初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及答案
一、二次函数
1．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．
【答案】（1）b=﹣2a，顶点D的坐标为（﹣12，﹣94a）；（2）2732748aa；（3）
2≤t＜94．
【解析】
【分析】
（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b=0，即b=-2a，
∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a（x+12）2-94a， ∴抛物线顶点D的坐标为（-12，-94a）；
（2）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），
∴0=2×1+m，解得m=-2，
∴y=2x-2，
则2222yxyaxaxa＝＝，
得ax2+（a-2）x-2a+2=0，
∴（x-1）（ax+2a-2）=0，
解得x=1或x=2a-2，
∴N点坐标为（2a-2，4a-6），
∵a＜b，即a＜-2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为122axa，
∴E（-12，-3），
∵M（1，0），N（2a-2，4a-6），
设△DMN的面积为S，
∴S=S△DEN+S△DEM=12|（ 2a-2）-1|•|-94a-（-3）|=274−3a−278a，
（3）当a=-1时，
抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-（x+12）2+94， 由222yxxyx，
-x2-x+2=-2x，
解得：x1=2，x2=-1，
∴G（-1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，-2），
设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t，
-x2-x+2=-2x+t，
x2-x-2+t=0，
△=1-4（t-2）=0，
t=94，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y=-2x+t，
t=2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜94．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
2．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件. (1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【解析】
【分析】
（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
【详解】
解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，
解得：x＝40，
60﹣40＝20元，
答：这一星期中每件童装降价20元；
（2）设利润为w，
根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．
3．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）223yxx；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22tttStttt＜＜＜或＞
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
试题解析：解（1）∵2+430xx，∴11x，23x，∵m，n是一元二次方程2+430xx的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223yxx的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴10{3bcc，∴2{3bc，∴抛物线解析式为223yxx；
（2）令y=0，则2230xx，∴11x，23x，∴C（3，0），∵223yxx=2(1)4x，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223tt），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223tt）=23tt，∴S=12PM×QF=21(3)2tt=21322tt，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=223tt﹣（t﹣3）=23tt，∴S=12PM×QF=12（23tt）=21322tt．
综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22ttttttt或．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
4．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出C、D两点的坐标
（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3;（2）C（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+2，﹣2）.
【解析】
【分析】
（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣3可得抛物线解析式．
（2）当x＝0时可求C点坐标，求出直线AB解析式，当x＝0可求D点坐标．
（3）由题意可知P点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
y＝ax2+bx﹣3可得 304233abab
解得12ab
∴y＝x2﹣2x﹣3
（2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3）
设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入
023kbkb 解得11kb
∴y＝﹣x﹣1
∴D（0，﹣1）
（3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2）
∴P点纵坐标为﹣2，
∴x2﹣2x﹣3＝﹣2
解得：x＝1±2，∵x＞0∴x＝1+2．
∴P（1+2，﹣2）
【点睛】
本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y轴交点坐标，知道点P纵坐标带入抛物线解析式可求点P的横坐标．
5．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为172m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是43 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的
2018届初三数学中考复习 二次函数 专项复习练习 含答案
2018届初三数学中考复习 二次函数 专项复习练习
1． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(
)
A．m≥－2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4
2. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是(
)
A．2a＋b＜0 B．4a＋2b＋c＞0
C．m(am＋b)＞a＋b(m为大于1的实数) D．3a＋c＜0
3. 在下列二次函数中，其图象的对象轴为x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
4. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( )
A．－3 B．－1 C．2 D．3
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则(
)
A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c C．bc＋1＝a D．以上都不是
6. 二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1
A．当n<0时，m<0 B．当n>0时，m>x2
C．当n<0时，x10时，m
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：
①2a＋b＞0；
②abc＜0；
③b2－4ac＞0；
④a＋b＋c＜0；
⑤4a－2b＋c＜0，其中正确的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
8. 将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为( )
中考数学 二次函数 培优 易错 难题练习(含答案)及详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为 ：P1（3+52，152），P2（352，1+52），P3（5+52，1+52），P4（552，152）.
【解析】
分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：
如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．
详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
2020-2021初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案
2020-2021初三数学反比例函数的专项培优练习题(含答案)含答案
一、反比例函数
1．如图，反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），直线y=﹣x+b（b≠0）与双曲线y=
在第二、四象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．
（1）求k的值；
（2）当b=﹣2时，求△OCD的面积；
（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，4），
∴k=﹣1×4=﹣4；
（2）解：当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，
∵y=0时，﹣x﹣2=0，解得x=﹣2，
∴C（﹣2，0），
∵当x=0时，y=﹣x﹣2=﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△OCD= ×2×2=2
（3）解：存在．
当y=0时，﹣x+b=0，解得x=b，则C（b，0），
∵S△ODQ=S△OCD ， ∴点Q和点C到OD的距离相等，
而Q点在第四象限，
∴Q的横坐标为﹣b，
当x=﹣b时，y=﹣x+b=2b，则Q（﹣b，2b），
∵点Q在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴﹣b•2b=﹣4，解得b=﹣ 或b= （舍去），
∴b的值为﹣ ．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k=﹣4；（2）当b=﹣2时，直线解析式为y=﹣x﹣2，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C（﹣2，0），D（0，﹣2），然后根据三角形面积公式求解；（3）先表示出C（b，0），根据三角形面积公式，由于S△ODQ=S△OCD ， 所以点Q和点C到OD的距离相等，则Q的横坐标为（﹣b，0），利用直线解析式可得到Q（﹣b，2b），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b•2b=﹣4，然后解方程即可得到满足条件的b的值．
2．如图，反比例函数y1= 的图象与一次函数y2= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4，点P（1，m）在反比例函数y1= 的图象上．
中考数学数学二次根式的专项培优练习题(及答案
一、选择题
1．下列运算中，正确的是 ( )
A．53－23=3
B．22×32=6
C．33÷3=3 D．23＋32=55
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．6232126()bababa B．（3xy）2÷（xy）=3xy
C．23aaa D．2x•3x5=6x6
3．下列运算中，正确的是( )
A．1333=3 B．(12-7)÷3=-1
C．32÷122=2 D．(2+3)×3=63
4．对于已知三角形的三条边长分别为a,b,c，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：()()()Sppapbpc，其中2abcp,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ）
A．3154
B．3152 C．352 D．354
5．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
6．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：23(23)(23)74323(23)(23)，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3535，设3535x，易知3535，故0x，由22(3535)35352(35)(35)2x，解得2x，即35352．根据以上方法，化简3263363332后的结果为（ ）
A．536 B．56 C．56 D．536
7．下列计算正确的是（ ） A．4333=1 B．23=5 C．12=22 D．322=52
8．已知最简二次根式23a与2a是同类二次根式，则a的值是（ ）
A．2 B．-1 C．3 D．-1或3
9．下列运算正确的是（ ）
A．826 B．222 C．3515 D．2739
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案
一、圆的综合
1．（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴AODBOC
∴AO=OB
（2）解：∵AB是O的直径，PA与O相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴1252BOCBAOP.
