实数的概念及开平方
实数的定义及其运算
18．若∣a∣=6， =3，且ab 0，则a-b=______。
19．数轴上点A，点B分别表示实数 则A、B两点间的距离为______。
20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
三、认真解一解
按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：
三、数轴：
1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。
五、非负数
若数a≧0，则称a为非负数。
非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
3.点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴上表示的数为 ，则A，B两点的距离为______
解析：在数轴上找到A、B两点，
例题：1、如图，数轴上表示1， 的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．
12． 的算术平方根是_______， =______。
13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。
14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。
根据实数知识点总结,解释实数的平方根和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释实数的平方根
和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释实数的平方根和立方根的概念
实数是指包括有理数和无理数在内的所有数，它们可以在数轴
上表示。
在实数中，平方根和立方根是两个重要概念。
平方根是指一个数的平方等于给定数的非负实数解。
我们用符
号√来表示平方根。
例如，对于正数a来说，√a表示一个非负数x，使得x² = a。
如果一个数是负数，那么它没有实数的平方根。
平方
根运算是一个单值函数，因此每个正数都有唯一的平方根。
例如，
√9 = 3，因为3的平方等于9。
立方根是指一个数的立方等于给定数的解。
我们用符号³√来表
示立方根。
类似地，对于正数a来说，³√a表示一个实数x，使得x³= a。
类似于平方根，如果一个数是负数，它也没有实数的立方根。
立方根运算也是一个单值函数，因此每个正数都有唯一的立方根。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
需要注意的是，实数的平方根和立方根可能是有理数或无理数。
例如，√4 = 2和³√27 = 3是有理数，因为它们可以写成整数的比例。
然而，√2和³√5是无理数，因为它们不能表示为有理数的比例。
总结起来，实数的平方根和立方根是数学中重要的概念。
它们
可以帮助我们计算和理解现实生活中的各种问题。
第3讲 实数的有关概念及性质
第3讲 实数的有关概念及性质【学习目标】掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质【教学重难点】算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质考点1：平方根知识点与方法技巧梳理：1．平方根：一个数x 的平方等于a ，即x2＝a （a ≥0），那么这个数x 叫做a 的平方根． 2．平方根的表示方法：①当a ≥0时，a 的平方根记为±a（特别地，0＝0）； ②当a ＜0时，a 没有平方根． 3．平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根a，另一个是－a，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根．【例1】判断下列说法是否正确： （1）25的平方根是±5（ ） （2）|－9|的平方根是3（ ） （3）－8是64的平方根（ ） 【变式】填空：（1）0.04的平方根是_________．（2）若a 是x 的一个平方根，则x 的另一个平方根是_________． （3）若a2＝(－7)2，则a ＝_________． （4）平方根是它本身的数是_________． 【例2】求下列各数的平方根：（1）1.44 （2）2249（3）10－4 （4）|－3116| （5）292－202【变式】求下列各数的平方根：（1）2.89 （2）3625（3）0.000001 （4）|－24164| （5）852－362考点2：算术平方根知识点与方法技巧梳理：1．算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a； ②特别地，0的算术平方根是0．2．算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a≥0．3．（1）(a)2＝a （a ≥0）；（2）a2＝| a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0）a （a ＝0）－a （a ＜0）【例1】判断下列说法是否正确：（1）361＝±19；（ ） （2）27是(－27)2的算术平方根；（ ）（3）4的算术平方根是2．（ ）【变式1】下列说法错误的是（ ）A ．4是16的平方根B ．1的平方根是1C ．(－3)2的平方根是±3 D ．10－100的算术平方根是10－50 【变式2】填空：（1）49的平方根是_________，225的算术平方根是_________． （2）若a 2＝m ，则a ＝_________． （3）(a)2＝_________（a ≥0）； a 2＝_________．（4）算术平方根是它本身的数是________；________的算术平方根等于它的平方根．（5x ＋11的平方根是_________，算术平方根是_________． （6）a2的算术平方根是_________，(3－π)2的算术平方根是_________．（73b +＝0，则20172017a b +＝_________．（8）若4a ＋1的平方根是±5，则a2的算术平方根是__________． 【例2】求下列各数的算术平方根：（1）179（2）(－35)2 （3）8－2 （4）64（5）0.01 （6）262－102【变式】求下列各数的算术平方根：（1）3625（2）－(－19)3 （3）14－4 （4）81（5）1210- （6）372－122考点3：平方根和算术平方根的运用 知识点与方法技巧梳理：1．