第3章 3.3 幂函数2020-2021学年高一同步备课系列(人教A版2019必修第一册)
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1
1
(1)(－0.31) 5 ，0.35 5 ；(2)1.2 2 ，1.4 2 ，1.42.
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解：(1)∵y＝x 5 为R 上的偶函数，∴(－0.31) 5 ＝0.31 5 .
6
又函数y＝x 5 为[0，＋∞)上的增函数，且0.31＜0.35，
∴0.31
6 5
＜0.35
6 5
，即(－0.31)
奇偶性 _奇__ _偶__
_偶__ _非__奇__非__偶__
_奇__
[想一想]
1．通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？ 哪个象限一定没有幂函数的图象？ 提示：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂 函数的图象．
2．当α>0时，幂函数y＝xα的图象在第一象限内有什么共同特征？ 提示：图象都是从左向右逐渐上升．
[新知初探]
知识点一 幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα叫做幂函数，其中 x示：(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数．
[做一做]
1．在函数y＝
1 x4
，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为
________． 解析：函数y＝x14＝x－4为幂函数； 函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x＋1x的图象与性质的探究
学习了幂函数的图象，类比 实数的加、减、乘、除运算，我 们对幂函数也进行了相关运算，
得到了新的函数f(x)＝x＋
1 x
，利
用计算机软件，我们绘制出它的
图象，如图．
[问题探究]
1．参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋1x的定义域、值域、
奇偶性、单调性等性质． 提示：(1)定义域：∵x≠0，∴函数f(x)＝x＋1x的定义域为{x|x≠0}； (2)函数f(x)＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－1x＝－x＋1x＝－f(x)， ∴函数f(x)＝x＋1x为奇函数； (4)单调性：由函数f(x)＝x＋1x的图象可知，函数f(x)＝x＋1x在(－∞， －1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减．
幂函数的概念
[例1] 已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函 数的解析式，并指出定义域．
[解] ∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或y＝ x0，定义域为{x|x≠0}．
幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
定义域 值域
_R__
_R__
__R__
[_0_，__＋__∞__)_
_(_－__∞__，__0_)_∪___ _(_0_，__＋__∞__)___
_R__ [_0_，__＋__∞__) __R__ _[0_，__＋ ___∞__) {y|y∈R 且y≠0}
证明：任取x1，x2∈(0， a ]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2－xa2＝(x1－x2)·1－x1ax2. 因为0<x1<x2≤ a，所以x1－x2<0,0<x1x2<a， 所以x1ax2>1，所以1－x1ax2<0， 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)． 所以f(x)在(0， a ]上为减函数． 任取x1，x2∈( a，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x1ax2.
[做一做]
1．在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是
()
解析：函数y＝x－12的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 答案：D
2．给出下列说法： ①幂函数图象均过点(1,1)； ②幂函数的图象均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图象； ④任意两个幂函数的图象最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号)． 解析：根据幂函数的图象特征可知①正确，②③④错误． 答案：①
2，y3＝
2 2
，y4＝14
，比较得y1＞y2＞y3＞y4，
则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，12，－12，－2. 答案：A
2
2．幂函数f(x)＝x 3 的大致图象为
()
2
解析：由于f(0)＝0，所以排除C、D选项．而f(－x)＝(－x) 3
3
3
2
＝ －x2＝ x2＝x 3 ＝f(x)，且f(x)的定义域为R ，所以f(x)是
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函
数；
函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数． 答案：1
2．已知f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数，则m＝________. 解析：∵函数f(x)＝(m－1)xm2＋2m是幂函数， ∴m－1＝1，即m＝2. 答案：2
解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1) 上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在 (1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大 图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数 在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3来判断．
＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
答案：A
幂函数图象及其应用
[例2] 点( 2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的 图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)． [解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵( 2 )α＝ 2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1， ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的 图象，如图所示． 由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋ ∞)时，f(x)>g(x)； (2)当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．
a x
(a<0)的定义域、值域、奇偶性、单调
性，并画出它的简图．
提示：(1)定义域：{x|x≠0}；
(2)值域：R ；
(3)奇偶性：奇函数； (4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2) ＝x1＋xa1－x2＋xa2＝(x1－x2)1－x1ax2， 因为0<x1<x2，所以x1－x2<0， 又a<0，所以1－x1ax2>0，所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋ ∞)上单调递增； 同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单 调递增．其简图如图所示．
3．已知幂函数f(x)＝xα图象过点2， 22，则f(4)＝________. 解析：∵幂函数f(x)＝xα的图象过点2， 22， ∴2α＝ 22，∴α＝－12. 即f(x)＝x－12， ∴f(4)＝4－12＝12. 答案：12
知识点二 幂函数的图象与性质 1．五种常见幂函数的图象
2．五类幂函数的性质
所以3m－＋21m≥≥00，， 3－2m＞m＋1，
解得－1≤m＜23.
