2016-2017学年四川省成都市石室中学高三(上)期中数学试卷(文科)
成都市石室外语学校数学高三上期中(含答案解析)
一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+5．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．设函数f (x )是定义在(0,+∞)上的单调函数，且对于任意正数x,y 有f (xy )=f (x )+f (y )，已知f (12)=−1，若一个各项均为正数的数列{a n }满足f (S n )=f (a n )+f (a n +1)−1(n ∈N ∗)，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }中第18项a 18=（ ） A ．136B ．9C ．18D ．368．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．139．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．910．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．211．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．已知x ，y 满足条件0{20x y xx y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16B ．－6C ．-83D ．613．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3514．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S15．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.17．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 18．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于______．19．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .20．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________. 21．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 22．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 23．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．24．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .25．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______．三、解答题26．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ．（2）若2a =，ABC △b ，c ． 27．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.28．若数列{}n a 是递增的等差数列，它的前n 项和为n T ，其中39T =，且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意*n N ∈，24n S a a ≤-恒成立，求a 的取值范围.29．D 为ABC 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACES．30．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．C 3．D 4．A 5．D 6．A 7．C 8．D 9．D 10．D 11．D 12．B 13．C 14．D二、填空题16．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要17．【解析】【分析】根据等差数列中等差中项的性质将所求的再由等差数列的求和公式转化为从而得到答案【详解】因为数列均为等差数列所以【点睛】本题考查等差中项的性质等差数列的求和公式属于中档题18．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n项和由公式可得：所以数列通项19．【解析】【分析】【详解】由题意解得或者而数列是递增的等比数列所以即所以因而数列的前项和故答案为考点：1等比数列的性质；2等比数列的前项和公式20．【解析】【分析】先化简再利用基本不等式求最小值【详解】由题得当且仅当时取等故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力解题的关键是常量代换21．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an }{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题22．【解析】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n所以设f（n）由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an＝2n∴当n≥2时an＝（an﹣an ﹣1）+（a23．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公24．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行25．【解析】试题分析：由题意由可求得交点坐标为要使直线上存在点满足约束条件如图所示可得则实数m的取值范围考点：线性规划三、解答题26．27．29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=,故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,数列{}n a 是等比数列, 则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．D解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。
2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．{2，3，4}2．（5分）已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（）A．i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i3．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．4．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，圆C：（x﹣5）2+y2=1上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是（）A．[﹣1，）B．[，]C．[，] D．[﹣1，﹣1]6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．（5分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=（）A．0 B．2 C．3 D．410．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P 两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（）A．B． C．D．12．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．1+log35 B．2+log35 C．12 D．10二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016=．14．（5分）设x，y∈R，向量，，，且，，则=．15．（5分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．16．（5分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=是“依赖函数”；②y=是“依赖函数”；③y=2x是“依赖函数”；④y=lnx是“依赖函数”；⑤y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）．g（x）是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x（x∈R）．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b．，c，若f（）=﹣，b=1，c=且a＞b，求B和C．18．（12分）求直线=1上截得的弦长．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=．（Ⅰ）求证：{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若b n=2（1﹣n）a n（n≥2，n∈N*），求证：b22+b32+…+b n2＜1．20．（12分）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．（1）设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n，B n 的表达式；（2）依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，且•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围．选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号).[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=10cosθ．曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．2016-2017学年四川省成都市经济技术开发区高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁U A）∩B=（）A．{3}B．{4}C．{3，4}D．{2，3，4}【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，所以C U A={2，4}，又因为集合B={3，4}，所以（∁U A）∩B={4}，故选：B．2．（5分）已知i是复数的虚数单位，若复数z（1+i）=|2i|，则复数z=（）A．i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵z（1+i）=|2i|=2，∴．故选：D．3．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选：B．4．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．5．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，圆C：（x﹣5）2+y2=1上的点与区域D上的点之间的距离的取值范围是（）A．[﹣1，）B．[，]C．[，] D．[﹣1，﹣1]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，O（0，0），B（0，3），联立，解得A（1，1），OC=5，AC=，BC=．∴圆C：（x﹣5）2+y2=1上的点与区域D上的点之间的距离的最小值为，最大值为，∴所求范围[，]．故选：B．6．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵=（﹣1，﹣1，1），∴=（2，2，1）．∴|PA|=|PC|=|PB1|==，|PD|=|PA1|=|PC1|=，|PB|=，|PD1|==．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．7．（5分）从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果，而满足条件的事件是a=1，b=2；a=1，b=3；a=2，b=3共有3种结果，∴由古典概型公式得到P==，故选：D．8．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A．22 B．23 C．24 D．25【解答】解：第1次执行循环体后，S==，不满足退出循环的条件，则n=12，第2次执行循环体后，S==3，不满足退出循环的条件，则n=24，第3次执行循环体后，S=≈3.1056，满足退出循环的条件，故输出的n值为24，故选：C．9．（5分）对任意的实数x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=（）A．0 B．2 C．3 D．4【解答】解：y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f（x）的图象关于x=0对称，即函数f（x）是偶函数，令x=﹣1，则f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，则f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），则函数的周期是2，又f（0）=2，则f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，10．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即=解得e==故选：D．11．（5分）点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P 两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如右图所示，那么点P所走的图形是（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可知：对于A、B，当p位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，由此即可排除A、B，对于C，其图象变化不会是对称的，由此排除C，12．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．1+log35 B．2+log35 C．12 D．10【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，∴a5a6=a4a7=9，∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1×a2×…×a10）=log3（a5a6）5==10．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016=1．