开平方：①求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数．开平方和平方互为逆运算． ②开平方与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算． ③平方与开平方互为逆运算．2．被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 【例1】计算：（1）(－7)2（2）(5.7)2【变式】计算：（1）1 40.64－1 5100（2） 2.56×25 64【例2】利用平方根解方程：（1）16( x 2＋1 )＝41 （2）( 5x －1)2＝49【变式】利用平方根解方程：（1）25(x2＋2)＝86 （2）(3x －2)2＝(－7)2【例3】若|2x ＋3|＋4x －y＝0，求x 、y 的值．【变式】已知|3a －2|＋2a ＋3b＝0，求a ＋b 的值．考点4：无理数知识点与方法技巧梳理：无理数：无限不循环小数叫做无理数，如3、π．【例】在①0，②10，③－π5，④32，⑤3.14中，是无理数的有____________．【变式】下列各数中，是无理数的是（ ）A ．47B ．225C ．3πD ．4925考点5：立方根知识点与方法技巧梳理：1．立方根的概念：如果x3＝a ，则x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根） 2．立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数．如：64的立方根是44；0；③负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－22=-．任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 【例1】下列说法正确的是（ ）A －2B ．1的立方根是±1C ．若x ＜0xD ．0没有立方根【变式】下列说法正确的是（ ）A ．－4没有立方根B ．8的立方根是±2C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是【例2】求下列各数的立方根： ①－216 ②0.125 ③61164- ④9【变式】求下列各数的立方根：①343 ②－0.216 ③－1558④3(11)-考点6：立方根的运算知识点与方法技巧梳理：1．开立方：①求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数．②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算．2．=②3a=③a=第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题．3．被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．【例1】求下列各式的值：【变式】求下列各式的值：①【例2】0.30.03，则x∶y＝_________．【变式1】a__________m=．【例3】利用立方根解方程：①27x3＝－64 ②(－3＋x)3＝216＝－5 ④64(x＋1)3＋125＝0【变式】利用立方根解方程：①334364x-＝0 ②(4x＋3)3＝－8－6 ④1000－27(x－2)3＝0考点7：实数知识点与方法技巧梳理：1．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(3．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．4．实数和数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．5．实数的几个概念：①相反数；②倒数；③绝对值都和有理数范围内的概念相同． 【例1】把下列各数分别填入相应的集合中：2，1311，8，π2，－2，－7.77，00.121221222……（相邻两个1之间的2的个数逐次增加1）【变式】请把例1中的各数填入相应的集合中：正实数集合：{____________________________________________________…}；分数集合{____________________________________________________…}．【例2【变式A ．－1和0之间 B ．0和11和2之间D ．2和3之间【变式2】比较下列各组数的大小：（1（2）－π______－【变式3】3－－【例4】实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系为____________． 【变式】如图，在数轴上表示2、3的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为____________．【家庭作业】1a __________m =__________；2．若正数A 的平方根是3x －2和x －6，求x A 的算术平方根．3．已知有理数a 、b 满足a2＋2b ＋2b ＝17－42，求a ＋b 的值．4．已知实数a 、b 满足条件b ．（1）求a 、b 的值；（2）求1111(1)(1)(2)(2)(2017)(2017)ab ab a b a b ++++++++++的值． C 0 A B有理数集合 无理数集合。
1.1实数的有关概念及运算2
——实数的相关概念及运算
1.1实数 (2) ——实数的相关概念及运算
复习目标：
1、理解平方根、算术平方根、立方根的概念； 2、会求一个数的平方根、算术平方根、立方根。 3、会比较实数的大小，并能进行实数的运算。
剖析关键词 （1）了解平方根、算术平方根、立方根的概念 （2）会用实数的运算法则进行实数的简单运算 （一）“了解”： “关键词”：概念
2 8 的立方根是___________;
3、填空并举例计算： (1) a ____; ( a ) _____( a 0);
2 2
(2) a ____; ( a ) _____;
3 3 3 3
反思： 1、求一个数的平方根、算数平方根、立方根的方法及 应该注意的问题； 2、练习3的化简公式中对字母a的取值范围有什么要 求？
（ 4 ） 3 ， ,10 ；
复习指导三: 看试题研究第3页考点4、5，完成填空。 计算下列各题。
1 1 (1) 9 (2) (1) ( ) 3
0
(2)(1)
2011
1 3 0 ( ) (sin 58 - ) 3 - 4 cos60 2 2
反思：上述计算中容易出错的地方是什么？
算术平方根记作____ ____; 2 、立方根记作3 2
2 9 ___; 2 3 27 ___; 3 (3)3 8 ___; 3 (2) 4 ___;
巩固练习：2、填空： 3 (1) 9 的平方根是_______; (2) (3)
3
2 的算术平方根是 ________; 16
巩固练习：计算下列各题。 1 3 (1) 32 3 2 12
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七年级(下)数学 同步讲义 实数的概念及数的开方 (解析版)
知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一 实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】 写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，16，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【答案】2π、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数． 【总结】考查无理数的概念．【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数．（ ） （3）带根号的数都是无理数．（ ） （4）不带根号的数一定不是无理数．（）【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数； （3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数． 【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么． 【答案】一样．例题解析【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数． 【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】 若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之， 亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由． 【答案】略．【解析】移项得：()()a c d b x -=-， 因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=， 于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立． 【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】 3为什么是无理数?请说明理由．【解析】假设3是有理数，则3能写成两个整数之比的形式：3p q=， 又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数． 把3p q=两边平方，得223p q =，即223q p =．由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．设3p m =， 则2239q m =， 同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，既然p 、q 都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾， 故3是无理数．【总结】考查对无理数的理解及证明．模块二：数的开方知识精讲一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这个数a叫做被开方数．x=±，1的平方根是1±．如21x=，1说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2=2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根号a a叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n次方：1、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方．a叫做被开方数，n叫做根指数．2、如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．3、当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．★注意：1）实数a a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a”表示，负n次方根用“0n=时，在中省略n）；a>，根指数n是正偶数（当23）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．【例6】 写出下列各数的平方根：（1）9121； （2）2(9)-．【答案】（1）311±； （2）3±． 【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根． 【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．【例7】 写出下列各数的正平方根： （1）225；（2）9．【答案】（1）15；（2）3．【解析】（1）15； （2）93=，3的正平方根是3． 【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．【例8】 下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根； （3）π-是2π-的平方根；（4）81的平方根是9±．【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根； （4）2π-错：819=，9的平方根是3±．例题解析【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）1-；（4）3438-；（5）27．【解析】（1）6；（2）0；（3）1-；（4）72-；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（37=；（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【解析】（1）因为89=，8，8；（2）因为78==77；（3）因为34=，所以596<<，所以95，小数部分为4-【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．【例12】 求值：（1 （2）；（3）2； （4）2(．【解析】（1）12； （2）0.1- ； （3）4； （4）11． 【总结】考查对平方根的理解及运用．【例13】 求值：（1 （2 （3； （4【解析】（1）4； （2）35-； （3）原式54=-； （4）原式2-． 【总结】考查实数的立方根的运用．【例14】 求值：（1 （2 （3； （4【解析】（1）6 ； （2）3 ； （3）3- ； （4）2． 【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．【例15】 求值：（1（2）（3．【解析】（1）0.5 ； （2）原式=95； （3）原式60=． 【总结】考查实数的立方根运算．【例16】 小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 【答案】0.4m ．【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．【例17】 已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4 【答案】3．【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=． 【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．【例18】 若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值．【答案】125716()1616或．【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，所以22125744161616x y a a -+=+=+=． 【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．【例19】 3，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值． 【答案】1．【解析】由题意可得：49432x y x y -=⎧⎨+=-⎩， 解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．【例20】用“>”把下列各式连接起来：=，-12-23【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2____________；（3≈_________；（4≈______________；（5___________；（6≈_____________．【答案】略．【解析】（1 1.7321017.32⨯=；（2 5.4771054.77≈⨯=；（3 1.732100173.2⨯=；（4 5.4770.10.5477≈⨯=；（5 1.7320.10.1732⨯=；（6 5.4770.010.05477≈⨯=．【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．【例22】填写下表，并回答问题：a…0.000001 0.001 1 1000 1000000 …….3a……（1）数a与它的立方根3a的小数点的移动有何规律?（2）根据这个规律，若已知33，，求a的值．==a0.005250.1738 1.738【解析】（1）由题可知，被开方数a的小数点每向右或向左移动三位，立方根3a的小数点相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知： 5.25a=．【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）>．【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。
实数的概念和数的开方
思源个性化学习讲义学生姓名 在读年级 初一 辅导课目 数学 辅导日期 任课老师班主任课次课程主题实数的概念和数的开方教学目标1、通过实际问题，认识到数的扩充的必要性2、了解无理数和实数的概念，3、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力4、了解平方根、开平方根的概念，立方根和开立方的概念 教学安排一览 事项 时间 实数 15分钟 平方根 25分钟 立方根 10分钟 n 次方根 10分钟 夹逼法 10分钟 课堂巩固练习 30分钟课堂小结10分钟【知识精要】 一、实数1. __________无限不循环__________叫做无理数。
____有理数_____和_无理数________统称为实数2. 实数的分类{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数二、平方根1. 平方根定义： 一个数的平方等于a ，那么我们把这个数叫做a 的平方根2. 平方根的性质：○1一个正数的平方根有 2 个，它们 ； ○20只有 1 个平方根，就是 0 ； ○3负数 没有 平方根。
3. 算术平方根（1）定义： 一个数的正平方根 （2）正数a 的算术平方根表示为： a （3）算术平方．．．．根的性质．．．．：a 具有双重非负性：（1） （2）0的算术平方根是0；一个非负数的算术平方根有且仅有．．．．一个 三、立方根1. 立方根的定义： 一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根 记作： ，读作 2．立方根的性质．．．．．．： （1）（2）33a = a ；()=33a a ；（3）立方根等于本身的数是 0,1，-1 ； 四、n 次方根1.概念：如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根2.性质：○1实数a 的奇次方根有且只有一个，用“na ”表示. ○2正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“-n a ”表示（a >0，n 是正偶数）○3负数的偶次方根不存在 _____)_____(____,_____________)(22==a a ）（○4零的n 次方根等于零，表示为“00=n” 五、夹逼法对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼，首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。
实数,平方根等知识
实数知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
