2-2质点和质点系的动量定理-动量守恒定律-(2013版)
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质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
02-2动量 动量守恒定律
( m1v1 m 2 v 2 ) ( m1v10 m 2 v 20 )
t2
F1＋F2 dt (m1v1 m2v2 ) (m1v10 m2v20 )
t1
作用在两质点组成的系统的合外力冲量等于系统内两质点 动量之和的增量，即系统动量的增量。
F
o
t1
t2
t
三、动量守恒定律
一个孤立的力学系统或合外力为零的系统，系 统内各质点间动量可以交换，但系统的总动量 保持不变。这就是动量守恒定律。
即：
i 1
n
Fi 0,
i
mi i =常矢量
Px mi vix C1
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Py mi viy C2
(1)乒乓球得到的冲量: m=2.5g, 1=10m/s, 2=20m/s I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s (2) 若t=0.01s
Fx 6.1N Fy 0.7 N F F F 6.14 N
2 x 2 y
pz mi viz C3
说明: 1. 守恒条件是
i 1 ex in 当 F F 时，可 略去外力的作用, 近似地认为系
n
Fi 0t 0
统动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系. 3. 若某一方向的合外力零， 则该方向上动量守恒； 但总动量可能并不守恒。 4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定 律，它在宏观和微观领域均适用
1
m 2 F t sin sin 105
大学物理：2-2 动量守恒定律
y P
rP
F
O
地球
r
C
Q
rQ x
7
3、保守力 (conservation force)
物体在某种力的作用下， 沿任意闭合路径绕行一周所 作的功恒等于零，即
Q
CD
E
F
P
F dl 0
具有这种特性的力，称为保守力；不具有这种特 性的力称为非保守力。
8
四、 机械能守恒定律
1、功能原理 由 n 个相互作用着的质点所组成的质点系。系统中
Q
A
Q Q
AaPdFv,d
r
P
dr
ma d r
vdt
F
Q
m
d
vdtv
d
t
P dt
Q P
mv
d
v
1 2
mvQ2
1 2
P
mvP2
vdPr
质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与
其运动速率平方的乘积的一半。
用Ek表示，即
Ek
1 2
mv2
5
所以有 A Ek Q Ek P 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点
0
mivi 恒矢量
i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
其分量式
n
mi vix 恒量
i 1 n
mi viy 恒量
i 1 n
mi viz 恒量
i 1
n
(当 Fix 0 时)
i 1
n
(当 Fiy 0 时)
i 1
n
(当 Fiz 0 时)
i 1
2-2 质点和质点系的动量定理及动量守恒定律
冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .
问：冲量是矢量，它的方向就是力的方向吗 ？
分量形式
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
I Ixi Iy j Izk
Iy
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
Iz
t2 t1
Fz dt
mv2 z
mv1z
二 质点系的动量定理
质点系
tt11tt22因((t1tFF2为质(21F内点1 FF力系12F12动))F2dd)1量td2t t定m理Fm(221m1vv作121v用10mm于，m21系vv故212v00统2 )的F合1(m外1v力mF110的12冲Fm2量12Fmv等2220于)
mv2
mv1
t2 t1
t2 t1
注意
在 p一定时
t 越小，则 F 越大 .
例如人从高处跳下、飞
机与鸟相撞、打桩等碰撞事
件中，作用时间很短，冲力
很大 .
mv
mv1
mv2
F
F
t2 t1
Fdt
F
(t2
t1)
Fm
F
o t1
t
t2
问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去， 鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄 板一起移动？
子的运动方向互相垂直, 电子动量为1.210-22 kg·m·s-1,
中微子的动量为 6.410-23 kg·m·s-1 . 问新的原子核的动
量的值和方向如何?
