上海中考数学压轴题2019
2019年上海初三所有区一模数学压轴题详解
25题汇编1. 相似三角形的分类讨论（宝山）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【答案】(1) DE =1；(2)；(3) 【解析】(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°∵AB //CD ，AM=CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM=AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE=AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP=EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分 设AE=AP=x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE=PC=√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE=AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP=EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分13AP =31310+133-PEABCDF（图10）∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分∴ 即 ……………… ……1分化简得解得，（不合题意舍去） ………………………1分∴当CP=EP 时，AD 为． (3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB//CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分 ∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F=∠DAE =15°∴AE=AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG=CE=……………… ………1分 ∴EG=∵△ADE ∽△FGE∴∴FG=………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．ECEPEP AP =x x x x x x2102910291022-+-=+-0292032=+-x x 313101+=x 313-102=x 31310+3232-56225-FGADEG DE =133-133-（奉贤）25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【答案】(1) :1CE BE；(2)26255DFGm S m∆=-；(3) 3cos 5DAG ∠= 【解析】（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ······················································ （1分） ∴EF=DC ． ················································································ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ． ∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE ． ····················· （2分） （2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ． 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ． 在Rt △BCM 中，90CMB ，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC=PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC =．又3EF =，∴365GC m CG -=-． ∴1565mGC m-=-．········································································ （2分） ∴35mDG DC GC m=-=-． ····························································· （1分）∵NE ∥MB ，∴CN CECM BC=． 又4CM AD ==，∴45CN m =，45mCN =． ········································ （1分） 图11ABC D FEG 备用图ABCD∴2113462254255DFGm m m S DG CN m m∆=••=••=--． ································· （1分） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF ，90FDA ，∴90DFA． ····························· （1分） ∵90FADADF，90FDC ADF，∴FAD FDC ．∵AB ∥EF ，∴BCEF ．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ．∴BFDC FAD ． ······························································ （1分） 在Rt △BCM 中， 90CMB ，3BM AB CD =-=，5BC =，∴3cos 5BM B BC ==． ········································································ （2分） ∴3cos 5DAG ∠=． ·········································································· （1分）（嘉定）25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【答案】(1) 略；(2) 2449=MN ；(3) 29或3【解析】（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAEAE AM =……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分（2）∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC ∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE∴27298=-=AE ……………………1分A 图8BMEDCNA备用图BDCM ENA 图9BDC由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM = ∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分（3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分 当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠ 由（2）得：29=DE ……………………2分 2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠ ∴DE HE =又86tan ===∠AD DC AH HE HAE 设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE ……………………2分综上所述，DE 的长分别为29或3．A 图10B MEDCNH25（青浦）．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【答案】(1) 略；(2)()22096x y x x =<≤+；(3) 3或2 【解析】（1）∵AD//BC ，∴=AD DE BG EB ，=AD DFCH FC． ····················································· （2分） ∵DB =DC =15，DE =DF =5， ∴12==DE DF EB FC ，∴=AD ADBG CH． ············································· （1分） ∴BG ＝CH ． ············································································ （1分） （2）过点D 作DP ⊥BC ，过点N 作NQ ⊥AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB =DC =15，BC =18，∴BP = CP =9，DP =12． ······························ （1分）∵12==AD DE BG EB ，∴BG = CH =2x ，∴BH =18+2x ． ·························· （1分） ∵AD ∥BC ，∴=AD DN BH NB ，∴182=+x DN x NB ，∴182+15==++x DN DNx x NB DN ， ∴56=+xDN x ． ······································································ （1分）∵AD ∥BC ，∴∠ADN =∠DBC ，∴sin ∠ADN =sin ∠DBC ， ∴=NQ PD DN BD ，∴46=+xNQ x ． ················································· （1分） NHG FEDC AB （第25题图）∴()21142092266=⋅=⋅=<≤++x x y AD NQ x x x x ．························· （2分） （3）∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠FHG ．（i ）当∠ADN =∠FGH 时，∵∠ADN =∠DBC ，∴∠DBC =∠FGH ，∴BD ∥FG ， ············································································ （1分） ∴=BG DF BC DC ，∴51815=BG ，∴BG =6，∴AD =3．·························· （1分） （ii ）当∠ADN =∠GFH 时， ∵∠ADN =∠DBC=∠DCB ， 又∵∠AND =∠FGH ，∴△ADN ∽△FCG ． ································································· （1分） ∴=AD FC DN CG ，∴()5182106⋅-=⋅+xx x x ，整理得23290--=x x ，解得 =x =x ． ································· （1分）综上所述，当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3（长宁）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．【答案】(1) 16=EF ；(2)157400x y -=（2250≤<x ）；(3) 596或 1172000【解析】（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∴53cos cos ==∠=∠BC AC MBN BCA ∵25=BC ∴15=AC2022=-=AC BC AB∵AF BC AC AB S ABC ⋅=⋅=∆2121 ∴12=AF ∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC ∴ 34tan tan ==∠=∠AF EF BCA FAE ∴16=EF （2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB ∴ 1622=-=AH AB BH∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25第25题图如图2BF EC N DA MB FC E N AD M如图1备用图BC NAM∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA ∆ ∴AFEFCF AF =，FAC AEF ∠=∠， ∴EF FC AF ⋅=2∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆∴ACBEFC BD =∴1525740025x x x y --=- ∴157400x y -=（2250≤<x ）（3）596或 11720002. 等腰三角形的分类讨论（虹口）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．【答案】(1) 9；(2)2236x y x =+（92x ≥）；(3) 454AD =或189191【解析】（1）根据题意得△ABE ≌△GBE ∴BG=AB=6在Rt △BGF 中，BF = 9cos BGDBC=∠ …………………………………………（2分）由△ABE ≌△GBE得∠AEB =∠BEG ∵AD ∥BC ∴∠AEB =∠EBF∴∠BEF =∠EBF∴FE=FB =9………………………………………………………………………（2分） （2）∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠GBF 又∵∠A =∠BGF =90° ∴△ABD ∽△GFB∴AD BD BG BF =即2366x x BF+= ∴2636x BF x +=………………………………………………………………（2分）EABCFG∵AD ∥BC ∠A =90° ∴∠ABF =90° ∴∠ABG+∠GBF=90° 又∵∠GBF+∠EFB =90° ∴∠ABG =∠EFB 根据题意得AB=BG 又∵FE=FB∴AB BG FB FE =∴△ABG ∽△EFB …………………………………………………………………（1分）∴2222236()36(36)36ABG BEF S AB x x S BF x x ∆∆===++…………………………………（1分）∴2236x y x =+（92x ≥） ………………………………………………（1分，1分）（3）①点F 在BC 上 ∵∠GFC =∠AEG >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴FG=FC 设FG=FC=a ，则BF=10-a由题意得a 2+62=（10-a ）2 解得165a =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即16656AD = 解得454AD = ………………………………………………（2分）②点F 在BC 的延长线上 ∵∠GCF >∠DCF >90°∵△FCG 是等腰三角形 ∴CG=CF∴易得在Rt △BGF 中，BC=CF =10∴FG =∵∠ADB=∠GBF ∴tan ∠ADB = tan ∠GBF即6AD =解得AD =…………………………………………（2分）综合①②，454AD =（黄浦）25．（本题满分14分）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，4AC =，点O 是AB 的中点，点D 是边AC 上一点，DE BD ⊥，交BC 的延长线于点E ，OD DF ⊥，交BC 边于点F ，过点E 作EG AB ⊥，垂足为点G ，EG 分别交BD 、DF 、DC 于点M 、N 、H .（1）求证：DE NEDB OB=； （2）设CD x =，NE y =，求y 关于x 的函数关系式及其定义域； （3）当DEF ∆是以DE 为腰的等腰三角形时，求线段CD 的长.【答案】(1) 略；(2)；(3) 或【解析】（1）证明：∵，，，，.------------------------------------------------------------------------------------------（1分），，，又，∴，-------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∽，---------------------------------------------------------------------------------------（1分）.---------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） （2），在Rt 中，tan DEDBE BD∠=，在Rt 中，tan DC DBE BC ∠=，.----------------------------------------------------（1分） 又，.--------------------------------------------------------------------------------（1分）∵，，，，，.-------------（2分） （3）∵，，，∵，90ADO FDC ∴∠+∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，90CFD FDC ∴∠+∠=︒，ADO CFD ∴∠=∠，∽.---（1分） ()5026y x x ∴=<≤7843OD DF ⊥90ODB BDF ∴∠+∠=︒DE BD ⊥90EDF BDF ∴∠+∠=︒ODB EDF ∴∠=∠DE BD ⊥EG AB ⊥90BGM EDM ∴∠=∠=︒GMB DME ∠=∠GBM DEM ∠=∠∴NDE ∆ODB ∆DE NEDB OB∴=90BDE BCD ∠=∠=︒BDE ∆BCD ∆DE DC DB BC ∴=DE NEDB OB =NE DC OB BC∴=3BC =4AC =CD x =NE y =532y x∴=()5026y x x ∴=<≤EG AB ⊥90ACB ∠=︒GEB A ∴∠=∠OD DF ⊥∴AOD ∆ENF ∆ABCDOEF HGM N（第25题图），∵∽，，，.------------（1分）若，，90AOD DNF ∴∠=∠=︒，，∴.-----（2分） 若，∴点H 是重心，.∵tan tan CEH A ∠=∠，，，，，.-----------------------（2分）综上所述，线段CD 的长为或.（徐汇）25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【答案】(1) 72AD =；(2)21610010x x y -+=(016x <<且10)x ≠；(3) 3964或.【解析】（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵=CH AHC ACB AC ∆∠在Rt 中，cos ，且4=,105ACB AC ∠=cos ，∴8CH =． ∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分） ∴34AHC ACB ∆∠在Rt 中，tan =，∵AD ∥,,BC DF BC AH BC ⊥⊥且， ∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==AO OD EN NF ∴=NDE ∆ODB ∆BO ODEN ND∴=AO BO =NF ND ∴=DE EF =NE DF ∴⊥OA AC AD AB ∴=78CD =DE DF =1133HC CD x ==HC BCCE AC∴=49CE x ∴=tan tan CDE DBE ∠=∠CE DC DC BC ∴=43CD ∴=7843（第25题图1）（第25题图）CBB∵,CFDFC DEC EDC ACB DF∆∠∠=∠在Rt 中，tan =且…………………………（1分） ∴39tan ,42CF ACB CF DF =∠==得： ……………………………………………（1分） ∴97822AD HF ==-= ……………………………………………………………（1分）（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD ∽CDE ………………………………………（1分） ∴CA CDCD CE=, ∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分） ∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，∴221610010(8)36,10x x y x y -+=-+=即(016x <<且10)x ≠ ……………（2分）（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆， 又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分）∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y ︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）3,sin AMEA ED AME MAE ACB AE︒=∆∠=∠当时在Rt 中由=sin 12143920(),1054xx x y ===-得：，解得：舍………………………………………（2分）∴综上所述，当DFC ∆是等腰三角形时，AD 的长是3964或.3. 直角三角形存在性分类讨论 （静安）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC ∆中，6AB =，9AC =，tan 22ABC ∠=．过点B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【答案】(1) 略；(2)；(3) 或【解析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ············· （1分）在Rt ABH ∆中，tan 22AHABC BH∠==． 设22,AH x BH x ==,由勾股定理得36AB x ==．∴2,42BH x AH === ····················· （1分） 在Rt AHC ∆中，∴22229(42)7HC AC AH =-=-=,∴279BC BH HC =+=+=, ·················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+（1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················ （1分）()5026y x x ∴=<≤7843 图11ABCPQM第25题ABCPQM GH∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ=∴9x y=, 即0)y x => ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=2=由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 CQ = ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠，故只有两种可能：……（1分） ①90PCQ ∠=，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 23=，解得129,14x x ==-（舍）； （2分）②90CPQ ∠=，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 23=（1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．4. 其他求线段长或线段之比 （闵 行）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=． （1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．【答案】(1) AB = 13；(2)3923x y x -=（3902x <<）；(3) 136522CE =或【解析】（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ．∵ AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，∴ 11()(155)522BM BC AD =-=-=．……………………………（2分）在Rt △ABM 中，∠AMB = 90°，∴ 55cos 13BM ABM AB AB ∠===． ∴ AB = 13．……………………………………………………………（2分） （2）∵AG y DG =，∴ 1AG DGy DG+=+．即得 51DG y =+．………（1分） ∵ ∠AFD =∠BEC ，∠ADF =∠C ．∴ △ADF ∽△BCE ． ∴51153FD AD EC BC ===．……………………………………………（1分） 又∵ CE = x ，13FD x =，AB = CD = 13．即得 1133FC x =+．ABCDEFG（第25题图）ABCD（备用图）∵ AD // BC ，∴ FD DGFC BC =．∴ 5113115133x y x +=+．……………（1分） ∴ 3923xy x-=． ∴ 所求函数的解析式为3923x y x -=，函数定义域为3902x <<．（2分） （3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得12AM =．∴ 11()(515)1212022ABCD S AD BC AM =+⋅=+⨯=梯形．∵23ABEF ABCDS S =四边形四边形，∴ 80ABEF S =四边形． …………………………（1分） 设ADFS S =．由 △ADF ∽△BCE ，13FD EC =，得 9BECS S =．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． 由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5．∴ 945BECS S ==．∴ 11154522BECSBC EH EH =⋅=⨯⋅=．∴ 6EH =． 由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ． ∴61122CE EH CD DN ===． 又 CD = AB = 13，∴ 132CE =．…………………………………（2分） （ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADFABCD ABEF S S SS ++=四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =．∴ 9225BECS S ==．∴ 111522522BECS BC EH EH =⋅=⨯⋅=．解得 30EH =． ∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．（松江）25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【答案】(1) 241333BE BP ==；(2)6cos 3A =；(3) 15=PD 【解析】（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分）∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分） ∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD=DA ，∴FD=DC ，BF=AC …………………（1分） ∵CE=2，ED=3，则CD =5，∴EF =8∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP=k ，则P A=3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A=PB=3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分） （3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPC DEPE （备用图ABCD F∵∠PBD=∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD=∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A=∠DCA ，∴∠DPE=∠DCP ，∵∠PDE=∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分） ∵DE=3,DC=5，∴15=PD …………………………………（1分）（普陀）25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【答案】(1) 1334a +=；(2)6OC a a =-+；(3) 165AQ OQ +=【解析】（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ············································· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=．在Rt △COH 中，60COB ∠=，2OC =．∴1OH =，3CH =． ································································ （1分） ∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=，∴90ACH HCB ∠+∠=．A BCPOABCPO图11①图11②∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ·································································· （1分） ∴AH CHCH BH=． ∴2CH AH BH =⋅．∴2(21)(1)a a =+⋅-． ···························································· （1分）∴a =，a =．∴14a =． ············································································ （1分）（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =． 在Rt △COH 中，60COB ∠=，OC m =．∴12OH m =，2CH =． ·························································· （2分） 在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．∴2221(3)(2)()22a a m =++． ···················································· （2分）得m a =-，m a =-（不合题意，舍去）．即OC a =-． ······································································ （1分） （3）延长QA 、CO 交于点E ． ∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠．∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ············································ （1分） ∴AQ AOOQ OE=． ············································································ （1分） ∵AQ //BC ，∴AO EO OB OC =．∴AO OBEO OC=．∴AQ OB OQ OC =． ················· （1分）。
2019年全国各地中考真题压轴题精选：四边形综合(带答案解析)
四边形综合题一．选择题（共1小题）1．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．18√3m 2C ．24√3m 2D ．45√32m 2 二．填空题（共2小题）2．（2019•日照）规定：在平面直角坐标系xOy 中，如果点P 的坐标为（a ，b ），那么向量OP→可以表示为：OP →=（a ，b ），如果OA →与OB →互相垂直，OA →=（x 1，y 1），OB →=（x 2，y 2），那么x 1x 2+y 1y 2＝0．若OM →与ON →互相垂直，OM →=（sin α，1），ON →=（2，−√3），则锐角∠α＝ ．3．（2019•上海）如图，在正六边形ABCDEF 中，设BA →=a →，BC →=b →，那么向量BF →用向量a →、b →表示为 ．三．解答题（共38小题）4．（2019•抚顺）如图，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，BC 上，且DE ＝CF ，点P在射线BC 上（点P 不与点F 重合）．将线段EP 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，过点E 作GD 的垂线QH ，垂足为点H ，交射线BC 于点Q ．（1）如图1，若点E 是CD 的中点，点P 在线段BF 上，线段BP ，QC ，EC 的数量关系为 ．（2）如图2，若点E 不是CD 的中点，点P 在线段BF 上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．5．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，EF，DF．（1）如图1，当点E在线段AC上时，①判断△AEG的形状，并说明理由．②求证：△DEF是等边三角形．（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，△DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．6．（2019•朝阳）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB＝4√2，请直接写出点O经过的路径长．7．（2019•鄂尔多斯）（1）【探究发现】如图1，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF 绕点O旋转，旋转过程中，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E 和点F（点F与点C，D不重合）．则CE，CF，BC之间满足的数量关系是．（2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°的菱形ABCD”，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，∠BOD＝120°，OD=34，OB＝4，OA平分∠BOD，AB=√13，且OB＞2OA，点C是OB上一点，∠CAD＝60°，求OC的长．8．（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5√3，CD ＝5，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．9．（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．10．（2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）11．（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D 作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．12．（2019•通辽）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13．（2019•吉林）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE ＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE＝cm，∠EAD＝°；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ=54cm时，直接写出x的值．14．（2019•长春）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．15．（2019•吉林）性质探究如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4√3，则它的面积为；（2）如图②，在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH．①求证：∠EFG+∠EHG＝∠FGH；②在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝10，直接写出线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）．16．（2019•常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．17．（2019•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．（1）求点D的坐标；（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2019•舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝a，AD＝h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC 内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM＝90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．19．（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A 、D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：△PDE ≌△QCE ；（2）过点E 作EF ∥BC 交PB 于点F ，连结AF ，当PB ＝PQ 时，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②请判断四边形AFEP 是否为菱形，并说明理由．20．（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝6．若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当矩形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD ＝30°时，求点C 的坐标；（2）设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形OMCD 的面积为212时，求OA 的长；（3）当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值．21．（2019•天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，CB ＝CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ．试证明：AB 2+CD 2＝AD 2+BC 2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt △ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知AC ＝4，AB ＝5，求GE 的长．22．（2019•无锡）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2√3．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．23．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF 上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE＝BF；（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）24．（2019•盐城）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．25．（2019•苏州）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2√5cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．（1）直接写出动点M的运动速度为cm/s，BC的长度为cm；（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．26．（2019•资阳）在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD 的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，①若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．