求简支梁受均布荷载跨中位移有限元分析步骤(平面梁单元)

[k ]
e
6l 12 6l 4l 2 EI e [k ] = 3 l −12 −6l 6l 2l 2
−12 6l −6l 2l 2 12 −6l 2 −6l 4l
用矩阵表示的梁端力与梁端位移的关系
Qi 12 6l −12 6l vi M 6l 4l 2 −6l 2l 2 θ i = EI i Qi l 3 −12 −6l 12 −6l vi 2 2 −6l 4l θi 6l 2l Mi
5
(5)
EI K44 K45 4 [k] = 3 l K54 K55 5
6
(6)
6
7
EI K55 K56 5 [k] = 3 l K65 K66 6
M
49 50
EI K66 K67 6 [k] = 3 l K76 K77 7
50 51
[k]
(49)
0 1 −
0 0
2 3 l l2 1 2 − 3 2 l l
δ1 1 δ 2 = N δ e − [ ] l δ3 1 δ 4 l2 0 0
[ N ] = [ N1 N 2 N 3 N 4 ]
N1 = 1 − 3x 2x + 3 l2 l
梁单元
两端承受剪力、 两端承受剪力、弯矩的平面梁单元
局部坐标下单元位移和单元力 {δ }e = [δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 ]T = [vi 单元位移
单元力
θi
Mi
vj
Qj
θ j ]T
M j]
T
{F }e = [F1
F2
F3
F4 ] = [Qi
T
d 2v M = EI dx 2 d 3v Q = EI dx 3
0 6l
0 0 0 0
O
0 0
0 0
51
荷载等效节点力向量
离散时每个单元受载作用于结点上，根据虚功原理，原荷载与结点荷 载在任何虚位移上所做的功相等。对于梁上作用的集中力或集中力矩， 在划分单元时可将其作用点取为节点，按结构的节点载荷处理。对于 不考虑自重的梁单元，忽略体积力，仅考虑分布面力的移置。
T
[ε ] = [ B ]{ δ } e
[σ ] = [D ][ε ] = [D ][B ]{δ }e
e
δ U = ∫∫∫ ([δ ] ) [ B ] [ D ][ B ][δ ] dxdydz
e T T
δ U = ([δ ] )
e T
∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ]dxdydz [δ ]
T
由于 θ =
dv dx
梁单元内一点原本有2个位移： v、θ 。 现 在仅一个位移是独立的，取 v 。
v ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x 3
dv = δ2 梁单元的边界条件 X=0时， v = δ 1 , dx dv X=L时， v = δ , = δ4 3 dx 利用位移条件求待定常数： 1 2 3 1 a = δ c = − 2 δ1 − δ 2 + δ 3 − δ 4
根据
[ F ] = [ K ][δ ]
υ1 = 0
−12 −6l 24 0 −12 6l 0 0 0 0 M 6l 2l 2 −6l 2l 2 0 0 0 0
求出各节点的结点位移
[δ ]
0 θ 1 v2 θ2 v3 θ3 M 0 θ51
ql − 2 Qi ql 2 M − e i = 12 Fpy = Q j ql − M j 2 ql 2 12
组装总荷载向量
− ql / 2 − ql 2 / 12 1 {Fpy }(1) = − ql / 2 2 2 ql / 12
51
T
ql RA − 2 2 ql − 12 ql 0 = ql 0 M RB − ql 2 ql 2 12
e l T 0
12 x − 6l EI l l (6 x − 4) = 6 ∫ [12 x − 6l l (6 x − 4) −(12 − 6l ) l (6 x − 2l )] dx 0 −(12 − 6l ) l l (6 x − 2l )
得出单元刚度矩阵
引入边界条件：
υ51 = 0
0 0 0 0 0 0 6l 0 0 2l 2 0 0 0 −12 6l 6l 2 −6l 2l 2 −6l 24 0 2l 2 0 6l 2 0 −12 −6l 0 0 0 6l 0 0 0 0 2l 2 0 0 0 0 L L 0 0 0 0 −12 −6l 24 0 0 0 0 0 0 0 0 6l 2l 2 0 O 0 0 0 0 −12 6l −6l 2l 2 −12 −6l 12 −6l 6l 2l 2 −6l 4l 2 0 0 0 0
ql RA − 12 2 6l −12 ql 2 − 6l 12 0 ql 0 0 0 EI 0 ql = l 0 M M ql RB − 2 0 ql 2 0 12
2
T
简支梁约束反力向量
{Fe } = {RA 0 0 0 0 L RB 0 }
ql 总荷载向量为： − 2 ql 2 − R A 12 0 ql 0 0 ql { F } = { F e } + { F py } = 0 + 0 0 M M R B 0 ql − 2 ql 2 12
{Fpy }( 2 )
− ql / 2 − ql 2 / 12 2 = − ql / 2 3 2 ql / 12
……
1
2
3
….
51
ql Fpy = − 2
1
−
ql 12
2
ql 0 ql 0 L
12 EI 6l [k](2) = 3 l −12 6l
−12 6l 2l 2 − 6l 2l 2 2 − 6l 12 − 6l 3 2l 2 − 6l 4l 2 6l
同理，可得出其余编码的单元的单元刚度矩阵分块为：
3
(3)
4
(4)
4
5
EI K33 K34 3 [k] = 3 l K43 K44 4
EI K4949 K4950 49 = 3 l K5049 K5050 50
[k]
(50)
EI K5050 K5051 50 = 3 l K5150 K5151 51
总刚度矩阵的编码表示为：
K11 K 21 K= M K 511
K12 L K 22 L
1
b = δ2
l l l l 2 1 2 1 d = 3 δ1 + 2 δ 2 − 3 δ 3 + 2 δ 4 l l l l
将a, b, c, d回代到
v ( x ) = a + bx + cx + dx
2
3
v = (1 x x2
1 0 x3 ) − 3 2 l 2 l2
∫ [v ] [ p ] ds = [δ ]
T s
T
Fpy
e
y py(x) x i l j
由于
v( x) = [ N ]{δ }e
e l T y
[F ] = ∫ [N ] p ( x ) dx
py 0
对于受均布荷载的平面梁单元
[F ]
py
e
=
∫ [N ]（ - q ） dx
l T 0
d 2N4 e δ 2 dx
d 2 N1 d 2 N2 [ B] = 2 dx dx2
应力矩阵
d 2 N3 dx2
d 2 N4 1 = 3 [ (12x − 6l) l(6x − 4) −(12x − 6l) l(6x − 2l)] 2 dx l
σ
b
2
6l 2l 2 0 0
3
0 0 0 0 0 0 −12
4
0 0 0 0 6l L L 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −12 −6l 24 0 0 0 6l 2l 2 0
2
51
0 0 0 0 −12 6l −6l 2l 2 −12 −6l 12 −6l 6l 2l 2 −6l 4l 2 0 0 0 0
K151 M O K 5151
对号入座，组合整体刚度矩阵，并将各个分块矩阵对应的数值代入， 组合成整体刚度矩阵
1
6l 12 6l 2l 2 −12 −6l 2 6l 2l 0 0 0 0 0 0 0 EI 0 K= 3 l M M 0 0 0 0 −12 −6l
2 3
2x x2 N 2 = x (1 − + 2) l l
3x2 2 x3 N3 = 2 − 3 l l
x2 x3 N4 = − + 2 l l
v = [ N ] δ e
d 2v d 2 N1 ε = 2 = dx dx 2