解 Fiex Fiin
pe
p n mi vi 恒矢量
即 pie1 pν pN 0
pν
pN
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律
质点动力学的三个基本定律分别是：牛顿运动定律，动量定理和动量守恒定律，角动量定理和角动量守恒定律。
牛顿运动定律第一定律(惯性定律):任何质点如不受力的作用，则将保持原来静止或匀速直线运动状态。
第二定律:质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
第三定律:对应每个作用力必有一个与其大小相等、方向相反且在同一直线上的反作用力。
物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为：
I=FΔt=Δp=mΔv=mv2-mv1
式中F指物体所受的合外力，mv1与mv2为发生Δt的初末态动量。
该式为矢量式，列式前一定要规定正方向！
动量守恒定律是现代物理学中三大基本守恒定律之一，若一个系统不受外力或所受合外力为零时，该系统的总动量保持不变。
角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质
点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。
角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
大学物理质点和质点系的动量定理
动量(Momentum)冲量 (Impulse) 动量定理
(Theorem of momentum)
动量守恒
(Momentum conservation)
动能(Kinetic energy) 功(Work) 动能定理
(Theorem of kinetic energy)
机械能守恒
(Mechanical energy conservation)
Newton’s Second law :When a mass point with momentum
p is under the effect of the combined external force F, the
time variation of the momentum is equal to the external
force on the same direction
第三章 动量守恒和能量守恒
5/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理
二 质点系的动量定理
(Theorem of momentum of the mass point system)
对两质点分别应用质点动量定理
t2
t1
t2
t1
(F1
第三章 动量守恒和能量守恒
3/14
物理学
第五版
3-1 质点和质点系的动量定理
I
t2 t1
Fdt
mv2
mv1
质点的动量定理:在给定的时间间隔内,外力作
用在质点上的冲量,等于质点在此时间内动量 的增量.
Theorem of momentum of a mass point: In the given time interval, the impulse on a mass point by a external force is equal to the increment in the momentum of that mass point in the same time interval
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
2-2质点和质点系的动量定理-动量守恒定律 (2014版)
一. 动量定理 (Theorem of Momentum)
1. 质点动量定理 (For One Particle)
（1）微分形式 （2）积分形式
Fdt dp
p1 p1 p2
p2
冲力 F (t )
平均冲力
t2
t2
t1
Fdt p2 p1
I p
F
p2 p1 t1 F t 2 t1 t2 t1
三、火箭飞行原理
1. 火箭的推力 dm2 Fp u dt 2. 火箭的动力学方程
y
v dv
m1 dm2
3. 火箭的速度公式 （假设只受重力，不考虑空气阻力） v
dv Fp F m1 dt
t dt 时刻
dm2
u
m10 v v0 uln gt t 时刻 m1min 4. 多级火箭 v v0 uln ( N1 N2 N3 )
2013年 6月20日，神舟十号 航天员在天宫一号开展基础 物理实验
今日作业
3-8，3-9，3-11， 3-12，3-15，3-16
i 1 i ห้องสมุดไป่ตู้1
n
n
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
例2 一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条
放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余 部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开 始下落.求：（1）链条下落速度v与y之间的关系；（2） 链条下落的加速度？（设各处摩擦均不计，且认为链 条软得可以自由伸开．） ex F dt dp m2