故实数m的取值范围为－1，23.
3．已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞) 时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式． 解：∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数， ∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当 x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小； 当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当 x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去． ∴y＝x－3(x≠0)．
[跟踪训练]
1.如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取12，
2，－2，－
1 2
这四个值，则与曲线C1，C2，
C3，C4相对应的n依次为
()
A．2，12，－12，－2
B．－2，－12，12，2
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－12
解析：法一：曲线C1，C2过点(0,0)，(1,1)，且在第一象限内为增
6 5
＜0.3565.
1
(2)∵y＝x 2 在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
1
1
1
1
1
∴1.2 2 <1.4 2 .易知1.4 2 <1.42，∴1.2 2 <1.4 2 <1.42.
1
1
2．若(3－2m) 2 ＞(m＋1) 2 ，求实数m的取值范围．
1
解：因为y＝x 2 在定义域[0，＋∞)上是增函数，
因为x1－x2<0，x1x2>a， 所以x1ax2<1，所以1－x1ax2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0， 所以f(x1)<f(x2)． 所以f(x)在( a，＋∞)上为增函数． 同理，f(x)在(－∞，－ a )上为增函 数，在(－ a，0)上为减函数． 其图象如图所示．
3．试探究函数f(x)＝x＋
[名师点津]
观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函 数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将 直角坐标平面的第一象限在直线x＝1的右侧部分分为 (Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示，若α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图 象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0,1)⇔y＝xα的图象 经过区域(Ⅱ)；若α∈(－∞，0)⇔y＝xα的 图象经过区域(Ⅲ)，并且在直线x＝1的右 侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到 大递增，即“指大图高”“指小图低”．
2020.12.1人教版高一3.3 幂函数教学设计
课题：3.3 幂函数授课教师：班级：指导教师：时间：地点：一、教材内容分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第3节《幂函数》，幂函数是高中数学中的四大基本初等函数(另外的三个基本初等函数是指数函数、对数函数、三角函数)之一，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前的函数，确立利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性研究一个函数的意识.因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，同时也是为后面继续研究其他的基本初等函数打基础.在考试中单独考查幂函数的情形并不多见，更多的是和其他函数知识相结合进行综合性的考查.本节内容所涉及的主要核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学运算以及直观想象.二、教学目标解析通过对教材中5个实例的学习，体会幂函数的特点，引入本课内容.3.内容与节点本课时内容是幂函数，是在高中数学学习过程中接触的第一类基本初等函数.本节内容的学习涉及前面学习的函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等内容.通过对幂函数的学习，让学生掌握研究一类函数的通法，为后面继续学习其他类型的函数打下坚实的基础.4.过程与方法通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图能力以及数形结合的意识和思想，提升直观想象、数学抽象和数学运算核心素养.三、学情诊断分析学生在初中已经学习了y=x、y=x2与y=x-1三个简单的幂函数，对它们的图象和性质有了一定的感性认识，具备了一定的知识基础.同时，通过在前面对函数的进一步学习，以及对函数单调性、奇偶性的研究，学生已初步形成对数学问题的合作探究能力.虽然学生已经学会用描点法画函数的图象，但对于幂函数的图象画法仍然缺乏感性认识.四、教学重点难点1.重点:幂函数的概念，从五个具体的幂函数中认识幂函数的图象和性质.2.难点:从五个具体的幂函数图象中概括出幂函数的性质.五、教学策略分析本节课采用探究式教学；在教学活动设计上，采用教师引导与学生探究相结合，借助直观、便捷的信息技术，着力培养学生研究函数的能力，类比与归纳推理的思维能力.六、教学过程设计学生对比定义，得出答案.引导学生自己动手，在同坐标系中画出这5个函数的图象，并观察图象.教师利用《GeoGebra》软件画出这5个函数的图象并展示.3.3 幂函数问题1 问题2 定义例题问题3 问题4 图象练习问题5 性质（填表）作业八、教学反思。