=f（a n），a1=3．【解答】解：a n+1∴a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，…∴a n=，∴a2016=1．故答案为：1．14．（5分）设x，y∈R，向量，，，且，，则=15．【解答】解：∵，，∴=3x﹣6=0，3y+6=0，解得x=2，y=﹣2，∴=（2，1），=（1，﹣2）．则=9+6=15．故答案为：15．15．（5分）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．16．（5分）若函数y=f（x）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：①y=是“依赖函数”；②y=是“依赖函数”；③y=2x 是“依赖函数”；④y=lnx 是“依赖函数”；⑤y=f （x ），y=g （x ）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f （x ）．g （x ）是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是 ②③ ． 【解答】解：在①中，若x 1=2，则．此时f （x 1）f （x 2）=1可得f （x 2）=4，x 2=±2，不唯一，所以命题①错误． 在②③中，两个函数都是单调的，且函数值中没有零，每取一个x 1，方程f （x 1）f （x 2）=1都有唯一的x 2值，所以都是真命题．在④中，y=lnx 当x 1=1时，f （x 1）=0此时f （x 1）f （x 2）=1无解，所以是假命题． 在⑤中，如果f （x ）g （x ）=1，则任意x 1，都对应无数个x 2，所以命题⑤也是假命题．故答案为：②③．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（12分）已知函数f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x （x ∈R ）．（I ）求函数f （x ）的单调递增区间；（II ）△ABC 内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ．，c ，若f （）=﹣，b=1，c=且a ＞b ，求B 和C ．【解答】解：（1）f （x ）=cos （2x ﹣）﹣cos2x=sin2x ﹣cos2x=sin （2x ﹣），令2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，x ∈Z ，解得：kπ﹣≤x ≤kπ+，x ∈Z ，则函数f （x ）的递增区间为[kπ﹣，kπ+]，x ∈Z ；（2）∵f （B ）=sin （B ﹣）=﹣，∴sin （B ﹣）=﹣，∵0＜B ＜π，∴﹣＜B ﹣＜，∴B﹣=﹣，即B=，又b=1，c=，∴由正弦定理=得：sinC==，∵C为三角形的内角，∴C=或，当C=时，A=；当C=时，A=（不合题意，舍去），则B=，C=．18．（12分）求直线=1上截得的弦长．【解答】解：直线可化为将代入双曲线方程得（2+t）2﹣（t）2=1即t2﹣4t﹣6=0，∵△＞0，∴t1+t2=4，t1×t2=﹣6设直线与双曲线的交点为A、B由参数t的几何意义知|AB|=|t1﹣t2|===2∴直线=1上截得的弦长为219．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），a1=．（Ⅰ）求证：{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）若b n=2（1﹣n）a n（n≥2，n∈N*），求证：b22+b32+…+b n2＜1．【解答】解：（Ⅰ）由a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2，n∈N*），得S n﹣S n﹣1+2S n•S n﹣1=0，所以，故{}是等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以．所以（Ⅲ）所以b22+b32++b n2．20．（12分）某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．（1）设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n，B n 的表达式；（2）依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【解答】解：（1）依题设，A n=（500﹣20）+（500﹣40）+…+（500﹣20n）=490n ﹣10n2；B n=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]﹣600=500n﹣﹣100．（2）B n﹣A n=（500n﹣﹣100）﹣（490n﹣10n2）=10n2+10n﹣﹣100=10[n（n+1）﹣﹣10]．因为函数y=x（x+1）﹣﹣10在（，+∞）上为增函数，当1≤n≤3时，n（n+1）﹣﹣10≤12﹣﹣10＜0；当n≥4时，n（n+1）﹣﹣10≥20﹣﹣10＞0．∴仅当n≥4时，B n＞A n．答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）和C2：+=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，且•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围．【解答】解：（I）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为，∴，又C1的焦距为2，∴半焦距c=1．∴a2﹣b2=1，解得a2=2，b=1．∴椭圆C1的标准方程为；（II）∵C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，∴m2=n2+1，2n=2a=2，解得n2=2，m2=3，∴椭圆C2的标准方程为．（1）当直线OA的斜率k存在且k≠0时，设直线OA的方程为y=kx，联立，可得，y2=，∴|OA|2==1+．联立，可得x2=，y2=，∴|OB|2==3﹣，∵•=0，∴|AB|2=|OA|2+|OB|2=4+﹣=4﹣≥4﹣=，当且仅当时取等号，又|AB|2＜4，∴|AB|2＜4．（2）当直线OA的斜率不存在时，可得|AB|2=4．综上（1）（2）可得：|AB|2的取值范围是．选做题(请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号).[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=10cosθ．曲线C1与C2交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：在ρ=10cosθ的两边同乘以ρ，得ρ2=10ρcosθ，则曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=10x，…（3分）将曲线C1的参数方程代入上式，得（6+t）2+t2=10（6+t），整理，得t2+t﹣24=0，设这个方程的两根为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣24，所以|AB|=|t2﹣t1|==3．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（Ⅰ）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三个不同的解，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）若a=0，f（x）=|x+1|﹣|x|=，∴当x＜﹣1时，不等式即﹣1≥0，解得x∈∅．当﹣1≤x＜0时，不等式即2x+1≥0，解得x≥﹣．综合可得﹣≤x＜0．当x≥0 时，不等式即1≥0，恒成立，故不等式的解集为x≥0．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．（5分）（Ⅱ）设u（x）=|x+1|﹣|x|，则函数u（x）的图象和y=x的图象如右图：由题意易知，把函数y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．（10分）。
2017届四川省成都石室中学高三上学期期中考试文科数学
石室中学高2017届上期期中考试数学（文科）试题（时间120分钟满分150分）一、选择题：每题只有唯一正确答案，每小题5分，共50分.1.设全集U R =，集合{}{}2,05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B =（ ） A. {}02x x << B. {}02x x <≤ C. {}02x x ≤< D. {}02x x ≤≤ 2.函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是（ ）A.π2B. πC. 2πD. 4π 3.已知复数2iz x i+=-为纯虚数，其中i 虚数单位，则实数x 的值为（ ） A ． －12 B. 12C. 2D. 1 4.已知数列{}n a 是等差数列，且1472a a a π++=，则35tan()a a +的值为（ ）B.D. 5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则说法正确的是（ ）A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 6．如右图程序运行后,输出的值是（ ） A ．-4 B. 5 C. 9D. 147.设实数x和y满足约束条件1024x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y=+的最小值为（）A．26B．24C．16D．148.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（）A.15B.25C.35D.459.已知向量,a b满足3,a b==()a a b⊥+，则b在a方向上的投影为（）A．3 B．3-. C． D10.已知函数1,0()ln,0.x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩则函数[()1]y f f x=+的零点个数（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：每题5分，共25分.11.某工厂生产,,A B C三种不同型号的产品，三种产品数量之比依次为4:3:2，现采用分层抽样的方法从中抽出一个容量为n的样本，样本中A型号的产品有16件，那么此样本容量=n．12.已知等差数列{}n a中，n S为其前n项和，若13a=-，510S S=，则当nS取到最小值时n的值为_________.13.若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 cm2．14．已知函数111,[0,22()12,[,2)2xx xf xx-⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x，当1202x x≤<<时，12()()f x f x=，则12()x f x 的取值范围是 .15.已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是 .三、解答题：共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本题满分12分）已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足n n a S -=4. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设),(log 212*∈-=N n a b nn 数列}{2+n n b b 的前n 项和为n T ，求证：43<n T .17. （本小题满分12分）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且有)cos cos c B b C -=.（1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值. 18．（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是正方形，ABCD PD 底面⊥，点E 在棱PB 上. （1）求证：平面⊥AEC 平面PDB ；（2）当22==AB PD ，且31=-PED A V 时，确定点E 的位置，即求出EBPE的值.19．（本题满分12分）成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰。
2016年四川省成都七中高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={ x|x﹣1≥0}，B={ x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{ x|0≤x≤2}B．{ x|1≤x≤2}C．{1，2 }D．Φ2．（5分）式子2lg5+lg12﹣lg3=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣23．（5分）已知向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，则实数λ=（）A．0 B．±2 C．﹣2 D．24．（5分）函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R）的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数也是偶函数5．（5分）函数f（x）=sin2x+1 的周期为（）A．4πB．2πC．πD．6．（5分）函数f（x）=log2x+﹣3 的零点所在区间为（）A．（0，1） B．）（1，2 ）C．（2，3 ）D．（3，4 ）7．（5分）已知a∈R，则“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．9．（5分）下列命题成立的是（）A．∃x0∈（0，），使得sinx0cosx0=B．∀x∈[0，]，都有sinx+cosx＜C．∃x0∈（，π），使得sinx0﹣cosx0=1D．∀x∈[，]，都有sin2x≤cos2x10．（5分）在△ABC中，cosA=，cosB=，最长的边长为，则最短的边长为（）A．2 B．C．1 D．11．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，S8=4π，函数f（x）=cosx（2sinx+1），则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）的值为（）A．0 B．4πC．8πD．与a1有关12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=tanα，（0＜α＜，α≠），a n +1=（n∈N*）关于下列命题：①若α=，则a3=0；=a n（n∈N*）②对任意满足条件的角α，均有a n+3③存在α0∈（0，）∪（，），使得S3n=0④当＜α＜时，S3n＜0其中正确的命题有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知=（2，﹣1），=（1，3），则（2﹣）•=．