27．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD 上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF 交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．28．（2019•衡阳）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．29．（2019•绵阳）如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．30．（2019•扬州）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a 的取值范围．31．（2019•泰州）如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：△AEP≌△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）求△AEF的周长．32．（2019•嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC 边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM=34时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．33．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（）②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（）34．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当√3≤S≤5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．35．（2019•青岛）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．36．（2019•白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN．求证：∠AMN＝60°．点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM ＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3+∠1＝∠4+∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2+∠6＝120°，所以∠5+∠6＝120°，即：∠AMN＝60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1＝M1N1．求证：∠A1M1N1＝90°．37．（2019•济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．38．（2019•连云港）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段DN、MB、EC之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上．（1）如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F．求∠AEF的度数；（2）如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN 翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG=52，请直接写出FH的长．39．（2019•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）求△BEF面积的最大值．40．（2019•达州）箭头四角形模型规律如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝．③如图4，BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3， (2017)2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC ＝n°，则∠BO1000C＝度．（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．41．（2019•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE 绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①线段DB和DG的数量关系是；②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．四边形综合题参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝6−12x，∴AD＝CE=√3BE＝6√3−√32x，AB＝AE+BE＝x+6−12x=12x+6，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（6√3−√32x）=−3√38x2+3√3x+18√3=−3√38（x﹣4）2+24√3，∴当x＝4时，S最大＝24√3．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24√3m2；故选：C．二．填空题（共2小题）2．【解答】解：依题意，得2sinα+1×（−√3）＝0，解得sinα=√3 2．∵α是锐角，∴α＝60°．故答案是：60°．3．【解答】解：连接CF．∵多边形ABCDEF 是正六边形，AB ∥CF ，CF ＝2BA ，∴CF →=2a →，∵BF →=BC →+CF →，∴BF →=2a →+b →，故答案为2a →+b →．三．解答题（共38小题）4．【解答】解：（1）BP +QC ＝EC ；理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，由旋转的性质得：∠PEG ＝90°，EG ＝EP ，∴∠PEQ +∠GEH ＝90°，∵QH ⊥GD ，∴∠H ＝90°，∠G +∠GEH ＝90°，∴∠PEQ ＝∠G ，又∵∠EPQ +∠PEC ＝90°，∠PEC +∠GED ＝90°，∴∠EPQ ＝∠GED ， 在△PEQ 和△EGD 中，{∠EPQ =∠GEDEP =EG ∠PEQ =∠G，∴△PEQ ≌△EGD （ASA ），∴PQ ＝ED ，∴BP +QC ＝BC ﹣PQ ＝CD ﹣ED ＝EC ，即BP +QC ＝EC ；故答案为：BP +QC ＝EC ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：由题意得：∠PEG ＝90°，EG ＝EP ，∴∠PEQ +∠GEH ＝90°，∵QH ⊥GD ，∴∠H ＝90°，∠G +∠GEH ＝90°，∴∠PEQ ＝∠G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB ＝90°，BC ＝DC ，∴∠EPQ +∠PEC ＝90°，∵∠PEC +∠GED ＝90°，∴∠GED ＝∠EPQ ，在△PEQ 和△EGD 中，{∠EPQ =∠GEDEP =EG ∠PEQ =∠G，∴△PEQ ≌△EGD （ASA ），∴PQ ＝ED ，∴BP +QC ＝BC ﹣PQ ＝CD ﹣ED ＝EC ，即BP +QC ＝EC ；（3）分两种情况：①当点P 在线段BC 上时，点Q 在线段BC 上，由（2）可知：BP ＝EC ﹣QC ，∵AB ＝3DE ＝6，∴DE ＝2，EC ＝4，∴BP ＝4﹣1＝3；②当点P 在线段BC 上时，点Q 在线段BC 的延长线上，如图3所示：同（2）可得：△PEQ ≌△EGD （AAS ），∴PQ ＝DE ＝2，∵QC ＝1，∴PC ＝PQ ﹣QC ＝1，∴BP ＝BC ﹣PC ＝6﹣1＝5；综上所述，线段BP 的长为3或5．5．【解答】（1）①解：△AEG 是等边三角形；理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，AB ∥CD ，∠CAD =12∠BAD ＝60°，∴∠BAD +∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°，∵GH ∥DC ，∴∠AGE ＝∠ADC ＝60°，∴∠AGE ＝∠EAG ＝∠AEG ＝60°，∴△AEG 是等边三角形；②证明：∵△AEG 是等边三角形，∴AG ＝AE ，∵CF ＝AG ，∴AE ＝CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝120°，∴∠DCF ＝60°＝∠CAD ，在△AED 和△CFD 中，{AD =CD∠EAD =∠FCD AE =CF，∴△AED ≌△CFD （SAS ）∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∵∠ADC ＝∠ADE +∠CDE ＝60°，∴∠CDF +∠CDE ＝60°，即∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形；（2）解：△DEF 是等边三角形；理由如下：同（1）①得：△AEG 是等边三角形，∴AG ＝AE ，∵CF ＝AG ，∴AE ＝CF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝120°，∠CAD =12∠BAD ＝60°，∴∠FCD ＝60°＝∠CAD ，在△AED 和△CFD 中，{AD =CD∠EAD =∠FCD AE =CF，∴△AED ≌△CFD （SAS ），∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF ，∵∠ADC ＝∠ADE ﹣∠CDE ＝60°，∴∠CDF ﹣∠CDE ＝60°，即∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形．6．【解答】解：（1）OE ＝OD ，OE ⊥OD ；理由如下：由旋转的性质得：AF ＝AC ，∠AFE ＝∠ACB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝∠ACD ＝∠F AC ＝45°，∴∠ACF ＝∠AFC =12（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DCF ═∠EFC ＝22.5°，∵∠FEC ＝90°，O 为CF 的中点，∴OE =12CF ＝OC ＝OF ，同理：OD =12CF ，∴OE ＝OD ＝OC ＝OF ，∴∠EOC ＝2∠EFO ＝45°，∠DOF ＝2∠DCO ＝45°，∴∠DOE ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE ⊥OD ；（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：延长EO 到点M ，使OM ＝EO ，连接DM 、CM 、DE ，如图2所示：∵O 为CF 的中点，∴OC ＝OF ，在△COM 和△FOE 中，{OM =EO∠COM =∠FOE OC =OF，∴△COM ≌△FOE （SAS ），∴∠MCF ＝∠EFC ，CM ＝EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BAC ＝∠BCA ＝45°，∵△ABC 绕点A 逆时针旋转α得△AEF ，∴AB ＝AE ＝EF ＝CD ，AC ＝AF ，∴CD ＝CM ，∠ACF ＝∠AFC ，∵∠ACF ＝∠ACD +∠FCD ，∠AFC ＝∠AFE +∠CFE ，∠ACD ＝∠AFE ＝45°， ∴∠FCD ＝∠CFE ＝∠MCF ，∵∠EAC +∠DAE ＝45°，∠F AD +∠DAE ＝45°，∴∠EAC ＝∠F AD ，在△ACF 中，∵∠ACF +∠AFC +∠CAF ＝180°，∴∠DAE +2∠F AD +∠DCM +90°＝180°，∵∠F AD +∠DAE ＝45°，∴∠F AD +∠DCM ＝45°，∴∠DAE ＝∠DCM ，在△ADE 和△CDM 中，{AE =CM∠DAE =∠DCM AD =CD，∴△ADE ≌△CDM （SAS ），∴DE ＝DM ，∵OE ＝OM ，∴OE ⊥OD ，在△COM 和△COD 中，{CM =CD∠MCF =∠FCD OC =OC，∴△COM≌△COD（SAS），∴OM＝OD，∴OE＝OD，∴OE＝OD，OE⊥OD；（3）连接AO，如图3所示：∵AC＝AF，CO＝OF，∴AO⊥CF，∴∠AOC＝90°，∴点O在以AC为直径的圆上运动，∵α＝360°，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，∵AC=√2AB=√2×4√2=8，∴点O经过的路径长为：πd＝8π．7．【解答】解：（1）如图1中，结论：CE+CF＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∵∠EOF＝∠BOC＝90°，∴∠BOE＝∠OCF，∴△BOE≌△COF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC．故答案为CE+CF＝BC．（2）如图2中，结论不成立．CE+CF=12BC．理由：连接EF，在CO上截取CJ＝CF，连接FJ．∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝120°，∴∠BCO＝∠OCF＝60°，∵∠EOF+∠ECF＝180°，∴O，E，C，F四点共圆，∴∠OFE＝∠OCE＝60°，∵∠EOF＝60°，∴△EOF是等边三角形，∴OF＝FE，∠OFE＝60°，∵CF＝CJ，∠FCJ＝60°，∴△CFJ是等边三角形，∴FC＝FJ，∠EFC＝∠OFE＝60°，∴∠OFJ＝∠CFE，∴△OFJ≌△EFC（SAS），∴OJ＝CE，∴CF+CE＝CJ+OJ＝OC=12BC，（3）如图3中，由OB＞2OA可知△BAO是钝角三角形，∠BAO＞90°，作AH⊥OB于H，设OH＝x．在Rt△ABH中，BH=√13−3x2，∵OB＝4，∴√13−3x2+x＝4，解得x=32或12，∴OH=12或32，∴OA＝2OH＝1或3（舍弃），∵∠COD+∠ACD＝180°，∴A，C，O，D四点共圆，∵OA平分∠COD，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝60°，∵∠CAD＝60°，∴△ACD是等边三角形，由（2）可知：OC+OD＝OA，∴OC＝1−34=14．8．【解答】解：（1）如图一（1）中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵tan∠DAC=DCAD=553=√33，∴∠DAC＝30°．（2）①如图一（1）中，当AN＝NM时，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM，∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），∴BA＝BM，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝5，∴AC＝2AB＝10，∵∠BAM＝60°，BA＝BM，∴△ABM是等边三角形，∴AM＝AB＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5．如图一（2）中，当AN＝AM时，易证∠AMN＝∠ANM＝15°，∵∠BMN＝90°，∴∠CMB＝75°，∵∠MCB＝30°，∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠CMB＝∠CBM，∴CM＝CB＝5√3，综上所述，满足条件的CM的值为5或5√3．②结论：∠MBN＝30°大小不变．理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，∴∠MBN＝∠MAN＝30°．如图一（2）中，∵∠BMN＝∠BAN＝90°，∴A，N，B，M四点共圆，∴∠MBN+∠MAN＝180°，∵∠DAC+∠MAN＝180°，∴∠MBN＝∠DAC＝30°，综上所述，∠MBN＝30°．（3）如图二中，∵AM＝MC，∴BM＝AM＝CM，∴AC＝2AB，∴AB＝BM＝AM，∴△ABM是等边三角形，∴∠BAM＝∠BMA＝60°，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，∴∠NAM＝∠NMA＝30°，∴NA＝NM，∵BA＝BM，∴BN垂直平分线段AM，∴FM=5 2，∴NM=FMcos30°=5√33，∵∠NFM＝90°，NH＝HM，∴FH=12MN=5√36．9．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C．∴在△AEH与△CGF中，{AE=CG ∠A=∠C AH=CF，∴△AEH≌△CGF（SAS）；（2）∵由（1）知，△AEH≌△CGF，则EH＝GF，同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（3）四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．理由如下：作G 关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．连接AC，∵CG′＝CG＝AE，AB∥CG′，∴四边形AEG′C为平行四边形，∴EG′＝AC．在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′＝AC，∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．10．【解答】解：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，。
上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)(word版含答案)
BB2019届一模提升题汇编第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【25．解：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分）（第25题图1）（第25题图）∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD V ∽CDE V ………………………………………（1分）∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分）∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆， 又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分） ∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）【2019届一模浦东】25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.（图10-1）（图10-2）DCABBAE【2019届一模杨浦】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 解：（1）∵AD //BC ，∴DE AE ADEF EB BF==.∵E 为AB 中点，∴AE =BE . ∴AD = BF ，DE = EF . ∵AD =3，AB =6，∴BF =3，BE =3. ∴BF =BE .∵AB ⊥BC ，∴∠F =45°且EF =32. ··················· （1分） ∴DF =2EF =62. ···························· （1分） ∵DF ⊥DC ，∠F =45°，∴CF =12. ···················· （1分） ∴BC = 1239CF BF -=-=. ······················ （1分）A BCD E F（图1）（第25题图）A BCDEF （图2）（2）∠DCE的大小确定，1tan2DCE?. ·················（1分）作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD+∠HDC =90°.∵DF⊥DC，∴∠ADE+∠HDC=90°. ∴∠HCD=∠ADE.又∵AB⊥AD，∴∠A=∠CHD. ∴△AED∽△HDC. ·············（2分）∴DE ADDC CH=. ·····························（1分）∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH=AB=6.∵AD=3，CH=6，∴12DEDC=.即1tan2DCE?. ··············（1分）（3）当点E在边AB上，设AE=x，∵AD//BC，∴AD AEBF EB=，即36xBF x=-.∴183xBFx-=.∵△AEF的面积为3，∴11833 2xxx-鬃=.∴4x=. ·······························（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=5. ∵12DEDC=，∴DC=10.∵DF⊥DC，∴1510252DCES=创=V. ··················（1分）当点E在边AB延长线上，设AE=y，∵AD//BC，∴AD AEBF EB=，即36yBF y=-.∴318yBFy-=.∵△AEF的面积为3，∴131832yyy-鬃=.∴8y=. ·············（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=73.联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得12DEDC=. ·····（1分）AB CDF∴DC =273∵DF ⊥DC ，∴173273732DCE S =创=V .················（1分） 综上，当△AEF 的面积为3时，△DCE 的面积为25或73.】【2019届一模普陀】25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【 25．解：ABCPO ABCPO图11①图11②（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ·················· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=o ．在Rt △COH 中，60COB ∠=o ，2OC =．∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=o ，∴90ACH HCB ∠+∠=o ． ∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=o ． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ······················· （1分）∴2CH AH BH =⋅．（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =． 在Rt △COH 中，60COB ∠=o ，OC m =．在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．（3）延长QA 、CO 交于点E ．∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠． ∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ················ （1分）【2019届一模奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【25．解：（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ····················· （1分） ∴EF =DC ． ······························ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ．∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE =．··········· （2分） （2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ． 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ． 在Rt △BCM 中， 90CMB??，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC =PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC=． 图11ABCDFEG备用图ABCD（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF 泄?，90FDA 泄?，∴90DFA??． ············（1分） ∵90FADADF???，90FDC ADF???，∴FAD FDC ??．∵AB ∥EF ，∴BCEF ??．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ??．∴BFDC FAD ???． ·······················（1分） 在Rt △BCM 中， 90CMB ??，3BM AB CD =-=，5BC =，【2019届一模松江】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPCDE∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD =DA ，∴FD =DC ，BF =AC …………………（1分） ∵CE =2，ED =3，则CD =5，∴EF =8 ∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP =k ，则P A =3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A =PB =3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD =∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD =∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A =∠DCA ，∴∠DPE =∠DCP ，∵∠PDE =∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE =3,DC =5，∴15=PD …………………………………………………（1分）】【2019届一模嘉定】25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）（备用图2）ABC DPE PE （备用图1）AB C DF在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【25.（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAE AE AM = ……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分A备用图 BDCA备用图BDCA 图8B MEDCNA 备用图BDCM EN A 图9BDCA图8 BM EDC N（2）解：∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan ∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE ∴27298=-=AE ……………………1分 由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM =∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分 （3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠ 又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分 当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠由（2）得：29=DE ……………………2分2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠M EN A 图9 BDCA 图10B MEDCNH设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE……………………2分 【2019届一模青浦】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【25．解：（1）∵AD //BC ，∵DB =DC =15，DE =DF =5，∴BG ＝CH ． ························· （1分）NHG FED C AB（第25题图）（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．··········（1分）∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）当∠ADN=∠FGH时，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC =∠FGH，∴BD∥FG，·························（1分）（ii）当∠ADN=∠GFH时，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND =∠FGH，∴△ADN∽△FCG．·····················（1分）图11ABCPQM【2019届一模静安】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC∆中，6AB =，9AC =，tan ABC ∠=B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【 25．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ···············（1分）∴279BC BH HC =+=+=, ··················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠ ∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+ （1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················· （1分） ∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ= ∴24369x x x y-+=, 即29(0)436x y x x x =>-+ ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=22229536436436436x x x x x x x x x ++-++=-+-+由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 254436CQ x x =-+ ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠o ，故只有两种可能：……（1分）①90PCQ ∠=o ，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 222536543436436x x x x x x ++=⨯-+-+，解得129,14x x ==-（舍）； （2分）②90CPQ ∠=o ，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 第25题ABPQMG222536543436436x x x x x x ++⨯=-+-+，该方程无解； （1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．】【2019届一模宝山】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第（3）小题满分4分） 解：(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°13AP =备用图A BCD PEABCDF（图10）∵AB //CD ，AM =CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM =AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE =AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP =EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分 设AE =AP =x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE =PC =√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE =AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP =EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分化简得(3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB //CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分0292032=+-x x∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F =∠DAE =15°∴AE =AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG =CE =……………… ………1分 ∴EG =∵△ADE ∽△FGE ∴∴FG =………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．】【2019届一模长宁】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．3232-56225-FGADEG DE =133-133-如图2BF EC ND AMB FC E N ADM如图1备用图BC NAM【25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∵25=BC ∴15=AC （1分）∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC∴16=EF （1分）（2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF （1分） ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA∆ ∴EF FC AF ⋅=2第25题图∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322（1分）∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322 （1分）∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆ ∴ACBEFC BD =（1分） ∴1525740025x xx y--=- ∴157400x y -=（2250≤<x ） （1分+1分） （3）596或 1172000（2分+2分）】 【2019届一模金山】25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()ο900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．AB CDEFGOHM第25题备用图ABCD EFO【25.（1）证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴BCA BAC ∠=∠，∵ο180=∠+∠+∠ABC BCA BAC ，∴ο30=∠BAC ，得ο90=∠CAF ， （1分）同理ο90=∠ACD ，ο90=∠AFD ，（1分） ∴四边形ACDF 是矩形． （1分）∴OCD ∆为等边三角形，∴r OC CD ==，ο60=∠OCD ， 作CD ON ⊥垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，作AC OP ⊥垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，当CH 经过点E 时，可知ο30=∠ECD , ∵四边形ACDF 是矩形，∴CD AF //，∴ο30=∠=∠ECD AHC ，∵CH MH ⊥，∵⊙M 与⊙O 外切，（3）作CM HQ ⊥垂足为Q ，由α=∠HCD ，CH MH ⊥可得α=∠QHM , ∵CD AF //,CD AC ⊥①当ο600<<α时，点H 在边AF 的延长线上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，②当ο60=α时，点H 与点F 重合，此时点C 、M 、H 、F 构成三角形，非四边形，所以舍去. （1分）③当οο9060<<α时，点H 在边AF 上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，∴()()2tan 3322r HQ CM FH S ⋅+=⋅+=α. （1分）综上所述，当()ο900<<=∠ααHCD 时，点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积为()23tan 3cot 62r S ⋅-+=αα或()2tan 332r S ⋅+=α.（备注：若求出ααcos sin 3⋅=r CM ，可得当ο600<<α2cos sin 2323cot 23r S ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=ααα， 当οο9060<<α时2cos sin 23cot 2323r S ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=ααα.】【2019届一模闵行】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．F【25．解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N．∵AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，在Rt△ABM中，∠AMB = 90°，∴AB = 13．……………………………………………………………（2分）∵∠AFD=∠BEC，∠ADF=∠C．∴△ADF∽△BCE．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． 由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5．∴945BEC S S ==V ． ∴ 6EH =．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ．（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADF ABCD ABEF S S S S ++=V 四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =． ∴9225BEC S S ==V ．∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．】【2019届一模虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．第25题备用图ABC第25题图EABCFDG【25．（1）根据题意得△ABE≌△GBE∴BG=AB=6由△ABE≌△GBE得∠AEB=∠BEG∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBF∴∠BEF=∠EBF∴FE=FB=9………………………………………………………………………（2分）（2）∵AD∥BC∴∠ADB=∠GBF又∵∠A=∠BGF=90°∴△ABD∽△GFB∵AD∥BC∠A=90°∴∠ABF=90°∴∠ABG+∠GBF=90°又∵∠GBF+∠EFB =90°∴∠ABG =∠EFB根据题意得AB=BG又∵FE=FB∴△ABG∽△EFB…………………………………………………………………（1分）（3）①点F在BC上∵∠GFC=∠AEG>90°∵△FCG是等腰三角形∴FG=FC设FG=FC=a，则BF=10-atan∠GBF∵∠ADB=∠GBF∴tan∠ADB=②点F在BC的延长线上∵∠GCF>∠DCF >90°∵△FCG是等腰三角形∴CG=CF∵∠ADB=∠GBF∴tan∠ADB= tan∠GBF31。
上海市各区2019届中考数学二模试卷精选汇编压轴题专题
3
（2）过点 O 作 OH⊥AB，垂足为点 H，则由（1）可得 AH=4，OH=3 ∵AC=x，∴ CH | x 4 | 在 Rt△HOC 中， CHO 90 ，AO=5， ∴ CO HO2 HC 2 32 | x 4 |2 x2 8x 25 ，
（1 分）
易知△CDA∽△BCA，又 AC BC2 AB2 x2 4 ，
则 AD CA 1 x2 4 x 1 17 （舍负）—————（2
AC CB
x2 4
x
2
分）
易知∠ACE<90°.