(新)人教高中数学A版必修一第三章第3节《幂函数》优质说课稿
（新）人教高中数学A版必修一第三章第3节《幂函数》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修一的第三章第3节《幂函数》。
第三章主要讲函数的概念与性质。
客观世界中有各种各样的运动变化现象.所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.随着学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具;函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进步学习数学的重要基础.同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要基础.本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法.在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法.本节主要讲幂函数。
本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．函数概念与性质：本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
二、教材分析。
“幂函数”的内容安排在“函数的概念与性质”一章的第3节，是在学习完一般函数的概念以及函数的基本性质后，选取一类简单的基本初等函数进行研究，使学生理解一类具体函数的研究内容（定义、表示——图象与性质——应用）和方法，在研究过程中帮助学生进一步体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究.幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础.三、说教学目标和核心素养。
2021年高中数学.3幂函数教案新人教A版必修1
2021年高中数学2.3幂函数教案新人教A版必修1[教学目标]：[知识与技能] 通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．[过程与方法] 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．[情感、态度、价值观] 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．[教学重点]：[重点] 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．[难点] 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．幂函数性质的初步应用．教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如的函数，其中是自变量，是常数．生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．[解] ○1列表（略）○2图象师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．尝试练习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1），；（2），；（3），；（4），．2．作出函数的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数和函数的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）；（2）．探究与发现1．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）和；（2）和．规律1：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称．作业回馈1．在函数1,,2,1222=+===yxxyxyxy中，幂函数的个数为：A．0 B．1 C．2 D．3。
高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数教学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册
3.3 幂函数(教师独具内容)课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题．教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质． 教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题．【知识导学】知识点一 幂函数的概念一般地，函数□01y ＝x α叫做幂函数(power function)，其中□02x 是自变量，□03α是常数． 知识点二 一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12 的图象(如图)．知识点三 一些常用幂函数的性质【新知拓展】1．幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限接近y 轴，当x 从原点趋向于＋∞时，图象在x 轴上方无限接近x 轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y 轴．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3＋2是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( ) (3)幂函数y ＝x α的定义域为R ，与指数无关．( )(4)当x ＞1时，函数y ＝x 2的图象总在函数y ＝x 3的图象的下方．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________.(2)已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2,8)，则f (－2)＝________.(3)若y ＝ax a 2－12是幂函数，则该函数的值域是________．答案 (1)3 (2)－8 (3)[0，＋∞)题型一幂函数的定义例1 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}． 金版点睛判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足：①指数α为常数；②底数x 为自变量；③系数为1.[跟踪训练1] (1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2－4m ＋4)x 1m －1 ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值． 答案 (1)B (2)见解析解析 (1)y ＝1x2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于系数是2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＋4＝1，m －1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝32，所以m ＝3，n ＝32.题型二幂函数的图象及应用例2 幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 12 ，y ＝x －12 在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1，C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3[解析] 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图象为C 4，y ＝x 12 在第一象限内的图象为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图象为C 3.[答案] D 金版点睛解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．[跟踪训练2] (1)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1 (2)已知函数y ＝|x |. ①求定义域； ②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝|x |，定义域为实数集R .②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝|－x |＝|x |＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝|x |是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝|x |的图象，如图所示．根据图象易知，函数y ＝|x |在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0]上单调递减.题型三幂函数的性质及应用例3 比较下列各题中两个值的大小： (1)2.3 12 ，2.4 12； (2)(2)－12 ，(3)－12； (3)(－0.31)2,0.352.[解] (1)∵y ＝x 12 在[0，＋∞)上单调递增，且2.3<2.4，∴2.3 12 <2.4 12. (2)∵y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减，且2<3，∴(2)－12 >(3)－12.(3)∵y ＝x 2为R 上的偶函数，∴(－0.31)2＝0.312. 又函数y ＝x 2在[0，＋∞)上单调递增，且0.31<0.35， ∴0.312<0.352，即(－0.31)2<0.352. 金版点睛比较幂值大小的方法比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题．例4 若(3－2m ) 12 >(m ＋1) 12，某某数m 的取值X 围． [解] 因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 金版点睛利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数X 围，注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3] (1)比较下列各组数的大小：①⎝ ⎛⎭⎪⎫23 12 与⎝ ⎛⎭⎪⎫35 12 ；②－3.143与－π3； (2)已知幂函数y ＝(m 2＋m －5)x m 2－2m －3，当x ∈(0，＋∞)时，y 随x 的增大而减小，求此幂函数的解析式．