14．（5分）已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ=．15．（5分）已知公比q≠1的正项等比数列{a n}，a3=1，函数f（x）=1+lnx，则f （a1）+f（a2）+…+f（a5）=．16．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，2015]上具有性质P．现给出如下命题：①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数；②若f（1008）=1008，则f（x）+f（2016﹣x）≥2016；③对任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]；④函数f（x）在[1，]上具有性质P．其中真命题的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）当a≠0时，解关于x的不等式f（x）≤3a2+1；（2）对任意x∈A，均有f（x）＞0，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=2x3﹣3x2﹣f′（0）x+c（c∈R），其中f（0）为函数f（x）在x=0处的导数．（1）求函数f（x）的递减区间；（2）若函数f（x）的极大值和极小值互为相反数，求函数f（x）的解析式．19．（12分）已知向量=（sinx+cosx，cosx ），=（cosx﹣sin x，sinx），x ∈[﹣，0]．（1）求||的取值范围；（2）若•=1，求x的值．20．（12分）已知数列{a n+1﹣2a n}（n∈N*）是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a2﹣b2=bc，AD为角A的平分线，且△ACD与△ABD面积之比为1：2．（1）求角A的大小；（2）若AD=，求△ABC的面积．22．（12分）已知函数f（x）=λe x﹣x2，g（x）=﹣x2+x﹣（μ＞0），其中e=2.71828…是然对数底数．（Ⅰ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数λ的取值范围；（Ⅱ）当λ=1时，求使不等式f（x）＞g（x）在一切实数上恒成立的最大正整数μ．2015-2016学年四川省成都七中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={ x|x﹣1≥0}，B={ x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{ x|0≤x≤2}B．{ x|1≤x≤2}C．{1，2 }D．Φ【解答】解：由A中不等式解得：x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B={x|1≤x≤2}，故选：B．2．（5分）式子2lg5+lg12﹣lg3=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2【解答】解：2lg5+lg12﹣lg3=2lg5+lg4=2（lg5+lg2）=2．故选：A．3．（5分）已知向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，则实数λ=（）A．0 B．±2 C．﹣2 D．2【解答】解：向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，可得4=λ2，解得λ=±2．故选：B．4．（5分）函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R）的奇偶性是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数也是偶函数【解答】解：函数f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R）的定义域为R，且f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=e x﹣e﹣x（x∈R）是奇函数．故选：A．5．（5分）函数f（x）=sin2x+1 的周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：∵f（x）=sin2x+1=+1=cos2x，∴周期T==π．故选：C．6．（5分）函数f（x）=log2x+﹣3 的零点所在区间为（）A．（0，1） B．）（1，2 ）C．（2，3 ）D．（3，4 ）【解答】解：函数f（x）=log2x+﹣3在（0，+∞）上连续，f（3）=log23+1﹣3＜0；f（4）=log24+﹣3＞0；故函数f（x）=log2x+﹣3的零点所在的区间是（3，4）．故选：D．7．（5分）已知a∈R，则“a+c＞b+d”是“a＞b且c＞d”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：令p：“a+c＞b+d”，q：“a＞b且c＞d”由于a+c＞b+d推不出a＞b且c＞d，则p⇒q为假命题；由于a＞b且c＞d，根据不等式同向可加性得到a+c＞b+d，则q⇒p为真命题．故选：B．8．（5分）已知tan（+α）=2，则sin2α=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【解答】解：∵tan（+α）==2，解得：tanα=，∴sin2α===．故选：D．9．（5分）下列命题成立的是（）A．∃x0∈（0，），使得sinx0cosx0=B．∀x∈[0，]，都有sinx+cosx＜C．∃x0∈（，π），使得sinx0﹣cosx0=1D．∀x∈[，]，都有sin2x≤cos2x【解答】解：对于A，sinx0cosx0=sin2x0，∵x0∈（0，），∴2x0∈（0，），∴sinx0cosx0∈（0，），故不正确；对于B，由A，可得sinx+cosx∈[1，]，故不正确；对于C，sinx0﹣cosx0=sin（x0﹣），∵x0∈（，π），∴x0﹣∈（，π），∴sinx0﹣cosx0∈（1，]，故不正确；对于D，sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin2x ﹣cos2x=﹣cos2x≤0，∴sin2x≤cos2x，正确．故选：D．10．（5分）在△ABC中，cosA=，cosB=，最长的边长为，则最短的边长为（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵在△ABC中，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，则tanB=，又tanA=，且C=π﹣（A+B），∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=﹣1，∵C∈（0，π），∴C为钝角，则C＞A且C＞B，∴C=，且c为最大边，则c=，sinC=，又∵tanA＞tanB，∴A＞B，则B为最小角，b为最小边，根据正弦定理得：b===1．故选：C．11．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，S8=4π，函数f（x）=cosx（2sinx+1），则f（a1）+f（a2）+…+f（a8）的值为（）A．0 B．4πC．8πD．与a1有关【解答】解：∵S8=4π，∴=4π，化为a1+a8=π．f（a1）+f（a8）=cosa1（2sina1+1）+cos（π﹣a1）（2sin（π﹣a1）+1）=cosa1（2sina1+1）﹣cosa1（2sina1+1）=0，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a8）=[（f（a1）+f（a8））+（f（a2）+f（a7））+…+（f （a8））+f（a1））]=0．故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=tanα，（0＜α＜，α≠），a n+1=（n∈N*）关于下列命题：①若α=，则a3=0；②对任意满足条件的角α，均有a n=a n（n∈N*）+3③存在α0∈（0，）∪（，），使得S3n=0④当＜α＜时，S3n＜0其中正确的命题有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：①∵a1==，∴a2==﹣，∴a3==0，因此正确；===，②对任意的a1（a1≠），a n+2a n+3==a n，∴a n+3=a n，正确；③由②的周期性可知：只要证明存在α0∈（0，）∪（，），使得S3=0即可．a2=，a3=．S3=a1+a2+a3=tanα++=，取，可得S3=0，因此正确．④当＜α＜时，．由②的周期性可知：只要证明S3＜0即可，a2=，a3=．S3=a1+a2+a3=＜0，因此正确．综上可得：①②③④都正确．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）已知=（2，﹣1），=（1，3），则（2﹣）•=11．【解答】解：；∴．故答案为：11．14．（5分）已知角α，β，γ，构成公差为的等差数列．若cosβ=﹣，则cosα+cosγ=﹣．【解答】解：∵角α，β，γ，构成公差为的等差数列∴α=β﹣，γ=β+故cosα+cosγ=cos（β﹣）+cos（β+）=2cosβcos=cosβ=﹣故答案为：﹣15．（5分）已知公比q≠1的正项等比数列{a n}，a3=1，函数f（x）=1+lnx，则f （a1）+f（a2）+…+f（a5）=5．【解答】解：由f（x）=1+lnx，得：f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=1+lna1+1+lna2+1+lna3+1+lna4+1+lna5=5+ln（a1a2a3a4a5）=5+ln，∵a3=1，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5+ln1=5．故答案为：5．16．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，2015]上具有性质P．现给出如下命题：①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数；②若f（1008）=1008，则f（x）+f（2016﹣x）≥2016；③对任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]；④函数f（x）在[1，]上具有性质P．其中真命题的序号是②③④．【解答】解：若f（x）在[a，b]上具有性质P，则函数（x）在[a，b]上不是凸函数，故：①f（x）在[1，2015]上不可能为一次函数，错误；②若f（1008）=1008，则[f（x）+f（2016﹣x）]≥f（1008）=1008，即f（x）+f（2016﹣x）≥2016，正确；③对任意x1，x2，x3，x4∈[1，2015]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，正确；④[1，]⊆[1，2015]，故函数f（x）在[1，]上一定具有性质P．故真命题的序号为：②③④，故答案为：②③④三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，函数f（x）=x2﹣2ax+1．（1）当a≠0时，解关于x的不等式f（x）≤3a2+1；（2）对任意x∈A，均有f（x）＞0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）≤3a2+1整理得x2﹣2ax﹣3a2≤0，即（x+a）（x ﹣3a）≤0，若a＞0，则解集为[﹣a，3a]，若a＜0，则解集为[3a，﹣a]．（2）A={x|1≤x≤2}，对任意的x∈[1，2]，均有x2﹣2ax+1＞0成立，即，只需，当x=1时，，所以2a＜2，即a＜1．18．（12分）已知函数f（x）=2x3﹣3x2﹣f′（0）x+c（c∈R），其中f（0）为函数f（x）在x=0处的导数．（1）求函数f（x）的递减区间；（2）若函数f（x）的极大值和极小值互为相反数，求函数f（x）的解析式．【解答】解：（1）f′（x）=6x2﹣6x﹣f′（0），令x=0得f′（0）=0﹣f′（0）⇒f′（0）=0，∴f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴函数f（x）的递减区间为（0，1）．（2）由（1）可得：函数f（x）在（﹣∞，0）上递增，在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，∴f（x）极小值=f（1）=2﹣3+c，f（x）极大值=f（0）=c，∴2﹣3+c+c=0，解得．∴f（x）=2x3﹣3x2+．19．（12分）已知向量=（sinx+cosx，cosx ），=（cosx﹣sin x，sinx），x ∈[﹣，0]．（1）求||的取值范围；（2）若•=1，求x的值．【解答】解：（1）=；∵；∴；∴；∴的取值范围是；（2）=；∵；∴；∵，∴；∴时，2x+=，即x=0．20．（12分）已知数列{a n+1﹣2a n}（n∈N*）是公比为2的等比数列，其中a1=1，a2=4．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：由已知得，…（2分）两端同除2n+1得：，所以数列是以首项为，公差为的等差数列；…（4分）（2）解：由（1）知，所以，…（6分）从而，则2S n=1•21+2•22+…+n•2n，错位相减得：，所以，…（10分） 即． …（12分）21．（12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，a 2﹣b 2=bc ，AD 为角A 的平分线，且△ACD 与△ABD 面积之比为1：2． （1）求角A 的大小； （2）若 AD=，求△ABC 的面积．【解答】（本题满分为12分） 解：（1）由a 2﹣b 2=bc 得， 由正弦及余弦定理得：，…（2分）可得：2sinAcosB=sinB +sin （A +B ），整理得sin （A ﹣B ）=sinB ，即A=2B ，…（4分） 因为AD 为角A 的平分线，且S △ACD ：S △ABD =1：2， 所以，所以，…（6分）即…（8分） （2）∵所以，…（10分） ∴． …（12分）22．（12分）已知函数f （x ）=λe x ﹣x 2，g （x ）=﹣x 2+x ﹣（μ＞0），其中e=2.71828…是然对数底数．（Ⅰ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数λ的取值范围；（Ⅱ）当λ=1时，求使不等式f（x）＞g（x）在一切实数上恒成立的最大正整数μ．【解答】解：（1）f′（x）=λe x﹣2x，据题意得f′（x）=λe x﹣2x=0有两个不同的根x1，x2，当λ≤0时，f′（x）=λe x﹣2x≤0，因此f（x）在R上递减，不合题意，∴λ＞0，又f″（x）=λe x﹣2，令f″（x）=0，解得，∴函数f′（x）=λe x﹣2x在上递减，在上递增，∴f′（x）=λe x﹣2x=0有两个不同的根，则，即，，解得．（2）当λ=1时，求使不等式f（x）＞g（x）在一切实数上恒成立，即不等式对任意x恒成立，令，∴，令h′（x）=0得，∴函数h（x）在上递减，在上递增，∴，整理得．令，易得ϕ（μ）在（2，+∞）上递减，若μ=2e2∈（14，15），ϕ（2e2）=15﹣2e2＞0，若μ=15，，所以满足条件的最大整数μ=14．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
【四川省成都七中】2016届高三上学期期中(文科)数学试卷