8
所以边 BC 的长为 2 或 1 17 .——————————————————（1 2
海C B 图9
C B
图 10
上
25.（1）证明：∵ AO 、 BO 是圆 O 的半径 ∴ AO BO …………1 分 ∴ OAB B …………1 分 ∵ AC ∥ OB ∴ BAC B …………1 分 ∴ OAB BAC ∴ AB 平分 OAC …………1 分
A
O
C B
升 （2）如果点 Q 在线段 AD 上（与点 A、D 不重合），设△APQ 的面积为 y，
求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED 与△QAP 相似，求 BP 的长．
E
B
AQ P
海D CB
A
D C
上图9
备用图
25．解：（1）在⊙P 中，PA=PQ，∴∠PAQ ＝∠PQA，……………………………（1 分） ∵AD∥BC，∴∠PAQ ＝∠APB，∠PQA ＝∠QPC，∴∠APB ＝∠EPC，……（1 分） ∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B ＝∠C，…………………………（1 分） ∴△APB∽△ECP．…………………………………………………………（1 分）
2019年中考数学压轴题 (1)
2019中考数学压轴题38．（2015三明）如图，已知点A 是双曲线2y x =在第一象限的分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，两垂线交于点C ，随着点A 的运动，点C 的位置也随之变化．设点C 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为（ ）A ．2n m =-B ．2n m =-C ．4n m =-D ．4n m =-【答案】B ． 【解析】试题分析：∵点C 的坐标为（m ，n ），∴点A 的纵坐标是n ，横坐标是：2n ，∴点A 的坐标为（2n ，n ），∵点C 的坐标为（m ，n ），∴点B 的横坐标是m ，纵坐标是：2m ，∴点B 的坐标为（m ，2m ），又∵22n m mn =，∴22mn m n =⋅，∴224m n =，又∵m ＜0，n ＞0，∴2mn =-，∴2n m =-，故选B ．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．39．（2015乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴和y 轴，34OA OB =．∠AOB 的角平分线与OA 的垂直平分线交于点C ，与AB 交于点D ，反比例函数ky x =的图象过点C ．当以CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是（ ）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题．40．（2015重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数3yx=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A．2 B．4 C．22．42【答案】D．【解析】试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3yx=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A ，B 横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S 菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D ．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 41．（2015临沂）在平面直角坐标系中，直线2y x =-+与反比例函数1y x =的图象有唯一公共点，若直线y x b =-+与反比例函数1y x =的图象有2个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b ＞2B ．﹣2＜b ＜2C ．b ＞2或b ＜﹣2D ．b ＜﹣2 【答案】C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 42．（2015滨州）如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数1y x =-、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为（ ）A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．二、填空题43．（2017云南省，第6题，3分）已知点A（a，b）在双曲线5yx=上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为．【答案】y=﹣5x+5或y=﹣15x+1．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ab=5，由a、b都是正整数，得到a=1，b=5或a=5，b=1．再分两种情况进行讨论：当a=1，b=5；②a=5，b=1，利用待定系数法即可求解．【解析】∵点A（a，b）在双曲线5yx=上，∴ab=5，∵a、b都是正整数，∴a=1，b=5或a=5，b=1．设经过B（a，0）、C（0，b）两点的一次函数的解析式为y=mx+n．①当a=1，b=5时，由题意，得：5m nn+=⎧⎨=⎩，解得：55mn=-⎧⎨=⎩，∴y=﹣5x+5；②当a=5，b=1时，由题意，得：501m nn+=⎧⎨=⎩，解得：151mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y=﹣15x+1．则所求解析式为y=﹣5x+5或y=﹣15x+1．故答案为：y=﹣5x+5或y=﹣15x+1．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式．正确求出a、b 的值是解题的关键．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论．44．（2017内蒙古通辽市，第17题，3分）如图，直线333--=xy与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数xky=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的坐标为．【答案】（﹣3，3．【分析】过C作CE⊥x轴于E，求得A（﹣3，0），B（0，﹣3），解直角三角形得到∠OAB=30°，求得∠CAE=30°，设D（﹣3，3k-），得到AD=3k-，AC=3k-，于是得到C（33k-，6k-），列方程即可得到结论．【解析】过C作CE⊥x轴于E，∵直线333--=xy与x，y轴分别交于点A，B，∴A（﹣3，0），B （03，∴tan∠OAB=OBOA=3，∴∠OAB=30°，∴∠CAE=30°，设D（﹣3，3k-），∵AD⊥x轴，∴AD=3k-，∵AD=AC，∴AC=3k-，∴CE=6k-，AE=3k，∴C（33k，6k-），∵C在反比例函数x k y =的图象上，∴（336k -+）•（6k-）=k ，∴k=63-，∴D （﹣3，23），故答案为：（﹣3，23）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的点A 、B 、C 的坐标解题的关键． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 45．（2017四川省成都市，第24题，4分）在平面直角坐标系xOy 中，对于不在坐标轴上的任意一点P （x ，y ），我们把点P （1x ，1y ），称为点P 的“倒影点”，直线1y x =-+ 上有两点A 、B ，它们的倒影点A ′，B ′均在反比例函数ky x =的图象上，若AB=22，则k= ．【答案】43-．【分析】设点A （a ，﹣a+1），B （b ，﹣b+1）（a ＜b ），则A′（1a ，11a -），B′（1b ，11b -），由AB=22可得出b=a+2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k 、a 、b 的方程组，解之即可得出k 值．【解析】设点A （a ，﹣a+1），B （b ，﹣b+1）（a ＜b ），则A′（1a ，11a -），B′（1b ，11b -），∵AB=22，∴b ﹣a=2，即b=a+2．∵点A′，B′均在反比例函数k y x =的图象上，∴211(1)(1)b a k a a b b =+⎧⎪⎨==⎪--⎩，解得：k=43-．故答案为：43-．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于k 、a 、b 的方程组是解题的关键． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．46．（2017山东省日照市，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线ky x =（x＞0）同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 2，∠AOB=∠OBA =45°，则k 的值为 ．．【答案】15【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=2，OM=AN=2，求出B（2+2，2﹣2），得出方程（2+2）•（2﹣2）=k，解方程即可．点睛：本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；综合题．47．（2017江苏省南通市，第18题，3分）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过点A（5，12），且与边BC交于点D．若AB=BD，则点D的坐标为．【答案】（8，15 2）．【分析】先根据点A（5，12），求得反比例函数的解析式为60yx=，可设D（m，60m），BC的解析式为y=125x+b，把D（m，60m）代入，可得b=60m﹣125m，进而得到BC的解析式为y=125x+60m﹣125m，据此可得OC=m﹣25m=AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13﹣65m，最后根据AB=BD，得到方程m﹣25m=13﹣65m，进而求得D的坐标．【解析】∵反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过点A（5，12），∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为60yx=，设D（m，60m），由题可得OA的解析式为y=125x，AO∥BC，∴可设BC的解析式为y=125x+b，把D（m，60m）代入，可得125m+b=60m，∴b=60m﹣125m，∴BC的解析式为y=125x+60m﹣125m，令y=0，则x=m﹣25m，即OC=m﹣25m，∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣25m，如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，∴DB AODE AF=，而AF=12，DE=12﹣60m，22512+ =13，∴DB=13﹣65m，∵AB=DB，∴m﹣25m=13﹣65m，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m＞5，∴m=8，∴D的坐标为（8，152）．故答案为：（8，152）．点睛：本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；方程思想；综合题． 48．（2017江苏省宿迁市，第16题，3分）如图，矩形ABOC 的顶点O 在坐标原点，顶点B ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上，顶点A 在反比例函数ky x =（k 为常数，k ＞0，x ＞0）的图象上，将矩形ABOC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O 的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则C OBO 的值是 ．【答案】51-．【分析】设A （m ，n ），则OB=m ，OC=n ，根据旋转的性质得到O′C′=n，B′O′=m，于是得到O′（m+n ，n ﹣m ），于是得到方程（m+n ）（n ﹣m ）=mn ，求得512m n =，（负值舍去），即可得到结论．【解析】设A （m ，n ），则OB=m ，OC=n ，∵矩形ABOC 绕点A 按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，∴O′C′=n，B′O′=m，∴O′（m+n ，n ﹣m ），∵A ，O′在此反比例函数图象上，∴（m+n ）（n ﹣m ）=mn ，∴m2+mn ﹣n2=0，∴m=152-n ，∴512m n =，（负值舍去），∴C OBO 的值是512，故答案为：512．点睛：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．考点：坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质． 49．（2017江苏省常州市，第18题，2分）如图，已知点A 是一次函数12y x=（x ≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数kyx=（x＞0）的图象过点B，C，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是．【答案】3．【分析】作辅助线，构建直角三角形，设AB=2a，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：BE=AE=CE=a，设A（x，12x），则B（x，kx），C（x+a，kx a+），因为B、C都在反比例函数的图象上，列方程组可得结论．【解析】如图，过C作CD⊥y轴于D，交AB于E，∵AB⊥x轴，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE，设AB=2a，则BE=AE=CE=a，设A（x，12x），则B B（x，kx），C（x+a，kx a+），∴11262212212OABS AB DE a xka xxka xa x∆⎧=⋅=⨯⨯=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪+⎩①②③，由①得：ax=6，由②得：2k=4ax+x2，由③得：2k=2a（a+x）+x （a+x），2a2+2ax+ax+x2=4ax+x2，2a2=ax=6，a2=3，∵S△ABC=12AB•CE=12•2a•a=a2=3．故答案为：3．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；反比例函数综合题．50．（2017江苏省盐城市，第16题，3分）如图，曲线l是由函数6yx=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（42-，42），B（22，22）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为．【答案】8．【分析】由题意A（42-，42），B（22，22），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴，利用方程组求出M、N的坐标，根据S△OMN=S△OBM﹣S△OBN计算即可．【解析】∵A（42-，42），B（22，22），∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA 为y′轴．在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，由'2'86''y xyx=-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得'1'6xy=⎧⎨=⎩或'3'2xy=⎧⎨=⎩，∴M（1.6），N（3，2），∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=12×46﹣12×42=8，故答案为：8．点睛：本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．考点：坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数系数k的几何意义．51．（2017江苏省连云港市，第15题，3分）设函数3yx=与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则12a b+的值是．【答案】﹣2．【分析】由两函数的交点坐标为（a，b），将x=a，y=b代入反比例解析式，求出ab的值，代入一次函数解析式，得出2a+b的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后，把ab及2a+b 的值代入即可求出值．点睛：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其中将x=a，y=b代入两函数解析式得出关于a 与b的关系式是解本题的关键．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．52．（2017江苏省连云港市，第16题，3分）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则BDDC的值为．（已知sin15°=62-）【答案】31 2．【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线y=x，求出∠BOF=15°，根据15°的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDF∽△CDN，可得结论．【解析】如图，过O作OM⊥x轴于M，∵△AOB是等边三角形，∴AM=BM，∠AOM=∠BOM=30°，∴A、B关于直线OM对称，∵A、B两点在反比例函数kyx=（k＞0，x＞0）的图象上，且反比例函数关于直线y=x对称，∴直线OM的解析式为：y=x，∴∠BOD=45°﹣30°=15°，过B作BF⊥x轴于F，过C作CN⊥x轴于N，sin∠BOD=sin15°=BFOB=62-，∵∠BOC=60°，∠BOD=15°，∴∠CON=45°，∴△CNO是等腰直角三角形，∴CN=ON，设CN=x，则OC=2x，∴OB=2x，∴2x =62-，∴BF=(31)2x-，∵BF⊥x轴，CN⊥x轴，∴BF∥CN，∴△BDF∽△CDN，∴BD BFCD CN==(31)2xx-=312-，故答案为：312-．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，明确反比例函数关于直线y=x对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直角边为未知数x，2倍表示斜边的长，从而解决问题．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．53．（2017浙江省宁波市，第17题，4分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3 yx =的图象上，则m的值为．【答案】4或1 2．【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），然后分两种情况进行讨论：一是AB边的中点在反比例函数3yx=的图象上，二是AC边的中点在反比例函数3yx=的图象上，进而算出m的值．【解析】∵△ABC的三个顶点为A（﹣1，﹣1），B（﹣1，3），C（﹣3，﹣3），∴AB边的中点（﹣1，1），BC边的中点（﹣2，0），AC边的中点（﹣2，﹣2），∵将△ABC向右平移m（m＞0）个单位后，∴AB边的中点平移后的坐标为（﹣1+m，1），AC边的中点平移后的坐标为（﹣2+m，﹣2）．∵△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数3yx=的图象上，∴﹣1+m=3或﹣2×（﹣2+m）=3，∴m=4或m=12．故答案为：4或12．点睛：此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；分类讨论．54．（2017浙江省温州市，第15题，5分）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B 在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数kyx=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为．【答案】43．【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（12m，32m），列方程即可得到结论．