浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习第三章函数及其图象第五节二次函数的图象与性质同步测试含答案

第五节 二次函数的图象与性质
姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟
1．(2019·易错题)将二次函数y ＝x 2
－2x ＋3化为y ＝(x －h)2
＋k 的形式，结果为( ) A ．y ＝(x ＋1)2
＋4 B ．y ＝(x ＋1)2
＋2 C ．y ＝(x －1)2＋4
D ．y ＝(x －1)2
＋2
2．(2017·浙江丽水中考)将函数y ＝x 2
的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位
3．(2018·湖南益阳中考)已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．ac ＜0
B ．b ＜0
C ．b 2
－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＜0
4．如图是一座拱桥，当水面宽AB 为12 m 时，桥洞顶部离水面4 m ，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线表达式是y ＝－19(x －6)2
＋4，
则选取点B 为坐标原点时的抛物线表达式是_________________________．
5．(2019·改编题)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2
，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为________________________．
6．已知二次函数y ＝ax 2
－bx －2(a≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A.3
4或1 B.1
4或1 C.34或12
D.14或34
7.如图，反比例函数y ＝k x 的图象经过二次函数y ＝ax 2
＋bx 图象的顶点(－12
，m)(m>0)，则有( )
A ．a ＝b ＋2k
B ．a ＝b －2k
C ．k<b<0
D ．a<k<0
8．(2018·山东德州中考)如图，函数y ＝ax 2
－2x ＋1和y ＝ax －a(a 是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
9．(2018·浙江杭州中考)设二次函数y ＝ax 2
＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a≠0)． (1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由；
(2)若该二次函数图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；
(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.
10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．
11．(2018·四川南充中考)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点P(m ，n)．给出下列结论： ①2a＋c ＜0；
②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(1
2，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；
③关于x 的方程ax 2
＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ； ④当n ＝－1
a 时，△ABP 为等腰直角三角形．
其中正确结论是________(填写序号)．
参考答案
【基础训练】 1．D 2.D 3.B
4．y ＝－19(x ＋6)2＋4 5.y ＝x 2
＋8x ＋14
【拔高训练】 6．A 7.D 8.B
9．解：(1)由题意知Δ＝b 2
－4a[－(a ＋b)]＝b 2
＋4ab ＋4a 2
＝(2a ＋b)2
≥0， ∴该二次函数图象与x 轴的交点的个数有2个或1个． (2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0 ∴该二次函数图象不经过点C. 把点A(－1，4)，B(0，－1)分别代入得
⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2. ∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2
－2x －1. (3)证明：当x ＝2时，
m ＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0，① ∵a＋b ＜0，∴－a －b ＞0.② ①＋②得2a ＞0，∴a＞0.
10．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧32
＋3b ＋c ＝0，c ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－4，
c ＝3，
∴抛物线的表达式为y ＝x 2
－4x ＋3.
(2)方法1：如图1，过点P 作PG∥CF 交CB 于点G ，由题意知∠BCO＝∠CFE＝45°，F(0，m)，C(0，3)， ∴△CFE 和△GPE 均为等腰直角三角形， ∴EF＝
22CF ＝22(3－m)，PE ＝2
2
PG. 设x P ＝t(1<t<3)， 则PE ＝
22PG ＝2
2
(－t ＋3－t －m)
＝
22
(－m －2t ＋3)，t 2
－4t ＋3＝t ＋m ， ∴PE＋EF ＝
22(－m －2t ＋3)＋22(3－m)＝22
(－2t －2m ＋6)＝－2(t ＋m －3)＝－2(t 2
－4t)＝－2(t －2)2
＋42，
∴当t ＝2时，PE ＋EF 的最大值为4 2.
方法2：(几何法)如图2，由题易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，OC ＝OB ＝3， ∴∠OCB＝45°. 同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF 为等腰直角三角形，
以BC 为对称轴将△FCE 对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于点H ，则PE ＋EF ＝PF′＝2PH. 又PH ＝y C －y P ＝3－y P ，
∴当y P 最小时，PE ＋EF 取最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，
∴当y P ＝－1时，(PE ＋EF)max ＝2×(3＋1)＝4 2. (3)①由(1)知对称轴x ＝2，设D(2，n)，如图3.
当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 上方D 1位置时，由勾股定理得CD 2
＋BC 2
＝BD 2
， 即(2－0)2
＋(n －3)2
＋(32)2
＝(3－2)2
＋(0－n)2
，解得n ＝5；
当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 在BC 下方D 2位置时，由勾股定理得BD 2
＋BC 2
＝CD 2
， 即(2－3)2
＋(n －0)2
＋(32)2
＝(2－0)2
＋(n －3)2
，解得n ＝－1. ∴当△BCD 是以BC 为直角边的直角三角形时，D 为(2，5)或(2，－1)．
②如图4，以BC 的中点T(32，32)，1
2BC 为半径作⊙T，与对称轴x ＝2交于D 3和D 4，
由直径所对的圆周角是直角，得∠CD 3B ＝∠CD 4B ＝90°. 设D(2，m)，由DT ＝12BC ＝32
2得
(32－2)2＋(32－m)2
＝(322)2， 解得m ＝32±172
，
∴D 3(2，32＋172)，D 4(2，32－17
2)．
又由①得D 1为(2，5)，D 2(2，－1)，
∴若△BCD 是锐角三角形，D 点在线段D 1D 3或D 2D 4上时(不与端点重合)，则点D 的纵坐标的取值范围是
－1<y D <32－172或32＋17
2
<y D <5.
【培优训练】 11．②④。