解 (1)①∵y ＝x 12 在[0，＋∞)上单调递增，且23>35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23 12 >⎝ ⎛⎭⎪⎫35 12 . ②∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3. (2)∵y ＝(m 2＋m －5)xm 2－2m －3是幂函数，∴m 2＋m －5＝1，即(m －2)(m ＋3)＝0， ∴m ＝2或m ＝－3.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，y ＝x －3是幂函数，且满足当x ∈(0，＋∞)时，y 随x 的增大而减小；当m ＝－3时，m 2－2m －3＝12，y ＝x 12是幂函数，但不满足当x ∈(0，＋∞)时，y 随x 的增大而减小，故舍去．∴y ＝x －3(x ≠0)．1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝5xD ．y ＝(x ＋1)3答案 B解析 由幂函数的定义知函数y ＝5x不是幂函数；函数y ＝5x 是正比例函数，不是幂函数；函数y ＝(x ＋1)3的底数不是自变量x ，不是幂函数；函数y ＝x 5是幂函数．2．函数y ＝x 3的图象大致是图中的( )答案 B解析 ∵函数y ＝x 3是奇函数，且α＝3>1，则其为增函数，且y 随x 的增大急剧增大，∴函数图象为B.3．设a ＝2－6，b ＝3－4，c ＝7－2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <b <a 答案 A解析 a ＝2－6＝8－2，b ＝3－4＝9－2，c ＝7－2，由幂函数y ＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，可知b <a <c .4．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝________. 答案24解析 设幂函数为y ＝x α(α为常数)． ∵函数f (x )的图象过点(4,2)，∴2＝4α， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812＝24.5．已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f (x )的解析式．解 ∵幂函数y ＝x3m －9在区间(0，＋∞)上单调递减，∴3m －9<0，即m <3. 又∵m ∈N *，∴m ＝1,2. 又y ＝x3m －9的图象关于y 轴对称，即该函数是偶函数，∴3m －9是偶数．∴m ＝1. ∴f (x )＝x －6.。
高中数学23幂函数教案新人教A版必修1教案
高中数学23幂函数教案新人教A版必修1教案教学目标：1.知识与技能：掌握基本的幂函数的概念及性质，能够灵活运用幂函数的性质解决相关问题。
2.过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学建模能力。
教学重点：1.掌握幂函数的定义及性质。
2.能够用幂函数的性质解决相关问题。
教学难点：1.理解幂函数的定义及性质。
2.运用幂函数的性质解决实际问题。
教学过程：一、导入（15分钟）1.师生互动，引导学生回顾指数函数的知识，了解指数函数的特点和性质。
2.引入幂函数的概念，与指数函数进行比较说明幂函数的特点和指数函数的区别。
二、概念与性质讲解（30分钟）1.定义幂函数，给出幂函数的一般形式y=x^a，解释其中x为底数，a为指数。
2.介绍幂函数的图像特点，分析指数a的正负和大小对图像的影响。
3.阐述幂函数的性质：增减性、奇偶性、单调性、最值等。
三、例题解析（45分钟）1.给出几个幂函数的例题，详细解析如何根据函数的性质来解决问题。
2.强调灵活运用函数性质，化简、转化问题，引导学生分析问题的关键点和解题方法。
3.鼓励学生通过数学建模的方式解决一些实际问题。
四、练习与巩固（30分钟）1.分发练习题，让学生独立完成，回顾巩固课上所学内容。
2.对学生的答题情况进行点评和解析，帮助学生梳理知识点。
五、拓展与应用（20分钟）1.分组合作，给学生出一道幂函数的实际问题，要求学生用数学建模的方法解决。
2.学生展示解题过程及答案，互相学习和讨论，培养学生的创新和合作能力。
六、总结归纳（10分钟）1.让学生总结本节课的重点和难点，回答出关键的知识点。
2.引导学生对幂函数的概念和性质进行思考和总结。
板书设计：幂函数的定义及性质1.定义：幂函数y=x^a2.性质：-增减性：当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
-奇偶性：当a为奇数时，函数为奇函数；当a为偶数时，函数为偶函数。
-单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。
3.3幂函数+教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3.3幂函数教学设计一、教材分析本节课是人教A 版新教材必修一第三章第3节 《幂函数》．幂函数是基本初等函数之一，是学生在系统学习了函数的概念与性质之后，进入高中以来遇到的第一种特殊函数，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究函数的意识，让学生体会到通过“定义、表示—图像与性质—应用研究”研究一般函数的思路和方法，为后续研究指数、对数函数做了一个很好的示范，起到了承上启下的作用． 因此本节课体现了函数概念和性质在具体函数中的应用和融合，明确了研究函数的一种模式，是我们学习研究函数的一个范例，在整个函数的研究和学习中具有较重要的地位和作用．