阿罗不可能定理和帕累托自由悖论
福利经济学中的三个不可能性定理
万方数据条件要求社会排序必须根据个人排序得出。
５．非独裁性（砌诎ｃｔａ啪Ｋｐ）：如果对于每一组选择，某个人的偏好就是社会的偏好，而不管其他人的排序如何，这种制度就是独裁。
第五个条件要求一种制度不能够是独裁的。
（二）阿罗不可能性定理的证明阿罗（１９５１）的不可能性定理指出，同时满足公理Ａ和Ｂ，以及条件１～５的制度是不存在的。
阿罗证明的关键是决定性组（ｄｅｃｉｓｉｖｅＳｅｔ）的概念。
对于选择ｘ和选择ｙ，一组人是决定性的，如果这组人一致认为ｘ胜于ｙ，那么不管所有其他人的排序如何，社会的排序都是ｘ胜于ｙ。
也就是说，这组人关于ｘ和ｙ的一致排序就足以推导出社会对ｘ和ｙ的排序了。
首先，根据决定性组的定义，在阿罗定理的条件下，决定性组不可能由一个人组成。
对于三种选择的自由排序，如果一个人关于任意的一种选择和另一选择的排序是决定性的，那么，他对于任意一对选择的排序也是决定性的。
这样，他实际上就是一个独裁者。
所以，单个人不可能是决定性组。
其次，对于三种选择的自由排序，至少存在一个决定性组。
选择一个人数最少的决定性组Ｄ，它对于ｘ和ｙ的选择是决定性的。
将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，Ｄ１由一个人组成，Ｄ２由其他人组成。
同时，决定性组以外的人组成Ｅ。
假定个人的排序如下：Ｄ１：偏好ｘ胜于ｙ，偏好ｙ胜于ｚ；脱中的所有人：偏好ｚ胜于ｘ，偏好ｘ胜于ｙ；Ｅ中的所有人：偏好ｙ胜于ｚ，偏好ｚ胜于ｘ。
由于Ｄ对于ｘ和ｙ是决定性的，所以，社会对于ｘ和ｙ的排序应该是ｘ胜于ｙ。
关于ｚ和ｙ。
磁中的所有人偏好ｚ胜于ｙ，而Ｅ中的所有人偏好ｙ胜于ｚ。
如果社会排序是ｚ胜于ｙ，那么，Ｄ２对于ｚ和ｙ就是决定性的，这说明Ｄ２是一个比Ｄ更小的决定性组。
而这与Ｄ是一个最小的决定性组相矛盾。
因此，社会的排序只能是ｙ胜于ｚ，或者ｙ和ｚ元差异。
这样，根据传递性，社会排序应该是ｘ胜于ｚ。
但是，从所有人的偏好来看，除了Ｄ１中的一个人偏好ｘ胜于ｚ之外，社会中其他所有人都偏好ｚ胜于ｘ。
这样，关于ｚ和ｘ，Ｄ１中的这个人也是决定性的了。
简述阿罗不可能定理
简述阿罗不可能定理阿罗不可能定理，简称阿罗定理。
是指在给定正整数n，如果存在正整数N，使得对于每个自然数x， y∈n，都有n-N xy=0。
我相信，这样的定理在我们中学阶段应该都接触过吧。
阿罗不可能定理是数学史上一个很有名的事实。
但它真的有这么神奇吗？要想解决这个问题，我们首先来了解阿罗不可能定理的由来。
阿罗不可能定理是数学界最基本的定理之一，阿罗于1644年发表《数论》。
他的任务是证明所有的数都能被写成两个素数的和。
他证明了所有的正整数都能被写成两个质数的和。
如何证明的呢？一开始他仅仅考虑质数，但是随着质数个数的增加，这种做法变得越来越繁琐。
因此他便证明出：所有的偶数都可以被表示为两个质数的和。
此时人们已经无法再接受“质数比合数多”这种说法了，阿罗想必也很清楚这一点。
因此，人们通常所说的“阿罗不可能定理”其实只是指“所有的奇数都可以被表示为两个质数的和”。
当然这并没有什么错，关键在于证明方法有错。
那是不是说阿罗在证明的时候犯了错误呢？这倒不是，如果你看过《数论》这本书，就会发现阿罗在证明的时候没有采用任何的穷举法，而是使用了穷举法中的“加法原则”，即“对每个大于1的偶数N，都有N-1个小于N的偶数N-1等于N”。
但是在证明的过程中，阿罗却使用了一种非常不精确的方法。
比如，当N是两位数时，他认为这个数一定可以表示成“ 3+5”，而当N是三位数时，他又认为这个数一定可以表示成“ 3+7”。
这样做的后果就是，其实这个数完全可以表示成N-1+N，因此无论怎么表达，阿罗的证明都是正确的。
但是阿罗却将其证明成N-1+N，从而造成了阿罗的证明无效。
如果你将阿罗不可能定理放到《数论》这门课程中去讲，还可以告诉学生，证明一个定理一定要保持精确，否则你的证明会产生意想不到的结果。
同样的例子还有许多。
在证明的过程中，我们需要尽量减少计算量。
在解答的时候，也需要做好充足的准备，否则一个小小的疏忽，就有可能造成证明失败。
阿罗不可能定理
效率和公平
在福利经济学中, 最重要的两个概念就是效率 效率 (Efficiency) 和公平 (Equity) 公平 经济学意义上的效率指的是资源的配置已经达 到这样一种境地, 无论作何改变都不可能同时 使一部分人受益而其余的人不受损, 也就是说 当经济运行 已达到高效率时, 一部分人进一步 改善处境必须以另一些人处境恶化为代价 。 经济学家经常讲资源的最大效率配置就是我们 前面称为的“帕累托最优” 。
任何建立在个人偏好基础上的公众决策 机制必须满足一些基本要求： 机制必须满足一些基本要求：
集体理性：即如果所有个人的偏好具备完 备性、传递性和自反性，则任何决策机制 所导出的集体偏好也必须具备这些特性 无限制性：公众决策机制不得排斥任何形 式的个人偏好，只要该偏好具备完备性、 传递性和自反性 帕累托较优性：如果每个人都认为方案A比 方案B优越，那么集体偏好也必须认为A比 B优越 。 偏好独立性：集体偏好对A和B之间的排名 只取决于人们对这两选择之间的排名，而 跟人们对其他选择的排名无关
不同个人偏好的社会选择 消费者 A x y z 消费者 B y z x 消费者 C z x 列。可以看到大多数人偏好x胜于 y，偏好y胜于z，并且同时大多数人偏好z 胜于x。因此，通过多数投票加总消费者偏 好是行不通的。得不出一个一致性的社会 偏好顺序，这种情形被称为“投票悖论” “投票悖论” （voting parabox）
社会福利函数
社会福利函数是由柏格森最先提出，而后萨缪尔 逊、阿罗 阿罗等进行了不断补充和进一步的阐述。 阿罗 伯格森—萨缪尔逊社会福利函数可表达为： W=W（U1，U2，U3，…，Un） 社会福利函数是个人效用函数的增函数 ∂ W / ∂ U i＞ 0 即满足 （i=1，2，3，…，n）。从交 易和生产的总体均衡出发，一旦给出了上面社会 福利函数的具体形式，我们就可以得到社会福利 最大化的均衡解 。
阿罗不可能性定理
于是得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏 好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、 偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次 序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又 认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得 出合理的社会偏好次序。 阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则， 要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序， 是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能 来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于 投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是 不可能的。
