高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)
高中数学解析几何知识点总结
高中数学解析几何知识点总结高中数学解析几何知识点总结笔记空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面。
按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp。
空间向量法。
两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp。
空间向量法。
若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面。
直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行。
①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角;b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。
最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。
三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。
直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a 的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
高中数学解析几何知识点总结大全
高中数学解析几何知识点总结大全解析几何是高中数学的重要分支之一，通过运用代数和几何的方法来研究几何图形的性质和变换。
下面是高中数学解析几何的知识点总结，供参考：一、直线与平面的位置关系1.直线与平面的交点个数：直线和平面可以有0个、1个或无数个交点。
2.平面与平面的位置关系：两个平面可以相交、平行或重合。
二、向量及其代数运算1.向量的概念：向量是具有大小和方向的量。
2.向量的表示方法：向量可以用有向线段或坐标表示。
3.向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则。
4.向量的数乘：向量的数乘是一个向量与一个实数的乘积。
5.向量的数量积：向量的数量积是两个向量之间的乘积，结果是一个实数。
6.向量的乘法运算法则：分配律、结合律和交换律。
三、直线及其方程1.平面直角坐标系：平面直角坐标系包括坐标轴、坐标原点和相应的正方向。
2.直线的方程：直线可以用一般式、点斜式、两点式或截距式表示。
3.直线的性质：平行、垂直、斜率、倾斜角等。
4.直线的位置关系：两条直线可以相交、平行或重合。
四、曲线及其方程1.圆的方程：圆可以用标准方程、一般方程或截距方程表示。
2.椭圆、双曲线和抛物线的方程：椭圆、双曲线和抛物线可以用一般式表示。
3.曲线的性质：焦点、准线、离心率等概念的理解。
4.曲线的位置关系：两条曲线可以相交、相切或没有交点。
五、空间直线及其方程1.空间直线的方程：空间直线可以用对称式、参数方程或直角坐标式表示。
2.空间直线的位置关系：两条空间直线可以相交、平行或重合。
3.空间直线与平面的位置关系：空间直线可以与平面相交、平行或测度为零。
六、空间曲线及其方程1.空间曲线的方程：空间曲线可以用参数方程或直角坐标式表示。
2.空间曲线与平面的位置关系：空间曲线可以与平面相交、触及或完全包含。
七、立体图形1.点、线、面、体的概念：点是没有长度、宽度和高度的，线是一系列相连的点，面是一系列相连的线，体是一系列相连的面。
2.立体图形的表面积：立方体、长方体、正方体、球体、圆柱体、圆锥体和棱锥体的表面积计算公式。
高中数学的归纳平面向量与空间几何
高中数学的归纳平面向量与空间几何高中数学的归纳：平面向量与空间几何在高中数学教学中，归纳法是一种常用的证明方法，通过归纳法可以推导出一般情况下的结论。
在平面向量与空间几何的学习中，归纳法同样适用。
本文将以此为出发点，探讨高中数学中的归纳平面向量与空间几何。
一、平面向量的归纳在高中数学中，平面向量是涉及到代数和几何的重要概念。
平面向量可以通过一个有向线段来表示，具有大小和方向两个特征。
在归纳平面向量时，我们可以从最基本的定义出发，逐步推导出多个性质和定理。
1. 平面向量的加法与减法平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
减法则是在加法的基础上，将其中一个向量取相反数再进行加法运算。
通过归纳法，我们可以得出以下结论：定理1：平面向量的加法满足交换律和结合律。
证明：设向量a、b和c为任意三个平面向量，则有a +b = b + a（交换律）(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）由此可知，平面向量的加法满足交换律和结合律。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量逐一相乘后再求和，得到一个标量。
通过归纳法，我们可以得出以下结论：定理2：对于平面向量a和b，有a·b = b·a。
证明：设向量a和b分别为a = (a₁, a₂)，b = (b₁, b₂)则有a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = b₁a₁ + b₂a₂ = b·a由此可知，平面向量的数量积满足交换律。
二、空间几何的归纳空间几何是立体几何的一种分支，涉及到点、线、面以及它们之间的相互位置关系和性质。
在空间几何的学习中，我们同样可以运用归纳法来推导出一些结论。
1. 空间点与直线的位置关系在空间几何中，点与直线的位置关系有三种情况：点在直线上、点在直线外和点在直线上方或下方。