【解析】∵四边形ABCO是矩形，AB=1，∴设B（m，1），∴OA=BC=m，∵四边形OA′B′D与四边形OABD 关于直线OD对称，∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，∴∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，∴OE=12m，A′E=3m，∴A′（12m，3m），∵反比例函数kyx=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，∴12m•3m=m，∴m=43，∴k=43．故答案为：43．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；轴对称的性质；综合题．55．（2017浙江省湖州市，第16题，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数1yx=和9yx=在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交1yx=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是．【答案】k=377或155．【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB=BC，②AC=BC，即可解题．点睛：本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k表示点A、B、C坐标是解题的关键．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质；分类讨论；综合题．56．（2017金华，第15题，4分）如图，已知点A （2，3）和点B （0，2），点A 在反比例函数ky x =的图象上，做射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C ，则点C 的坐标为 ．【答案】（﹣1，﹣6）．【分析】先过A 作AE ⊥x 轴于E ，以AE 为边在AE 的左侧作正方形AEFG ，交AB 于P ，根据直线AB 的解析式为122y x =+，可得PF=32，将△AGP 绕点A 逆时针旋转90°得△AEH ，构造△ADP ≌△ADH ，再设DE=x ，则DH=DP=x+32，FD=1+2﹣x=3﹣x ，在Rt △PDF 中，根据PF2+DF2=PD2，可得方程22233()(3)()22x x +-=+，进而得到D （1，0），即可得出直线AD 的解析式为y=3x ﹣3，最后解方程组即可得到D 点坐标．【解析】如图所示，过A 作AE ⊥x 轴于E ，以AE 为边在AE 的左侧作正方形AEFG ，交AB 于P ，根据点A （2，3）和点B （0，2），可得直线AB 的解析式为122y x =+，由A （2，3），可得OF=1，当x=﹣1时，y=﹣12+2=32，即P （﹣1，32），∴PF=32，将△AGP 绕点A 逆时针旋转90°得△AEH ，则△ADP ≌△ADH ，∴PD=HD ，PG=EH=32，设DE=x ，则DH=DP=x+32，FD=1+2﹣x=3﹣x ，Rt △PDF 中，PF2+DF2=PD2，即22233()(3)()22x x +-=+，解得x=1，∴OD=2﹣1=1，即D （1，0），根据点A （2，3）和点D （1，0），可得直线AD 的解析式为y=3x ﹣3，解方程组：336y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，可得：23x y =⎧⎨=⎩或16x y =-⎧⎨=-⎩，∴C （﹣1，﹣6），故答案为：（﹣1，﹣6）．点睛：本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是作辅助线构造正方形以及全等三角形，依据勾股定理列方程进行求解．考点：坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数与一次函数的交点问题；综合题．57．（2017湖北省孝感市，第16题，3分）如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函数kyx=（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为．【答案】512-．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，则AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=n，BG=AE=1，从而求得B（n+1，1﹣n），根据k=n×1=（n+1）（1﹣n）得出方程，解方程即可．【解析】作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，过B点作BC⊥y轴于C，交AE于G，如图所示：则AG⊥BC，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAG=90°，∵∠OAE+∠AOE=90°，∴∠AOE=∠GAB，在△AOE 和△BAG中，∵∠AOE=∠GAB，∠AOE=∠AGB，AO=AB，∴△AOE≌△BAG（AAS），∴OE=AG，AE=BG，∵点A（n，1），∴AG=OE=n，BG=AE=1，∴B（n+1，1﹣n），∴k=n×1=（n+1）（1﹣n），整理得：n2+n﹣1=0，解得：n=152-±（负值舍去），∴n=512-，∴k=512-；故答案为：512-．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解决问题的关键．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定与性质．58．（2017湖北省荆州市，第18题，3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M．若经过点M的反比例函数kyx=（x＜0）的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=12，则BN的长为．【答案】3．【分析】利用矩形的面积公式得到AB•BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到an∠DOE=DEOD=12，所以DE•2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M（﹣2，4），易得反比例函数解析式为8yx=-，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．【解析】∵S矩形OABC=32，∴AB•BC=32，∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB=DE，OD=OA，在Rt△ODE中，tan∠DOE=DEOD=12，即OD=2DE，∴DE•2DE=32，解得DE=4，∴AB=4，OA=8，在Rt△OCM中，∵tan∠COM=MCOC=12，而OC=AB=4，∴MC=2，∴M（﹣2，4），把M（﹣2，4）代入kyx=得k=﹣2×4=﹣8，∴反比例函数解析式为8yx=-，当x=﹣8时，88y=--=1，则N（﹣8，1），∴BN=4﹣1=3．故答案为：3．点睛：本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．考点：坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数系数k的几何意义；解直角三角形；综合题．59．（2017湖北省鄂州市，第15题，3分）如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC=60°，AB=4，BC=3D为AC与反比例函数kyx=的图象的交点．若直线BD将△ABC的面积分成1：2的两部分，则k的值为．【答案】﹣4或﹣8．【分析】过C作CE⊥AB于E，根据∠ABC=60°，AB=4，BC=23，可求得△ABC的面积，再根据点D将线段AC分成1：2的两部分，分两种情况进行讨论，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到k 的值．点睛：本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及反比例函数系数k的几何意义的运用．过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12 |k|，且保持不变．解题时注意分类思想的运用．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；数形结合；分类讨论．60．（2017湖南省株洲市，第17题，3分）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数11kyx=（x＞0）的图象上，顶点B在函数22kyx=（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则12kk= ．【答案】13-．【分析】设AC=a ，则OA=2a ，OC=3a ，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A 和B 的坐标，写出A 和B 两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，相比即可．【解析】如图，Rt △AOB 中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°，∵AB ⊥OC ，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°，设AC=a ，则OA=2a ，OC=3a ，∴A （3a ，a ），∵A 在函数11k y x =（x ＞0）的图象上，∴k1=3a•a=23a ，Rt △BOC 中，OB=2OC=23a ，∴BC=22OB OC -=3a ，∴B （3a ，﹣3a ），∵B在函数22k y x =（x ＞0）的图象上，∴k2=﹣3a 3a=233a -，∴12k k =13-；故答案为：13-．点睛：本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A 、B 两点的坐标是关键． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；综合题．61．（2017贵州省遵义市，第18题，4分）如图，点E ，F 在函数2y x =的图象上，直线EF 分别与x轴、y 轴交于点A 、B ，且BE ：BF=1：3，则△EOF 的面积是 ．【答案】8 3．【分析】证明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根据反比例函数图象上点的坐标特征，设E点坐标为（t，2t），则F点的坐标为（3t，23t），由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根据梯形面积公式计算即可．【解析】作EP⊥y轴于P，EC⊥x轴于C，FD⊥x轴于D，FH⊥y轴于H，如图所示：∵EP⊥y轴，FH⊥y轴，∴EP∥FH，∴△BPE∽△BHF，∴13PE BEHF BF==，即HF=3PE，设E点坐标为（t，2t），则F点的坐标为（3t，23t），∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=12×2=1，∴S△OEF=S梯形ECDF=12（23t+2t）（3t﹣t）=83；故答案为：83．点睛：本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形相似是解决问题的关键．考点：反比例函数系数k的几何意义．62．（2017辽宁省盘锦市，第16题，3分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，﹣5），以P为圆心的圆与x轴相切，⊙P的弦AB（B点在A点右侧）垂直于y轴，且AB=8，反比例函数kyx=（k≠0）经过点B，则k= ．【答案】﹣8或﹣32．【分析】设AB交y轴于点C，利用垂径定理可求得PC的长，则可求得B点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值．【解析】设线段AB 交y 轴于点C ，当点C 在点P 的上方时，连接PB ，如图，∵⊙P 与x 轴相切，且P （0，﹣5），∴PB=PO=5，∵AB=8，∴BC=4，在Rt △PBC 中，由勾股定理可得PC=22PB BC - =3，∴OC=OP ﹣PC=5﹣3=2，∴B 点坐标为（4，﹣2），∵反比例函数ky x =（k ≠0）经过点B ，∴k=4×（﹣2）=﹣8；当点C 在点P 下方时，同理可求得PC=3，则OC=OP+PC=8，∴B （4，﹣8），∴k=4×（﹣8）=﹣32； 综上可知k 的值为﹣8或﹣32，故答案为：﹣8或﹣32．点睛：本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，利用垂径定理和切线的性质求得PC 的长是解题的关键，注意分两种情况．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；切线的性质；分类讨论． 63．（2017黑龙江省齐齐哈尔市，第18题，3分）如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O是坐标原点，tan ∠AOC=43，反比例函数ky x =的图象经过点C ，与AB 交于点D ，若△COD 的面积为20，则k 的值等于 ．【答案】﹣24．【分析】易证S 菱形ABCO=2S △CDO ，再根据tan ∠AOC 的值即可求得菱形的边长，即可求得点C 的坐标，代入反比例函数即可解题．【解析】作DE ∥AO ，CF ⊥AO ，设CF=4x ，∵四边形OABC 为菱形，∴AB ∥CO ，AO ∥BC ，∵DE ∥AO ，∴S △ADO=S △DEO ，同理S △BCD=S △CDE ，∵S 菱形ABCO=S △ADO+S △DEO+S △BCD+S △CDE ，∴S 菱形ABCO=2（S △DEO+S △CDE ）=2S △CDO=40，∵tan ∠AOC=43，∴OF=3x ，∴22OF CF +，∴OA=OC=5x ，∵S 菱形ABCO=AO•CF=20x2，解得：2，∴OF=32CF=42C 坐标为（﹣3242），∵反比例函数ky x =的图象经过点C ，∴代入点C 得：k=﹣24，故答案为：﹣24．点睛：本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO=2S△CDO是解题的关键．考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形；综合题．64．（2017山东省济南市，第20题，3分）如图，过点O的直线AB与反比例函数kyx=的图象交于A，B两点，A（2，1），直线BC∥y轴，与反比例函数3kyx-=（x＜0）的图象交于点C，连接AC，则△ABC的面积为．【答案】8．【分析】由A（2，1）求得两个反比例函数分别为2yx=，6yx-=，与AB的解析式y=12x，解方程组求得B的坐标，进而求得C点的纵坐标，即可求得BC，根据三角形的面积公式即可求得结论．点睛：本题主要考查了反比例函数于一次函数的交点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数及其应用．65．（2017山东省莱芜市，第15题，4分）直线y=kx+b与双曲线6 yx =-交于A（﹣3，m），B（n，﹣6）两点，将直线y=kx+b向上平移8个单位长度后，与双曲线交于D，E两点，则S△ADE= ．【答案】16．【分析】利用待定系数法求出平移后的直线的解析式，求出点D、E的左边，再利用分割法求出三角形的面积即可．【解析】由题意A（﹣3，2），B（1，﹣6），∵直线y=kx+b经过点A（﹣3，2），B（1，﹣6），∴326k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：24kb=-⎧⎨=-⎩，∴y=﹣2x﹣4，向上平移8个单位得到直线y=﹣2x+4，由624yxy x⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得：32xy=⎧⎨=-⎩和16xy=-⎧⎨=⎩，不妨设D（3，﹣2），E（﹣1，6），∴S△ADE=6×8﹣12×4×2﹣12×6×4﹣12×8×4=16，故答案为：16．点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用分割法求三角形的面积．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．66．（2016云南省昆明市）如图，反比例函数kyx=（k≠0）的图象经过A，B两点，过点A作AC⊥x 轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AO，连接BO交AC于点E，若OC=CD，四边形BDCE 的面积为2，则k的值为．【答案】163-．【分析】先设点B坐标为（a，b），根据平行线分线段成比例定理，求得梯形BDCE的上下底边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得ab的值，最后计算k的值．【解析】设点B坐标为（a，b），则DO=﹣a，BD=b．∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴BD∥AC．∵OC=CD，∴CE=12BD=12b，CD=12DO=12-a．∵四边形BDCE的面积为2，∴12（BD+CE）×CD=2，即12（b+12b）×（12-a）=2，∴ab=163-．将B（a，b）代入反比例函数kyx=（k≠0），得：k=ab=163-．故答案为：163-．考点：反比例函数系数k 的几何意义；平行线分线段成比例． 67．（2016内蒙古包头市）如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB=30°，AB=BO ，反比例函数ky x =（x ＜0）的图象经过点A ，若S △ABO=3，则k 的值为 ．【答案】33-．【分析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，由∠AOB=30°可得出3AD OD=，由此可是点A 的坐标为（﹣3a ，3 a ），根据S △ABO=3结合三角形的面积公式可用a 表示出线段OB 的长，再由勾股定理可用含a的代数式表示出线段BD 的长，由此即可得出关于a 的无理方程，解方程即可得出结论．【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图所示．∵∠AOB=30°，AD ⊥OD ，∴ADOD =tan ∠AOB=3，∴设点A 的坐标为（﹣3a 3）．∵S △ABO=123OB=2a ．在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，AD=3a ，AB=OB=2a ，∴222BD AB AD =-=2243a a -，BD=2243a a -．∵OD=OB+BD=3a ，即222433a a a a =+-，解得：a=1或a=﹣1（舍去），∴点A 的坐标为（﹣3，3），∴k=﹣3×3=33-．故答案为：33-． 考点：反比例函数系数k 的几何意义． 68．（2016内蒙古呼和浩特市）已知函数1y x =-，当自变量的取值为﹣1＜x ＜0或x≥2，函数值y 的取值 ．【答案】y ＞1或12-≤y＜0．【分析】画出图形，先计算当x=﹣1和x=2时的对应点的坐标，并描出这两点，根据图象写出y 的取值．【解析】当x=﹣1时，y=11--=1，当x=2时，y=12-，由图象得：当﹣1＜x ＜0时，y ＞1，当x≥2时，12-≤y＜0，故答案为：y ＞1或12-≤y＜0．考点：反比例函数的性质．69．（2016四川省内江市）如图，点A 在双曲线5y x =上，点B 在双曲线8y x =上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的面积等于 ．【答案】32．【分析】延长AB交y轴于点C，根据反比例函数系数的几何意义求出△BOC的面积与△AOC的面积，然后相减即可得解．【解析】延长AB交y轴于点C．S△OAC=12×5=52，S△OCB=12×8=4，则S△OAB=S△OCB﹣S△OAC=4﹣52=32．故答案为：32．考点：反比例函数系数k的几何意义．70．（2016四川省眉山市）如图，已知点A是双曲线6yx=在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线kyx=上运动，则k的值是．【答案】36-【分析】根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出3，求出△OFC∽△AEO，相似比OCOA3ΔOFCΔAEOSS=3，求出△OFC的面积，即可得出答案．。
2019年上海市16区中考数学一模压轴题赏析
2019年上海市16区中考数学一模压轴题赏析作者：马学斌，民进会员，上海市中学数学高级教师，几何画板爱好者，专注中考数学压轴题15年，华东师范大学出版社《挑战中考数学压轴题》的作者，年读者量逾30万。
《中学数学教学参考》、《中小学数学·初中版》、《青少年科技报》中考频道特约撰稿人。
“中考数学压轴题解题策略12讲”累计听众超过一万人。
为“国培计划”初中数学教师班做过压轴题、几何画板讲座多次。
2015年，在华东师范大学出版社的支持下，为师范大学数学系学生送教“几何画板”三场。
2017年、2018年暑假，参与策划、组织了全国新青年数学教师发展（西部）论坛暨青年数学教师中考数学压轴题讲题比赛。
