武汉大学线性代数B(54学时)期末考试六套试卷(不含答案)

武汉大学数学与统计学院2007－2008第一学期一、（10分） 计算下列行列式；1. 123123123123n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a+++=+;2. 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==求四阶行列式()32112αααββ+.二、（10分）若有不全为零的数12,,,,m λλλ使1111m m m m O λαλαλβλβ+++++=成立，则12,,,m ααα线性相关，12,,,m βββ也线性相关.试讨论该结论是否正确？三、（12分）设3阶方阵200121101⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，试求：1、A 的特征值和特征向量；2、kA （k 为正整数）及其特征值和特征向量。

四、（15分）当λ为何值时，方程组123123123322,x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程组的解.五、（15分）设二次型()22212312313,,222T f x x x X AX ax x x bx x ==+-+()0,b >其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12.-1、,a b 的值；2、用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换与正交矩阵.六（18分）在四维实向量构成的线性空间4R 中,已知：12341111011100110001,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；1234111111102001100,,,a a ββββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

1、 求a 使4321,,,ββββ为4R 的基；2、 求由基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P ；3、设线性变换T 为：(),(1,2,3,4)i i i αβT ==,求T 在基1234,,,αααα下的变换矩阵C. 七（20分）1. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为,A *证明：若,A O =则A O *=；2. 设B A 和为n 阶矩阵，且满足A A =2，B B =2，n E B A r =-+)(，证明：)()(B r A r =。

武汉大学数学与统计学院2008－2009第一学期《线性代数B 》 （A 卷）一、（10分） 计算下列行列式；1. .abac ae D bdcd de bfcfef-=-- 2. 若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且四阶行列式12311223,,m n αααβααβα==试求四 阶行列式()32112αααββ+.二、（10分）设(),,,α=11021, (),,,α=-22011, (),,,α=31101, (),,,α=44131,求向量组,,, αααα1234的秩和一个极大线性无关组.三、（15分）求矩阵111111111111kk A k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩. 四、（15分）λ为何值时，方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎝⎭有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求出方程组的解.五、（15分）设二次型f x x x ax x bx x x x =+++++222123122313222经正交变换X PY =化成标准形f y y =+22232.其中：(,,)X x x x T =123,(,,)Y y y y T =123,P 为三阶正交矩阵. 试求常数,a b .六、（15分）设k A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭10101010, 讨论下面的问题: 1.当k =1时, 是否存在正交阵Q , 使得Q AQ T 为对角阵? 如果存在正交阵Q , 则Q 是否唯一?2.当k =0时, A 能否与对角阵相似（说明理由）?七（20分）设n 阶矩阵A 和B 满足条件A B AB +=，其中121201212012121B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 且123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1)ααα===。

1.求矩阵A ;2.求秩**()r A B .其中**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵；3.设123123(,,)(,,),B βββααα=求123,,βββ；4.设线性变换T 为：(),(1,2,3)i i i αβT ==,求T 在基123,,ααα下的变换矩阵C.武汉大学数学与统计学院2009－2010第二学期《线性代数B 》 （A 卷，工科54学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、(10分)已知1234567891011121010011000011000011001011A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，，求行列式T AA 及秩()r B 。

二、(15分) 已知矩阵方程11)2(--=-C A B C E T ，求矩阵A .其中1232120101230120, .0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 三、（15分）已知向量组123412342345, , , 34564567αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求向量组A 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．四、(15分）设11010,1.111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，1）求a λ，；2）求方程组Ax b =的通解.五、(15分）设α是实数n 维非零列向量，E 为n 阶单位矩阵，[2/()]T T A E αααα=-， 1）计算T A ，并回答()kE A -能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中k 为常数； 2）计算2A ，并回答()kE A -是否可逆？并说明理由，其中1k ≠±；3）给出2T E αα-（）为正交矩阵的充分必要条件。

六、(15分)在四元实向量构成的线性空间4R 中,求k 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基12341234,,,,,,ααααββββ到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α；1111k β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21121k β-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β 七、(15分) 设A 为n 阶对称矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,令=T B C AC ，证明以下命题: 1）B 为n 阶对称矩阵, 且=()()r B r A ；2）如果B 是一对角阵，C 是正交阵，且()f λ是 A 的特征多项式，则 =()f A O 。

武汉大学数学与统计学院2011－2012第一学期《线性代数B 》（A 卷，54学时）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。

一、（10分）计算行列式123123123123n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a +++=+.二、（12分） 设n 维向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T A I αα=-,1T A I x αα-=+，求实数x . 三、（16分）设10102016A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2r A =，满足2AX I A X +=+，求a 和.四、（16分）已知方程组=AX b 中222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就该方程组无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时求其通解.五、（16分）设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3；矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1).T T αα=--=--1、A 的属于特征值3的特征向量；2、矩阵A 。

六、（20分）对线性空间3R 中的向量组A ：123,,ααα和B ：123,,βββ,讨论下面的问题：1、向量组B 是否能成为3R 中的基？能否用A 线性表示B ？如果可以，试求出由123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵P ,其中1100α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2110α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3111α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；111β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a 2112β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭a 3110β-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 且a 为实数.2、若112321233123(22), (22), (22), βαααβαααβααα=+-=-+=--k k k k 是非零实数， （1）给出向量组123,,βββ线性无关的一个充要条件，并证明之； （2）给出矩阵123(),,βββ为正交阵的一个充要条件，并证明之.七、（10分）设n 阶实对称矩阵,A O ≠且其特征值全为非负数，I 为n 阶单位阵，则行列式 1.A I +>武汉大学数学与统计学院2011－2012第一学期《线性代数B 》 （A 卷，54学时）一、（10分）计算行列式123123123123n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a xa +++=+.二、（12分） 设n 维向量T x x )00(，，，， =α，矩阵T A I αα=-,1T A I x αα-=+，求实数x .三、（16分）设10102016A a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()2r A =，满足2AX I A X +=+，求a 和.四、（16分）已知方程组=AX b 中222254245λλλ--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭A ,121λ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭b ,就该方程组无解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对λ值进行讨论，并在有无穷多解时求其通解.五、（16分）设三阶实对称矩阵A 的特征值是1，2，3；矩阵A 的属于特征值1，2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1).T T αα=--=-- 1、A 的属于特征值3的特征向量； 2、矩阵A 。