使用归纳法，我们可以得出以下结论：定理3：设空间点P的坐标为(x₁, y₁, z₁)，直线L的方程为(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c其中，(x₀, y₀, z₀)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量，则有：若ax + by + cz + d = 0，其中a² + b² + c² ≠ 0，则点P(x₁, y₁, z₁)在直线L上；若ax + by + cz + d = 0，其中a² + b²+ c² ≠ 0，则点P(x₁, y₁, z₁)在直线L外；若ax + by + cz + d = 0，其中a² + b² + c² ≠ 0，则点P(x₁, y₁, z₁)在直线L上方或下方。
高等数学向量代数与空间解析几何总结 ppt课件
( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
高中数学解析几何基础知识点总结
高中数学解析几何基础知识点总结解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究几何图形与代数关系之间的联系。
高中数学中的解析几何部分，涉及了许多基础知识点，本文将对这些知识点进行总结和归纳。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，也是分析几何问题的起点。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的表示和运算来描述和研究几何图形。
1. 坐标点的表示在平面直角坐标系中，任意一点可以用有序数对(x, y)表示，其中x 表示横坐标，y表示纵坐标。
横轴和纵轴交点的坐标为原点O，横轴为x轴，纵轴为y轴。
2. 坐标点的运算坐标点的运算主要包括坐标点的加法、减法和乘法运算。
两点坐标相加减得到的结果是一个新的坐标点，两点的连线即为线段。
两点坐标相乘得到的结果是一个面积，在解析几何中常用于计算三角形的面积。
二、直线的方程直线的方程是解析几何中的重要内容，通过方程可以准确地描述直线的位置和性质。
一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
一般式方程可以表示直线的所有点。
2. 斜截式方程斜截式方程的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴交点的纵坐标。
斜截式方程可以方便地求直线的斜率和与坐标轴的交点。
3. 截距式方程截距式方程的形式为x/a + y/b = 1，其中a、b分别表示直线与横轴和纵轴的截距。
截距式方程可以方便地求直线与坐标轴的截距。
4. 两点式方程两点式方程的形式为(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两个点的坐标。
两点式方程可以方便地求直线经过两个已知点。
三、圆的方程圆是解析几何中的一种重要几何图形，通过方程可以精确地描述圆的位置和性质。
1. 标准式方程标准式方程的形式为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为圆的半径。
标准式方程可以方便地求圆心和半径。
高等数学第五章向量代数与空间解析几何
第五章 向量代数与空间解析几何（数学一）§5．1 向量代数一．空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为x 轴，y 轴，z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。
1．两点间距离设点()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 ()()()21221221221z z y y x x M M d -+-+-==2．中点公式设()z y x M ,,为()1111,,z y x M ，()2222,,z y x M 联线的中点，则 2,2,2212121z z z y y y x x x +=+=+=二．向量的概念1．向量既有大小又有方向的量称为向量。
方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。
常用有向线段表示向量。
A 点叫起点，B 点叫终点，向量。
模为1的向量称为单位向量。
2．向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点M 在给定坐标系中的坐标为()z y x ,,。
记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为k j i ,,，则向量OM 可以表示为 zk yj xi ++= 称之为向量OM 的坐标表达式，也可以表示为 ()z y x OM ,,=称zk yj xi ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的分量。
称z y x ,,分别为向量OM 在x 轴，y 轴，z 轴上的投影。
记OM 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则222cos zy x x ++=α222c o s zy x y ++=β 222c o s zy x z ++=γ方向余弦间满足关系1cos cos 222=++γβαcoxγβα,,描述了向量OM 的方向，常称它们为向量的方向角。
平面向量与空间解析几何
平面向量与空间解析几何平面向量和空间解析几何是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学中扮演着重要的角色。
平面向量是一个有大小和方向的量，可以表示为有序对(x, y)。
在二维空间中，平面向量通常用于描述平面内的位置关系、运动方向等。
空间解析几何则是研究三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和关系的数学分支。
平面向量定义平面向量可以用有向线段表示，其大小为线段的长度，方向为线段的方向。
平面向量的加法、减法和数乘等运算可以通过坐标运算来实现。
两个平面向量(x1, y1)和(x2, y2)的加法为(x1+x2, y1+y2)，减法为(x1-x2, y1-y2)，数乘为k * (x, y) = (k*x, k*y)。