O
ygdt y dy v dv - yv
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B θ
θ
拓展2 铁锤破石
一杂技演员将沉重的石板放在另一杂技演员 的胸膛上，然后用一铁锤去打击石板。石板应声 裂开，而杂技演员安然无恙，这是为什么？
三、火箭飞行原理
1. 火箭的推力 dm2 Fp u dt 2. 火箭的运动方程
y
v dv
m1 dm2
3. 火箭的速度公式
t 1.2 ms
mv2
mv1
F 8.1103 N 沿斜向上 30
一. 动量定理 (Theorem of Momentum)
2. 质点系动量定理 (For a System of Particles)
（1）质点系
F1
f
F2
f'
m1
m2
（2）微分形式: 积分形式：
当
ex F 0
时， p mi vi 常矢量
i
说明：
（1）如果合外力不为零，但外力比内力小得多时， 可近似认为系统动量守恒； （2）若系统所受合外力在某方向的分量为零，则 系统动量在该方向上的分量守恒； （3）动量守恒定律只适用于惯性系，但它比牛顿 定律应用更广，是物理学中的基本d( pi ) n i 1 t2 t1 i 1
v F dt
n v v mi vi mi vi 0 i 1 i 1
n
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量
例2 一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条
放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余 部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开 始下落.求链条下落速度v与y之间的关系． （设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸 开．） m2
内容目录
1. 动量定理 (质点、质点系) 2. 动量守恒定律 (质点、质点系)
3. 火箭飞行原理
一. 动量定理 (Theorem of Momentum)
1. 质点动量定理 (For One Particle)
（1）微分形式 （2）积分形式
冲力 F (t )
平均冲力
t2
v v Fdt dp t2 v v v Fdt p2 p1
dv Fp F m1 dt
t dt 时刻
dm2
u
m10 v v0 uln gt m1min
mv
1
（只受重力时） 4. 多级火箭 v v uln ( N N N ) 0 1 2 3
t
时刻
O
中 国 古 代 火 箭
神 火 飞 鸦
火 龙 出 水
长 征 二 号 捆 绑 火 箭
2003.10.15. 我国第一艘载人宇宙 飞船“神州五号”
2008年9月25日 ，神七升空
Thank You for Your Attention
t1
p1
p2
p1 I p p2
t1 p2 p1 F t 2 t1 t 2 t1
Fdt
F
F
O
t1
t2 t
例1 一质量为0.14 kg的垒球以速率为40 m·-1的速率沿水平方向飞向击球手，被击中后 s 以相同速率沿着 60 的仰角飞出，求垒球受 棒的平均打击力。设球与棒的接触时间为
pe(电子)
pN 1.36 10
22
kg m s
-1
pν(中微子)
pN
118.1o
例5 一个表面光滑的斜面，长为 l ，倾角为 ， 质量为 m1 ，静止于一光滑水平桌面上。将一质 量为 m2 的物体放在斜面顶端，并自由滑下。计
算当物体刚滑到桌面时斜面移动的距离。 m2 s l cos A m1 m2
烟 火 （fireworks）
例4 设有一静止的原子核，衰变辐射出一个 电子和一个中微子后成为一个新的原子核．已知 电子和中微子的运动方向互相垂直，且 电子动量为1.210-22 kg· s-1，中微子的动量为 m· 6.410-23 kg· s-1．问新的原子核的动量的值和 m· 方向如何？
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
牛顿定律虽然原则上可以解决一切力学 问题, 但对多质点系和约束较多的情况, 直接应用牛顿定律就十分繁难.
为了解决这个问题,逐渐发展起了动量、动能 和角动量三个运动定理以及在特定条件下的三 个守恒定律, 另外还有质心运动定理, 使经典 力学臻于完善.
流体运动的纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程 可用来得到速度场。 该方程基于质量与动量守恒律，将不同位置和 不同时刻的速度变化联系起来
O
F dt dp
ex
m1 y
y
ygdt d yv
2 v gy 3
1 2
例3. 一长为 L ，质量为 m 的柔软长链条盘在 水平面上。用手将长链的一端以恒定速率 v0 向上提起，如图所示。求当提起高度为 l 时， 手上的拉力。
y
y
O
F dt dp
ex
F yg dt d yv0
m 2 F gl v0 L
拓展1 帆船逆风前行
拓展1 帆船逆风前行
拓展1 帆船逆风前行
