空间解析几何复习重点2015资料
空间解析几何知识点
空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。
- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。
- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。
2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。
- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。
- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。
- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。
- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。
3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。
- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。
- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。
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uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
直的条件，有
1g 1g 1g 0,
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
空间解析几何复习纲要
向量与空间解析几何内容提要(一)向量和空间直角坐标系 1．概念 （1）向量既有大小又有方向的量称为向量，常记为→a 、→b 、→c ，或→AB 、→CD 。
只有大小没有方向的量称为标量。
（2）径向量给定坐标原点O ，设P 为空间中任意一点，则称向量→OP 为点P 相对于原点O 的径向量。
任一向量都可以看作是空间中某一点相对于原点O 的径向量。
（3）模向量→a 的大小称为它的模，记作||→a 或a 。
模为0的向量称为零向量，记作→0。
（4）单位向量模为1的向量称为单位向量。
与向量→a 同方向的单位向量记为||→→→=→a ae a 。
（5）向量的坐标表示设向量→a 的起点为坐标原点，则其终点的坐标),,(z y x a a a 称为向量→a 的坐标，记作},,{z y x a a a a =→，向量→a 的模为222||z y x a a a a ++=→。
设),,(1111z y x M =，),,(2222z y x M =为空间中两点，则以1M 为起点，2M 为终点的向量},,{12121221z z y y x x M M ---=→。
（6）向量的夹角，平行，垂直对任意两个非零向量→→=OA a 和→→=OB b ，称=θ∠AOB 为向量→a 和→b 的夹角，并规定],0[πθ∈。
向量→a 和→b 的夹角通常记为∧→→b a ,或),(∧→→b a 。
当0,=∧→→b a 或π时，称→a 与→b 平行，也称→a 与→b 共线，记作→→b a //；当2,π=∧→→b a 时，称→a 与→b 垂直或正交，记作→→⊥b a 。
（7）方向余弦设向量→a 与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为γβα,,，则αcos 、βcos 、γcos 称为向量→a 的方向余弦，它们满足等式1cos cos cos 222=++γβα。
2．向量的运算（1）加法把向量→b 的起点移到向量→a 的终点，则以向量→a 的起点为起点，向量→b 的终点为终点的向量称为向量→a 和→b 的和，记作→→→+=b a c 。
第一节 空间解析几何的基本知识.
曲面在 xOy 平面上方
z y
x
当 x 0, y 0 时, z 0
曲面通过坐标原点，我们把坐标原点叫 做椭圆抛物线的顶点
• M2
Q Ny
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0)
d OM x2 y2 z2 .
例 1 求证以M1(4,3,1)、M 2 (7,1,2)、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
2、球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R的球面
方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有
| MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox 面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
空间的点Ｍ 11 有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, O(0,0,0)
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
• x y 0 表示母线平行于
z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
z
o y
x
z
o y
x
一般地,在三维空间
第一节空间解析几何基础知识
(7.4)
其 中 a,b,c,d 为 常 数 , 且 a,b,c 不 全 为 零 . 例 如 , 当 a=b=d=0, 而 c≠0 时 , 得平面方程 z=0, 也就是 xOy 平 面.若a≠0,b≠0,c=d=0时,得平面方程ax+by=0.该平 面垂直与xOy平面,且z轴在该平面上.
11
2.柱面 设L是空间中的一条曲线,与给定直线l平行的
界点的集合,称为D的边界.
30
开区域、闭区域 设D为一开集,P1和P2为D内任 意两点,若在D内存在一条或由有限条直线段组成 的折线将P1和P2连接起来,则称D为连通区域,简 称为区域或开区域;区域与区域的边界点构成的 集合称为闭区域.
31
有界区域、无界区域 若存在正数R,使得
D DR (O)则称D为有界区域;否则,称D为无界区
16
3.二次曲面 三元二次方程 a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 所表示的空间曲面称为二
次
曲
面
,
其
中
ai,bi,ci(i=1,2,3) 和d均为常数,且ai,bi不全 为零.
17
(1)球面 球心在原点，半径为R的球面： x2+y2+z2=R2 (R>0) (7.6)
( x 2) ( y 3) ( z 4) ( 29)
2 2 2
2
所以球心坐标为(2,－3,－4),半径 R 29 .