4、阿罗不可能性定理-推理
阿罗认为：有关社会选择的两个公理和民主决策方式所需要的 四个条件是不相适应的。 （1）社会选择的两个公理
①连贯性（connectedness）； ②传递性（transitivity）；
（2）民主决策方式所需满足的四个条件 ①集体理性：即如果所有个人的偏好具备完备性、传递性和自反性，则 任何决策机制所导出的集体偏好也必须具备这些特性 ②无限制性：公众决策机制不得排斥任何形式的个人偏好，只要该偏好 具备完备性、传递性和自反性 ③帕累托较优性：如果每个人都认为方案A比方案B优越，那么集体偏 好也必须认为A比B优越 。 ④偏好独立性：集体偏好对A和B之间的排名只取决于人们对这两选择 之间的排名，而跟人们对其他选择的排名无关 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
公平的四种观点
平均主义 ：社会的所有成员得到同等数量 的商品。 罗尔斯主义：使境况最遭的人的效用最大化。 功利主义：使社会所有成员的总效用最大。 市场主导：市场结果是最公平的。
最后再总结一下，阿罗的不可 能性定理是指：如果众多的社 会成员具有不同的偏好，而社 会又有多种备选方案，那么在 民主的制度下不可能得到令所 有的人都满意的结果。
简述阿罗不可能定理
简述阿罗不可能定理
阿罗不可能定理是一个由著名数学家艾伦·阿罗制定的定理，它是用来证明一个系统是不可能完全准确表述某一时刻所处环境中所有相关事件发生的顺序的。
它是20世纪一个重要的数学定理，因此它被认为是在证明某些系统的实现中必须要遵守的一个重要的定理。
阿罗的不可能定理的核心是：任何一个系统中，即使不存在逻辑性错误，仍然不可能对一个定义的域作出完全准确的断言。
因为域中的相关事件的发生顺序的关系是连续的，系统也一定会存在着不确定性。
在这里，“不确定性”指的是系统在一个时刻内，不可能有完全无误地判断出三个以上事件发生的完美顺序。
在实际应用中，阿罗不可能定理也拓展到计算机科学领域，进而对计算机信息系统设计中也有着重要的影响。
它指出，只有在系统存在循环、虚拟性或者严格绝对的唯一性之后，系统才能够完全无误地判断出三个相关事件发生的顺序。
它的优势在于可以很好地减少系统的复杂性，提高信息系统的运行效率和可靠性。
总之，阿罗不可能定理对于当代的计算机科学以及信息系统设计具有重要的意义，只有在遵守此定理的基础上才能保证信息系统设计的正确性和合理性，为系统的有效管理和运行提供坚实的保证。
阿罗不可能定理
阿罗不可能定理“阿罗不可能定理”和森的“帕累托⾃由悖论”进⼀步证明了“⼀⼈⼀票”的虚伪性阿罗不可能定理源⾃孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调。
早在⼗⼋世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲⼄丙三⼈，⾯对a、b、c三个备选⽅案，有如图的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞c）⼄（b ＞ c ＞a）丙（c ＞ a ＞b）注：甲（a ＞ b ＞c）代表——甲偏好a胜于b，⼜偏好b胜于c。
但若以“⼀⼈⼀票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果。
在“⼀⼈⼀票”的投票中选民可以将⾃⼰仅有的⼀张选票投向其中⼀位候选⼈来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选⼈，选票诠释的结果是“1”和“0”，这是⾮此即彼的表达，还尚且没有⼤问题，最终可以通过对两位候选⼈获得“1”的个数加总对⽐出得票多少⽽排列出谁最受该选民群体的喜欢。
但是，当候选⼈是“三”的情况下，由于每位选民⼿中的选票只有⼀张，若将选票投向其中⼀位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，⽆法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的。
不仅如此，“⼀⼈⼀票”在候选⼈个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇⼀律的表达⽽抹杀了选民对每⼀个选择⽀的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论。
⽐如下列状况中可以给甲、⼄、丙三⼈每⼈100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c⼀定的分值，以表达偏好程度的不同。
甲（a ＞ c ＞b）. 65 25 10⼄（b ＞ a ＞c）. 50 30 20丙（c ＞ b ＞a）. 40 35 25合计：a获得65+30+25=120b获得10+50+35=95c获得25+20+40=85真实的社会偏好次序为：a ＞ b ＞c. 120 95 85⽽“⼀⼈⼀票”的投票结果若⽤分值来分析如下：甲（a ＞ c ＞b）. 100 0 0⼄（b ＞ c ＞a）. 100 0 0丙（c ＞ a ＞b）. 100 0 0完全把个⼈的社会偏好程度完全抹杀掉了，所得的社会偏好次序为：a = b = c. 100 100 100和前⾯的真实偏好是⽭盾的，所以是不科学的，⽽且是荒谬的。
阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理通俗理解阿罗不可能定理，也叫反馈控制理论不可能定理，是由美国数学家阿尔伯特·阿罗在20世纪60年代提出的一个定理。
它揭示了在反馈系统中有哪些因素是不可能同时出现的，这在工程和自然科学中有着广泛的应用。
在质量保证、自调整和稳定化的应用中，反馈系统是非常重要的一部分。
这个系统对于某些需求和行为模式进行调整和改善。
而阿罗不可能定理告诉我们哪些要素不可能同时出现，这是一个非常有用的指导。
下面，我将详细介绍阿罗不可能定理。
阿罗不可能定理，简而言之，指的是在一个反馈控制系统中，如果我们要达到某些性能要求，那么就不可能同时满足三个条件：快速响应、精确度高和无稳定误差。