船要逆风行驶，船的航行方向应与风向成一夹角， 所以必须采取Z 字型的路线
二. 动量守恒定律 (Conservation of
Linear Momentum)
θ
拓展2 铁锤破石
一杂技演员将沉重的石板放在另一杂技演员 的胸膛上，然后用一铁锤去打击石板。石板应声 裂开，而杂技演员安然无恙，这是为什么？
三、火箭飞行原理
1. 火箭的推力 dm2 Fp u dt 2. 火箭的运动方程
y
v dv
m1 dm2
3. 火箭的速度公式
t 1.2 ms
mv2
mv1
F 8.1103 N 沿斜向上 30
一. 动量定理 (Theorem of Momentum)
2. 质点系动量定理 (For a System of Particles)
（1）质点系
F1
f
F2
f'
m1
m2
（2）微分形式: 积分形式：
当
ex F 0
时， p mi vi 常矢量
i
说明：
（1）如果合外力不为零，但外力比内力小得多时， 可近似认为系统动量守恒； （2）若系统所受合外力在某方向的分量为零，则 系统动量在该方向上的分量守恒； （3）动量守恒定律只适用于惯性系，但它比牛顿 定律应用更广，是物理学中的基本d( pi ) n i 1 t2 t1 i 1
v F dt
n v v mi vi mi vi 0 i 1 i 1
n
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量
例2 一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条
放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余 部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开 始下落.求链条下落速度v与y之间的关系． （设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸 开．） m2
内容目录
1. 动量定理 (质点、质点系) 2. 动量守恒定律 (质点、质点系)
3. 火箭飞行原理
一. 动量定理 (Theorem of Momentum)
1. 质点动量定理 (For One Particle)
（1）微分形式 （2）积分形式
冲力 F (t )
平均冲力
t2
v v Fdt dp t2 v v v Fdt p2 p1
dv Fp F m1 dt
t dt 时刻
dm2
u
m10 v v0 uln gt m1min
mv
1
（只受重力时） 4. 多级火箭 v v uln ( N N N ) 0 1 2 3
t
时刻
O
中 国 古 代 火 箭
神 火 飞 鸦
火 龙 出 水
长 征 二 号 捆 绑 火 箭
2003.10.15. 我国第一艘载人宇宙 飞船“神州五号”
2008年9月25日 ，神七升空
Thank You for Your Attention
t1
p1
p2
p1 I p p2
t1 p2 p1 F t 2 t1 t 2 t1
Fdt
F
F
O
t1
t2 t
例1 一质量为0.14 kg的垒球以速率为40 m·-1的速率沿水平方向飞向击球手，被击中后 s 以相同速率沿着 60 的仰角飞出，求垒球受 棒的平均打击力。设球与棒的接触时间为
pe(电子)
pN 1.36 10
22
kg m s
-1
pν(中微子)
pN
118.1o
例5 一个表面光滑的斜面，长为 l ，倾角为 ， 质量为 m1 ，静止于一光滑水平桌面上。将一质 量为 m2 的物体放在斜面顶端，并自由滑下。计
算当物体刚滑到桌面时斜面移动的距离。 m2 s l cos A m1 m2
烟 火 （fireworks）
例4 设有一静止的原子核，衰变辐射出一个 电子和一个中微子后成为一个新的原子核．已知 电子和中微子的运动方向互相垂直，且 电子动量为1.210-22 kg· s-1，中微子的动量为 m· 6.410-23 kg· s-1．问新的原子核的动量的值和 m· 方向如何？
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
牛顿定律虽然原则上可以解决一切力学 问题, 但对多质点系和约束较多的情况, 直接应用牛顿定律就十分繁难.
为了解决这个问题,逐渐发展起了动量、动能 和角动量三个运动定理以及在特定条件下的三 个守恒定律, 另外还有质心运动定理, 使经典 力学臻于完善.
流体运动的纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程 可用来得到速度场。 该方程基于质量与动量守恒律，将不同位置和 不同时刻的速度变化联系起来
O
F dt dp
ex
m1 y
y
ygdt d yv
2 v gy 3
1 2
例3. 一长为 L ，质量为 m 的柔软长链条盘在 水平面上。用手将长链的一端以恒定速率 v0 向上提起，如图所示。求当提起高度为 l 时， 手上的拉力。
y
y
O
F dt dp
ex
F yg dt d yv0
m 2 F gl v0 L
拓展1 帆船逆风前行
拓展1 帆船逆风前行
拓展1 帆船逆风前行
船要逆风行驶，船的航行方向应与风向成一夹角， 所以必须采取Z 字型的路线
二. 动量守恒定律 (Conservation of
Linear Momentum)