专题2 平行线复习(解析版)

专题2 平行线章末重难点题型【考点1 同位角、内错角、同旁内角的判断】【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。

这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；【例1】（2019春•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（）A．∠3和∠5是同位角B．∠4和∠5是同旁内角C．∠2和∠4是对顶角D．∠2和∠5是内错角【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断．【答案】解：A、∠3和∠5是同位角，故本选项不符合题意．B、∠4和∠5是同旁内角，故本选项不符合题意．C、∠2和∠4是对顶角，故本选项不符合题意．D、∠2和∠5不是内错角，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．【变式1-1】（2019春•西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（）A．同位角、同旁内角、内错角B．同位角、内错角、同旁内角C．同位角、对顶角、同旁内角D．同位角、内错角、对顶角【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．【答案】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：B．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．【变式1-2】（2019春•闵行区期中）如图，同位角共有（）对．A．6B．5C．8D．7【分析】根据同位角的概念解答即可．【答案】解：同位角有5对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，故选：A．【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．【变式1-3】（2019春•九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（）A．∠4和∠5是同旁内角B．∠3和∠2是对顶角C．∠3和∠5是内错角D．∠1和∠5是同位角【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．【答案】解：A、∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．B、∠3和（∠1+∠2）是对顶角，故本选项错误．C、∠3和∠5是内错角，故本选项正确．D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本选项错误．故选：C．【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．【考点2 平行线公理及其推论】【方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

【例2】（2018春•城关区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．若直线a∥b，a∥c，则b∥cD．两条直线不相交就平行【分析】根据平行线的定义判断A；根据平行线的性质判断B；根据平行公理的推论判断C；根据两条直线的位置关系判断D．【答案】解：A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；B、一条直线的平行线有无数条，故本选项错误；C、若直线a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行公理的推论，故本选项正确；D、在同一平面内两条直线不相交就平行，故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．【变式2-1】（2019春•张店区期末）已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a 与直线c之间的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．平行或相交【分析】根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可．【答案】解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．故选：B．【点睛】此题主要考查了平行公理的推论，熟练记忆推论内容是解题关键．【变式2-2】（2019春•龙泉驿区期中）下列说法正确的是（）A．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥cB．a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥cD．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c【分析】根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”和“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”解答即可．【答案】解：A、正确，根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．B、错误，因为“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”．C、错误，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c则a⊥c；D、错误，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c．故选：A．【点睛】此题考查的是平行线的判定和性质定理，比较简单．【变式2-3】（2019春•邱县期末）下列语句：①不相交的两条直线叫平行线②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．【答案】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，故选：B．【点睛】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键．【考点3 利用平行线的性质求角】【方法点拨】两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补.【例3】（2019春•涧西区校级月考）如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．【答案】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠1＝38°，∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，∵GH∥EF，∴∠2＝∠AEC＝22°，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．32°【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．【答案】解：如图所示：∵AD∥FE，∴∠2＝∠3，又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠1＝32°，∴∠3＝58°，∴∠2＝58°，故选：B．【点睛】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．【变式3-2】（2018秋•襄汾县期末）如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（）A．20°B．25°C．35°D．50°【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数．【答案】解：由题意得，AB∥DE，如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，∴∠BCF+∠ABC＝180°，∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，∴∠CDE＝∠DCF＝20°．故选：A．【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．