这三个条件中，任意两个可以同时满足，但三个条件无法同时满足。
我们先来解释一下这三个条件：1. 快速响应：指的是系统在遭遇干扰时，能够尽快做出反应并加以纠正。
快速响应可以避免系统运行过程中出现大量的误差。
2. 精确度高：指的是系统的输出结果和期望的结果之间的误差较小。
精确度高意味着系统输出的结果比较准确。
3. 无稳定误差：指的是系统在达到稳定状态后，输出结果与期望结果的误差为零。
无稳定误差意味着系统具有足够的鲁棒性。
阿罗不可能定理的意义在于，我们必须根据实际需求做出合理的选择，并且要根据具体情况进行权衡与取舍。
如果我们强求同时满足这三个条件，系统的效果会非常不稳定，也会容易导致系统的失败。
因此，我们应该根据具体情况对条件进行权衡。
比如，如果我们要选择精确度和无稳定误差，那么我们就要放弃快速响应。
反之亦然，如果我们要选择快速响应和精确度，那么我们就要放弃无稳定误差。
总之，阿罗不可能定理为我们提供了一个非常有用的思考方式，能够引导我们在反馈系统设计中做出明智的选择。
我们应该根据具体需求，根据三个条件进行平衡，从而实现一个可靠、高效的反馈系统。
阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理通俗理解
阿罗不可能定理，也称为计算不可能定理，是20世纪30年代由英国数学家阿罗提出的一条重要定理。
该定理指出，不存在通用的计算机程序能够解决所有问题。
那么这个定理的具体含义是什么呢？简单来说，就是存在某些问题是无法被计算机解决的，而这些问题通常被称为“不可计算问题”。
这些不可计算问题往往是关于某些数学对象的性质的问题，比如判定某个数是否是素数、判定某个图形是否可彩色等等。
虽然我们可以通过手工计算得到某些特定例子的解，但是我们无法找到一种通用的方法来解决所有这类问题。
这个定理的意义在于，它限制了计算机的能力，告诉我们有些问题是无法被计算机解决的，必须寻找其他方法来解决。
同时，这个定理也推动了计算机科学的发展，促使人们不断探索新的计算方法和算法，以更好地解决各种实际问题。
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阿罗不可能定理
“阿罗不可能定理”和森的“帕累托自由悖论”进一步证明了“一人一票”的虚伪性阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调。
早在十八世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对a、b、c三个备选方案，有如图的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞c）乙（b ＞ c ＞a）丙（c ＞ a ＞b）注：甲（a ＞ b ＞c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
但若以“一人一票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果。
在“一人一票”的投票中选民可以将自己仅有的一张选票投向其中一位候选人来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选人，选票诠释的结果是“1”和“0”，这是非此即彼的表达，还尚且没有大问题，最终可以通过对两位候选人获得“1”的个数加总对比出得票多少而排列出谁最受该选民群体的喜欢。
但是，当候选人是“三”的情况下，由于每位选民手中的选票只有一张，若将选票投向其中一位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，无法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的。
不仅如此，“一人一票”在候选人个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇一律的表达而抹杀了选民对每一个选择支的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论。
比如下列状况中可以给甲、乙、丙三人每人100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c一定的分值，以表达偏好程度的不同。
甲（a ＞ c ＞b）. 65 25 10乙（b ＞ a ＞c）. 50 30 20丙（c ＞ b ＞a）. 40 35 25合计：a获得65+30+25=120b获得10+50+35=95c获得25+20+40=85真实的社会偏好次序为：a ＞ b ＞c. 120 95 85而“一人一票”的投票结果若用分值来分析如下：甲（a ＞ c ＞b）. 100 0 0乙（b ＞ c ＞a）. 100 0 0丙（c ＞ a ＞b）. 100 0 0完全把个人的社会偏好程度完全抹杀掉了，所得的社会偏好次序为：a = b = c. 100 100 100和前面的真实偏好是矛盾的，所以是不科学的，而且是荒谬的。
阿罗不可能定理
阿罗不可能定理
阿罗不可能定理是指不可能从个人偏好顺序推导出从群体偏好的顺序,阿罗证明了当一个社会中的个体数目确定时，面临不少于三种方案的选择时,不可能同时满足帕斯托雷法则。
阿罗不可能性定理“阿罗不可能定理”是对阿罗所提出的一种推论的通称。
这个推论认为,在现实中,不可能在已知社会所有成员的个人偏好次序的情况下,通过一定的程序,把各种各样的个人偏好次序归结为单一的社会偏好次序,即不可能通过一定的合理程序准确地达到合意的公共决策。
阿罗为此提出了5个公理性条件假设，一是个人偏好的充分自由性；二是社会价值观与个人价值观相一致；三是无关备选对象的独立性,即关于一对社会目标的社会偏好序不受其他目标偏好序变化的影响；四是社会偏好的非独裁性,社会选择的结果依赖于全社会个体的偏好序集合,而非某一个人或者某一个小集团的偏好；五是社会偏好的非强加性。
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阿罗不可能定理和帕累托自由悖论阿罗不可能性定理阿罗不可能性定理（Arrow's Impossibility Theorem），是指如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。
定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出阿罗不可能性定理是指，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。
定理是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思·J·阿罗提出。