四川省成都七中2016届高三上学期期中（文科）数学试卷1．已知集合{}10A x x =-≥，{}220B x x x -=-≤，则AB =（ ）A ．{}02x x ≤≤B ．{}12x x ≤≤C ．{}1,2D ．∅2．式子2lg5lg12lg3+-=（ ） A ．2B ．1C ．0D ．2-3．已知向量()1,a λ=，(),4b λ=，若a b ∥，则实数λ=（ ） A ．0B ．2±C ．2-D ．24．函数()()e e x xf x x -=-∈R 的奇偶性是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数5．函数()2sin 1f x x =+的周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π26．函数()2log 33xf x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ()3,47．已知a ∈R ，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=（ ）A ．13-B ．13C ．35-D ．359．下列命题成立的是（ ）A ．0π0,4x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得001sin cos 2x x =B ．π0,4x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∀，都有sin cos x x +<C ．0π,π2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得00sin cos 1x x -=D ．3π5π,44x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有22sin cos x x ≤10．在ABC △中，cos A =cos B =） A ．2BC ．1D ．3211．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，84πS =，函数()()cos 2sin 1f x x x =+，则()()()128f a f a f a ++⋯+的值为（ ）A ．0B ．4πC ．8πD ．与1a 有关12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1tan a α=，ππ0,26αα⎛⎫<<≠ ⎪⎝⎭，)1n a n *+∈N 关于下列命题： ①若π3α=，则30a =； ②对任意满足条件的角α，均有()*3n n a a n +=∈N③存在0πππ0,,662α⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，使得30n S = ④当ππ63α<<时，30n S < 其中正确的命题有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．已知()2,1a =-，()1,3b =，则()2a b a -=_______． 14．已知角α，β，γ，构成公差为π3的等差数列．若2cos 3β=-，则cos cos αγ+=_______．15．已知公比1q ≠的正项等比数列{}n a ，31a =，函数()1ln f x x =+，则()()()125f a f a f a ++⋯+=________．16．函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意1x ，[]2,x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≤⎡+⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质P ．设()f x 在[]1,2015上具有性质P ．现给出如下命题： ①()f x 在[]1,2015上不可能为一次函数； ②若2016f f +≥；③对任意1x ，2x ，3x ，[]41,2015x ∈，有12344x x x x f +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()()()()123414f x f x f x f x ⎡+++⎤⎣⎦； ④函数()f x 在[]1,2015上具有性质P ． 其中真命题的序号是_______．17．已知集合{}2320A x x x +-=≤，函数()221f x x ax -=+．（1）当0a ≠时，解关于x 的不等式()231f x a ≤+；（2）对任意x A ∈，均有()0f x >，求实数a 的取值范围．18．已知函数()()()32230f x x x f x c c --'=+∈R ，其中()0f 为函数()f x 在0x =处的导数．（1）求函数()f x 的递减区间；（2）若函数()f x 的极大值和极小值互为相反数，求函数()f x 的解析式．19．已知向量()sin cos a x x x =+，()cos sin b x x x =-，π,08x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．（1）求A 的取值范围； （2）若1a b =，求x 的值．20．已知数列{}()*12n n a a n +-∈N 是公比为2的等比数列，其中11a =，24a =．（Ⅰ）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．21．ABC △的三内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，22a b bc -=，AD 为角A 的平分线，且ACD △与ABD △面积之比为1：2． （1）求角A 的大小；（2）若AD =，求ABC △的面积．22．已知函数()2e xf x x λ=-，()()215022g x x x μμ=-+->，其中e 2.71828=…是然对数底数． （Ⅰ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求实数λ的取值范围；（Ⅱ）当1λ=时，求使不等式()()f x g x >在一切实数上恒成立的最大正整数μ．。
【四川省成都七中】2016届高三上学期期中(文科)数学试卷
-2-/3
②若 f f 2016 ；
x x2 x3 x4 ③对任意 x1 ， x2 ， x3 ， x4 1, 2015 ，有 f 1 4
④函数 f x 在 1, 2015 上具有性质 P ． 其中真命题的序号是_______．
2 5．函数 f x sin x 1 的周期为（
B．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数 ） C． π ） C． 2, 3 ） D 3, 4 D．
A． 4 π 6．函数 f x log 2 x A． 0,1
B． 2 π
π 2
x 3 的零点所在区间为（ 3
列命题： ①若
π ，则 a3 0 ； 3
* ②对任意满足条件的角 ，均有 an 3 an n N
π ③存在 0 0, 6
④当
π π , ，使得 S3n 0 6 2
π π 时， S3n 0 6 3
） B．2 个 C．3 个 D．4 个
f a1 f a2 f a8 的值为（
A．0 B． 4 π
） C． 8 π D．与 a1 有关
an 3 π π n N 关于下 12．已知数列 an 的前 n 项和为 S n ，满足 a1 tan ， 0 , ， an 1 2 6 1 3an
1 f x1 f x2 f x3 f x4 ； 4
2 2 17．已知集合 A x x 3x 2 0 ，函数 f x x 2ax 1 ．
【数学】2016-2017年四川省成都市龙泉中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．2．（5分）若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（）A．﹣B．±C．±i D．i3．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．5．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=7．（5分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=08．（5分）函数f（x）=x3+2ax2+x在（0，+∞）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣，）C．（﹣）D．（﹣∞，0）9．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β10．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）12．（5分）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a•3n﹣2，则a2=．14．（5分）已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为．15．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．16．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD．AD ∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．20．（12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？21．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．选做题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L （P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．2016-2017学年四川省成都市龙泉中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合P={x|log2x＜﹣1}，Q={x||x|＜1}，则P∩Q=（）A． B． C．（0，1） D．【解答】解：log2x＜﹣1，即log2x＜log2，解得0＜x＜，即P=（0，），Q={x||x|＜1}=（﹣1，1）则P∩Q=（0，），故选：A．2．（5分）若复数Z的实部为1，且|Z|=2，则复数Z的虚部是（）A．﹣B．±C．±i D．i【解答】解：复数Z的实部为1，设Z=1+bi．|Z|=2，可得=2，解得b=．复数Z的虚部是．故选：B．3．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图和题意知，三棱锥的底面是等腰直角三角形，底边和底边上的高分别为、，三棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：D．4．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B 地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA=OB=2，所以AB=2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE=，所以CD=2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣=1﹣．故选：A．5．（5分）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：第一次执行循环体后，S=lg，不满足退出循环的条件，i=3；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=5；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=7；再次执行循环体后，S=，不满足退出循环的条件，i=9；再次执行循环体后，S=，满足退出循环的条件，故输出的i值为9，故选：C．6．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，可得y=sin （2x﹣）=﹣cos2x 的图象，再令2x=kπ，求得x=，k∈Z，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0，故选：A．7．（5分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=0【解答】解：设P（x，y）为直线l上的任意一点，则点P关于直线x=1的对称点为P′（2﹣x，y），代入直线2x﹣3y+4=0可得：2（2﹣x）﹣3y+4=0，化为2x+3y﹣8=0，故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+2ax2+x在（0，+∞）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣，）C．（﹣）D．（﹣∞，0）【解答】解：求导函数，可得f′（x）=3x2+4ax+1∵函数f（x）=x3+2ax2+x在（0，+∞）有两个极值点，∴方程3x2+4ax+1=0在（0，+∞）上有两个不等的根∴∴a＜﹣故选：C．9．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：对于A，根据线面垂直的性质定理，可得A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m∥n，m，n相交或异面，不正确；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，若m∥α，α⊥β，则m与β的位置关系不确定，不正确．故选：A．10．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选：A．11．（5分）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ 的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．12．（5分）设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，由||=||，可知∠F1PF2=90°∴m2+n2=4c2，∵，∴∴=故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=a•3n﹣2，则a2=12．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和S n=a•3n﹣2，分别令n=1，2，3，可得：a1=3a﹣2，a1+a2=9a﹣2，a1+a2+a3=27a﹣2，解得a1=3a﹣2，a2=6a，a3=18a，∴（6a）2=（3a﹣2）（18a），解得a=2．则a2=12．故答案为：12．14．（5分）已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为5+2．【解答】解：∵x+y﹣xy=0，∴+﹣=1，故3x+2y=（3x+2y）（+）=++5≥2+5=5+2，当且仅当=时“=”成立，故答案为：5+2．15．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故答案为：5016．