【变式3-3】（2018秋•方城县期末）将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（）A．72°B．45°C．56°D．60°【分析】根据折叠的性质得出∠C'EF＝62°，利用平行线的性质进行解答即可．【答案】解：∵一张长方形纸条ABCD折叠，∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【考点4 平行线的性质解折叠问题】【例4】（2019春•天宁区校级期中）如图a是长方形纸带，∠DEF＝26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．102°B．108°C．124°D．128°【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE＝∠DEF＝26°，根据平角定义，则∠EFC＝154°（图a），进一步求得∠BFC＝154°﹣26°＝128°（图b），进而求得∠CFE＝128°﹣26°＝102°（图c）．【答案】解：∵AD∥BC，∠DEF＝26°，∴∠BFE＝∠DEF＝26°，∴∠EFC＝154°（图a），∴∠BFC＝154°﹣26°＝128°（图b），∴∠CFE＝128°﹣26°＝102°（图c）．故选：A．【点睛】此题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．【变式4-1】（2019春•下城区期中）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C，D的位置上，EC交AD于点G，已知∠EFG＝58°，则∠BEG等于（）A．58°B．116°C．64°D．74°【分析】根据平行线的：两直线平行，内错角相等．可知∠AFE＝∠FEC＝58°，再根据EF是折痕可知∠FEG＝58°利用平角的性质就可求得所求的角．【答案】解：∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC＝58°．而EF是折痕，∴∠FEG＝∠FEC．又∵∠EFG＝58°，∴∠BEG＝180°﹣2∠FEC＝180°﹣2×58°＝64°．故选：C．【点睛】本题考查平行线的性质、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-2】（2019春•五华区校级期中）如图把一张长方形线条ABCD沿AF折叠，使D落在D′处使∠ABD＝20°，AD′∥DB则∠DAF的度数为（）A．60°B．55°C．45°D．30°【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平行线的性质求出∠DAD′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，∵∠BAD＝90°．∵∠ABD＝20°，∴∠ADB＝90°﹣20°＝70°．∵AD′∥DB，∴∠DAD′＝180°﹣70°＝110°，∴∠DAF＝∠DAD′＝55°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式4-3】（2019春•西城区校级期中）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图；（2）再沿BF折叠成图；（3）继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（）A．20°B．19°C．18°D．15°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．【答案】解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α，∵折叠9次后CF与GF重合，∴∠CFE＝9∠EFG＝9α，如图（2），∵CF∥DE，∴∠DEF+∠CFE＝180°，∴α+9α＝180°，∴α＝18°，即∠DEF＝18°．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．【考点5 平行线的判定】【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行【例5】（2019春•西湖区校级月考）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（）A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．【答案】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式5-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3＝∠4；（2）∠1＝∠2；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的判定判断即可．【答案】解：（1）∵∠3＝∠4，∴BD∥AC；（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；（3）∵∠A＝∠DCE，∴AB∥CD；（4）∵∠D+∠ABD＝180°，∴AB∥CD，故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．【变式5-2】（2019春•南关区校级月考）如图，下列条件，其中能判定AB∥CD的有（）①∠1＝∠2；②∠BAD＝∠BCD；③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；④∠BAD+∠ABC＝180°．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．【答案】解：①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；②∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD；③∵∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；④∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；∴能判定AB∥CD的有1个，故选：C．【点睛】本题考查了平行线判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．【变式5-3】（2019春•吴江区期中）以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）A．展开后测得∠1＝∠2B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4C．测得∠1＝∠2D．测得∠1＝∠2【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【答案】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确；C、测得∠1＝∠2，∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，∴不一定能判定两直线平行，故错误；D、∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．【考点6 利用平行线的判定及性质证明平行】【例6】（2019秋•涡阳县期中）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）【分析】结合图形，利用平行线的性质及判定逐步分析解答．【答案】证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题利用了平行线的判定和性质，还利用了对顶角相等，等量代换等知识．【变式6-1】（2019春•江城区期中）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？【分析】结论：AB∥DG．只要证明∠BAD＝∠2即可．【答案】解：结论：AB∥DG．理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∴AD∥EF，∴∠1＝∠BAD，∵∠1＝∠2，∴∠BAD＝∠2，∴AB∥DG．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-2】（2019春•怀宁县期末）如图，已知点A．D，B在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，试判断DE、BC有怎样的位置关系，并说明理由．【分析】由∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD可证得∠CDO＝∠E；再由∠3＝∠E得∠CDO＝∠3，即得DE ∥BC（内错角相等，两直线平行）．【答案】解：DE∥BC．证明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD（对顶角相等），∴在△AOE和△COD中，∠CDO＝∠E（三角形内角和定理）；∵∠3＝∠E，∴∠CDO＝∠3，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查平行线的判定，涉及到三角形内角和定理、对顶角等知识点．【变式6-3】（2019春•明光市期末）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请问AB与DE是否平行，并说明理由．【分析】结论：AB∥DE．首先证明EF∥BC，再证明∠B＝∠EDC即可．【答案】解：结论：AB∥DE．理由：∵∠1+∠ADC＝180°（平角的定义），又∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠ADC＝∠2（等量代换），∴EF∥DC（同位角相等两直线平行），∴∠3＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），又∵∠3＝∠B（已知），∴∠EDC＝∠B（等量代换），∴AB∥DE（同位角相等两直线平行）．【点睛】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【考点7 利用平行线的判定及性质证明角相等】【例7】如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．【分析】由BD与EF都与AC垂直，利用垂直于同一条直线的两直线平行得到BD与EF平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到DG与BC平行，利用两直线平行同位角相等即可得证．【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），∴∠3＝∠4＝90°（垂直的定义），∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠CBD（等量代换），∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行），∴∠ADG＝∠C（两直线平行，内错角相等）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．【变式7-1】（2019春•彭泽县期中）如图，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？请说明理由【分析】根据平行线的判定得出AC∥DE，根据平行线的性质得出∠CBE＝∠DEB，求出∠FBE＝∠GEB，根据平行线的判定得出BF∥EG即可．【答案】解：∠F＝∠G，理由是：∵∠ABE+∠DEB＝180°，∴AC∥ED，∴∠CBE＝∠DEB，∵∠1＝∠2，∴∠CBE﹣∠1＝∠DEB﹣∠2，即∠FBE＝∠GEB，∴BF∥EG，∴∠F＝∠G．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【变式7-2】（2019春•惠阳区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG 交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠D＝30°，求∠AED的度数．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，可证CE∥GF；（2）根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，证出AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；（3）由平行线的性质得出∠DEF＝∠D＝30°，即可得出答案．【答案】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF；（2）解：∴∠AED+∠D＝180°，理由如下：∵CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD，∴∠AED+∠D＝180°；（3）解：∵AB∥CD，∠D＝30°，∴∠DEF＝∠D＝30°，∴∠AED＝180°﹣30°＝150°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及平角的定义等知识；平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式7-3】（2019春•北流市期末）如图，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD于G，证明∠B＝∠C．【分析】先根据∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，即可得到∠1＝∠2，进而得出∠2＝∠C，判定AB∥CD，即可得到∠1＝∠B，即可得到∠B＝∠C．【答案】证明：∵BE⊥FD于G，∴∠1+∠D＝90°，又∵∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠C，∴∠2＝∠C，∴AB∥CD，∴∠1＝∠B，∴∠B＝∠C．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．【考点8 平行线中构造平行线】【例8】（2019春•普宁市期中）已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．（1）探究：如图（1）∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是；如图（2）∠P AB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是．（2）在图2中试探究∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠P AB，∠PCD之间的数量关系．【分析】（1）如图1，过P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠APC的度数；如图2，过点P 作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠APC的度数；（2）过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得出∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，进而得到∠APC＝∠APE+∠CPE，即可得到∠APC＝∠P AB+∠PCD；（3）过点P作PE∥AB，然后根据平行线的性质求解即可．【答案】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE+∠P AB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∵∠P AB＝145°，∠PCD＝135°，∴∠APC＝360°﹣145°﹣135°＝80°，如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠P AB+∠PCD＝105°；故答案为：80°；105°．（2）∠APC＝∠P AB+∠PCD．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠APE＝∠P AB，∠CPE＝∠PCD，∵∠APC＝∠APE+∠CPE，∴∠APC＝∠P AB+∠PCD；（3）如图3．∠APC＝∠PCD﹣∠P AB，如图4．∠APC＝∠P AB﹣∠PCD．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，此类题目过拐点作平行线是解题的关键．【变式8-1】（2019春•桂平市期末）（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE ＝130°，求∠C的度数；（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE 与∠C的数量关系，并说明理由．