全国青年教师中考数学压轴题讲题比赛已经成为一个品牌活动，成为解题爱好者的狂欢节，数学压轴题的嘉年华，2019年在长春市举办了第三届，2020年将在沈阳市举办第四届。
2018年3、4月份，在华东师范大学出版社的支持下，“中考数学压轴题公益行”行程25天跨越6个省，做压轴题讲课15场。
2019年10月份，马学斌老师又历经20天时间，在沈阳市、长春市、呼和浩特市、长沙市开展了压轴题巡讲之旅。
12019松江区一模压轴题赏析22019黄埔区一模压轴题赏析32019静安区一模压轴题赏析42019徐汇区一模压轴题赏析52019杨浦区一模压轴题赏析62019浦东区一模压轴题赏析72019闵行区一模压轴题赏析82019青浦区一模压轴题赏析92019宝山区一模压轴题赏析102019金山区一模压轴题赏析112019奉贤区一模压轴题赏析。
2019中考数学压轴题及解析40例(8)
2019 中考数学压轴题及分析 40 例（ 8）32. ： RT△ ABC的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形搁置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 与 X 轴重合〔此中 OA 《OB 〕，直角极点 C 落在 Y 轴正半轴上〔如图 1〕、〔 1〕求线段 OA 、OB 的长和经过点 A 、 B 、 C 的抛物线的关系式、〔 2〕如图 2，点 D 的坐标为〔 2，0〕，点 P 〔 M ，N 〕是该抛物线上的一个动点〔此中 M 》 0， N 》 0〕，连结 DP 交 BC 于点 E 、①当△ BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标、②又连结 CD 、CP 〔如图 3〕，△ CDP 能否有最大面积？假定有，求出△ CDP 的最大面 积和此时点 P 的坐标；假定没有，请说明原因、OA OC解：〔 1〕由题意知 RT △△ AOC ∽ RT △ COB ，∴ OC ＝ OB 、∴ OC2＝OA ·OB ＝OA （AB －OA ），即 22＝OA （5－ OA ）、 ∴ OA2－5OA ＋ 4＝0，∵ OA 《 OB ，∴ OA ＝1， OB ＝ 4、 2 分∴ A （－ 1，0），B （4，0），C （0，2）、∴可设所求抛物线的关系式为 Y ＝ A （ X ＋ 1）（ X －4）、 3 分1将点 C （0，2）代入，得 2＝ A （ 0＋1）（0－4），∴A ＝－ 2、1∴经过点 A 、 B 、C 的抛物线的关系式为 Y ＝－ 2 （X ＋1）（X －4）、 4 分13 即 Y ＝－ 2 X2＋ 2 X ＋2、1484 2545， 5〔2〕① E1（3， 2 ），E2（ 5 ， 5 ），E3（5）、7 分对于点 E 的坐标求解过程以下〔原题不作要求，自己增添，仅供参照〕：设直线 BC 的分析式为 Y ＝KX ＋ B 、1 4k b 0 k2那么b2解得b 21∴直线 BC 的分析式为 Y ＝－ 2 X ＋ 2、1∵点 E 在直线 BC 上，∴ E （ X ，－ 2X ＋2）、1假定 ED ＝ EB ，过点 E 作 EH ⊥ X 轴于 H ，如图 2，那么 DH ＝ 2 DB ＝ 1、∴ OH ＝OD ＋DH ＝2＋1＝3、11∴点 E 的横坐标为 3，代入直线 BC 的分析式，得 Y ＝－ 2 ×3＋2＝ 2、1∴E1（3， 2 ）、1假定 DE ＝ DB ，那么（ X － 2） 2＋（－ 2 X ＋ 2） 2＝22、4整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝ 4〔舍去〕，X2＝ 5 、1 4 848∴ Y ＝－ 2× 5＋2＝5，∴E2（ 5，5）、1假定 BE ＝ BD ，那么（ X － 4） 2＋（－ 2X ＋ 2）2＝22、45整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝45 〔此时点 P 在第四象限，舍去〕 ， X2445＝5、14 244 254555， 5∴Y ＝－ 2 ×（ 5）＋2＝ 5 ，∴ E3（ 5）、②△ CDP 有最大面积、 8 分过点 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于点 M ，如图 3、设直线 PC 的分析式为 Y ＝PX ＋ Q ，将 C （0， 2），P （ M ， N ）代入，q 2 pn 2m得 mpq n 解得 q2n 22n4∴直线PC 的分析式为Y ＝m X ＋ 2，∴ M （ 2，m＋2）、1S △CDP ＝ S △CDM ＋ S △PDM ＝ 2 XP ·YM12n 4＝ 2 M （ m ＋ 2） ＝ M ＋N －21 3＝ M ＋（－ 2 M2＋ 2 M ＋ 2）－ 215＝－ 2M2＋2M15 25＝－ 2（M － 2）2＋ 8525∴当M ＝2时，△ CDP 有最大面积，最大面积为8 、9 分153 521此时 N ＝－ 2×（ 2）2＋ 2× 2＋2＝ 85 21∴此时点 P 的坐标为（ 2 ， 8 ）、 10 分33. 如图，抛物线 Y ＝X2＋4X ＋ 3 交 X 轴于 A 、 B 两点，交 Y 轴于点 C ， ?抛物线的对称轴交 X 轴于点 E ，点 B 的坐标为（－ 1， 0）、〔 1〕求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；〔 2〕在平面直角坐标系 XOY 中能否存在点 P ，与 A 、B 、C 三点组成一个平行四边形？假定存在，请写出点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D ，在抛物线上能否存在点 M ，使得直线 CM把四边形 DEOC 分红面积相等的两部分？假定存在，恳求出直线 CM 的分析式；假定不存在，请说明原因、4解：〔 1〕对称轴为直线 X ＝－ 2＝－ 2，即 X ＝－ 2； 2 分 令 Y ＝ 0，得 X2＋4X ＋3＝0，解得 X1＝－ 1，X2＝－ 3、∵点 B 的坐标为（－ 1， 0），∴点 A 的坐标为（－ 3， 0）、 4 分〔 2〕存在，点 P 的坐标为（－ 2，3），（ 2， 3）和（－ 4，－ 3）、 7 分〔 3〕存在、 8 分当 X ＝ 0 时， Y ＝X2＋ 4X ＋3＝ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，3）、AO ＝ 3，EO ＝2，AE ＝ 1， CO ＝ 3、 ∵ DE ∥CO ，AEDE1DE∴△ AED ∽△ AOC 、∴ AO ＝ CO ，即 3 ＝ 3 、 ∴ DE ＝1、 9 分∵ DE ∥CO ，且 DE ≠ CO ，∴四边形DEOC 为梯形、1S 梯形 DEOC ＝ 2 （1＋3）× 2＝4、设直线 CM 交 X 轴于点 F ，如图、假定直线 CM 把梯形 DEOC 分红面积相等的两部分，那么 S △ COF ＝ 211 4即 2 CO · FO ＝2、∴ 2 ×3FO ＝2，∴ FO ＝ 3 、4∴点 F 的坐标为（－ 3，0）、 10分∵直线 CM 经过点 C （0， 3），∴设直线 CM 的分析式为 Y ＝KX ＋3、4 4把 F（－3， 0）代入，得－ 3 K＋3＝0、11 分9∴K＝4、9∴直线 CM的分析式为 Y＝4 X＋ 3、12 分34. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0， 2），点 C（－ 1，0），以下列图；抛物线Y＝ AX2＋ AX－ 2 经过点 B、〔1〕求点 B 的坐标；〔2〕求抛物线的分析式；〔3〕在抛物线上能否还存在点 P〔点 B 除外〕，使△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形？假定存在，求全部点P 的坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕过点 B 作 BD⊥ X 轴于 D、∵∠ BCD＋∠ ACO＝ 90°，∠ ACO＋∠ CAO＝ 90°、∴∠ BCD＝∠ CAO、 1 分又∵∠ BDC＝∠ COA＝ 90°， BC＝ CA、∴ RT△BCD≌RT△CAO，2 分∴BD＝CO＝1， CD＝AO＝2、 3 分∴点 B 的坐标为（－ 3， 1）； 4 分1 〔 2〕把B（－ 3，1）代入Y＝AX2＋AX－2，得1＝ 9A－ 3A－ 2，解得A＝2 、 6分1 1∴抛物线的分析式为Y＝2X2＋2X－2；7分〔 3〕存在、 8 分①延伸 BC至点 P1，使 CP1＝ BC，那么获得以点ACP1、C为直角极点的等腰直角三角形△9 分过点 P1 作 P1M⊥X 轴、∵CP1＝BC，∠ P1CM＝∠ BCD，∠ P1MC＝∠ BDC＝90°、∴ RT△P1CM≌ RT△ BCD， 10 分∴ CM＝CD＝2， P1M＝ BD＝1，可求得点P1（1，－ 1）；11 分1 1把 X＝1 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝－ 1、∴点 P1（ 1，－ 1）在抛物线上、12 分②过点 A 作 AP2⊥AC，且使 AP2＝ AC，那么获得以点 A 为直角极点的等腰直角三角形△ ACP2、13分过点 P2 作 P2N⊥Y 轴，同理可证 RT△ P2NA≌RT△AOC、14 分P2N＝ AO＝ 2， AN＝ CO＝ 1、可求得点P2（2，1）、15 分1 1把 X＝2 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝1、∴点 P2（ 2， 1）在抛物线上、 16 分综上所述，在抛物线上还存在点 P1（ 1，－ 1）和 P2（ 2， 1），使△ ACP仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形、35. 如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的极点坐标为C（4，－3），且在X轴上截得的线段AB 的长为 6、〔1〕求二次函数的分析式；〔2〕点 P 在 Y 轴上，且使得△ PAC的周长最小，求：①点 P 的坐标；②△ PAC的周长和面积；〔 3〕在 X 轴上方的抛物线上，能否存在点 Q，使得以 Q、A、B 三点为极点的三角形与△ ABC相像？假如存在，求出点 Q的坐标；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕设二次函数的分析式为Y＝ A（X－ 4） 2－3 （A≠0），且A（X1，0），B （X2，0）、∵Y＝ A（ X－4）2－3＝AX2－8AX＋16A－33∴ X1＋X2＝8， X1X2＝16－a 、3 3∴ AB2＝（ X1－X2）2＝（ X1＋X2） 2－ 4X1X2＝ 82－4（ 16－a）＝ 36，∴ A＝9 、3∴二次函数的分析式为 Y＝9（X－4）2－3 、 2 分〔2〕①如图 1，作点 A 对于 Y轴的对称点 A′，连结 A′C交 Y轴于点 P，连结 PA，那么点 P 为所求、3令 Y＝0，得9（X－4）2－3＝0，解得 X1＝ 1， X2＝7、∴A（ 1， 0）， B（7， 0）、∴ OA＝ 1，∴ OA′＝ 1、设抛物线的对称轴与X 轴交于点 D，那么 AD＝ 3， A′ D＝ 5， DC＝3 、OP A O OP 1 3∵△ A′OP∽△ ADC，∴DC＝AD，即3＝ 5 ，∴OP＝ 5 、3∴ P（ 0，－5）、 4 分②∵A′C＝ AD2 DC 2 ＝ 5 2 ( 3)2 ＝ 2 7 AC＝ AD 2 DC 2 ＝ 32 ( 3)2 ＝ 2 3∴△ PAC的周长＝ PA＋ PC＋AC＝A′C＋ AC＝27 ＋ 2 3 、 5 分1 1 3 4 3S△PAC＝ S△A′AC－ S△ A′ AP＝2A′ A（ DC－ OP）＝2×2×（3－5）＝ 5 、7分〔3〕存在、 8 分DC 3∵TAN∠BAC＝AD＝3，∴∠ BAC＝ 30°、同理，∠ ABC＝ 30°，∴∠ ACB＝ 120°， AC＝ BC、①假定以 AB为腰，∠ BAQ1为顶角，使△ ABQ1∽△ CBA，那么 AQ1＝ AB＝6，∠ BAQ1 ＝120°、如图 2，过点 Q1作 Q1H⊥X 轴于 H，那么3 1Q1H＝ AQ1·SIN60°＝ 6×2＝3 3， HA＝AQ1·COS60°＝ 6×2＝3、HO＝HA－ OA＝3－1＝2、∴点 Q1的坐标为（－ 2，3 3）、3 3把 X＝－2代入Y＝9 （X－ 4）2－ 3 ，得Y＝9（－2－4）2－ 3 ＝3 3 、∴点 Q1在抛物线上、9 分②假定以 BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为（ 10，3 3 ）、相同，点Q2也在抛物线上、10 分③假定以 AB为底， AQ， BQ为腰，点 Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去、11分综上所述，在 X 轴上方的抛物线上存在点Q1（－ 2，3 3）和 Q2（10，3 3），使得以 Q、 A、 B 三点为极点的三角形与△ ABC相像、12 分36.如图，抛物线 Y＝AX2＋BX＋C（A≠ 0）与 X 轴交于 A（－ 3， 0）、B 两点，与 Y轴订交于点 C（0，3）、当 X＝－ 4 和 X＝2 时，二次函数 Y＝ AX2＋ BX＋C（ A≠ 0）的函数值 Y 相等，连结 AC、 BC、〔 1〕务实数 A，B， C的值；〔 2〕假定点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA、 BC边运动，此中一个点抵达终点时，另一点也随之停止运动、当运动时间为T 秒时，连结MN，将△ BMN沿 MN翻折， B 点恰巧落在 AC边上的 P 处，求 T 的值及点P 的坐标；〔 3〕在〔 2〕的条件下，抛物线的对称轴上能否存在点Q，使得以B， N， Q为极点的三角形与△ ABC相像？假定存在，恳求出点 Q的坐标；y假定不存在，请说明原因、9a 3b c 0 Cc 3 P N16a 4b c 4a 2b c解：〔 1〕由题意得3 2 3A M OB x解得 A＝－3， B＝－3，C＝3、3 分3 2 3 3 2 3〔 2〕由〔 1〕知 Y＝－ 3 X2－3X＋3，令 Y＝ 0，得－3X2－3X＋3 ＝0、解得 X1＝－ 3，X2＝1、∵A （－ 3，0），∴ B （1，0）、又∵ C （0，3），∴OA ＝3，OB ＝1，OC ＝3 ，∴ AB ＝4，BC ＝2、OAy∴ TAN ∠ACO ＝ OC ＝3，∴∠ ACO ＝ 60°，∴∠ CAO ＝ 30°、同理，可求得∠ CBO ＝60°，∠ BCO ＝ 30°，∴∠ ACB ＝90°、C∴△ ABC 是直角三角形、PN又∵ BM ＝ BN ＝ T ，∴△ BMN 是等边三角形、∴∠ BNM ＝ 60°，∴∠ PNM ＝ 60°，∴∠ PNC ＝60°、PNABAH M O Bx∴ RT △PNC ∽RT △ABC ，∴NC＝BC、图 1t4由题意知 PN ＝ BN ＝ T ， NC ＝BC －BN ＝ 2－T ，∴ 2 t ＝ 2 、4∴T ＝ 3、 4分41∴OM ＝BM －OB ＝ 3 －1＝ 3 、4 3 2 3如图 1，过点 P 作 PH ⊥ X 轴于 H ，那么 PH ＝ PM · SIN60°＝ 3 × 2 ＝ 3 、4 1 2MH ＝ PM · COS60°＝ 3 × 2 ＝ 3、1 2∴ OH ＝OM ＋MH ＝ 3 ＋ 3＝1、2 3∴点 P 的坐标为（－ 1， 3）、 6 分〔 3〕存在、由〔 2〕知△ ABC 是直角三角形，假定△ BNQ 与△ ABC 相像，那么△ BNQ 也是直角三角形、3 2 3∵二次函数 Y ＝－3X2－3X ＋3的图象的对称轴为X ＝－ 1、∴点 P 在对称轴上、∵ PN ∥X 轴，∴ PN ⊥对称轴、又∵ QN ≥ PN ， PN ＝ BN ，∴ QN ≥BN 、 ∴△ BNQ 不存在以点 Q 为直角极点的情况、①如图 2，过点 N 作 QN ⊥对称轴于 Q ，连结 BQ ，那么△ BNQ 是以点 N 为直角极点的 直角三角形，且 QN 》PN ，∠ MNQ ＝30°、43PN38 3∴∠ PNQ ＝ 30°，∴ QN ＝ cos30o ＝ 2 ＝ 9 、8 39 QN42 3∴ BN ＝3＝3、ACQN AC∵ BC ＝TAN60°＝ 3，∴BN ≠BC 、∴当△ BNQ 以点 N 为直角极点时，△ BNQ 与△ ABC 不相像、 7 分 ②如图 3，延伸 NM 交对称轴于点 Q ，连结 BQ ，那么∠ BMQ ＝ 120°、 ∵∠ AMP ＝ 60°，∠ AMQ ＝∠ BMN ＝ 60°，∴∠ PMQ ＝120°、 ∴∠ BMQ ＝∠ PMQ ，又∵ PM ＝ BM ， QM ＝ QM 、 ∴△ BMQ ≌△ PMQ ，∴∠ BQM ＝∠ PQM ＝ 30°、 ∵∠ BNM ＝ 60°，∴∠ QBN ＝ 90°、 ∵∠ CAO ＝ 30°，∠ ACB ＝90°、 ∴△ BNQ ∽△ ABC 、 8 分∴当△ BNQ 以点 B 为直角极点时，△ BNQ ∽△ ABC 、 设对称轴与 X 轴的交点为 D 、∵∠ DMQ ＝∠ DMP ＝ 60°， DM ＝DM ，∴ RT △ DMQ ≌ RT △ DMP 、 ∴ DQ ＝PD ，∴点 Q 与点 P 对于 X 轴对称、2 3∴点 Q 的坐标为（－ 1，－ 3 ）、9 分2 3综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点 Q （－ 1，－3），使得以 B ， N ，Q 为顶点的三角形与△ ABC 相像、 10 分37. 如图①，抛物线 Y ＝ AX2＋ BX ＋ 3〔 A ≠ 0〕与 X 轴交于点 A （1，0）和点 B （－ 3， 0），与 Y 轴交于点 C 、〔 1〕求抛物线的分析式；〔 2〕设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 M ，问在对称轴上能否存在点P ，使△ CMP 为等腰三角形？假定存在，请直接写出全部切合条件的点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕如图②，假定点 E 为第二象限抛物线上一动点，连结 BE 、CE ，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标、a ＋b ＋ ＝ 0a 3－b ＋ ＝解：〔 1〕由题意得 9 330 、1 分a ＝ －1解得b ＝－2、2 分∴所求抛物线的分析式为 Y ＝－ X2－ 2X ＋ 3；3 分〔 2〕存在切合条件的点 P ，其坐标为 P （－ 1，10）或P （－ 1，－10 ）5或 P （－ 1，6）或 P （－ 1， 3 ）； 7 分〔 3〕解法一：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ M ，－ M2－ 2M ＋3）〔－ 3《A 《 0〕那么 EF ＝－ M2－2M ＋3， BF ＝ M ＋ 3， OF ＝－ M 、 8 分 ∴ S 四边形 BOCE ＝ S △BEF ＋ S 梯形 FOCE1 1＝ 2 BF · EF ＋ 2 （ EF ＋ OC ）·OF11＝ 2 （M ＋3）（－ M2－2M ＋3）＋ 2（－ M2－2M ＋6）（－ M ）、 9 分3 99 ＝－ 2 M2－ 2M ＋ 2 10分33 63＝－ 2 （M ＋ 2 ）2＋ 8363∴当 M ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为8 、11分33 15此时 Y ＝－（－ 2 ）2－2×（－ 2 ）＋ 3＝ 4315∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ，4）、 12 分解法二：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ X ， Y ）〔－ 3《 X 《 0〕 8 分 那么 S 四边形 BOCE ＝S △ BEF ＋ S 梯形 FOCE11＝ 2 BF · EF ＋ 2（ EF ＋ OC ）·OF1 1＝ 2 （3＋X ）· Y ＋ 2 （3＋ Y ）（－ X ）、 9 分 33＝ 2 （Y －X ）＝ 2 （－ X2－3X ＋ 3）、 10 分33 63＝－ 2 （X ＋ 2 ）2＋ 8363∴当 X ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为8 、11分3315此时 Y ＝－（－ 2）2－2×（－2）＋3＝43 15∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ， 4 ）、 12 分38. 如图，抛物线 Y ＝AX2＋BX ＋C 与 X 轴交于 A 、B 两点，与 Y 轴交于点 C 、此中点 A 在 X 轴的负半轴上，点 C 在 Y 轴的负半轴上，线段 OA 、OC 的长〔 OA 《OC 〕是方程 X2 －5X ＋4＝ 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线X ＝1、〔 1〕求 A 、B 、C 三点的坐标； 〔 2〕求此抛物线的分析式；〔 3〕假定点 D 是线段 AB 上的一个动点〔与点 A 、B 不重合〕，过点 D 作 DE ∥ BC 交AC 于点 E ，连结 CD ，设 BD 的长为 M ，△ CDE 的面积为 S ，求 S 与 M 的函数关系式，并写出自变量 M 的取值范围、 S 能否存在最大值？