运算性质•交换律：a + b = b + a•结合律：a + (b + c) = (a + b) + c•分配律：k * (a + b) = k * a + k * b空间解析几何点和坐标在空间解析几何中，三维空间中的一个点可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x, y, z分别是点在三个坐标轴上的投影。
两点之间的距离可以通过距离公式计算得到。
直线和平面一条空间直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定，方向向量可以是直线上任意两点的向量差。
空间平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来唯一确定。
方向余弦方向余弦是描述向量在空间中的方向性质的参数。
一个向量(a, b, c)的方向余弦分别为cosα = a/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosβ = b/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosγ = c/sqrt(a^2+b^2+c^2)。
应用平面向量和空间解析几何在现实生活中有着广泛的应用。
在工程学中，它们可以用于描述力的合成、速度的方向等；在计算机图形学中，可以用于图形的变换和计算；在物理学中，可以描述空间中的物体运动等。
总的来说，平面向量和空间解析几何不仅是数学中的重要概念，也是现实生活中不可或缺的工具，它们帮助我们更好地理解和描述空间中的种种现象和规律。
高中向量几何知识点总结
高中向量几何知识点总结一、向量的基本概念1. 向量的概念和表示方法2. 向量的相等与平行3. 向量的加法和数量乘法4. 向量的数量积和向量积二、平面向量1. 平面向量的坐标表示2. 平面向量的定位和平移3. 平面向量的数量积4. 平面向量的向量积三、空间向量1. 空间向量的坐标表示2. 空间向量的定位和平移3. 空间向量的数量积4. 空间向量的向量积四、向量的运算1. 向量的加法和减法2. 向量的数量乘法3. 向量的夹角和方向余弦4. 向量的数量积和向量积的性质五、平面向量的应用1. 向量的线性运算2. 向量的共线和共面性质3. 向量的垂直和平行性质六、空间向量的应用1. 向量的混合积2. 向量的共面性质3. 向量的垂直和平行性质4. 向量的夹角和体积七、直线和平面1. 平面向量的表示2. 直线和平面的位置关系3. 直线的方向向量和法向量4. 平面的法向量和点法式方程八、空间中的几何关系1. 三角形的中线、角平分线和垂直平分线2. 四边形的对角线、中线和角平分线3. 三棱锥和四棱锥的体积和高4. 空间中的距离和角度九、空间向量的深入应用1. 向量的夹角和垂直性质2. 向量的数量积和向量积的应用3. 向量方程和参数方程4. 向量的坐标和向量的位置十、高中向量几何的综合应用1. 向量的运动学应用2. 向量的静力学应用3. 向量的动力学应用以上就是高中向量几何的知识点总结，通过学习这些知识，我们可以更好地理解和掌握数学中向量的概念、性质和应用，从而提高数学解题的能力。
希望同学们能够认真学习，勤于练习，掌握好这些知识，为今后的学习和发展打下坚实的数学基础。
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56. 你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量。
（）向量的模——有向线段的长度，2||a →（）单位向量，3100||||a a aa →→→→==（）零向量，4000→→=||（）相等的向量长度相等方向相同5⇔⎧⎨⎩=→→a b在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b a b b a →→→→→→≠⇔=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图：OA OB OC →+→=→OA OB BA →-→=→（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+的一组基底。
（9）向量的坐标表示i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()表示。
()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121 ()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式57. 平面向量的数量积（）··叫做向量与的数量积（或内积）。
1a b a b a b →→→→→→=||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b →→∈0数量积的几何意义：a b a b a b →→→→→·等于与在的方向上的射影的乘积。
||||cos θ （2）数量积的运算法则 ①··a b b a →→→→= ②··()a b c a c b c →→→→→→→+=+()()③·，·，a b x y x y x x y y →→==+11221212 注意：数量积不满足结合律····()()a b c a b c →→→→→→≠ ()()（）重要性质：设，，，31122a x y b x y →→== ①⊥···a b a b x x y y →→→→⇔=⇔+=001212 ②∥··或··a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→⇔==-|||||||| ⇔=≠→→→a b b λλ（，惟一确定）0 ⇔-=x y x y 12210 ③，··a a x y a b a b →→→→→→==+≤221212||||||||④···cos ||||θ==+++→→→→a ba b x x y y x y x y121212122222［练习］（）已知正方形，边长为，，，，则11ABCD AB a BC b AC c →=→=→=→→→||a b c →→→++=答案：22()()（）若向量，，，，当时与共线且方向相同214a x b x x a b →→→→===答案：2（）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么3603a b a b o→→→→+=||答案：13 58. 