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），M，N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2（k1•k2≠0），若|k1|+|k2|的最小值为1，则双曲线的离心率为．【解答】解：由题意，可设点M（p，q），N（﹣p，﹣q），P（s，t）．∴，且．两式相减得．再由斜率公式得：k1k2=．∵|k1|+|k2|根据|k1|+|k2|的最小值为1，可知，∴，故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E为AD上一点，PE⊥平面ABCD．AD ∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F为PC上一点，且CF=2FP．（Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ABF与三棱锥F﹣EBC的体积之比．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC交BE于点M，连接FM．由AD∥BC，BC=ED，得BCDE为平行四边形，则EM∥CD，∴．∴FM∥AP．∵FM⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，∴PA∥平面BEF；（Ⅱ）．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（I）∵，①当n=1时，a1=a1﹣，∴a1=1，=a n﹣1﹣，②当n≥2时，∵S n﹣1①﹣②得：a n=a n﹣a n﹣1，即：a n=3a n﹣1（n≥2），又∵a1=1，a2=3，∴对n∈N*都成立，故{a n}是等比数列，∴．（II）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．20．（12分）某高校在2009年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？【解答】解：（1）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为=0.300，频率分布直方图如图所示；（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：×6=3人；第4组：×6=2人；第5组：×6=1人．所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．（3）设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1C，A2A3，A2B1，A2B2，A2C，A3B1，A3B2，A3C，B1B2，B1C，B2C；其中第4组的2位同学B1，B2至少有一位同学入选的有：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，B1C，B2C共9种可能；所以其中第4组的2位同学B1、B2至少有一位同学入选的概率为P==．21．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．【解答】解：（Ⅰ）由题设知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g'（x）=，令g′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故（0，1）是g（x）的单调减区间．当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故（1，+∞）是g（x）的单调递增区间，因此，x=1是g（x）的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g（1）=1．（II）设，则h'（x）=﹣，当x=1时，h（1）=0，即，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（1）＜0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，即，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即．（III）由（I）知g（x）的最小值为1，所以，g（a）﹣g（x）＜，对任意x＞0，成立⇔g（a）﹣1＜，即Ina＜1，从而得0＜a＜e．选做题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，展开可得：ρ（sinθ+cosθ）=，可得直角坐标方程：x+y﹣1=0．曲线C的参数方程为：，x2=4（1+sin2t）=y，x∈．（2）直线l的参数方程为：，代入曲线C的方程可得：t﹣2=0，∴t1+t2=﹣，t1•t2=﹣2．∴|AB|=|t1﹣t2|===，|PA|•|PB|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L （P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3，（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故t min =4．法二：运用绝对值不等式性质．因为|x ﹣1|﹣|x ﹣5|≤|（x ﹣1）﹣（x ﹣5）|=4，所以t ≥4，t min =4． 故t 的最小值为：4．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
【四川省成都市石室中学】2017届高三上学期期中(文科) 数学试卷
四川省成都市石室中学2017届高三上学期期中（文科）数学试卷1．若复数z 满足i 12i z =+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()2,1D ．()2,1-2．“()23og 2l 1x -<”是“48x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1225B ．2425C ．2425-D ．1225-4．若数列{}n a 的前n 项和为2n S kn n =+，且1039a =，则100a =（ ） A ．200B ．199C ．299D ．3995．过点()4,8P 且被圆2225x y +=截得的弦长为6的直线方程是（ ） A ．34200x y -+= B ．34200x y -+=或4x = C ．4380x y -+=D ．4380x y -+=或4x =6．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △的顶点()04A ，，()0,4C -，顶点B 在椭圆221925x y+=上，则()sin sin sin A C A C++=（ ）A ．35B ．53C ．45D ．547．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n =8．若x ，y 满足42024x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，则43y z x -=-的取值范围是（ ）A ．(][),43,-∞-+∞ B ．(][),21,∞--+∞-C ．[]2,1--D ．[]4,3-9．已知函数()()sin f x x ωφ=+，()0,0πωφ><<的最小正周期是π，将函数()f x 图象向左平移π3个单位长度后所得的函数过点π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数()()sin f x x ωφ=+（ ）A ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10．在ABC △中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若EF AB AC λμ=+，则u λ+=（ ）A ．16-B ．16C ．13-D ．111．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 在棱1CC 上，且12CF FC =，P 是侧面四边形11BCC B 内一点（含边界）．若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．⎣⎦B ．⎣⎦C ．⎣⎦D ．⎣⎦12．若存在两个正实数x ，y ，使得等式()()22e ln ln 0x a y x y x +--=成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,2e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．20,e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,0,e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,,2e ⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭13．已知双曲线的一个焦点为()，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为________．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为_________．15．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则三棱锥O PAB -的体积不小于23的概率为__________． 16．定义在()0,+∞上的函数()f x 满足：（1）当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()13222f x x =--；（2）()()22f x f x =，则关于x 的函数()()2F x f x a =-的零点从小到大依次为1 x ，2x ，…，n x …2n x ，若1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则12212n n x x x x -++⋯++=_________．17．（12分）已知向量()()3sin 2,cos ,1,2cos m x x n x ==，函数()n f x m =．（1）求函数()f x 的最小正周期及在ππ,62⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域；（2）在ABC △中，若()4f A =，4b =，ABC △a 的值．18．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75．其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）先完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，以为商品好评与服务好评有关？（2）若用分层抽样的方法从“对商品好评”和“商品不满意”中抽出5次交易，再从这5次交易中选出2次，求恰有一次为“商品好评”的概率． 附临界值表：2k 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++关于商品和服务评价的22⨯列联表：19．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，1AB =，AD =E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF FG =，求点E 到平面ABG 距离．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左顶点为A ，右焦点为2F ，过点2F 作垂直于x 轴的直线交该椭圆于M 、N 两点，直线AM 的斜率为12．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若AMN △的外接圆在点M 处的切线与椭圆交于另一点D ，2F MD △的面积为67，求椭圆Γ的标准方程．21．（12分）已知函数()()()21e 12x f x x ax a -=-∈R ．（Ⅰ）当1a ≤时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当()0,x ∈+∞时，()y f x ='的图象恒在()31y ax x a x =+--的图象上方，求a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l 过点()1,0且倾斜角为α，在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为2sin 4cos 0ρθθ+=． （1）写出曲线M 的直角坐标方程及直线l 的参数方程； （2）若直线l 与曲线M 只有一个公共点，求倾斜角α的值．。
四川省成都市石室中学高三数学上学期第一次月考试题
2015-2016学年四川省成都市石室中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥03．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（5．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件6．已知集合A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a≥﹣4 C．a≤4 D．1≤a≤47．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（a+b）2类比，则有（a+b）2=a2+2a•b+b2．其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知a，b均为正数且a+b=1，则使+≥c恒成立的c的取值范围是（）A．c＞1 B．c≥0 C．c≤9 D．c＜﹣110．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，且f（﹣2）=1，f（3）=1，则不等式f（x2﹣6）＞1的解集为（）A．（2，3）B．（﹣，）C．（2，3）∪（﹣3，﹣2）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）11．命题P：不等式lg[x（1﹣x）+1]＞0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：在△ABC中，A＞B是成立的必要不充分条件，则下列说法正确的是（）A．P真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．P假q真12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=．14．已知x＞﹣3，则x+的最小值为．15．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•成都校级月考）解下列关于x的不等式：（1）；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（）18．