假定存在， 求出最大值并求此时 D 点坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕∵ OA、OC的长是方程X2－5X＋4＝ 0 的两个根， OA《OC、∴OA＝1， OC＝ 4、∵点 A 在 X 轴的负半轴，点C在 Y 轴的负半轴∴A〔－ 1，0〕，C〔0，－ 4〕、∵抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋ C的对称轴为X＝ 1∴由对称性可得 B 点坐标为〔 3， 0〕、∴A、 B、 C三点的坐标分别是： A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，－ 4〕、3 分〔2〕∵点 C〔 0，－ 4〕在抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋C图象上，∴ C＝－ 4、 4 分将 A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕代入 Y＝AX2＋BX－4 得a ＝4a －b－4 ＝03b ＝－8 ＋－＝9a 3b 4 0解得 3 6 分48∴此抛物线的分析式为Y＝3X2－3X－4、 7分〔3〕∵ BD＝M，∴ AD＝ 4－M、在 RT△ BOC中， BC2＝OB2＋ OC2＝ 32＋ 42＝ 25，∴BC＝5、∵ DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC、DEAD－DE4 m∴BC＝AB，即 5 ＝ 4 、20－ 5m∴DE＝4、OC 4过点 E 作 EF⊥ AB于点 F，那么 SIN∠ EDF＝ SIN∠CBA＝BC＝5、EF 4 4 4 20－ 5m∴ DE ＝5，∴EF＝ 5DE＝5 × 4 ＝4－M、9 分∴S＝ S△ CDE＝ S△ ADC－ S△ ADE1 1＝ 2 （4－M）×4－ 2 （4－M）（4－M）1＝－2M2＋2M1＝－ 2 （M－2）2＋2〔0《M《4〕、10分1∵－ 2《0∴当 M＝2 时， S有最大值 2、 11 分此时 OD＝OB－BD＝ 3－2＝1、∴此时 D 点坐标为〔 1， 0〕、12 分39.如图，抛物线 Y＝ A（ X＋3）（ X－1）与 X 轴订交于 A、B 两点〔点 A 在点 B 右边〕，过点 A 的直线交抛物线于另一点 C，点 C的坐标为（－ 2， 6）、〔 1〕求 A 的值及直线 AC的函数关系式；〔 2〕 P 是线段 AC上一动点，过点P 作 Y 轴的平行线，交抛物线于点M，交 X 轴于点 N、①求线段 PM长度的最大值；②在抛物线上能否存在这样的点 M，使得△ CMP与△ APN相像？假如存在，请直接写出全部知足条件的点 M的坐标〔不用写解答过程〕；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕由题意得 6＝ A（－ 2＋ 3）（－ 2－ 1），∴ A＝－ 2、 1 分∴抛物线的分析式为 Y＝－ 2（ X＋ 3）（ X－ 1），即 Y＝－ 2X2－ 4X＋ 6令－ 2（X＋3）（X－ 1）＝ 0，得 X1＝－ 3， X2＝ 1∵点 A 在点 B 右边，∴ A（1，0），B（－ 3，0）设直线 AC 的函数关系式为 Y ＝ KX ＋B ，把 A （ 1，0）、C （－ 2，6）代入，得k ＋ b ＝ 0k ＝ －2－k b＝＋ ＝6解得 b 22∴直线 AC 的函数关系式为 Y ＝－ 2X ＋ 2、 3 分〔 2〕①设 P 点的横坐标为 M （－ 2≤ M ≤1），那么 P （ M ，－ 2M ＋ 2）， M （M ，－ 2M2－ 4M ＋ 6）、 4 分∴ PM ＝－ 2M2－ 4M ＋ 6－（－ 2M ＋ 2） ＝－ 2M2－ 2M ＋ 419＝－ 2（M ＋ 2 ）2＋219∴当 M ＝－ 2时，线段 PM 长度的最大值为 2 、 6 分 ②存在 M1（0，6 ）、 7分155M2（－ 4 ，8）、 9 分点 M 的坐标的求解过程以下〔原题不作要求，自己增添，仅供参照〕ⅰ）如图 1，当 M 为直角极点时，连结 CM ，那么 CM ⊥ PM ，△ CMP ∽△ ANP∵点 C （－ 2， 6），∴点 M 的纵坐标为 6，代入 Y ＝－ 2X2－4X ＋ 6 得－ 2X2－ 4X ＋ 6＝ 6，∴ X ＝－ 2〔舍去〕或 X ＝ 0 ∴M1（0，6）〔此时点 M 在 Y 轴上，即抛物线与 Y 轴的交点，此时直线 MN 与 Y 轴 重合，点 N 与原点 O 重合〕 ⅱ）如图 2，当 C 为直角极点时，设M （M ，－ 2M2－ 4M ＋ 6）（－ 2≤ M ≤ 1）过 C 作 CH ⊥MN 于 H ，连结 CM ，设直线 AC 与 Y 轴订交于点 D 那么△ CMP ∽△ NAP又∵△ HMC ∽△ CMP ，△ NAP ∽△ OAD ，∴△ HMC ∽△ OADCHMH∴OD ＝ OA∵C（－ 2，6），∴ CH＝ M＋2，MH＝－ 2M2－ 4M＋6－ 6＝－ 2M2－4M 在 Y＝－ 2X＋ 2 中，令 X＝0，得 Y＝2∴D（ 0， 2），∴ OD＝ 2m 2 2m2 4m∴ 2 ＝ 11整理得 4M2＋ 9M＋2＝0，解得 M＝－ 2〔舍去〕或 M＝－41 1 1 55当 M＝－4时，－ 2M2－4M＋6＝（－4）2－4×（－4）＋ 6＝8155∴M2（－4，8）7 D（0，9 34，该图象在 X如图，二次函数的图象经过点），且极点 C 的横坐标为轴上截得的线段AB 的长为 6、〔1〕求该二次函数的分析式；〔2〕在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA＋PD最小，求出点 P 的坐标；〔 3〕在抛物线上能否存在点Q，使△ QAB与△ ABC相像？假如存在，求出点Q的坐标；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕设该二次函数的分析式为Y＝ A（ X－ H）2＋ K73∵极点 C 的横坐标为 4，且过点D（0，9）73∴9＝16A＋K①又∵对称轴为直线X＝ 4，图象在 X 轴上截得的线段AB的长为 6 ∴A（ 1， 0），B（7，0）∴0＝ 9A＋ K②3由①②解得A＝9，K＝－33∴该二次函数的分析式为Y＝9（X－4）2－3〔 2〕∵点 A、 B 对于直线 X＝4 对称，∴ PA＝ PB ∴PA＋PD＝PB＋PD≥ DB∴当点 P 在线段 DB上时， PA＋ PD获得最小值∴ DB与对称轴的交点即为所求的点P，如图 1设直线 X＝4 与 X轴交于点 M∵PM∥OD，∴∠ BPM＝∠ BDO又∠ PBM＝∠ DBO，∴△ BPM∽△ BDOPMPMBM 7 3 33＝ 7 ，∴PM＝3 '∴DO＝BO，即93∴点 P 的坐标为（ 4，3）〔3〕由〔 1〕知点 C（4，－3），又∵ AM＝ 3，∴在 RT△ ACM中， TAN∠ ACM＝3，∴∠ACM＝60°∵AC＝BC，∴∠ ACB＝120°①如图 2，当点 Q在 X轴上方时，过 Q作 QN⊥ X 轴于 N 假如 AB＝ BQ，由△ ABC∽△ ABQ，得 BQ＝6，∠ ABQ＝120°∴∠ QBN＝ 60°∴QN＝3 3，BN＝3，ON＝10∴此时点 Q的坐标为（ 10，3 3）3∵9（10－4）2－3＝3 3，∴点Q在抛物线上假如 AB＝ AQ，由对称性知Q（－ 2，3 3），且也在抛物线上②当点 Q在 X 轴下方时，△ QAB就是△ ACB∴此时点 Q的坐标为（ 4，－3）综上所述，在抛物线上存在点Q，使△ QAB与△ ABC相像点 Q的坐标为（ 10，3 3）或（－ 2，3 3）或（ 4，－3）、41.，如图，抛物线 Y＝ AX2＋ 3AX＋C〔 A》 0〕与 Y 轴交于 C点，与 X轴交于 A、 B 两点， A 点在 B点左边，点 B 的坐标为〔 1，0〕，OC＝3OB、〔1〕求抛物线的分析式；〔2〕假定点 D是线段 AC下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD面积的最大值；〔3〕假定点 E在 X 轴上，点 P 在抛物线上，能否存在以 A、C、E、P 为极点且以 AC 为一边的平行四边形？假定存在，求点P 的坐标；假定不存在，请说明原因、3a 3解：〔 1〕∵对称轴 X＝－2a ＝－ 2 、 1 分又∵ OC＝ 3OB＝ 3， A》0∴C（ 0，－ 3）、 2 分方法一：把B（1， 0）、 C（0，－ 3）代入 Y＝AX2＋ 3AX＋ C得：3a＋3a＋ c＝ 0解得a＝4c ＝－ 3c ＝－ 33 9∴抛物线的分析式为 Y＝4X2＋4 X－3、 4 分方法二：令AX2＋3AX＋ C＝0，那么 XA＋XB＝－ 3∵ B（ 1， 0），∴ XA＋ 1＝－ 3，∴ XA＝－ 4∴A（－ 4，0）∴可设抛物线的分析式为Y＝A（ X＋ 4）（ X－1），把 C（ 0，－ 3）代入3得－ 3＝A（0＋ 4）（0－1），∴ A＝43∴抛物线的分析式为Y＝4（X＋4）（X－1）3 9即 Y＝4 X2＋4 X－3、 4 分〔 2〕方法一：如图1，过点 D作 DN⊥ X轴，垂足为N，交线段AC于点M∵S 四边形 ABCD＝ S△ABC＋ S△ACD1 1＝ 2 AB·OC＋ 2 DM·（AN＋ON）1 1＝ 2 （4＋1）×3＋ 2 DM·415＝2＋2DM、5分设直线 AC的分析式为Y＝KX＋ B，把 A（－ 4， 0）、 C（0，－ 3）代入3－4k＋ b＝0得解得 k＝－4b＝－ 3b＝－ 33∴直线 AC的分析式为 Y＝－4 X－ 3、 6 分3 9 3设 D（X，4X2＋4 X－3），那么 M（X，－4X－3）3 3 9 3∴ DM＝－4X－ 3－（4X2＋4 X－3）＝－4（X＋ 2）2＋3、 7 分当 X＝－ 2 时， DM有最大值 31527此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为： 2方法二：如图2，过点 D作 DQ⊥ Y轴于 Q，过点＋2×3＝2、8分C作 CC1∥X 轴交抛物线于C13 9 3 9设 D（ X，4X2＋4 X－ 3），那么 DQ＝－ X， OQ＝－4X2－4 X＋3从图象可判断当点 D在 CC1下方的抛物线上运动时，四边形 ABCD面积才有最大值那么 S 四边形 ABCD＝S△ BOC＋ S 梯形 AOQD－S△ CDQ11 1＝2 OB·OC＋ 2 （AO＋DQ）·OQ－ 2 DQ·CQ11 1＝ 2 ×1×3＋ 2 （4＋DQ）·OQ－ 2 DQ·（OQ－3）3 3＝ 2 ＋2OQ＋2 DQ、 5 分3 3 9 3＝ 2－2（4X2＋4X－3）－ 2X315＝－ 2 X2－6X＋ 2327＝－ 2 （X＋2）2＋ 2 、7分27 当 X＝－ 2 时，四边形ABCD面积有最大值 28 分〔 3〕如图 3①过点 C 作 CP1∥X 轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交X 轴于点E1，那么四边形 ACP1E1为平行四边形、9 分39∵C（ 0，－ 3），令4 X2＋4 X－ 3＝－ 3解得 X1＝ 0， X2＝3，∴ CP1＝ 3∴ P1（－ 3，－ 3）、11 分②平移直线 AC交 X 轴于点 E，交 X 轴上方的抛物线于点 P，当 AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形、12 分∵ C（ 0，－ 3），∴设 P（ X， 3）3 9 －3＋ 41 － 3 －41由4X2＋4 X－ 3＝3，解得 X＝ 2 或 X＝ 2 －3＋ 41 －3－ 41∴ P2（ 2 ， 3）， P3（ 2 ，3）、14 分综上所述，存在以A、C、E、P 为极点且以 AC为一边的平行四边形，点P 的坐标分别为：－3＋ 41 －3－ 41P1（－ 3，－ 3），P2（ 2 ， 3）， P3（ 2 ， 3）142.如图，在平面直角坐标系 XOY中，抛物线 Y＝－2 X2＋BX＋C 与 X 轴交于 A（1，0）、 B（5，0）两点、〔 1〕求抛物线的分析式和极点 C的坐标；〔 2〕设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 D，将∠ DCB绕点 C按顺时针方向旋转，角的两边 CD和 CB与 X 轴分别交于点P、Q，设旋转角为α（ 0°《α ≤90°）、①当α等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？②设 BP＝ T， AQ＝S，求 S 与 T 之间的函数关系式、1－ 2 ＋b＋c＝0解：〔 1〕依据题意，得、、 1 分25－2＋ 5b＋c＝ 0b＝ 3解得 5 、、 2 分c＝－21 5∴抛物线的分析式为Y＝－2 X2＋ 3X－2 、 3 分1即 Y＝－2（ X－3）2＋2、∴极点 C 的坐标为〔 3， 2〕、、 4 分〔2〕①∵ CD＝ DB＝ AD＝ 2， CD⊥AB，∴∠ DCB＝∠ CBD＝ 45°、 5 分1ⅰ〕假定CQ＝ CP，那么∠PCD＝2 ∠PCQ＝°、∴当α＝ 22.5 °时，△ CPQ是等腰三角形、6 分ⅱ〕假定 CQ＝ PQ，那么∠ CPQ＝∠ PCQ＝45°，此时点 Q与 D 重合，点 P 与 A 重合、∴当α＝ 45°时，△ CPQ是等腰三角形、7 分ⅲ〕假定 PC＝ PQ，那么∠ PCQ＝∠ PQC＝45°，此时点∴α＝0°，不合题意、8 分∴当α＝ 22.5 °或 45°时，△ CPQ是等腰三角形、②连结 AC，∵ AD＝ CD＝ 2，CD⊥AB，Q与 B 重合，点9 分P 与D重合、∴∠ ACD＝∠ CAD＝ 45°， AC＝BC＝22＋22 ＝22 、10 分ⅰ〕当 0°《α≤45°时，∵∠ ACQ＝∠ ACP＋∠ PCQ＝∠ ACP＋45°、∠BPC＝∠ ACP＋∠ CAD＝∠ ACP＋ 45°、∴∠ ACQ＝∠ BPC、11 分又∵∠ CAQ＝∠ PBC＝ 45°，∴△ ACQ∽△ BPC、AQ AC∴BC＝BP、∴AQ·BP＝AC·BC＝2 2×2 2＝8、 12 分ⅱ〕当 45°《α《 90°时，同理可得AQ· BP＝AC· BC＝ 8、13 分8∴ S＝t、14 分2018 中考数学压轴题及答案40 例〔 8〕32.： RT△ ABC的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形搁置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB与 X 轴重合〔此中 OA《OB〕，直角极点 C落在 Y 轴正半轴上〔如图1〕、〔1〕求线段 OA、OB的长和经过点 A、 B、 C的抛物线的关系式、〔2〕如图 2，点 D 的坐标为〔 2，0〕，点 P〔 M，N〕是该抛物线上的一个动点〔此中 M》 0， N》 0〕，连结 DP交 BC于点 E、①当△ BDE是等腰三角形时，直接写出此时点 E 的坐标、②又连结 CD、CP〔如图 3〕，△ CDP能否有最大面积？假定有，求出△CDP的最大面积和此时点P 的坐标；假定没有，请说明原因、OA OC解：〔 1〕由题意知RT△△ AOC∽ RT△ COB，∴OC＝OB、∴OC2＝OA·OB＝OA（AB－OA），即 22＝OA（5－ OA）、∴OA2－5OA＋ 4＝0，∵ OA《 OB，∴ OA＝1， OB＝ 4、 2 分∴A（－ 1，0），B（4，0），C（0，2）、∴可设所求抛物线的关系式为Y＝A（X＋1）（X－4）、 3 分1将点 C（0，2）代入，得 2＝ A（ 0＋1）（0－4），∴A＝－2、1∴经过点 A、 B、C 的抛物线的关系式为Y＝－2（X＋1）（X－4）、 4 分1 3即 Y＝－2X2＋2X＋2、14 842545， 5〔2〕① E1（3， 2 ），E2（ 5 ， 5 ），E3（ 5 ）、7 分 对于点 E 的坐标求解过程以下〔原题不作要求，自己增添，仅供参照〕 ：设直线 BC 的分析式为 Y ＝KX ＋ B 、1 4k b 0k2那么b2解得b 21∴直线 BC 的分析式为 Y ＝－ 2X ＋ 2、1∵点 E 在直线 BC 上，∴ E （ X ，－ 2 X ＋2）、1假定 ED ＝ EB ，过点 E 作 EH ⊥ X 轴于 H ，如图 2，那么 DH ＝ 2 DB ＝ 1、 ∴ OH ＝OD ＋DH ＝2＋1＝3、11∴点 E 的横坐标为3，代入直线 BC 的分析式，得 Y ＝－ 2 ×3＋2＝ 2 、1∴E1（3， 2 ）、1假定 DE ＝ DB ，那么（ X － 2） 2＋（－ 2 X ＋ 2） 2＝22、4整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝ 4〔舍去〕，X2＝ 5 、1 4 848∴ Y ＝－ 2× 5＋2＝5，∴E2（ 5，5）、1假定 BE ＝ BD ，那么（ X － 4） 2＋（－ 2X ＋ 2）2＝22、45整理得 5X2－ 24X ＋ 16＝ 0，解得 X1＝45 〔此时点 P 在第四象限，舍去〕 ， X2445＝5、14 244 254555， 5∴Y ＝－ 2 ×（ 5）＋2＝ 5 ，∴ E3（5）、②△ CDP 有最大面积、 8 分过点 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于点 M ，如图 3、设直线 PC 的分析式为 Y ＝PX ＋ Q ，将 C （0， 2），P （ M ， N ）代入，n 2q 2pm得 mp q n 解得 q 2n 2 2n 4∴直线 PC 的分析式为 Y ＝ m X ＋ 2，∴ M （ 2， m ＋2）、1S △CDP ＝ S △CDM ＋ S △PDM ＝ 2 XP ·YM12n 4＝ 2 M （ m ＋ 2） ＝ M ＋N －21 3＝ M ＋（－ 2 M2＋ 2 M ＋ 2）－ 215＝－ 2M2＋2M1525＝－ 2（M － 2）2＋ 8525∴当M ＝2时，△ CDP 有最大面积，最大面积为8 、9 分153521此时 N ＝－ 2×（ 2）2＋ 2× 2＋2＝ 85 21∴此时点 P 的坐标为（ 2 ， 8 ）、 10 分33. 如图，抛物线 Y ＝X2＋4X ＋ 3 交 X 轴于 A 、 B 两点，交 Y 轴于点 C ， ?抛物线的对称轴交 X 轴于点 E ，点 B 的坐标为（－ 1， 0）、〔 1〕求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；〔 2〕在平面直角坐标系 XOY 中能否存在点 P ，与 A 、B 、C 三点组成一个平行四边形？假定存在，请写出点 P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D ，在抛物线上能否存在点 M ，使得直线 CM把四边形 DEOC 分红面积相等的两部分？假定存在，恳求出直线 CM 的分析式；假定不存在，请说明原因、4解：〔 1〕对称轴为直线 X ＝－ 2 ＝－ 2，即 X ＝－ 2； 2 分 令 Y ＝ 0，得 X2＋4X ＋3＝0，解得 X1＝－ 1，X2＝－ 3、∵点 B 的坐标为（－ 1， 0），∴点 A 的坐标为（－ 3， 0）、 4 分〔 2〕存在，点 P 的坐标为（－ 2，3），（ 2， 3）和（－ 4，－ 3）、 7 分〔 3〕存在、 8 分当 X ＝ 0 时， Y ＝X2＋ 4X ＋3＝ 3，∴点 C 的坐标为（ 0，3）、AO ＝ 3，EO ＝2，AE ＝ 1， CO ＝ 3、 ∵ DE ∥CO ，AEDE1DE∴△ AED ∽△ AOC 、∴ AO ＝ CO ，即 3 ＝ 3、 ∴ DE ＝1、 9 分∵ DE ∥CO ，且 DE ≠ CO ，∴四边形 DEOC 为梯形、1S 梯形 DEOC ＝ 2（1＋3）× 2＝4、设直线 CM 交 X 轴于点 F ，如图、假定直线CM把梯形DEOC分红面积相等的两部分，那么S△ COF＝ 21 1 4即 2 CO·FO＝2、∴ 2 ×3FO＝2，∴FO＝ 3 、4∴点 F 的坐标为（－ 3 ，0）、10分∵直线 CM经过点 C（0， 3），∴设直线CM的分析式为 Y＝KX＋3、4 4把F（－3， 0）代入，得－3K＋3＝0、11 分9∴K＝4、9∴直线 CM的分析式为Y＝4 X＋ 3、12 分34. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0， 2），点 C（－ 1，0），以下列图；抛物线Y＝ AX2＋ AX－ 2 经过点 B、〔1〕求点 B 的坐标；〔2〕求抛物线的分析式；〔3〕在抛物线上能否还存在点 P〔点 B 除外〕，使△ ACP仍旧是以 AC为直角边的等腰直角三角形？假定存在，求全部点P 的坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕过点 B 作 BD⊥ X 轴于 D、∵∠ BCD＋∠ ACO＝ 90°，∠ ACO＋∠ CAO＝ 90°、∴∠ BCD＝∠ CAO、 1 分又∵∠ BDC＝∠ COA＝ 90°， BC＝ CA、∴ RT△BCD≌RT△CAO，2 分∴BD＝CO＝1， CD＝AO＝2、 3 分∴点 B 的坐标为（－ 3， 1）； 4 分1 〔 2〕把B（－ 3，1）代入Y＝AX2＋AX－2，得1＝ 9A－ 3A－ 2，解得A＝2 、 6分1 1∴抛物线的分析式为Y＝2X2＋2X－2；7分〔 3〕存在、 8 分①延伸 BC至点 P1，使 CP1＝ BC，那么获得以点ACP1、C为直角极点的等腰直角三角形△9 分过点 P1 作 P1M⊥X 轴、∵CP1＝BC，∠ P1CM＝∠ BCD，∠ P1MC＝∠ BDC＝ 90°、∴ RT△P1CM≌ RT△ BCD， 10 分∴ CM＝CD＝2， P1M＝ BD＝1，可求得点P1（1，－ 1）；11 分1 1把 X＝1 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝－ 1、∴点 P1（ 1，－ 1）在抛物线上、12 分②过点 A 作 AP2⊥AC，且使 AP2＝ AC，那么获得以点 A 为直角极点的等腰直角三角形△ ACP2、13 分过点 P2 作 P2N⊥Y 轴，同理可证RT△ P2NA≌RT△AOC、14 分P2N＝ AO＝ 2， AN＝ CO＝ 1、可求得点P2（2，1）、15 分1 1把 X＝2 代入 Y＝2 X2＋2 X－2，得 Y＝1、∴点 P2（ 2， 1）在抛物线上、 16 分综上所述，在抛物线上还存在点 P1（ 1，－ 1）和 P2（ 2， 1），使△ ACP仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形、35. 如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的极点坐标为C（4，－3），且在X轴上截得的线段AB 的长为 6、〔1〕求二次函数的分析式；〔2〕点 P 在 Y 轴上，且使得△ PAC的周长最小，求：①点 P 的坐标；②△ PAC的周长和面积；〔 3〕在 X 轴上方的抛物线上，能否存在点 Q，使得以 Q、A、B 三点为极点的三角形与△ ABC相像？