25
二次曲面用三元二次方程表示： a1x2+a2y2+a3z2+b1xy+b2yz+b3zx+c1x+c2y+c3z+d=0 (7.5) 而 x2+y2+z2－4x+6y+8z=0 表示一个圆. 因此,由(7.5)式所表示的曲面方程是球面方 程的必要条件是:
01-高数——空间解析几何要点速记
一、空间解析几何知识点速记一、空间解析几何1、向量代数●向量的线性运算向量加法：三角形法则或平行四边形法则：1）交换律a +b =b +a ；2）结合律（a +b ）+c =a+（b +c ）实数与向量的运算法则：设λ、μ为实数，则有：c=a+b1）结合律λ（μa ）=μ（λa ）=（λμ）a ；2）分配律（λ+μ）a =λa +μa ；λ（a +b ）=λa +λb 空间直角坐标系r M OM xi yj zk x y z −−→↔==++↔（，，）；设a =（a x ，a y ，a z ），b =（b x ，b y ，b z ）则有1）a +b =（a x +b x ，a y +b y ，a z +b z ）2）a -b =（a x -b x ，a y -b y ，a z -b z ）3）λa =（λa x ，λa y ，λa z ）4）b //a ⇔b =λa⇔（b x ，b y ，b z ）=λ（a x ，a y ，a z ）⇔zzyy xx a b a b a b ==5）向量模：222||z y x ++=r 6）两点间的距离：→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==方向角：非零向量r 与三条坐标轴的夹角α、β、γ称为向量r 的方向角方向余弦：cos ||x r α=，cos ||y r β=，cos ||z r γ=●向量的数量积：a ·b =|a ||b |cos θ几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影θcos ||b 的乘积。
1）a·a =|a |22）a ⊥b ⇔a·b =012120x x y y ⇔+=3）交换律：a·b =b·a ；4）分配律：（a +b ）⋅c =a ⋅c +b ⋅c5）（λa ）·b =a·（λb ）=λ（a·b ）,（λa ）·（μb ）=λμ（a·b ）,λ、μ为数高 数6）a·b =a x b x +a y b y +a z bzcos ||||a b a b θ++⋅=●向量的向量积：c =a ⨯b c 的模|c |=|a ||b |sin θ,其中θ为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面，c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定。
空间解析几何知识点总结
空间解析几何知识点总结
空间解析几何是解析几何的一个重要分支，它研究的是三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和相互关系。
以下是空间解析几何的一些重要知识点总结：
1. 空间直角坐标系，空间解析几何的基础是空间直角坐标系，通常用三个相互垂直的坐标轴来表示三维空间中的点的位置。
2. 点的坐标，在空间直角坐标系中，点的位置可以用三个坐标（x, y, z）来表示，其中x、y、z分别代表点在x轴、y轴、z轴上的投影长度。
3. 点的距离公式，两点在空间中的距离可以通过三维空间中的距离公式来计算，即d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-
z1)²)。
4. 向量的运算，空间解析几何中，向量是一个重要的概念，它可以表示空间中的位移和方向。
向量的加法、减法、数量积和向量积是空间解析几何中常见的运算。
5. 空间直线的方程，空间直线可以用参数方程、对称方程和一般方程来表示，这些方程形式各有特点，可以根据具体问题的需要选择合适的表示形式。
6. 空间平面的方程，空间平面可以用点法式方程、一般方程等形式来表示，点法式方程可以直观地表示平面的法向量和过某一点的特点。
7. 空间几何体的性质，空间解析几何还涉及到一些空间几何体的性质，如球、圆柱、圆锥等的方程和性质。
8. 空间解析几何与其它学科的应用，空间解析几何在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，例如在三维建模、空间定位、运动轨迹分析等方面发挥着重要作用。
以上是空间解析几何的一些重要知识点总结，希望对你有所帮助。
如果你还有其他问题，可以继续问我。
空间解析几何复习资料(优.选)
P1 P2
22
P2的坐标为 (2, 2,4), (2, 2,2).
例4 已知两点 M1(2,2, 2) 和 M2(1,3,0), 计算向量
M
1
M
的模
2
,
方向余弦和方向角.
解
M1M2 = {1 − 2, 3 − 2, 0 − 2} = {−1,1, − 2};
M1M2 = (−1)2 + 12 + (− 2)2 = 2;
3．定比分点公式 M ( x, y, z)是 AB的分点： AM = λ ，
MB
点 A, B 的坐标为 A( x1, y1, z1 )， B ( x2 , y2 , z2 )则
x = x1 + λ x2 , y = y1 + λ y2 , z = z1 + λ z2
1+ λ
1+ λ
1+ λ
当 M 为中点时，
（线）的方程。 （2）已知坐标 x, y和 z 间的一个方程（组），研究这方
程（组）所表示的曲面（线）。
2．距离公式 空间两点 A( x1, y1, z1 )与 B ( x2 , y2 , z2 )间的距
离d 为
d = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2 + ( z2 − )z1 2
向量积的坐标表达式
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk
i jk a × b = ax ay az
bx by bz
4、向量的混合积
设 a = axi + a y j + azk , b = bxi + by j + bzk , c = cxi + cy j + czk,
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方向角的余弦称为其方向余弦.
cos x
r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos x
x
r
x2 y2 z2
cos y
r
y x2 y2 z2
cos z
z
r
x2 y2 z2
方向余弦的性质:
z
r
o
y
x
例4. 已知两点
和
的模 、方向余弦和方向角 .
计算向量
解: M1M2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
a
三角形法则: ab b
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
3. 向量与数的乘法
M2M3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M2M3 为等腰三角形 .
M2
例3. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0,0, z), 因为 M A MB ,
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
是一个数
,
与
a
的乘积是一个新向量,
记作
a
.
规定 :
总之:
a
a
运算律 : 结合律
(
a)
(
a)
a
11可aa见a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量 a
1
a. 因此
a
a
a
a
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
(x, y,z)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ko i
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
( ax a
,a
y
,
az
),
b (ax
加减: 数乘: 数量积:
a b (ax bx ,ay by ,az bz )
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
第二节
第八章
数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积
内容小结
设 a (ax ,ay ,az ) , b (bx ,by ,bz ), c (cx ,cy ,cz ) 1. 向量运算
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,o, z)
r
o
x P( x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A( x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
2. 向量的坐标表示：
在空 间 直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i , j ,k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量, 设点 M
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
故所求点为
M
(0
,0,
14 9
)
.
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
a
,
b
的夹角.
记作
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M2 M1
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
第八章 空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第八章
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （ 1，1，
2）.
① ②
解:
2×① x
－3×② 2a 3
,得 b (7
,
1,10)
代入②得
y
1 (3
x
b)
(11,
2 ,16)
2
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设
r
(
x
,
y
,
z
),
作
OM
r,
则有
r OM OP OQ OR
b (bx ,by ,bz ) bx ,ay by ,az
,
bz
为实数，则 )
a
( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例:
当a
0
时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
例1. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中 a
5x
3 x
由勾股定理得 r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式: ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
例2. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证: M1M2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
在空间直角坐标系下：
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :