高三数学解题教学的高效性的实践与思考

引导学生寻找解题突破口， 就要让学生切实弄清未知与已知之间的相互联系， 通过对解题目标 的分析，充分挖掘解题要素，获得解题的最佳切入点。尤其是在解决含有字母参数的数学问题 或是否存在型探索性问题时，可避免讨论或减少讨论，以此简化解题过程，促进思维能力的发 展。 二、规范答题，提高准确性 解题能力的高低，不仅表现在能否快速、正确地找到解题思路，还表现在能否规范、准确 地表达解题者的思想。 大家都知道， 高考试卷中主观题的评分标准都是分步给分的。 一般说来， 教师在高一、高二新授课教学时，老师能规范示范，学生能规范答题。但到了高三，老师往往 更注重题海战术，学生也疲于奔命。结果是老师讲了不少题，学生做了不少题，但最终学生的 能力没多大提高。 本人在一模前两天曾复习过立体几何的一道题， 和一模的立体几何题很相似，
题纵横延伸，“横”即一题多解的探索，“纵”即一题多变的特色。实践表明，一题多解、一 题多变是培养学生兴趣， 摆脱题海战术， 以少胜多， 优化学生思维， 提高教学质量的有效途径。 在解题教学中，教师要有意识地引导、鼓励学生多角度寻找问题的解法。 如在复习“三角函数求值”问题时，可选择如下问题： 已知：6sin a+sinacosa-2cos a = 0,a ∈[
高三数学解题教学的高效性的实践与思考
摘要：在解题教学中，教师要着力引导学生参与分析、展示过程；善于通过示范、引导、 讨论教给学生分析问题的思路和方法。 “数学探究”是新课程改革竭力倡导的一种研究性学习方 式,这为解题教学注入了新的活力。 一题多解、 一题多变是数学解题教学中行之有效的好方法， 是数学创新教学的重要途径。坚持“源于课本、高于课本”的原则，以现行教材为依据求变、求 新、求活。 关键词：新课程理念 变式探究 反思总结
y 的最大值 x
2 ì 2 2 ï(x-2)2 +(y-2) ≤1 ，求z =x + y − 2 y + 1 的最小值。 ï ï î x+y≤3
ì f(x)+f(y)≤8 ï ï í ３． 结论条件都改变： 已知函数 f(x)=x -6x+5,且 x、 y 满足 ， 求z=2x+y ï ï î f(x)+f(y)≥0
和[3m,3n]？如存在，求出 m、n 的值；如不存在，说明理由。 分析：这是一道关于一元二次函数在闭区间上的最值问题的探索题，容易想到分类讨论。然而 仔细分析本题目标： 求 m、 n 的值使 f(x)在定义域[m,n]上的值域是[3m,3n]， 经配方得： f(x)=
1 1 1 1 - （x-1）2 + ，不难发现有3m<3n≤ ，即n≤ ，而f(x)的对称轴为x=1，所以函数是定义 2 2 2 6 ì ì ï m 2 + 4m = 0 f (m) = 3m ì ïm= - 4 ï ï ï 在[m,n]上是增函数， 从而找到解题的突破口， 令í 即í 2 解得 ï ， í ï ï ï ï ï ï în= 0 î f (n) = 3n î n + 4n = 0
2 2
p p ，π ]，求 sin(2a+ )的值。 2 3
可引导学生从以下角度进行思考,探究问题的解法： 思路 1：以求 a 的函数值为主线； 思路 3：以求 a +
p 的函数值为主线。 6
思路 2：以求 2a 的函数值为主线；
这三种思路都可通过因式分解的变换、弦化切的变换、降次变换等手段，将已知式化为单个的 三角函数值后，再结合倍角公式与和角公式，得到所求的三角函数值。在教学中，教师应挖掘 问题的多解因素，结合学生的实际情况，鼓励学生以问题为出发点，不囿于单一的解题思路和 方法，引导学生在解法上求异。而教学中通过一题多变的教学手段，能使学生吃透知识的外延 与内涵，让他们掌握其内涵的发展与外延的变换，使其能融会贯通，从而培养学生深刻的思维 品质，提高学生分析问题、解决问题的能力。
解答练习3时，有了前面的教训，不少学生学会了认真审题，注意到虽然sinx和x= 不可能成立，所以本题不能用均值不等式求最值，而 sin x sin x
应用函数的单调性求解。这 3 道题的练习，加深了学生对“平均值不等式”的理解，并认识 到应用平均值不等式时“一正、二定、三相等”这三个条件的重要性。 这种错解剖析，以错纠错来正本清源，有利于学生深刻地理解掌握知识，改善思维品质。 反之，如果我们总是把正解的答案直接奉送给学生，则不能暴露问题的矛盾。 六、反思总结，巩固升华 反思回顾是解题教学的重要一环， 其作用在于将解题实践升华。 解题能力强的学生常常是 善于在解题活动结束后进行反思总结的学生。学生学习僵化，教师一味强化训练，将使学生缺 少对数学的感知、感悟，对数学缺乏理解，不可能在高考的考场上得到高分。因此我们一定要 在教学中舍得花时间给学生反思、思考，让他们自己去“悟”。反思内容主要包括： （一）思规律模式 对典型问题要通过解答一道题，掌握一类题，举一反三，总结方法，不断提高解题能力。
波利亚说： “掌握数学就是意味着善于解题”。 解题教学是否高效决定着高三数学复习的 成败，因此，高效地做好解题教学是毕业班数学老师所追求的目标，下面结合自己的教学实际 谈谈对高三数学解题教学的高效性的几点思考： 一、引导审题，寻找突破口 在教学实践中我们常发现，许多学生拿到题目束手无策，究其根源，常常是审题不到位， 不能充分利用条件或错误理解题意。 因此在解题教学中要引导学生抓好审题关。 审题是对题目 进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程。审题的关键是明确解题目标。首先，要了解问 题的叙述，仔细分析问题的主要部分，全面思考，尽量使解题目标清晰明了；其次，应剖析求 解目标与已知条件的关系，尽可能联想有关的概念、公式、定理、法则和方法，以寻找解题的 突破口。 例： 已知f(x)= 1 2 x +x， 是否存在实数 m、 n(m<n)， 使函数 f(x)的定义域与值域分别是[m,n] 2
练习 1，普遍学生忽略了应用平均值不等式的条件，误认为 x>0，得到的值域是 2, ，经
x (1 x ) 2 更正后进入第2小题，结果不少学生这样解： ∵x(1-x) ≤ 2
2
2
∴当x=(1-x)2时，即x=
73 5 2
3 5 x (1 x)2 3 5 时， 为定值 2 2 2
∴函数ymax=
这显然也是错误的。因为定值不是在“相等”的条件下，而是先有“定值”后有“相等”， 本题应先想办法把x(1− x) 变形，使“和”为定值再求解。正确解法如下：
y x(1 x) 2 1 2 x (1 x) (1 x) ， 2
2
显然有 2 x (1 x) (1 x) 2 为定值，
3
1 1 2 x (1 x) (1 x) 4 ∴ y x(1 x) 2 2 x (1 x) (1 x) ≤ 2 2 3 27 1 （当且仅当2x=1-x，即x= 时取等号） 3 4 ∴函数y = x(1− x)2的最大值为 27
学习“平均值不等式”时，学生常忽略应用公式的条件，为了引起学生的重视，我依次设计了 如下三道练习。 练习 1：已知x ∈R，求函数 y = x +
1 的值域。 x
练习 2：已知0 < x < 1 ，求函数 y = x(1− x)2的最大值。 练习 3：已知x ∈（0，
2 ]，求函数y=sinx+ 的最小值。 2 sin x
ì x + y≤1 ï ï ï 例：已知 x、y 满足 í x≥y ，求z=x2+y2-2y+1的最小值 ï ï ï ï î y≥0
这是关于线性规划的问题,在评讲完本题后,让学生做了如下变式： １．条件不变，提出新结论： (1)求 z=2x-y 的最大值； ２．改变题目的条件： 已知 ï í (2)求 z=2x+y 的取值范围； (3)求
2
的最大值和最小值。 让学生对所变式的问题一一分析、验证、解答，使学生对于用线性规划解决求最值问题有 了更加深刻的了解与认识。通过对某一题目，引导学生进行条件变换、结论探索、逆向思考、 图形变化、类比、分解、拓展等多角度、多方位的探讨，使一道题变为一类题，使学生能举一 反三、触类旁通，进而培养学生良好的思维品质及探索创新能力。 五、错解剖析，正本清源 学生普遍只重视例题、练习，对一些概念的理解却不够透彻，常忽略公式、定理的运用条 件，以至解题常常出现这样那样的错误。如果一味把正确的解法抛给学生，尽管暂时学生会理 解它，但时间一长，往往又所剩无几。针对这种情况，我经常设计一些学生理解容易出现偏差 或学生容易忽略条件的题目， 引导学生分析、 研究错误的原因， 寻找治错良方， 在知错中改错， 在改错中防错，弥补学生在知识上的缺陷，提高解题的准确性，增强思维的严密性。例如，在
例：已知定义在 R 上的函数 f(x)满足条件：f(x+2)=-
1 ，f(1)=2007,求f(2008) f ( x)
这是一个看似较难其实简单的问题。如果能够观察出它是一个以 4 为周期的函数，则解 法十分简单，但是如果不能观察出它是一个周期函数，那么这个问题就是一个较难的问题了。 事实上，很容易证明，这个函数就是周期函数，因 f(x+4)=f[(x+2)+2]=1 1 ==f(x) f ( x 2) 1 f ( x)
但本人所教的两个平行班，在复习时由于时间关系，在高三(7)班进行了详细的思路点拨和规 范的板书，高三(5)班只进行思路点拨。一模结果是高三(7)完全做对的有 52 人，而高三(5) 班完全做对的只有 37 人。结果显示，达成效果高三(5)班远比不上高三(7)班，失分原因主要 是答题不规范。 所以我们在复习课教学时， 首先要做好示范， 同时要求学生在解题中规范答题， 而且示范的例题应保留在黑板上，以便学生遇到困难时可主动对照解决。否则，在以后的考试 中，即便答案正确，但推理过程零乱、书写步骤不规范、语言表达不准确，同样会导致过失性 失分。 三、优化选题，重视通性通法 高三数学复习的主要任务是帮助学生构建知识网络， 形成知识模块。而习题教学是实现这 一目标的必要手段。优质例题不是那些偏题、难题、怪题，而是融入相关知识点、富有启发性， 突出通性通法，强化重点，突破难点，矫正误点，具有“小、巧、活、宽”（题型小、方法巧、 运用活、覆盖宽）特色的题目。它们能快速有效地将相关的知识和技能重温、巩固、强化，从 而提炼出主要思想方法，使“明”（知识）“暗”（思想方法）两“线”相互呼应，相得益彰。 如：在解析几何中用代入法求动点轨迹的教学中，我们不妨选取这样的例题： 设 A 的坐标为(2,0)，Q 为圆x2+y2=1上任一点，OP 是△AOQ 中∠AOQ 的平分线，求 P 点 的轨迹。 解决该问题可以用通法-----“代入法”来解决，同时从这个问题中可以总结出用该法求 动点轨迹的一般模型和方法：设点 P---得点Q---代入已知圆的方程。 对于例题的选取，应具有以下特点： 典型性：选例应最具有代表性、最能说明问题，又能突出教材重点、反映新课程标准中最 主要而又最基本的要求。试题来源可以是以前教学中日积月累下来的，可以是通过报刊杂志、 网络等渠道获取，特别是课本或课本改编的例题，通过典型范例思路的剖析，使学生掌握基本 题型及基本规律，揭示知识的内在联系，前后贯通，引伸拓展。 层次性：问题难易兼顾，具有良好的层次性，便于不同程度的学生各取所需。 灵活性：要求选例的解法多样性、多变性，使学生在解题方法的训练中，进一步抓住数学 问题的本质，强化技能，提高灵活思维能力。 针对性：选取的例题要注意针对学生的实际，抓住学生平时学习中的“常见病”、“多发 病”，紧扣知识的易混点、易错点设计或选例题，做到有的放矢、对症下药。 综合性：所选的例题能包括多个知识点，并非单一的课本例题的重现，通过对这类例题的 选讲解，达到提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。 覆盖性：复习过程中所选编的一套例题，必须能够较全面地体现数学课程标准（或考纲） 的要求， 尽量能覆盖教材中全部的知识和数学思想， 对重点知识及主要的数学思想还应重复再 现，避免学生知识结构的断裂。 四、多解求变，拓展思维 高三数学复习中， 如何在有限的时间内发挥出较大的功能？教学经验丰富的教师， 可使例