假如存在，求出点 Q的坐标；假如不存在，请说明原因、解：〔 1〕设二次函数的分析式为Y＝ A（X－ 4） 2－3 （A≠0），且A（X1，0），B（X2，0）、∵Y＝ A（ X－4）2－3＝AX2－8AX＋16A－33∴ X1＋X2＝8， X1X2＝16－a、3 3∴ AB2＝（ X1－X2）2＝（ X1＋X2） 2－ 4X1X2＝ 82－4（ 16－a）＝ 36，∴ A＝9 、3∴二次函数的分析式为 Y＝9（X－4）2－3 、 2 分〔2〕①如图 1，作点 A 对于 Y轴的对称点 A′，连结 A′C交 Y轴于点 P，连结 PA，那么点 P 为所求、3令 Y＝0，得9（X－4）2－3＝0，解得 X1＝ 1， X2＝7、∴A（ 1， 0）， B（7， 0）、∴ OA＝ 1，∴ OA′＝ 1、设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 D，那么 AD＝ 3， A′ D＝ 5， DC＝3、OP A O OP 1 3∵△ A′OP∽△ ADC，∴DC＝AD，即3＝ 5 ，∴OP＝ 5 、3∴ P（ 0，－5）、 4 分②∵A′C＝ AD2 DC 2 ＝ 5 2 ( 3)2 ＝ 2 7 AC＝ AD 2 DC 2 ＝ 32 ( 3)2 ＝ 2 3∴△ PAC的周长＝ PA＋ PC＋AC＝A′C＋ AC＝27 ＋ 2 3 、 5 分1 1 3 4 3S△PAC＝ S△A′AC－ S△ A′ AP＝2 A′ A（ DC－ OP）＝2×2×（3－5）＝ 5 、7分〔3〕存在、 8 分DC 3∵TAN∠BAC＝AD＝3，∴∠ BAC＝ 30°、同理，∠ ABC＝ 30°，∴∠ ACB＝ 120°， AC＝ BC、①假定以 AB为腰，∠ BAQ1为顶角，使△ ABQ1∽△ CBA，那么 AQ1＝ AB＝6，∠ BAQ1 ＝120°、如图 2，过点 Q1作 Q1H⊥X 轴于 H，那么3 1Q1H＝ AQ1·SIN60°＝ 6×2＝3 3， HA＝AQ1·COS60°＝6×2＝3、HO＝HA－ OA＝3－1＝2、∴点 Q1的坐标为（－2，3 3）、3 3把 X＝－2代入 Y＝9（X－4）2－3，得 Y＝9（－2－4）2－3＝3 3、∴点 Q1在抛物线上、9 分②假定以 BA为腰，∠ ABQ2为顶角，使△ ABQ2∽△ ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为（ 10，3 3）、相同，点Q2也在抛物线上、10 分③假定以 AB为底， AQ， BQ为腰，点 Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去、11分综上所述，在 X 轴上方的抛物线上存在点Q1（－ 2，3 3）和 Q2（10，3 3），使得以 Q、 A、 B 三点为极点的三角形与△ ABC相像、12 分36.如图，抛物线 Y＝AX2＋BX＋C（A≠ 0）与 X 轴交于 A（－ 3， 0）、B 两点，与 Y轴订交于点C（0，3）、当X＝－4和X＝2时，二次函数Y＝AX2＋BX＋C（A≠0）的函数值 Y 相等，连结 AC、 BC、〔 1〕务实数 A，B， C的值；〔 2〕假定点 M、N 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、 BC边运动，此中一个点抵达终点时，另一点也随之停止运动、当运动时间为T 秒时，连结MN，将△ BMN沿 MN翻折， B 点恰巧落在 AC边上的 P 处，求 T 的值及点 P 的坐标；〔 3〕在〔 2〕的条件下，抛物线的对称轴上能否存在点Q，使得以 B， N， Q为极点的三角形与△ ABC相像？假定存在，恳求出点 Q的坐标；y假定不存在，请说明原因、9a 3b c 0 Cc 3 P N16a 4b c 4a 2b c解：〔 1〕由题意得A M OB x3 2 3解得 A＝－3， B＝－3，C＝3、3 分3 2 3 3 2 3〔 2〕由〔 1〕知 Y＝－ 3 X2－3X＋3，令 Y＝ 0，得－3X2－ 3 X＋3 ＝0、解得 X1＝－ 3，X2＝1、∵A（－ 3，0），∴ B（1，0）、又∵ C（0，3），∴OA＝3，OB＝1，OC＝3，∴AB＝4，BC＝2、OA y∴TAN∠ACO＝OC＝3，∴∠ ACO＝ 60°，∴∠ CAO＝ 30°、同理，可求得∠ CBO＝60°，∠ BCO＝ 30°，∴∠ ACB＝90°、 C∴△ ABC是直角三角形、P N又∵ BM＝ BN＝ T，∴△ BMN是等边三角形、∴∠ BNM＝ 60°，∴∠ PNM＝ 60°，∴∠ PNC＝60°、PNAB A H M O B x ∴ RT△PNC∽RT△ABC，∴NC＝BC、图 1t 4由题意知 PN＝ BN＝ T， NC＝BC－BN＝ 2－T，∴2 t ＝ 2 、4∴T＝3、 4分4 1∴OM＝BM－OB＝3－1＝3、4 3 2 3如图 1，过点 P 作 PH⊥ X 轴于 H，那么 PH＝ PM· SIN60°＝3× 2 ＝ 3 、41 2MH＝ PM· COS60°＝3×2＝3、1 2∴OH＝OM＋MH＝3＋3＝1、2 3∴点 P 的坐标为（－ 1，3）、 6 分〔 3〕存在、由〔 2〕知△ ABC是直角三角形，假定△ BNQ与△ ABC相像，那么△ BNQ也是直角三角形、3 2 3∵二次函数Y＝－3X2－3X＋3的图象的对称轴为X＝－1、∴点 P 在对称轴上、∵PN∥X 轴，∴ PN⊥对称轴、又∵ QN≥ PN， PN＝ BN，∴ QN≥BN、∴△ BNQ不存在以点 Q为直角极点的情况、①如图 2，过点 N作 QN⊥对称轴于 Q，连结 BQ，那么△ BNQ是以点 N为直角极点的直角三角形，且QN》PN，∠ MNQ＝30°、43PN 3 8 3∴∠ PNQ＝ 30°，∴ QN＝cos30o＝ 2 ＝9 、8 39QN4 2 3∴BN＝3＝3、AC QN AC∵ BC ＝TAN60°＝ 3 ，∴ BN ≠ BC 、∴当△ BNQ以点 N为直角极点时，△BNQ与△ ABC不相像、7 分②如图 3，延伸 NM交对称轴于点Q，连结 BQ，那么∠ BMQ＝ 120°、∵∠ AMP＝ 60°，∠ AMQ＝∠ BMN＝ 60°，∴∠ PMQ＝120°、∴∠ BMQ＝∠ PMQ，又∵ PM＝ BM， QM＝ QM、∴△ BMQ≌△ PMQ，∴∠ BQM＝∠ PQM＝ 30°、∵∠ BNM＝ 60°，∴∠ QBN＝ 90°、∵∠ CAO＝ 30°，∠ ACB＝90°、∴△ BNQ∽△ ABC、8 分∴当△ BNQ以点 B 为直角极点时，△BNQ∽△ ABC、设对称轴与X 轴的交点为 D、∵∠ DMQ＝∠ DMP＝ 60°， DM＝DM，∴ RT△ DMQ≌ RT△ DMP、∴ DQ＝PD，∴点 Q与点 P 对于 X 轴对称、2 3∴点 Q 的坐标为（－ 1，－ 3 ）、9 分2 3综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点 Q （－ 1，－3），使得以 B ， N ，Q 为顶点的三角形与△ ABC 相像、 10 分37. 如图①，抛物线 Y ＝ AX2＋ BX ＋ 3〔 A ≠ 0〕与 X 轴交于点 A （1，0）和点 B （－ 3，0），与 Y 轴交于点 C 、〔 1〕求抛物线的分析式；〔 2〕设抛物线的对称轴与 X 轴交于点 M ，问在对称轴上能否存在点P ，使△ CMP 为等腰三角形？假定存在，请直接写出全部切合条件的点P 的坐标；假定不存在，请说明原因；〔 3〕如图②，假定点 E 为第二象限抛物线上一动点，连结 BE 、CE ，求四边形 BOCE面积的最大值，并求此时E 点的坐标、a ＋b ＋ ＝ 0a 3－b ＋ ＝解：〔 1〕由题意得 9 330 、1 分a ＝ －1解得b ＝－2、2 分∴所求抛物线的分析式为 Y ＝－ X2－ 2X ＋ 3；3 分〔 2〕存在切合条件的点 P ，其坐标为 P （－ 1，10）或P （－ 1，－10 ）5或 P （－ 1，6）或 P （－ 1， 3 ）； 7 分〔 3〕解法一：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ M ，－ M2－ 2M ＋3）〔－ 3《A 《 0〕那么 EF ＝－ M2－2M ＋3， BF ＝ M ＋ 3， OF ＝－ M 、 8 分 ∴ S 四边形 BOCE ＝ S △BEF ＋ S 梯形 FOCE1 1＝ 2 BF · EF ＋ 2 （ EF ＋ OC ）·OF11＝ 2 （M ＋3）（－ M2－2M ＋3）＋ 2 （－ M2－2M ＋6）（－ M ）、 9 分3 9 9＝－ 2 M2－2M ＋210 分33 63＝－ 2 （M ＋ 2 ）2＋ 8363∴当 M ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 8 、11分3315此时 Y ＝－（－ 2）2－2×（－ 2）＋ 3＝4315∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ，4）、 12 分解法二：过点 E 作 EF ⊥ X 轴于点 F ，设 E （ X ， Y ）〔－ 3《 X 《 0〕 8 分 那么 S 四边形 BOCE ＝S △ BEF ＋ S 梯形 FOCE1 1＝ 2 BF · EF ＋ 2 （ EF ＋ OC ）·OF11＝ 2 （3＋X ）· Y ＋ 2 （3＋ Y ）（－ X ）、 9 分33＝ 2（Y －X ）＝2（－ X2－ 3X ＋ 3）、 10 分3363＝－ 2（X ＋ 2）2＋ 8363∴当 X ＝－ 2 时， S 四边形 BOCE 最大，且最大值为8 、11分33 15此时 Y ＝－（－ 2 ）2－2×（－ 2）＋3＝ 4315∴此时 E 点的坐标为（－ 2 ， 4 ）、 12 分38. 如图，抛物线 Y ＝AX2＋BX ＋C 与 X 轴交于 A 、B 两点，与 Y 轴交于点 C 、此中点 A 在 X 轴的负半轴上，点 C 在 Y 轴的负半轴上，线段 OA 、OC 的长〔 OA 《OC 〕是方程 X2 －5X ＋4＝ 0 的两个根，且抛物线的对称轴是直线X ＝1、〔 1〕求 A 、B 、C 三点的坐标； 〔 2〕求此抛物线的分析式；〔 3〕假定点 D 是线段 AB 上的一个动点〔与点 A 、B 不重合〕，过点 D 作 DE ∥ BC 交AC 于点 E ，连结 CD ，设 BD 的长为 M ，△ CDE 的面积为 S ，求 S 与 M 的函数关系式，并写出自变量 M 的取值范围、 S 能否存在最大值？假定存在， 求出最大值并求此时 D 点坐标；假定不存在，请说明原因、解：〔 1〕∵ OA、OC的长是方程X2－5X＋4＝ 0 的两个根， OA《OC、∴OA＝1， OC＝ 4、∵点 A 在 X 轴的负半轴，点C在 Y 轴的负半轴∴A〔－ 1，0〕，C〔0，－ 4〕、∵抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋ C的对称轴为X＝ 1∴由对称性可得 B 点坐标为〔 3， 0〕、∴A、 B、 C三点的坐标分别是： A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕，C〔0，－ 4〕、3 分〔2〕∵点 C〔 0，－ 4〕在抛物线 Y＝ AX2＋ BX＋C图象上，∴ C＝－ 4、 4 分将 A〔－ 1，0〕，B〔3，0〕代入 Y＝AX2＋BX－4 得a ＝4a －b－4 ＝03b ＝－8 ＋－＝9a 3b 4 0解得 3 6 分48∴此抛物线的分析式为Y＝3X2－3X－4、 7分〔3〕∵ BD＝M，∴ AD＝ 4－M、在 RT△ BOC中， BC2＝OB2＋ OC2＝ 32＋ 42＝ 25，∴BC＝5、∵ DE∥BC，∴△ ADE∽△ ABC、DEAD－DE4 m∴BC＝AB，即 5 ＝ 4 、20－ 5m∴DE＝4、OC 4过点 E 作 EF⊥ AB于点 F，那么 SIN∠ EDF＝ SIN∠CBA＝BC＝5、EF 4 4 4 20－ 5m∴ DE ＝5，∴EF＝ 5DE＝5 × 4 ＝4－M、9 分∴S＝ S△ CDE＝ S△ ADC－ S△ ADE1 1＝ 2 （4－M）×4－ 2 （4－M）（4－M）1＝－2M2＋2M。
上海市2019届初三数学一模提升题汇编第25题(压轴题)(word版含答案)
BB2019届一模提升题汇编第25题（压轴题）【2019届一模徐汇】25. （本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上(不与点A 、C 重合)，EDC ACB ∠=∠，DE 的延长线与射线CB 交于点F ，设AD 的长为x ． （1）如图1，当DF BC ⊥时，求AD 的长；（2）设EC 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出定义域； （3）当△DFC 是等腰三角形时，求AD 的长．【25．解：（1）过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，∵222AHC AH CH AC ∆+=在Rt 中，，∴6AH = ……………………………（1分）（第25题图1）（第25题图）∴90AHF HFD DFH ∠=∠=∠=︒，∴四边形AHFD 是矩形，∴6DF AH ==（2）∵AD ∥BC ,∴DAC ACB ∠=∠． ∵EDC ACB ∠=∠,∴EDC DAC ∠=∠．∵ACD ACD ∠=∠,∴CAD ∽CDE ………………………………………（1分）∵10,AC EC y ==,∴210CD CA CE y =⋅= …………………………………（1分）∵222226(8)DFC CD DF FC x ∆=+=+-在Rt 中，（3）由EDC ACB ∠=∠，EFC EFC ∠=∠得：FCE ∆∽FDC ∆， 又AD ∥BC 有FCE ∆∽DAE ∆，∴DAE ∆∽FDC ∆∴当FDC ∆是等腰三角形时，DAE ∆也是等腰三角形 ………………………（1分） ∴1,DA DE ︒=当时不存在； ………………………………………………………（1分）2,10AD AE x y︒==-当时得：120(),6x x ==解得：舍……………………………………………………………（2分）【2019届一模浦东】25. （本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图10-1位置摆放，即大小直角三角尺的直角顶点C 重合，小三角尺的顶点D 、E 分别在大三角尺的直角边AC 、BC 上， 此时小三角尺的斜边DE 恰好经过大三角尺的重心G . 已知∠A =∠CDE =30°，AB =12. （1）求小三角尺的直角边CD 的长;（2）将小三角尺绕点C 逆时针旋转，当点D 第一次落在大三角尺的边AB 上时（如图10-2），求点B 、E 之间的距离;（3）在小三角尺绕点C 旋转的过程中，当直线DE 经过点A 时，求∠BAE 的正弦值.（图10-1）（图10-2）DCABBAE【2019届一模杨浦】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ⊥BC ，AD =3，AB =6，DF ⊥DC 分别交射线AB 、射线CB 于点E 、F .（1）当点E 为边AB 的中点时（如图1），求BC 的长；（2）当点E 在边AB 上时（如图2），联结CE ，试问：∠DCE 的大小是否确定？若确定，请求出∠DCE 的正切值；若不确定，则设AE =x ，∠DCE 的正切值为y ，请求出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△AEF 的面积为3时，求△DCE 的面积.【 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分） 解：（1）∵AD //BC ，∴DEAE ADEF EB BF.∵E 为AB 中点，∴AE =BE . ∴AD = BF ，DE = EF . ∵AD =3，AB =6，∴BF =3，BE =3. ∴BF =BE .∵AB ⊥BC ，∴∠F =45°且EF =32. ··················· （1分） ∴DF =2EF =62. ···························· （1分） ∵DF ⊥DC ，∠F =45°，∴CF =12. ···················· （1分） ∴BC = 1239CFBF . ······················（1分） A BCD E F（图1）（第25题图）A BCDEF （图2）（2）∠DCE的大小确定，1tan2DCE. ·················（1分）作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∴∠HCD+∠HDC=90°.∵DF⊥DC，∴∠ADE+∠HDC=90°. ∴∠HCD=∠ADE.又∵AB⊥AD，∴∠A=∠CHD. ∴△AED∽△HDC. ·············（2分）∴DE ADDC CH. ·····························（1分）∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH=AB=6.∵AD=3，CH=6，∴12DEDC.即1tan2DCE. ··············（1分）（3）当点E在边AB上，设AE=x，∵AD//BC，∴AD AEBF EB，即36xBF x.∴183xBFx.∵△AEF的面积为3，∴11833 2xxx.∴4x. ·······························（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=5. ∵12DEDC，∴DC=10.∵DF⊥DC，∴1510252DCES. ··················（1分）当点E在边AB延长线上，设AE=y，∵AD//BC，∴AD AEBF EB，即36yBF y.∴318yBFy.∵△AEF的面积为3，∴131832yyy.∴8y. ·············（1分）∵AD=3，AB⊥AD，∴DE=73.联结CE，作CH⊥AD交AD的延长线于点H，同（1）可得12DEDC. ·····（1分）AB CDEF∴DC =273∵DF ⊥DC ，∴173273732DCES.················（1分） 综上，当△AEF 的面积为3时，△DCE 的面积为25或73.】【2019届一模普陀】25．（本题满分14分）如图11，点O 在线段AB 上，22AO OB a ==，60BOP ∠=︒，点C 是射线OP 上的一个动点． （1）如图11①，当90ACB ∠=︒，2OC =，求a 的值；（2）如图11②，当AC =AB 时，求OC 的长（用含a 的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A 作AQ ∥BC ，并使∠QOC=∠B ，求:AQ OQ 的值．【 25．解：ABCPO ABCPO图11①图11②（1）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足． ·················· （1分）∴90CHO CHB ∠=∠=．在Rt △COH 中，60COB ∠=，2OC =．∵22AO OB a ==， ∴21AH a =+，1BH a =-．∵90ACB ∠=，∴90ACH HCB ∠+∠=． ∵CH AB ⊥，∴90ACH A ∠+∠=． ∴A HCB ∠=∠．∵90CHA BHC ∠=∠=︒，∴△ACH ∽△CBH ． ······················· （1分）∴2CH AH BH =⋅．（2）过点C 作CH AB ⊥，H 为垂足．设OC m =． 在Rt △COH 中，60COB ∠=，OC m =．在Rt △ACH 中，90CHA ∠=︒， ∴222AC AH CH =+．（3）延长QA 、CO 交于点E ．∵AQ //BC ，∴E OCB ∠=∠．∵COA AOQ QOC ∠=∠+∠，COA OCB B ∠=∠+∠，QOC B ∠=∠， ∴AOQ OCB ∠=∠． ∵QOA E ∠=∠．又∵Q Q ∠=∠，∴△QOA ∽△QEO ． ················ （1分）【2019届一模奉贤】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分5分）如图11，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB =90°，AD =4，26AB CD ==，E 是边BC 上一点，过点D 、E 分别作BC 、CD 的平行线交于点F ，联结AF 并延长，与射线DC 交于点G ． （1）当点G 与点C 重合时，求:CE BE 的值；（2）当点G 在边CD 上时，设CE m =，求△DFG 的面积；（用含m 的代数式表示） （3）当AFD ∆∽ADG ∆时，求∠DAG 的余弦值．【25．解：（1）∵CD ∥EF ，DF ∥CE ，∴四边形DFEC 是平行四边形． ····················· （1分） ∴EF =DC ． ······························ （1分） ∵26AB CD ==，∴3CD EF ==．∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ．∵点G 与点C 重合，∴12EF CE AB BC ==．∴:1CE BE ．··········· （2分） （2）过点C 作CQ ∥AG ，交AB 于点Q ，交EF 于点P ． 过点C 作CM ⊥AB ，交AB 于点M ，交EF 于点N ． 在Rt △BCM 中， 90CMB，4CM AD ==，3BM AB CD =-=，∴5BC =．∵AB ∥EF ∥CD ，∴GC =PF =AQ ． ∴EP CEBQ BC=． 