2．如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD=2∠BDC；
（2）过点C作CH⊥AB于H，交AD于E，求证：EA=EC； （3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）92DE.
【解析】
【分析】
（1）连接AD，如图1，设∠BDC=α，∠ADC=β，根据圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，由AB为⊙O直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质即可得到结论；
初三数学圆的专项培优练习题(含答案)
初三数学圆的专项培优练习题（含答案）
1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是 的中点，则下列结论不成»EB
立的是（ ）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
图一 图二 图三
2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆
的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（ ）
A．4 B． C．6 D．3323
3．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1
其中正确的是（ ）
A. ①② B.①③ C.②③ D.③④4．如图三，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径
的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．如图四，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC
交⊙O于D，∠C＝38°。点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小
是（ ）
A．19° B．38° C．52° D．76°
图四 图五
6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=，且AE：BE =1：3，则AB= 6
．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点
P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断
CD与⊙O的位置关系，并说明理由。
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)及答案
一、锐角三角函数
1．如图13，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，．
①求的值；
②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．
【答案】（1）详见解析；（2）①②和走完全程所需时间为
【解析】
试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形；（2）①构造直角三角形求；②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.
试题解析：解：（1）证明：四边形是矩形.
与交于点O,且关于对称
四边形是菱形.
（2）①连接,直线分别交于点,交于点
关于的对称图形为
在矩形中，为的中点，且O为AC的中点
为的中位线
同理可得：为的中点，
②过点P作交于点
由运动到所需的时间为3s
由①可得，
点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A
即：
由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.
如下图，当P运动到,即时，所用时间最短.
在中，设
解得：
和走完全程所需时间为
考点：菱形的判定方法；构造直角三角形求三角函数值；确定极值时动点的特殊位置
2．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO＝60º．
(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标
为 ；
(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）243x430x3331333xx3x5232S{23x1235x93543x9x
[初三数学]二次函数经典练习含答案
《二次函数》同步练习（一）
一、填空题（共40小题，每小题2分，满分80分）
1．（2分）（2009•北京）若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=
_________
．
2．（2分）（2009•安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（﹣，﹣），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．
3．（2分）（2012•新疆）当x= _________ 时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．
4．（2分）（2006•衡阳）抛物线y=（x﹣1）2+3的顶点坐标为 _________ ．
5．（2分）（2009•上海）将抛物线y=x2﹣2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是
_________ ．
6．（2分）（2006•宜宾）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确的结论是
_________ （填写序号）
7．（2分）（2009•荆门）函数y=（x﹣2）（3﹣x）取得最大值时，x= _________ ．
9．（2分）（2009•黔东南州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是 _________ ．
10．（2分）已知二次函数，当x _________ 时，y随x的增大而增大．
11．（2分）（2009•襄阳）抛物线y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 _________ ．
12．（2分）（2009•娄底）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．
13．（2分）（2012•西青区二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：
数学 二次函数的专项 培优练习题附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知直线ykx6与抛物线2yaxbxc相交于A，B两点，且点A（1，－4）为抛物线的顶点，点B在x轴上。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标。
【答案】解：（1）2yx2x3；（2）存在，P（1-132，13-12）；（3）Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）.
【解析】
【分析】
（1）已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.
（2）首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在△POB和△POC中，已知的条件是公共边OP，若OB与OC不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB，各自去掉一个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P在第二象限的限定条件.
（3）分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.
【详解】
解：（1）把A（1，﹣4）代入y＝kx﹣6，得k＝2，
∴y＝2x﹣6，
令y＝0，解得：x＝3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y＝a（x﹣1）2﹣4， 把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析
初三数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析
一、反比例函数
1．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．
（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积；
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1 ， 当k=2时，△OAB的面积记为S2 ， …，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn ， 若S1+S2+…+Sn= ，求n的值．
【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，
解 得 ， ，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）
（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，
解 得 ， ，
∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）
设直线AB的解析式为：y=mx+n，
∴
∴ ，
∴直线AB的解析式为：y=x+2
∴直线AB与y轴的交点（0，2），
∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；
（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ， 当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，
…
当k=n时，Sn= n（1+n+1）= n2+n，
∵S1+S2+…+Sn= ，
∴ ×（ …+n2）+（1+2+3+…n）= ，
整理得： ，
解得：n=6．
【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.
2．给出如下规定：两个图形G1和G2 ， 点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．