（12分）（2010•东宝区校级模拟）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|x2﹣3x≤10}（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．19．（12分）（2012•启东市校级二模）已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．20．（12分）（2011•南通模拟）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x 的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．22．（12分）（2014春•黄山期末）已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年四川省成都市石室中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解．解答：解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；所以C U（A∩B）={1，2，4，5}，故选D点评：本题考查集合的基本运算，较简单．2．命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．解答：解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选C．点评：本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．3．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到m值即可．解答：解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点，∴即为B（1，1），当x=1，y=1时z max=3．故选C．点评：本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（考点：一元二次不等式的解法．分析：先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b 值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．解答：解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，∴a＜0，∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个根为﹣，﹣，﹣=﹣﹣，=，∴a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a＜0，∴x2﹣5x+6＜0，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，∴不等式的解集为：2＜x＜3．点评：此题主要考查不等式和方程的关系，主要考查一元二次不等式的解法．5．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则q是￢p成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：首先解不等式，然后再找出┐p和q的关系．解答：解：∵p：x≤1，¬p：x＞1，q：＜1⇒x＜0，或x＞1，故q是¬p成立的必要不充分条件，故选B．点评：找出¬p和q的关系，考查必要条件和充要条件的定义，比较简单．6．已知集合A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是（）A．a≥4 B．a≥﹣4 C．a≤4 D．1≤a≤4考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，B，利用条件A∪B=R，确定a满足的条件即可．解答：解：A={x|x2﹣a2≤0，其中a＞0}={x|﹣a≤x≤a}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，若A∪B=R，则，即，解得a≥4，故选：A．点评：本题主要考查集合的基本运算，利用条件A∪B=R，确定两个集合关系是解决本题的关键．7．若，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：不等关系与不等式．专题：证明题．分析：由条件可得 0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确．解答：解：由，可得 0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，故选 C．点评：本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出 0＞a＞b．8．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（a+b）2类比，则有（a+b）2=a2+2a•b+b2．其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：类比推理．专题：常规题型．分析：分别利用运算的法则：①利用乘方的运算法则；②利用三角函数的运算法则；③利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误．解答：解：根据乘方的运算法则知：（a+b）n≠a n+b n，①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α+β）≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知：（+）2=2+2•+2，③正确；故选B．点评：本题考查对数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．合情推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．结论的正确与否，必须经过证明．9．已知a，b均为正数且a+b=1，则使+≥c恒成立的c的取值范围是（）A．c＞1 B．c≥0 C．c≤9 D．c＜﹣1考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：+≥c恒成立⇔．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a，b均为正数且a+b=1，∴+=（a+b）=5+=9．当且仅当b=2a=．∴的最小值为9．∵+≥c恒成立，∴．∴c≤9．故选：C．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，属于基础题．10．已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，且f（﹣2）=1，f（3）=1，则不等式f（x2﹣6）＞1的解集为（）A．（2，3）B．（﹣，）C．（2，3）∪（﹣3，﹣2）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）考点：一元二次不等式的解法；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由函数y=f′（x）的图象，知x＜0时，f（x）是增函数；x＞0时，f（x）是减函数．由f（﹣2）=1，f（3）=1，不等式f（x2﹣6）＞1的解集满足{x|﹣2＜x2﹣6＜3}，由此能求出结果．解答：解：∵函数y=f′（x）的图象如图所示，∴x＜0时，f（x）是增函数；x＞0时，f（x）是减函数．∵f（﹣2）=1，f（3）=1，∴由不等式f（x2﹣6）＞1得﹣2＜x2﹣6＜3，解得﹣3＜x＜﹣2或2＜x＜3．故选C．点评：本题考查一元二次不等式的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的性质和应用．11．命题P：不等式lg[x（1﹣x）+1]＞0的解集为{x|0＜x＜1}，命题q：在△ABC中，A＞B是成立的必要不充分条件，则下列说法正确的是（）A．P真q假B．p∧q为真C．p∨q为假D．P假q真考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：此题和对数不等式与三角不等式相联系考查的是判断命题的真假问题．在解答时，对于命题P应充分考虑对数不等式的特点，先讲0变成以10为底的对数，再利用对数函数的单调性找到变量的范围，同时注意对数自身对变量的要求．对于命题Q应先对三角形式进行降幂，然后利用三角函数的单调性找到变量∠A、∠B的关系．解答：解：由命题P：不等式lg[x（1﹣x）+1]＞0，可知lg[x（1﹣x）+1]＞lg1．∴x（1﹣x）+1＞1，∴0＜x＜1，即不等式的解为{x|0＜x＜1}；所以命题P为真命题．由命题Q知，若cos2（+）＜cos2（+），即sinA＞sinB，∴A＞B；反之，在三角形中若A＞B，则必有sinA＞sinB，即cos2（+）＜cos2（+）成立，所以命题Q为假命题．故选：A．点评：此题考查的是命题真假、对数不等式和三角不等式的综合问题．在解答过程中要充分体会对数自身对变量的要求，三角恒等变换知识的应用以及命题真假判断的规律．此题属于较综合类题目，值得同学们总结归纳．12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．（﹣∞，﹣]考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m的取值范围．解答：解：因为x1∈[0，3]时，f（x1）∈[0，ln10]；x2∈[1，2]时，g（x2）∈[﹣m，﹣m]．故只需0≥﹣m⇒m≥．故选A．点评：本题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}．．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过求解一元二次不等式和绝对值的不等式化简集合A，B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：由x2+2x﹣3＜0得：﹣3＜x＜1．由|x﹣1|＜2得：﹣2＜x﹣1＜2，﹣1＜x＜3．所以A={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|﹣3＜x＜1}∩{x|﹣1＜x＜3}={x|﹣1＜x＜1}．故答案为{x|﹣1＜x＜1}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法，若|x|＜a（a＞0），则﹣a＜x＜a．考查了交集及其运算．是基础题．14．已知x＞﹣3，则x+的最小值为4﹣3 ．考点：基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得x+3＞0，可得x+=x+3+﹣3，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞﹣3，∴x+3＞0，∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3，当且仅当x+3=即x=2﹣3时取等号，故答案为：4﹣3．点评：本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．15．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上，则实数m的取值范围是（﹣∞，5）．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m 恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答：解：f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，∴m的取值范围是（﹣∞，5）．故答案为：（﹣∞，5）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，是中档题．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是②④．考点：函数的图象．专题：新定义；数形结合；函数的性质及应用．分析：利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．解答：解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足，对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①M={（x，y）|y=}，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点．所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OB⊥OA，所以①不符合题意；对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB 总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合；对于③M={（x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故③不符合题意；对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=e x﹣2}是“垂直对点集”．故答案为：②④点评：这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决．三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．（10分）（2015秋•成都校级月考）解下列关于x的不等式：（1）；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（）考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）化为：≤0，即（x﹣4）≤0，x﹣4≠0，解出即可得出解集；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（），因式分解为（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＞0，由a＞，可得a＞1﹣a，即可得出解集．解答：解：（1）化为：≤0，∴（x﹣4）≤0，x﹣4≠0，解得4＜x≤，∴不等式的解集为{x|4＜x≤}；（2）x2﹣x﹣a（a﹣1）＞0（），∴（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＞0，∵a＞，∴a＞1﹣a，∴不等式的解集为{x|x＞a，或x＜1﹣a}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2010•东宝区校级模拟）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|x2﹣3x≤10}（1）若a=3，求（∁R P）∩Q；（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．专题：分类法．分析：（1）由a=3，先求出集合P和Q，然后再求（C R P）∩Q．（2）若P≠Q，由P⊆Q，得，当P=∅，即2a+1＜a+1时，a＜0，由此能够求出实数a的取值范围．