二、学情分析从学生的知识上看，学生在初中已经学过正比例函数、二次函数、反比例函数等简单函数的图象，在上一节又学习了函数的单调性与奇偶性，已经初步积累了研究函数的初步经验，为学习幂函数做了知识的储备；从学生现有的学习能力看，已经具备了一定的分析问题和解决问题能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，不严谨；从学生的思维特点看，学生要理解研究一类函数的内容、基本思路（定义、表示---图象与性质---应用），对学生是一个思维的突破．三、教学目标1.能从具体情境中抽象出幂函数概念，会利用定义识别出函数是否为幂函数，在这个过程中提升学生的数学抽象素养．2.能正确画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x ，y ＝1x 的图象，观察、总结幂函数的性质，通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法，进一步渗透数形结合、分类讨论的数学思想，提升学生的直观想象和数学抽象素养．3.能利用函数的单调性定义证明幂函数的单调性，能利用幂函数的单调性比较大小，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．四、教学重难点分析1.教学重点：幂函数的概念，图象及性质．2.教学难点概括出幂函数性质，并应用性质解决相关问题．五、教法学法分析1.教法分析本节课整体上以教师为主导，采用启发式、探究式、互动式的教学方法.通过问题搭桥与活动探究的方式，启发诱导学生分析、归纳、总结出幂函数的性质，让学生主动思考、积极参与，真正成为课堂主人.利用数学软件GeoGebra辅助教学，动态演示幂函数的图象变化过程，帮助学生了解知识产生的过程．2.学法分析自主探究、合作学习、互动交流等学习方法.在幂函数的概念和作图部分，将以导学案的方式让学生课前完成，以自主探究为主，课堂上教师进行适当点评和补充，在研究函数性质部分以小组分工，合作交流为主，进一步培养学生的观察分析问题的能力．六、教学媒体GeoGebra、PowerPoint.七、教学过程（一）情景引入，温故知新前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质．本节我们利用这些知识、方法研究一类新的函数．一起看看几个实例．1.几个蕴含哲理的数学等式：11365=如果你原地踏步，一年之后你还是那个1.1365=如果你每天进步一点点，一年之后你的进步远远大于1018.3703.099.0365= 可是如果你每天退步哪怕一丢丢，一年之后你将退步到近乎为0【设计意图】通过这几个数学等式，不仅能让同学们体会到每天学习的重要性，还可以拉进师生距离，鼓励学生积极向上，同时引导学生抽象出幂函数365x y =.2.张红买菜过程中遇到的函数（1）张红去菜市场买蔬菜，购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要付的钱数___p =元.（2）她将买的蔬菜放入一个边长为a 的正方体塑料箱中，则正方体的底面面积_____.S =正方体的体积_____.V =（3）她买菜的摊位恰好是一个占地面积为S 的正方形，那么正方形的边长____.a = （4）她把菜放入自行车，准备骑回家，如果她t s 内骑车行进了1 km ，那么她骑车的平均速度_____/v km s =【设计意图】通过买菜问题，将课本89页的5个实例用现实生活情境全部穿插起来，拉近数学与生活的距离感，使得课堂引入更加贴近生活实际，更加生动.问题1：如果去掉这些变量的实际意义，将自变量用 x 表示，因变量用 y 表示，上面的实际问题得到哪些函数解析式?问题2：观察这五个函数的解析式，它们有什么共同特征?121321-=======t tv S S c a V a S w p12132-=====x y xy x y x y x y （1）幂的形式 （2）幂的底数 为自变量（3）幂的指数为常数αxy =特征抽象【师生活动】为了方便观察共性，教师可以引导学生按照习惯的书写方式表示五个解析式12132,,,,-=====x y x y x y x y x y ，学生思考并回答，教师点评并归纳共性：（1）底数都是自变量x ；（2）指数都是常数．最后指明：这几个函数解析式都是指数幂的形式，指数幂的底数是自变量，指数为定值．教师给出幂函数的定义，并进行板书．【设计意图】通过具体实例，将实际问题转化为数学问题，让学生观察函数具有的共同特征，抽象出幂函数的形式，进而引出新知识的定义和形式．（二）新知探究 1.幂函数概念：形如αx y =的函数，叫做幂函数，其中α为常数．αxy =【知识点诠释】幂函数必须是形如y x α=的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数，解析式只能是一项．例如：4223,1,(2)y x y x y x ==+=-等都不是幂函数．幂的形式底数为自变量系数为1指数为常数【即时小测】下面几个函数中，哪几个函数是幂函数?（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x = 【答案】（1）、（5）.【设计意图】通过练习，进一步巩固幂函数的概念，提高学生解决问题的能力.【数学史小知识】1.自乘之数曰幂.——徐光启《几何原本》第一次给幂这个概念下定义的是我国明代著名的科学家、政治家徐光启,同时他还是一位沟通中西文化的先行者.徐光启在和意大利人利玛窦合译欧几里德《几何原本》时，给幂字下注解：“自乘之数曰幂”.2.数学史上很早就借用“幂”字，起先用于表示面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年中国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积．【设计意图】穿插“幂”这一数学名词的历史背景，传播数学文化，增强民族自信问题3：对于幂函数，我们只研究21,1,3,2,1-=α的图象与性质.结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数?