另一条直母线为
x4 y2 z (此时 2 ). 2 1 2
曲线族生成曲面
交于一条直线 ，则以 l 为轴的共轴平面束方 程是
A1x B1 y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0,
其中 , 是不全为零的任意实数.
适用于求过已知直线的平面方程
距离、夹角
点到直线的距离
d M 0M v v .
x y z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
2
直纹曲面
x2 y 2 =z 上, 试求平行于平 习题4 在双曲抛物面 16 4 面 3x 2y 4z 1=0 的直母线方程. x y , 1 1 4 2
解 族直母线
依题意,
x 2 y 1 z 是所求的一条直母线. 于是 2 1 1
（一）向量代数
向量的表示
方向余弦 内积 外积 混合积
3、向量的表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量：a x i , a y j , a z k
向量的坐标表示式： a {a x , a y , a z }
直线的对称式方程
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的参数方程
平面与直线位置关系
• 直线与平面平行 • 平面与平面平行 • 两直线异面的判定
平面束
• 定理2.3.1 设两个平面
1 : A1 x B 1 y C1 z D1 0, 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
a b a x bx a y by az bz
a x bx a y b y a z bz a x a y az
2 2 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
bx b y bz
2
2
2
a x bx a y b y a z bz 0
5、向量积
(叉积、外积)
其中 为a 与b 的夹角
| c || a || b | sin
右手系.
c 的方向既垂直于 a ，又垂直于 b ，指向符合
向量积的坐标表达式 a b ( a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
X x x 0 Y y y0 Z z z 0 0
空间直线的一般方程
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
x x 0 y y0 z z 0 m n p
例3.4.7 求与两直线 y , z c 与 x , z c(c ) 均 相交，且与双曲线 xy c , z 也相交的动直线所产生 的曲面方程. 解 在已知二直线上分别取点 (, , c)和 (, , c) 其中 , 是参数，于是动直线方程为
a x a y az
2 2
2
2
2
2