解答：解：（1）因为a=3，所以P={x|4≤x≤7}，C R P={x|x＜4或x＞7}又Q={x|x2﹣3x﹣10≤0}={x|﹣2≤x≤5}，所以（C R P）∩Q={x|x＜4或x＞7}∩{x|﹣2≤x≤5}={x|﹣2≤x＜4}（2）若P≠Q，由P⊆Q，得，解得0≤a≤2当P=∅，即2a+1＜a+1时，a＜0，此时有P=∅⊆Q综上，实数a的取值范围是：（﹣∞，2]点评：本题考查交、并、补集的混合运算，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．19．（12分）（2012•启东市校级二模）已知p：﹣x2+6x+16≥0，q：x2﹣4x+4﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p为真命题，求实数x的取值范围．（2）若p为q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．考点：充要条件；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）化简p：﹣2≤x≤8，从而得出p为真命题，实数x的取值范围．（2）化简q：2﹣m≤x≤2+m．由P是Q的充分不必要条件，知，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）∵P：﹣2≤x≤8，∴p为真命题时，实数x的取值范围[﹣2，8]．（2）Q：2﹣m≤x≤2+m∵P是Q的充分不必要条件，∴[﹣2，8]是[2﹣m，2+m]的真子集．∴∴m≥6．∴实数m的取值范围为m≥6．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．20．（12分）（2011•南通模拟）已知命题p：指数函数f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的两个实根均大于3．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．分析：根据指数函数的单调性求出命题p为真命题时a的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q为真命题时a的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p或q为真，p且q为假”转化为p q的真假，列出不等式解得．解答：解：若p真，则f（x）=（2a﹣6）x在R上单调递减，∴0＜2a﹣6＜1，且2a﹣6≠1∴3＜a＜且a≠．若q真，令f（x）=x2﹣3ax+2a2+1，则应满足∴∴a＞，又由题意应有p真q假或p假q真．①若p真q假，则，a无解．②若p假q真，则∴＜a≤3或a≥．点评：本题考查复合命题的真假与简单命题真假的关系；考查二次方程实根分布．21．（12分）（2015秋•成都校级月考）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x 的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．考点：二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x﹣m）（x﹣n），（1）m=﹣1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax ﹣an+1），根据a＞0且0＜x＜m＜n＜，分析各因式的符号，即可得到结论．解答：解：（1）由题意知，F（x）=f（x）﹣x=a（x﹣m）（x﹣n）当m=﹣1，n=2时，不等式F（x）＞0即为a（x+1）（x﹣2）＞0．当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1，或x＞2}；当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（2）f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1）∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，即0＜ax＜am＜an＜1；∴x﹣m＜0，an＜1，∴1﹣an+ax＞0∴f（x）﹣m＜0，即f（x）＜m．点评：此题是中档题．考查二次函数的两根式，以及不等式比较大小等基础知识和方法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．22．（12分）（2014春•黄山期末）已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，e]时，f（x）≤（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出f（x），然后求f′（x），找f′（x）＞0所对应的x的区间，和f′（x）＜0所对应的x的区间，这样就求出了f（x）的单调区间；（2）想着让不等式变成一边是a，另一边含x的式子，这样便于求a的取值范围．由于x∈[1，e]，所以原不等式可变成a，令g（x）=，a需满足：a≥g（x）max，所以求函数g（x）的最大值即可．可通过求导数，判断导数的符号，得出g（x）在[1，e]的单调性，从而求出g（x）的最大值，这样便求出了a的取值范围．解答：解：（1）a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，f′（x）=；∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；∴函数f（x）的单调递减区间是（0，1]，单调递增区间为（1，+∞）．（2）由已知条件得：alnx+x2≤（a+2）x，a（lnx﹣x）≤﹣x2+2x；∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取；∴lnx＜x，∴lnx﹣x＜0；∴；令g（x）=（x∈[1，e]），g′（x）=；∵x∈[1，e]，∴x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2ln2＞0；∴g′（x）≥0，∴g（x）在[1，e]上为增函数；∴g（x）在[1，e]上的最大值为：；∴a的取值范围为：．点评：本题考查通过判断导数符号来判读函数单调性，求单调区间的方法，而把（2）中的不等式变成是求解本题的关键．。
四川省成都石室中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题 含答案
石室中学高2018届2016～2017学年度上期半期考试数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若直线过点(1,1), （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°2.已知圆的方程为042422=-+-+y x y x，则圆的半径为（ ）A 。
3 B. 9 C.3D.3±3．下列命题中的假命题是( ）A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ,x 3〉0D ．∀x ∈R,2x 〉04．下列四个命题中的真命题是（ ） A ．经过定点()0,P x y 的直线都可以用方程()00y yk x x -=-表示；B ．经过任意两个不同点()111,P x y 、()222,P x y 的直线都可以用方程C ．不经过原点的直线都可以用方程1x y ab+=表示;D ．斜率存在且不为0,过点(,0)n 的直线都可以用方程x my n =+表示5．双曲线2214x y m -=的焦距为6，则m 的值是A ．6或2B ．5C ．1或9D ．3或5 6.已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是（ ）A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．“直线l 1：ax +03)1(=--y a 与直线l 2：02)32()1(=-++-y a x a 互相垂直”是“3a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.取得最小值处，在点Z y x P ),(，且在点P 直线1=+by ax 上，，则11a b+的取值 范围为（ ）A 。
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2016-2017学年四川省成都市石室中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足iz=1+2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，1） D．（2，﹣1）2．（5分）“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）若，若，则的值为（）A．B．C．D．4．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=kn2+n，且a10=39，则a100=（）A．200 B．199 C．299 D．3995．（5分）过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）A．3x﹣4y+20=0B．3x﹣4y+20=0或x=4C．4x﹣3y+8=0 D．4x﹣3y+8=0或x=46．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（）A．B．C．D．7．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=108．（5分）若x，y满足，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）C．[﹣2，﹣1] D．[﹣4，3]9．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数过点，则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增10．（5分）在△ABC中，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，若，则λ+u=（）A．B．C．D．111．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是冷BC的中点，点F在冷CC1上，且CF=2FC1，P是侧面四边形BCC1B1内一点（含边界）．若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f （log49）的值为．15．（5分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O﹣ABCD的体积不小于的概率为．16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：（1）当时，f（x）=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n…x2n，若，则x1+x2+…+x2n﹣1+x2n=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量，函数f（x）=．（1）求函数f （x ）的最小正周期及在上的值域；（2）在△ABC 中，若f （A ）=4，b=4，△ABC 的面积为，求a 的值．18．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法从“对商品好评“和“对商品不满意“中抽出5次交易，再从这5次交易中选出2次．求恰有一次为”商品好评”的概率． 附临界值表：K 2的观测值：（其中n=a +b+c +d ）关于商品和服务评价的2×2列联表：19．（12分）如图，四边形ABCD 是矩形，AB=1，，E 是AD 的中点，BE与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；（Ⅱ）若AF=FG ，求点E 到平面ABG 距离．20．（12分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线AM的斜率为．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若△AMN的外接圆在点M处的切线与椭圆交于另一点D，△F2MD的面积为，求椭圆Γ的标准方程．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l过点（1，0）且倾斜角为α，在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρsin2θ+4cosθ=0．（1）写出曲线M的直角坐标方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．2016-2017学年四川省成都市石室中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）若复数z满足iz=1+2i，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，1） D．（2，﹣1）【解答】解：z=，∴在复平面上复数z对应的点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．2．（5分）（2017•日照一模）“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：log2（2x﹣3）＜1，化为0＜2x﹣3＜2，解得．4x＞8，即22x＞23，解得x．∴“log2（2x﹣3）＜1”是“4x＞8”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）若，若，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，若，则α+为锐角，∴sin（α+）==，则=2sin（α+）cos（α+）=2••=，故选：B．4．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）若数列{a n}的前n项和为S n=kn2+n，且a10=39，则a100=（）A．200 B．199 C．299 D．399【解答】解：∵S n=kn2+n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=kn2+n﹣[k（n﹣1）2+（n﹣1）]=2kn﹣k+1，∵a10=39，∴20k﹣k+1=39，解得k=2．∴a n=4n﹣1则a100=400﹣1=399．故选：D5．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）过点P（4，8）且被圆x2+y2=25截得的弦长为6的直线方程是（）A．3x﹣4y+20=0B．3x﹣4y+20=0或x=4C．4x﹣3y+8=0 D．4x﹣3y+8=0或x=4【解答】解：圆心（0，0），r=5，圆心到弦的距离为4，若直线斜率不存在，则垂直x轴x=4，圆心到直线距离=|0﹣4|=4，成立；若斜率存在y﹣8=k（x﹣4）即：kx﹣y﹣4k+8=0则圆心到直线距离d==4，解得k=，综上：x=4和3x﹣4y+20=0，故选B．6．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．7．