【师生活动】学生思考，回顾前面学习的函数性质，列举定义域、值域、单调性、奇偶性、图象等内容．【设计意图】引导学生回顾所学知识，找到研究幂函数的路径 【课堂活动一】对于幂函数，我们只讨论21,1,3,2,1-=α时的情况，请在同一个坐标系中画出五个幂函数2,y x y x ==，1y x-=132,y x y x -==的图象.【师生活动】学生通过导学案课前独立完成，学生在导学案上用描点法（列表一描点一连线），把图象依次画到同一个坐标系中，教师通过数学软件GeoGebra 软件标准展示幂函数的图象使学生更直观感受到幂函数的性质特征．【设计意图】在画的过程中体会图象的变化趋势，掌握幂函数的特征.通过软件验证画图，体现了数学的严谨性，让学生感受现代信息技术的便捷．引导学生体会研究一类函数性质的方法，让学生体会高中阶段研究函数性质的新特点．【课堂活动二】观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内． 函 数 y x =2y x = 3y x =12y x=1y x -=图 象定义域 值 域 奇偶性单调性【师生活动】课前让学生在导学案上完成至活动二部分，课堂上给1分钟时间让小组同学交流讨论各自的答案，1-5组的同学分别选派一名代表发言，教师进行恰当点评，尤其注意学生单调性的书写规范等．【设计意图】通过具体的函数图象观察、分析、归纳概括得出这五个幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，为进一步得出幂函数的共性和个性作铺垫．实现师生互动，加强对话、沟通、交流，构建民主和谐的教学氛围． 2.常见的幂函数图象及性质： 函数y x =2y x = 3y x =12y x=1y x -=图象定义域 R R R{|0}x x ≥ {|0}x x ≠ 值域 R{|0}y y ≥R{|0}y y ≥{|0}y y ≠奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇单调性在R 上单调递增在(0)-∞，上单调递减，在(0+)∞，上单调递增在R 上单调递增在[0+)∞，上单调递增在(0)-∞，和(0+)∞，上单调递减【课堂活动三】小组合作探究从这些函数的图象可以看出幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，这些差异之间存在着哪些共性和个性呢?同学们根据表格和图象，小组交流讨论下列问题．（1）幂函数都过哪一个点?（2）幂函数的奇偶性与指数α有怎样的关系?（3）在第一象限内，幂函数的单调性与指数α有怎样的关系?【师生活动】小组合作探究3分钟，然后余下的小组选派代表进行发言，教师进行点评和补充．【设计意图】在问题导向下学生通过活动探究，进行集体讨论，得出函数共性过后，教师再通过GeoGebra 画图动态演示验证，加深学生对知识的理解.如果得不出，教师就直接动态演示，引导学生观察发现，从而达到突破难点的目的．让学生体会数学中数形结合以及由特殊到一般的数学思想方法．【教师追问】0>α时，幂函数在),0(+∞上单调递增，那么增长趋势又有什么区别呢?0<α时，幂函数的图象变化趋势又是怎样的?0=α时呢？【归纳新知】（1）过定点()1,1，原因：11=α（2）函数的奇偶性：函数31,,y x y x y x -===是奇函数，函数2y x =是偶函数．进一步归纳出：α为奇数时，幂函数为奇函数，α为偶数时，幂函数为偶函数． （3）函数的单调性：在区间()0,+∞上，函数1232,,,y x y x y x y x ====单调递增，函数y =1x -单调递减．进一步归纳出：第一象限内，当0>α时，幂函数为增函数，当0<α时，幂函数为减函数．（4）图象的变化趋势：在第一象限内，当1>α时，幂函数的图象是下凹的，当10<<α时，幂函数的图象是上凸的．当0<α时，幂函数的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．0=α时，幂函数的图象是平行于x 轴的一条直线)0(1≠=x y ，无研究意义。
3.3幂函数教学设计2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019))必修第一册
目标：让学生了解幂函数的基本概念、组成部分和性质。
过程：
讲解幂函数的定义，包括一般形式及其主要组成元素。
详细介绍幂函数的图像特点、性质，使用图表或示意图帮助学生理解。
通过实例，让学生更好地理解幂函数在实际应用中的作用。
3.幂函数案例分析（20分钟）
目标：通过具体案例，让学生深入了解幂函数的特性和重要性。
拓展与延伸
1.拓展阅读材料
-《数学分析》：选取与幂函数相关章节，深入理解幂函数的数学性质和图像特点。
-《高中数学读本》：阅读其中关于幂函数的实际应用案例，了解幂函数在自然科学、社会科学等领域的应用。
-《数学建模》：学习如何将幂函数应用于实际问题中，掌握数学建模的基本方法。
-《数学史》：了解幂函数的发展历程，认识历史上数学家们对幂函数的研究和贡献。
2.教学难点
-理解并区分不同底数的幂函数图像及其性质。
-对幂函数图像的变换，如平移、伸缩等操作的理解和应用。
-将幂函数的性质与实际情境相结合，解决具体问题。
举例：对于底数不同的幂函数，如f(x)=x^2和f(x)=(1/2)^x，通过对比分析其图像和性质，帮助学生理解底数变化对幂函数图像的影响。针对图像变换，通过具体示例，如将f(x)=x^2图像向右平移2个单位得到f(x)=(x-2)^2，讲解变换规则及其对函数性质的影响。在解决实际问题时，指导学生如何将现实问题抽象为幂函数模型，并运用所学知识进行解答。
过程：
选择几个典型的幂函数案例进行分析，如人口增长模型、衰减现象等。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解幂函数的多样性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用幂函数解决实际问题。