【分析】（1）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠C的度数；（2）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到180°﹣∠ABE+∠C＝120°，据此可得∠ABE与∠C的数量关系．【答案】解：（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABE＝50°，∵∠CEF＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠C＝∠2＝40°；（2）∠ABE﹣∠C＝60°，理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABE，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠C＝∠2，∵∠CEF＝∠1+∠2＝120°，即180°﹣∠ABE+∠C＝120°，∴∠ABE﹣∠C＝180°﹣120°＝60°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角．【变式8-2】（2019春•金水区校级期中）在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF 与∠FGC间的数量关系；（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD，依据∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，可求解∠1的度数；（2）过点F作FP∥AB，易得FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AEF和∠FGC转化到∠EFG上即可；（3）依据AB∥CD，可知∴∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝α﹣30°，∠CFE＝β﹣90°，即可求出α+β＝300°．【答案】解：（1）∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD．∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；（2）如图，过点F作FP∥AB，∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD．∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP．∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG．∵∠EFG＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°；（3）α+β＝300°．理由如下：∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°．即α﹣30°+β﹣90°＝180°，整理得α+β＝180°+120°＝300°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．【变式8-3】（2019春•费县期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；（1）若∠E＝60°，则∠F＝；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．【答案】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；故答案为：90°；（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，又∵∠D＝120°，∴∠DFN＝60°，∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，∴∠EFD＝∠MEF+60°，∴∠EFD＝∠BEF+30°；（3）如图2，过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，∴∠P＝15°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．【考点9 平移变换的运用】【例9】（2019春•西湖区校级月考）如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（）A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm【分析】根据平移的定义求得AA'和BC'的长，则四边形的周长即可求解．【答案】解：由题意知，BB'＝CC'＝AA'＝3cm，则四边形ABC'A'的周长＝12+3+3＝18cm．故选：B．【点睛】本题考查了平移的定义，理解平移的定义求得AA'和BC'的长是关键．【变式9-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（）A．40B．42C．45D．48【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．【答案】解：∵两个三角形大小一样，∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，由平移的性质得，DE＝AB，BE＝6，∵AB＝10，DH＝4，∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，∴阴影部分的面积＝×（6+10）×6＝48，故选：D．【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．【变式9-2】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DC 交AC于G．给出下列结论：①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等；②AD∥EC，且AD＝EC，则（）A．①，②都正确B．①正确，②错误C．①，②都错误D．①错误，②正确【分析】根据平移的性质和平行线的判定以及四边形面积公式解答即可．【答案】解：由平移可得：△ABC的面积＝△DEF的面积，所以△ABC的面积﹣△EGC的面积＝△DEF的面积﹣△EGC的面积，即四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等，故①正确；由平移可得：AD∥EC，AD＝BE，故②错误；故选：B．【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据平移的性质和平行线的判定以及四边形面积公式解答．【变式9-3】（2019•邢台二模）如图，有两条长分别为a、b的铁丝，其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形；AB是大正方形的对角线，把AB分成n条相等的线段，再以每条线段作为小正方形的对角线，长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形；若均不考虑接口情况，则a、b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，平移不改变图形的大小．【答案】解：由平移可得，n个这样的小正方形的边长与大正方形的边长相等，∴a、b的大小关系是a＝b，故选：C．【点睛】本题主要考查了平移变换的运用，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．【考点10 利用平移变换作图】【例10】（2019春•西湖区校级月考）作图题．（1）过点M作直线AC的平行线；（2）将三角形ABC平移，使得点B与点B′重合．【分析】（1）利用点A平移到M点，C点平移到N，从而得到AC∥MN；（2）利用点B和B′点的位置关系确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点A′、C′即可．【答案】解：（1）如图，MN为所作；（2）如图，△A′B′C′为所作．【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．【变式10-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC向左平移5个单位得到△DEF．（1）在正方形网格中，作出△DEF；。