图11ABCDFEG备用图ABCD（3）当AFD ∆∽ADG ∆时，∵∠DAB =90°，∴ADG ∆是直角三角形，∴AFD ∆也是直角三角形． ∵90DAF ，90FDA ，∴90DFA． ············（1分） ∵90FADADF，90FDC ADF，∴FAD FDC ．∵AB ∥EF ，∴BCEF ．∵四边形DFEC 是平行四边形，∴FDC CEF ．∴BFDC FAD ． ·······················（1分） 在Rt △BCM 中， 90CMB ，3BM AB CD =-=，5BC =，【2019届一模松江】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，P 是边AC 上一动点，BP 与CD 相交于点E ． （1）如果BC =6，AC =8，且P 为AC 的中点，求线段BE 的长； （2）联结PD ，如果PD ⊥AB ，且CE =2，ED =3，求cosA 的值； （3）联结PD ，如果222BP CD =，且CE =2，ED =3，求线段PD 的长．【25．解：（1）∵P 为AC 的中点，AC =8，∴CP =4……………………………（1分） ∵∠ACB =90°，BC =6，∴BP =213……………………………………………（1分） ∵D 是边AB 的中点，P 为AC 的中点，∴点E 是△ABC 的重心……………（1分） ∴241333BE BP ==…………………………………………………………（1分） （2）过点B 作BF ∥CA 交CD 的延长线于点F ………………………………（1分）（备用图2）ABCD（备用图1）ABCD（第25题图）ABPCDE∴CABFDC FD DA BD ==………………………………（1分） ∵BD =DA ，∴FD =DC ，BF =AC …………………（1分） ∵CE =2，ED =3，则CD =5，∴EF =8 ∴4182===EF CE BF CP …………………………（1分） ∴41=CA CP ，∴13CP PA =，设CP =k ，则P A =3k ，∵PD ⊥AB ，D 是边AB 的中点，∴P A =PB =3k∴k BC 22=，∴k AB 62=，∵k AC 4=，∴6cos 3A =…………（1分）（3）∵∠ACB =90°，D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==∵222BP CD =，∴22BP CD CD BD AB =⋅=⋅……………（1分） ∵∠PBD =∠ABP ，∴△PBD ∽△ABP …………………………（1分） ∴∠BPD =∠A ……………………………………………………（1分） ∵∠A =∠DCA ，∴∠DPE =∠DCP ，∵∠PDE =∠CDP ，△DPE ∽△DCP ，∴DC DE PD ⋅=2…………………………（1分）∵DE =3,DC =5，∴15=PD …………………………………………………（1分）】【2019届一模嘉定】25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）（备用图2）ABC DPE PE （备用图1）AB C DF在矩形ABCD 中，6=AB ，8=AD ，点E 是边AD 上一点，EC EM ⊥交AB 于点M ，点N 在射线MB 上，且AE 是AM 和AN 的比例中项. （1）如图8，求证：DCE ANE ∠=∠；（2）如图9，当点N 在线段MB 之间，联结AC ，且AC 与NE 互相垂直，求MN 的长； （3）联结AC ，如果△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似，求DE 的长．【25.（1）证明：∵AE 是AM 和AN 的比例中项∴ANAE AE AM = ……………………1分 ∵A A ∠=∠∴△AME ∽△AEN ∴ANE AEM ∠=∠……………………1分 ∵︒=∠90D ∴︒=∠+∠90DEC DCE ∵EC EM ⊥∴︒=∠+∠90DEC AEM ∴DCE AEM ∠=∠……………………1分 ∴DCE ANE ∠=∠ ………1分A备用图 BDCA备用图BDCA 图8B MEDCNA 备用图BDCM EN A 图9BDCA图8 BM EDC N（2）解：∵AC 与NE 互相垂直∴︒=∠+∠90AEN EAC∵︒=∠90BAC ∴︒=∠+∠90AEN ANE ∴EAC ANE ∠=∠ 由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴EAC DCE ∠=∠ ∴DAC DCE ∠=∠tan tan ∴ADDCDC DE =……………………1分 ∵6==AB DC , 8=AD , ∴29=DE ∴27298=-=AE ……………………1分 由（1）得DCE AEM ∠=∠ ∴DCE AEM ∠=∠tan tan ∴DCDEAE AM =∴821=AM ……………………1分 ∵AN AE AE AM =∴314=AN ……………………1分 ∴2449=MN ……………………1分 （3）∵AEM MAE NME ∠+∠=∠,DCE D AEC ∠+∠=∠ 又︒=∠=∠90D MAE ,由（1）得DCE AEM ∠=∠∴ NME AEC ∠=∠ …………………………1分 当△AEC 与以点E 、M 、N 为顶点所组成的三角形相似时 1）EAC ENM ∠=∠，如图9 ∴EAC ANE ∠=∠由（2）得：29=DE ……………………2分2）ECA ENM ∠=∠，如图10 过点E 作AC EH ⊥，垂足为点H由（1）得DCE ANE ∠=∠ ∴DCE ECA ∠=∠M EN A 图9 BDCA 图10B MEDCNH设x DE 3=，则x HE 3=，x AH 4=，x AE 5= 又AD DE AE =+ ∴835=+x x ，解得1=x∴33==x DE……………………2分 【2019届一模青浦】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．【25．解：（1）∵AD //BC ，∵DB =DC =15，DE =DF =5，∴BG ＝CH ． ························· （1分）NHG FED C AB（第25题图）（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．∵DB=DC=15，BC=18，∴BP=CP=9，DP=12．··········（1分）∵AD∥BC，∴∠ADN=∠DBC，∴sin∠ADN=sin∠DBC，（3）∵AD∥BC，∴∠DAN=∠FHG．（i）当∠ADN=∠FGH时，∵∠ADN=∠DBC，∴∠DBC =∠FGH，∴BD∥FG，·························（1分）（ii）当∠ADN=∠GFH时，∵∠ADN=∠DBC=∠DCB，又∵∠AND =∠FGH，∴△ADN∽△FCG．·····················（1分）图11ABCPQM【2019届一模静安】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）已知：如图11，在ABC∆中，6AB =，9AC =，tan ABC ∠=B 作BM //AC ，动点P 在射线BM 上（点P 不与点B 重合），联结PA 并延长到点Q ，使AQC ABP ∠=∠． （1）求ABC ∆的面积；（2）设BP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）联结PC ，如果PQC ∆是直角三角形，求BP 的长．【 25．解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ···············（1分）∴279BC BH HC =+=+=, ··················· （1分） ∴1194218222ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=．…………………（1分） (2) 过点A 作AG ⊥BM ，交BM 于点G ． ∵AC BC =, ∴CAB CBA ∠=∠ ∵BM //AC , ∴ABP CAB ∠=∠ ∴ABP CBA ∠=∠∴42AG AH ==,即2BG BH ==………（1分） ∴2PG x =- 在Rt AGP ∆中，22222(42)(2)436AP AG PG x x x =+=+-=-+ （1分）∵BAQ BAC CAQ ∠=∠+∠,BAQ ABP APB ∠=∠+∠,∴APB CAQ ∠=∠又AQC ABP ∠=∠ ················· （1分） ∴ABP ∆∽CQA ∆ ∴AP BPAC AQ= ∴24369x x x y-+=, 即29(0)436x y x x x =>-+ ·········· （2分）(3) 由题意得PQ AP AQ =+=22229536436436436x x x x x x x x x ++-++=-+-+由ABP ∆∽CQA ∆得AB APCQ AC= 得 254436CQ x x =-+ ········ （1分）如果PCQ ∆是直角三角形，又90AQC ABP ∠=∠≠，故只有两种可能：……（1分）①90PCQ ∠=，则1cos 3CQ AQC PQ ∠==，即3PQ CQ =， 222536543436436x x x x x x ++=⨯-+-+，解得129,14x x ==-（舍）； （2分）②90CPQ ∠=，则1cos 3PQ AQC CQ ∠==，即3CQ PQ =， 第25题ABCPQMGH222536543436436x x x x x x ++⨯=-+-+，该方程无解； （1分）综上所述，如果PCQ ∆是直角三角形，BP 的长为9．】【2019届一模宝山】25．（本题满分14分，第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分）如图10，已知：梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°，AB ∥DC ，DC =3，AB =5，点 P 在AB 边上，以点A 为圆心AP 为半径作弧交边DC 于点E ，射线EP 与射线CB 交于点F ．（1）若，求DE 的长； （2）联结CP ，若CP=EP ，求AP 的长；（3）线段CF 上是否存在点G ，使得△ADE 与△FGE 相似，若相似，求FG 的值；若不相似，请说明理由．【25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第（3）小题满分4分） 解：(1)过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点M ……………………… … …1分梯形ABCD 中，∠ABC =90°，∠A =45°∴∠DAM =45°13AP =备用图A BCD PEABCDF（图10）∵AB //CD ，AM =CD 且∠ADM =∠DAM =45°，DM =AM =2……… … …1分 ∴Rt △AEM 中，AE =AP =√13，ME =√AE 2−AG 2=3…………… ……1分 ∴DE =1 ……………………………………………………………… ……1分 (2)过点P 作PH ⊥CD ，垂足是点H∵CP =EP ∴EC =2CH ……………………………………… …… 1分 设AE =AP =x ，PB =5-x ，EC =10-2x ， BC =2∴Rt △PBC 中，PE =PC =√PB 2+BC 2=√(5−x )2+22=√x 2−10x +29 …… 1分由题意可知AE =AP ，∴∠AEP =∠APE ，∵CP =EP ，∴∠PEC =∠PCE …… …1分∵AB //CD ∴∠PEC =∠APE ，∴∠PEC =∠APE 且∠PCE =∠AEP ∴△APE ∽△PCE …………………………………………………………1分化简得(3)∵△ADE 是钝角三角形，当点G 在CF 上时，∠GEF 、∠F 必是锐角，∴若△ADE ∽△FGE ，只能∠ADE =∠FGE =135°…………………………… ……1分 ∵Rt △PBF 中,∠F +∠FPB =90° 又∵∠EAP +∠APE +∠AEP =180° ∵∠FPB =∠APE ，∠APE =∠AEP ∴∠EAP =2∠F ∵AB //CD ∴∠DEA =∠EAP ∴∠DEA =2∠F∴必有∠DAE =∠F …………………………………………………………… …… …1分0292032=+-x x∴∠EAP =2∠DAE ∴∠EAP =30°，∠F =∠DAE =15°∴AE =AP =2AM =4，PB =1，EM =，CG =CE =……………… ………1分 ∴EG =∵△ADE ∽△FGE ∴∴FG =………………………………1分 ∴当FG =时，△ADE ∽△FGE ．】【2019届一模长宁】25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知锐角MBN ∠的余弦值为53，点C 在射线BN 上，25=BC ，点A 在MBN ∠的内部， 且︒=∠90BAC ，MBN BCA ∠=∠．过点A 的直线DE 分别交射线BM 、射线BN 于点D 、E ． 点F 在线段BE 上（点F 不与点B 重合），且MBN EAF ∠=∠． （1）如图1，当BN AF ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在线段BC 上时，设x BF =，y BD =，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）联结DF ，当ADF ∆与ACE ∆相似时，请直接写出BD 的长．3232-56225-FGADEG DE =133-133-如图2BF EC ND AMB FC E N ADM如图1备用图BC NAM【25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）∵在 BAC Rt ∆中 ︒=∠90BAC∵25=BC ∴15=AC （1分）∵BC AF ⊥ ∴︒=∠90AFC∴16=EF （1分）（2）过点A 作EF AH ⊥于点H ∴ ︒=∠90AHB∵x BF =，x FH -=16，x FC -=25∴ 40032)16(122222+-=-+=x x x AF （1分） ∵ BCA MBN ∠=∠，EAF MBN ∠=∠∴BCA EAF ∠=∠ 又∵CFA AFE ∠=∠ ∴AFE ∆∽CFA∆ ∴EF FC AF ⋅=2第25题图∴EF x x x ⋅-=+-)25(400322（1分）∴xx x EF -+-=25400322，xxx x x x BF EF BE --=+-+-=+=25740025400322 （1分）∵ ACB MBN ∠=∠，FAC AEF ∠=∠，∴BDE ∆∽CFA ∆ ∴ACBEFC BD =（1分） ∴1525740025x xx y--=- ∴157400x y -=（2250≤<x ） （1分+1分） （3）596或 1172000（2分+2分）】 【2019届一模金山】25．已知多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，联结AC 、FD ，点H 是射线AF 上的一个动点，联结CH ,直线CH 交射线DF 于点G ，作CH MH ⊥交CD 的延长线于点M ，设⊙O 的半径为()0>r r ． （1）求证：四边形ACDF 是矩形．（2）当CH 经过点E 时，⊙M 与⊙O 外切，求⊙M 的半径（用r 的代数式表示）．（3）设()900<<=∠ααHCD ，求点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积（用r 及含α的三角比的式子表示）．AB CDEFGOHM第25题图第25题备用图ABCD EFO【25.（1）证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴BCA BAC ∠=∠，∵180=∠+∠+∠ABC BCA BAC ，∴ 30=∠BAC ，得90=∠CAF ， （1分）同理 90=∠ACD ，90=∠AFD ，（1分） ∴四边形ACDF 是矩形． （1分）∴OCD ∆为等边三角形，∴r OC CD ==，60=∠OCD ， 作CD ON ⊥垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，作AC OP ⊥垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，当CH 经过点E 时，可知30=∠ECD , ∵四边形ACDF 是矩形，∴CD AF //，∴30=∠=∠ECD AHC ，∵CH MH ⊥，∵⊙M 与⊙O 外切，（3）作CM HQ ⊥垂足为Q ，由α=∠HCD ，CH MH ⊥可得α=∠QHM , ∵CD AF //,CD AC ⊥①当600<<α时，点H 在边AF 的延长线上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，②当60=α时，点H 与点F 重合，此时点C 、M 、H 、F 构成三角形，非四边形，所以舍去. （1分）③当9060<<α时，点H 在边AF 上，此时点C 、M 、H 、F 构成的四边形为梯形，∴()()2tan 3322r HQ CM FH S ⋅+=⋅+=α. （1分）综上所述，当()900<<=∠ααHCD 时，点C 、M 、H 、F 构成的四边形的面积为()23tan 3cot 62r S ⋅-+=αα或()2tan 332r S ⋅+=α.（备注：若求出ααcos sin 3⋅=r CM ，可得当600<<α2cos sin 2323cot 23r S ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+-=ααα， 当9060<<α时2cos sin 23cot 2323r S ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+-=ααα.】【2019届一模闵行】25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分、第（2）、（3）小题各5分）如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，AD = 5，BC = 15，5cos 13ABC ∠=．E 为射线CD 上任意一点，过点A 作AF // BE ，与射线CD 相交于点F ．联结BF ，与直线AD 相交于点G ．设CE = x ，AGy DG=．（1）求AB 的长；（2）当点G 在线段AD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果23ABEF ABCDS S =四边形四边形，求线段CE 的长．F【25．解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N．∵AD // BC，AB = CD，AD = 5，BC = 15，在Rt△ABM中，∠AMB = 90°，∴AB = 13．……………………………………………………………（2分）∵∠AFD=∠BEC，∠ADF=∠C．∴△ADF∽△BCE．ADFSS =9BECS =过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． 由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 840ABCD ABEF S S S -==四边形四边形．∴ S = 5． ∴ 945BECS S ==．12BECS=∴ 6EH =．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH // DN ．（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 9ADFABCD ABEF S S SS ++=四边形四边形．∴ 8200S =．解得 25S =． ∴ 9225BECS S ==．12BECS=∴305122CE EH CD DN ===．∴ 652CE =．……………………………（2分） ∴ 136522CE =或．】【2019届一模虹口】25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AB =6，BC =10，点E 为边AD 上一点，将△ABE 沿BE 翻折，点A 落在对角线BD 上的点G 处，联结EG 并延长交射线BC 于点F ． （1）如果cos ∠DBC =23，求EF 的长；（2）当点F 在边BC 上时，联结AG ，设AD=x ，ABG BEF S y S ∆∆= ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CG ，如果△FCG 是等腰三角形，求AD 的长．第25题备用图ABC第25题图EABCFDG【25．（1）根据题意得△ABE≌△GBE∴BG=AB=6由△ABE≌△GBE得∠AEB=∠BEG∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBF∴∠BEF=∠EBF∴FE=FB=9………………………………………………………………………（2分）（2）∵AD∥BC∴∠ADB=∠GBF又∵∠A=∠BGF=90°∴△ABD∽△GFB∵AD∥BC∠A=90°∴∠ABF=90°∴∠ABG+∠GBF=90°又∵∠GBF+∠EFB =90°∴∠ABG =∠EFB根据题意得AB=BG又∵FE=FB∴△ABG∽△EFB…………………………………………………………………（1分）（3）①点F在BC上∵∠GFC=∠AEG>90°∵△FCG是等腰三角形∴FG=FC设FG=FC=a，则BF=10-atan∠GBF∵∠ADB=∠GBF∴tan∠ADB=②点F在BC的延长线上∵∠GCF>∠DCF >90°∵△FCG是等腰三角形∴CG=CF∵∠ADB=∠GBF∴tan∠ADB= tan∠GBF31。