2024-2025学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.3幂函数(1)教案新人教A版必修第一册
三、实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与幂函数相关的实际问题，如描述人口增长、物体体积变化等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用教具演示幂函数图像的绘制过程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“幂函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（3）幂函数在实际问题中的应用：
学生能够将幂函数应用于实际问题，如描述物体体积、人口增长等。在小组讨论和实验操作中，学生通过解决实际问题，加深了对幂函数应用的理解。
（4）数学思维能力的培养：
学生在探究幂函数性质的过程中，发展了逻辑推理、数学抽象等数学思维能力。在课后调查中，大部分学生表示，通过本节课的学习，他们对数学问题的分析能力有了明显提高。
教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在初中阶段已经接触过具体的函数，如一次函数、二次函数，对函数的基本概念和性质有了一定的了解。在此基础上，通过引入幂函数，使学生理解幂函数是一类更广泛的函数，从而巩固和拓展学生对函数概念和性质的理解。此外，本节课将引导学生将已知的二次函数视为幂函数的一种特例，进而探索幂函数的图像和性质，强化知识体系。
-学生在小组讨论中，学会了倾听他人意见，尊重他人，培养了良好的团队合作精神。
3.3幂函数教学说课课件高一上学期数学人教A版
必做题：教科书91页练习1、3，习题3.3第1、2题 选做题：习题3.3的第3题
设计意图：检验学生幂函数的概念、图象和性质的掌握，以及幂函数的图象和性 质的应用.在选做题部分是对幂函数的图象和性质的拓展与延伸，目的是提高学 生运用所学知识解决问题的能力.
学生是学习的主体,教师是学生学习的引导者、合作者,教学的一切活动都应强调 学生的主动性,结合学生的认知特点以及本节课所要完成的教学目标,我主要考虑了以 下两个方面： 教学方法:(1)小组合作教学法；(2)讲授法；(3)启发式教学. 教学手段:计算机多媒体辅助教学. 教学策略：分组合作，引导学生生成幂函数的概念，利用5个具体函数归纳幂函数的 性质，培养从特殊到一般，数形结合，分类讨论的数学思想，提升学生逻辑推理，数 学运算，数学建模，直观想象的核心素养；通过结合具体题目，利用幂函数的概念、 图象与性质解决有关问题，提升学生逻辑推理，数学运算和数学建模的数学核心素养.
1、这些函数都经过（1，1），不一定过（0，0），但是 都不经过第四象限.这是为什么呢？你们能帮忙解释吗？
我们共同归纳得出幂函数的性质：
三、典例探究
例1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
三、典例探究
B
四、课堂小结
1、这节课，我们主要学习了哪些知识? 2、这节课，在能力、方法上有哪些提高?
（1）理解与掌握幂函数的概念、图象及其相关性质，并能运用幂函数的图象 和性质解决相关的实际问题，提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、 数学运算的数学核心素养；
（2）领会研究一类函数的方法与技巧，为后面学习指数函数和对数函数打下 坚实的理论和方法基础，培养数形结合、分类讨论的数学思想.
《3.3 幂函数》课堂教学教案教学设计(统编人教A版)
13.3 幂函数本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A 版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第3节，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。
本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。
因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。
A.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象;B.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；C.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
多媒体2一、温故知新，引入新课问题1：我们都学习过2,2x y y x==，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？（学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答）同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。
同学2：这两个函数自变量位置不同:。
教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而x y 2=是我们学习过的指数函数，对于2x y =这个函数我们将进一步分析。
二、探索新知探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2， S 是a 的函数（y=x 2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。