发展阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。
关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。
阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候，波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski)到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算，阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念在此之前．阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。
后来，阿罗考上研究生．在哈罗德·霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组台、这正好与逻辑学上的排序概念吻台。
又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化，当考虑时间因素时，因为将来的价格是未知的厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。
知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便100种方案。
那末，问题如何解决呢，一个自然的办法是由股东(按其占有股份多少)进行投票表决，得票最多的方案获胜这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察结果轻而易举地举出了一个反例。
阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。
事实上这的确是一个十分古老的悖论，是由法国政治哲学家、概率理论家孔多塞在1785年提出的但是阿罗那时对孔多赛和其他原始材料一无所知，于是暂时放弃了进一步的研究。
这是1947年。
次年，在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会，阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣：他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。
但是一个月后，他在《政治经济学杂志》里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登，这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。
阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以严肃的经济学研究为己任，特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础他认为在除此以外的“旁门左道’中深究下去会分散他的精力。
1949年夏天，阿罗担任兰德公司(Rand)的顾问。
这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。
职员中有个名叫赫尔墨(Helmer) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究，但是有个问题令他感到十分棘手：当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的，但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他，经济学家已经考虑过这个问题，并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson)在1938年给出。
伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题，它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的，但是阿罗告诉赫尔墨，不难用序数效用概念加以重新表述。
于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。
既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，阿罗猜测也许会有其他方法。
几天的试探碰壁之后，阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。
果然，他很快就发现了这样一个结果；几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。
从1947年萌发胚芽到1950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折，千呼万唤始出来，而且颇有点无心插柳的意味。
但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩这不能不说是耐人寻味的。
内容阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。
甲（a ＞ b ＞ c）乙（b ＞ c ＞ a）丙（c ＞ a ＞ b）注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。
1.若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a ＞ b ）乙（b ＞ a ）丙（a ＞ b ），社会次序偏好为（a ＞ b ）。
2.若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（b ＞ c ）乙（b ＞ c ）丙（c ＞ b ），社会次序偏好为（b ＞ c ）。
3.若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a ＞ c ）乙（c ＞ a ）丙（c ＞ a ），社会次序偏好为（c ＞ a ）。
于是得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。
显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。
阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。
这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。
操作实务众所周知，多数原则是现代社会广泛接受的决策方法。
洛克认为“根据自然和理性的法则，大多数具有全体的权力，因而大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了”。
但很多在自然法学家那里是想当然正确的东西在社会选择理论中是需要证明的。
所谓社会选择，在数学上表达为一个建立在所有个人的偏好上的函数（或对应），该函数的性质代表了一定的价值规范，比如公民主权、全体性、匿名性、目标中性，帕累托最优性，无独裁性等。
社会选择最重要的问题是，这些价值规范之间是否是逻辑上协调的。
社会选择函数个人偏好的无限制性即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；帕累托原则即一个方案对所有人是最优的意味着相对于社会偏好序也是最优的；非相关目标独立性即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响。
经典案例假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。
三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。
但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异：甲：中餐＞西餐＞日本餐乙：日本餐＞中餐＞西餐丙：西餐＞日本餐＞中餐如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。
三个人的最终表决结果如下：中餐＞西餐，西餐＞日本餐，日本餐＞中餐。
所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的"投票悖论"（paradox of voting）。
投票悖论最早是由孔多塞(Marquis de Coudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为“孔多塞效应”，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯·阿罗。
阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。
他所说的公理指以下内容：公理1：连贯性（connectedness），在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：x大于或等于y；y大于或等于x。
公理2：传递性（transitivity）在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况： x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。
阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。
民主主义的诸条件如下：（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。
作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。
例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x＞y＞z，还是z＞y＞x，或者是y＞z ＞x，......总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。
（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。
假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x＞y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x＞y时，x＞y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。
（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。
在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x＞y＞z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x＞z的选择关系仍旧不发生改变。
（4）条件4：公民主权。
个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。
（5）条件5：非独裁。
在全体成员中，当只有特定的个人选择x＞y，其余人选择xy。
综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。
阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。
这就是阿罗不可能定理。
接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。
按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。
这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：1号：中餐＞西餐＞日本餐，2号日本餐＞中餐＞西餐，3号日本餐＞中餐＞西餐，4号日本餐＞中餐＞西餐，5号西餐＞日本餐＞中餐，6号西餐＞日本餐＞中餐，7号西餐＞日本餐＞中餐。
由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，5－7号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。
再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。
如果依照公理2的可递性来看，西餐＞日本餐，由于前面中餐＞西餐，则中餐＞日本餐。
但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。
问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。
在此情况下，只有1号的意见得到通过。