（5分）（2015•蒙城县校级模拟）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的a i为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50﹣12﹣12=26，故m=26故选：B．8．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）若x，y满足，则的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）C．[﹣2，﹣1] D．[﹣4，3]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点（3，4）的斜率由图象知z大于等于PA的斜率，z小于等于PB的斜率，∵A（2，1），B（4，0），∴=≥3；则=≤﹣4，即，（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）．故选：A．9．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数过点，则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+ϕ），（ω＞0，0＜ϕ＜π）的最小正周期是=π，∴ω=2．将函数f（x）图象向左平移个单位长度后所得的函数的解析式为y=sin[2（x+）+ϕ=sin（2x++ϕ），根据所得图象过点，∴sin（﹣++ϕ）=1，∴+ϕ=，即ϕ=．则函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）．在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=sin（2x+）在区间上没有单调性，故排除A、B；在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）=sin（2x+）在在区间上单调递增，故排除C，故选：D．10．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）在△ABC中，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，若，则λ+u=（）A．B．C．D．1【解答】解：不妨设△ABC为等边三角形，D是BC中点，E是AB中点，CE交AD于点F，∴F是△ABC的重心，∴==（+）=（+﹣）=﹣+，∵，∴λ=﹣，μ=，∴λ+μ=，故选：B．11．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是冷BC的中点，点F在冷CC1上，且CF=2FC1，P是侧面四边形BCC1B1内一点（含边界）．若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如下图所示：取棱B1C1的中点N，在BB1上取点M，使B1M=2BM，连接MN，连接BC1，∵N、E为所在棱的中点，B1M=2BM，CF=2FC1∴四边形MNFE为平行四边形，∴MN∥EF∴A1N∥AE，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，AM=，AN=，MN='在△A1MN中，由余弦定理求得cos∠MA1N=，⇒sin∠MA1N=．由面积相等得MN•h=A1M•A1Nsin∠MA1N⇒h=，则线段A1P长度的取值范围是[]故选：B12．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）若存在两个正实数x，y，使得等式2x+a （y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，则实数a的取值范围为（）A．B． C．D．【解答】解：由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得2x+a（y﹣2ex）ln=0，即2+a（﹣2e）ln=0，即设t=，则t＞0，则条件等价为2+a（t﹣2e）lnt=0，即（t﹣2e）lnt=﹣有解，设g（t）=（t﹣2e）lnt，g′（t）=lnt+1﹣为增函数，∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，∴当t＞e时，g′（t）＞0，当0＜t＜e时，g′（t）＜0，即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，即g（t）≥g（e）=﹣e，若（t﹣2e）lnt=﹣有解，则﹣≥﹣e，即≤e，则a＜0或a≥，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）已知双曲线的一个焦点为，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程为﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，则其焦点在x轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，又由c=2，则a2+b2=20，①其渐近线方程为y=±x，则有=，②联立①、②可得：a2=16，b2=4，故要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．14．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为﹣．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，∴当x＞0时，f（x）=﹣，∴f（log49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O﹣ABCD的体积不小于的概率为．【解答】解：由题意，四棱锥的体积为=，∵四棱锥O﹣ABCD的体积不小于，∴O到平面ABCD的距离不小于1，∴四棱锥O﹣ABCD的体积不小于的概率为．故答案为．16．（5分）（2016秋•青羊区校级期中）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：（1）当时，f（x）=|；（2）f（2x）=2f（x），则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1，x2，…，x n…x2n，若，+x2n=3×（2n﹣1）．则x1+x2+ (x2)﹣1【解答】解：f（x）=，此时f（x）∈[0，]，∵f（2x）=2f（x），∴x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1]，∴x∈[2，4）时，f（x）∈[0，2]，…以此类推，则F（x）=f（x）﹣a在区间（1，2）有2个零点，分别为x1，x2，且满足x1+x2=2×=3，依此类推：x3+x4=6，…，x2n﹣1+x2n=3×2n﹣1．如图所示：则x1+x2+ (x2)+x2n=3×（2n﹣1）．﹣1故答案为：3×（2n﹣1）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016秋•青羊区校级期中）已知向量，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的值域；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，求a的值．【解答】解：（1）向量，函数f（x）==2+sin2x+2cos2x=3+sin2x+cos2x=3+2sin（2x+），可得函数f（x）的最小正周期为=π，x∈，即有2x+∈（﹣，]，可得sin（2x+）∈（﹣，1]，则在上的值域为（2，5]；（2）在△ABC中，若f（A）=4，b=4，△ABC的面积为，可得3+2sin（2A+）=4，即sin（2A+）=，由0＜A＜π，可得＜2A+＜，可得2A +=，即A=，由=bcsinA=•4c•sin =c，解得c=1，则a2=b2+c2﹣2bccosA=16+1﹣8×=13，即a=．18．（12分）（2016秋•青羊区校级期中）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年双十一期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法从“对商品好评“和“对商品不满意“中抽出5次交易，再从这5次交易中选出2次．求恰有一次为”商品好评”的概率．附临界值表：K2的观测值：（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的2×2列联表：【解答】解：（Ι）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：…（2分）…（5分）故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…（6分）（Ⅱ）由题意，对商品好评的交易抽出3次，记为A1，A2，A3．对商品不满意的交易抽出2次，记为B1，B2，…（7分）所以，五次交易抽出两次的基本事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10件．…（10分）恰有一次为商品好评的概率为…（12分）19．（12分）（2015秋•韶关期末）如图，四边形ABCD是矩形，AB=1，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AF⊥面BEG；（Ⅱ）若AF=FG，求点E到平面ABG距离．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴△AEF∽△CBF，∴…（1分）又∵矩形ABCD中，，∴在Rt△BEA中，∴，…（2分）在△ABF中，∴∠AFB=90°，即AC⊥BE…（4分）∵GF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴AC⊥GF…（5分）又∵BE∩GF=F，BE，GF⊂平面BCE∴AF⊥平面BEG…（6分）（2）在Rt△AGF中，=在Rt△BGF中，=…（8分）在△ABG中，，BG=AB=1∴=…（10分）设点E到平面ABG的距离为d，则，…（11分）∴=…（12分）20．（12分）（2016秋•青羊区校级期中）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线AM的斜率为．（1）求椭圆Γ的离心率；（2）若△AMN的外接圆在点M处的切线与椭圆交于另一点D，△F2MD的面积为，求椭圆Γ的标准方程．【解答】解：（1）由题意M（c，），因为A（﹣a，0），所以，，e=，∴椭圆Γ的离心率为．（2）由（1）可知，a=2c，由b2=a2﹣c2=4c2﹣c2=3c2，∴椭圆方程为：，M（c，c），A（﹣2c，0），设外接圆的圆心为T（t，0），由丨TA丨=丨TM丨得（t+2c）2=（t﹣c）2+c2，解得t=﹣．k TM=，∴切线斜率k=﹣，∴∴切线方程为3x+4y﹣9c=0，代入椭圆方程消y得7x2﹣18cx+11c2=0，△=182c2﹣4×7×11c2=16c2＞0，x D=，y D=，∴丨MD丨=，F2点到CD的距离d=，由S=丨CD丨•d，得，∴c2=2，∴椭圆方程为21．（12分）（2016秋•宜城市期中）已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）当a≤1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，y=f′（x）的图象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的图象上方，求a的取值范围．【解答】解：（I）f'（x）=xe x﹣ax=x（e x﹣a）当a≤0时，e x﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x ∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜a≤1时，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）当0＜a＜1时，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（lna，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（ii）当a=1时，lna=0，f'（x）=xe x﹣ax=x（e x﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；当a=1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．（II）由（I）知f'（x）=xe x﹣ax当x∈（0，+∞）时，y=f'（x）的图象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；即xe x﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即e x﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；记g（x）=e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=e x﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=e x﹣2a；（i）当时，h'（x）=e x﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴g'（x）＞g'（0）=0；∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0，符合题意；（ii）当时，令h'（x）=0得x=ln（2a）；∴x∈（0，ln（2a））时，h'（x）＜0，∴g'（x）在（0，ln（2a））上单调递减；∴x∈（0，ln（2a））时，g'（x）＜g'（0）=0；∴g（x）在（0，ln（2a））上单调递减，∴x∈（0，ln（2a））时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意；综上可得a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•青羊区校级期中）已知直线l过点（1，0）且倾斜角为α，在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的方程为ρsin2θ+4cosθ=0．（1）写出曲线M的直角坐标方程及直线l的参数方程；（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．【解答】解：（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ+4cosθ=0得ρ2sin2θ=﹣4ρcosθ．∴y2=﹣4x即为曲线M的直角坐标方程；直线l过点（1，0）且倾斜角为α，故直线l的参数方程为（t为参数）；（2）设直线方程为y=k（x﹣1），代入y2=﹣4x，可得k2x2﹣（2k2﹣4）x+k2=0①k=0，y=0，满足题意，α=0；②，∴k=±1，∴α=或．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；caoqz；whgcn；lcb001；陈远才；qiss；danbo7801；zlzhan；双曲线；wzhlq（排名不分先后）菁优网2017年3月16日。