线段的定比分点()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212ll 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→P P P P P P P P 12121200→><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ x x x y y y P P P x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪12121212121122λλλλ，为中点时，()()()如：，，，，，，∆ABC A x y B x y C x y 112233 则重心的坐标是，∆ABC G x x x y y y 12312333++++⎛⎝⎫⎭⎪ ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？ 59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→− 线面平行的判定：a b b a a ∥，面，∥面⊂⊄⇒αααabα线面平行的性质：αααβαβ∥面，面，∥⊂=⇒I b a b 三垂线定理（及逆定理）：PA AO PO ⊥面，为在内射影，面，则αααa ⊂ a OA a PO a PO a AO ⊥⊥；⊥⊥⇒⇒αaPO线面垂直：a b a c b c b c O a ⊥，⊥，，，⊥⊂=⇒ααIaO α b c面面垂直：a a ⊥面，面⊥αββα⊂⇒面⊥面，，，⊥⊥αβαβαβI =⊂⇒l l a a aα alβa b a b ⊥面，⊥面∥αα⇒ 面⊥，面⊥∥αβαβa a ⇒a bα60. 三类角的定义及求法（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°o b⊂＝时，∥或θαα0b--<≤l o oαβθθ（）二面角：二面角的平面角，30180（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。
）三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
证明：·cos cos cosγθβ=AO B γ CD αθβ（为线面成角，∠，∠）θγβAOC=BOC=（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；②求异面直线BD1和AD所成的角；③求二面角C1—BD1—B1的大小。
D CA（①；②；③）arcsin arcsin346063o （3）如图ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝AD ，求面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的大小。
P FA E B（∵AB ∥DC ，P 为面PAB 与面PCD 的公共点，作PF ∥AB ，则PF 为面PCD 与面PAB 的交线……） 61. 空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，则： （1）点C 到面AB 1C 1的距离为___________； （2）点B 到面ACB 1的距离为____________；（3）直线A 1D 1到面AB 1C 1的距离为____________； （4）面AB 1C 与面A 1DC 1的距离为____________； （5）点B 到直线A 1C 1的距离为_____________。
D CAC 11162. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt SOB Rt SOE Rt BOE Rt SBE ∆∆∆∆，，和 它们各包含哪些元素？S C h C h 正棱锥侧·（——底面周长，为斜高）=12'' V 锥底面积×高=1363. 球有哪些性质？（）球心和截面圆心的连线垂直于截面122r R d =-（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。
为此，要找球心角！（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（），球球444323S R V R ==ππ（5）球内接长方体的对角线是球的直径。
正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面2积为（ ） A B C D ....34336ππππ答案：A64. 熟记下列公式了吗？[)（）直线的倾斜角，，，102212112l απααπ∈==--≠≠⎛⎝ ⎫⎭⎪k y y x x x x tan ()()()P x y P x y a k 1112221，，，是上两点，直线的方向向量，l l →= （2）直线方程：()点斜式：（存在）y y k x x k -=-00 斜截式：y kx b =+ 截距式：xay b+=1一般式：（、不同时为零）Ax By C A B ++=0()（）点，到直线：的距离30000022P x y Ax By C d Ax By C A B l ++==+++ （）到的到角公式：41122112l l tan θ=--k k k k l l 1221121与的夹角公式：tan θ=--k k k k 65. 如何判断两直线平行、垂直？ A B A B A C A C 1221122112=≠⎫⎬⎭⇔l l ∥ k k l 1212=⇒l ∥（反之不一定成立） A A B B 1212120+=⇔l l ⊥ k k 12121·⊥=-⇒l l。