数学小魔方认识和运用开平方与开立方
数学小魔方认识和运用开平方与开立方数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，而其中的开平方与开立方则是其中一个重要的概念。
开平方与开立方是数学中的运算，通过对数字进行平方根和立方根的计算，可以更深入地了解数字之间的关系，以及在实际问题中的应用。
本文将介绍开平方与开立方的定义、性质、计算方法和应用案例。
一、开平方1. 定义开平方是一种求平方根的运算。
对于一个非负实数x，开平方是寻找一个非负实数y，使得y的平方等于x。
用数学符号表示为y = √x，其中√x表示x的平方根。
2. 性质开平方具有以下性质：（1）非负实数的开平方是唯一的。
即对于一个非负实数x，只存在一个非负实数y，使得y的平方等于x。
（2）开平方是一个单调递增的运算。
即如果a < b，则√a < √b。
（3）开平方的结果可以是一个无理数。
3. 计算方法求一个数的平方根有多种方法，其中一种常见的方法是使用数学公式。
以求a的平方根为例，可以使用牛顿迭代法或二分法等数值计算方法。
4. 应用案例开平方在实际问题中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用开平方计算两点之间的距离；在物理学中，可以通过开平方计算速度、加速度等；在金融领域，则可以利用开平方来计算复利等。
二、开立方1. 定义开立方是一种求立方根的运算。
对于一个实数x，开立方是寻找一个实数y，使得y的立方等于x。
用数学符号表示为y = ∛x，其中∛x表示x的立方根。
2. 性质开立方具有以下性质：（1）实数的开立方是唯一的。
即对于一个实数x，只存在一个实数y，使得y的立方等于x。
（2）开立方的结果可以是一个无理数。
3. 计算方法求一个数的立方根也可以使用数学公式进行计算。
其中，常见的方法包括牛顿迭代法、二分法等数值计算方法。
4. 应用案例开立方也在实际问题中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以通过开立方计算体积；在物理学中，可以利用开立方来计算力的大小等。
三、开平方与开立方的关系开平方与开立方都是对数字进行根运算，其关系可以通过以下公式表示：（1）∛(a^2) = √(a^3)（2）∛(a^3) = a其中，a为任意实数。
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第一讲实数的概念与数的开方知识梳理一实数的概念1．无理数定义:无限不循环的小数叫做无理数。
分类:可分为正无理数和负无理数。
说明:无理数应同时满足三个条件:(1)是小数;(2)是无限小数;(3)不循环.常见三种表现形式：（1）带根号但开方开不尽的数，如35,2等，但9就不是无理数； （2）特定意义的数,如π类，2,3ππ，2π等都是无理数；（3）有规律但不循环的小数，如0.101001000100001…等数，数字排列有规律，但是，它们都是不循环的无限小数。
无理数和有理数的区别:任何一个有理数都可以写成ba的形式,其中a,b 都是整数，且b ≠0，而无理数不能写成这种形式。
有限小数和无限循环小数与ba的形式可以互化，因而它们都是有理数。
2.实数的定义有理数和无理数统称为实数 3.实数的分类根据实数的定义分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数根据实数的符号分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数既不是正数也不是负数零正无理数正分数正整数正有理数正实数)(4．实数与数轴上点的对应数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。
对应关系：实数与数轴上的点一一对应。
说明：（1）直线是可以向两方无限延伸的，故不存在最大实数，也不存在最小实数；（2）线成点，在一条直线上不同的两个点之间还有无数个点，所以两个不同整数或无理数之间有无数个实数。
（3）数和点的对应可看作是最简单的数形结合。
5．绝对值，相反数，倒数绝对值：一个实数的绝对值就是指数轴上表示这个实数的点到原点的距离，距离是非负的，因而绝对值是非负数。
即0≥a 具体表示为：说明：（1）两个正数中，绝对值大的数则大，两个负数中绝对值大的数反而小； （2）绝对值是非负的，但它可能等于-a （当a<0时），带负号不一定是负数。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,,0,0,0,a a a a a a 当时当时当相反数：如果两实数a,b满足a+b=0，那么a与b互为相反数，反之亦然。
互为相反数的两个数绝对值相等 .倒数：如果两个实数a和b满足a.b=1，那么a与b互为倒数，零没有倒数。
注意：相反数是它本身的数是0；倒数是它本身的数是±1；绝对值是它本身的数是非负数。
二数的开方1开平方（1）平方根定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(或二次方根),即如果,x2=a那么x就叫做a的平方根.注意:(1)一个实数的平方都是非负的,所以a≥0,即被开方数≥0.(2)a的平方根记作±a,其中根指数2是省略的，a表示a的正的平方表示a的负的平方根。
根又叫做算术平方根,a(3)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,是它本身;负数没有平方根.（4）9的平方根和9的平方根是不一样的（2）平方根与算术平方根的区别（2）开平方及其与平方的关系求一个数的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算。
注意:当a≥0时, a 的平方是a2a的平方根是±aa的算术平方根是a2a的平方根是±a看清题目问的是什么。
2开立方立方根定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作3a，读作三次根号a，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。
注意：（1）任何实数都有唯一确定的立方根；（2）正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；0的立方根是0。
（2）开立方与立方的关系求一个数的立方根的运算,叫做开立方;立方与开立方互为逆运算。
3 立方根与平方根的区别和联系区别：（1）开平方时根指数2可以省略不写，但对于开立方，根指数3是不能省的。
（2）一个正数的平方根有两个，但立方根却只有一个；负数没有平方根，却有立方根，任何实数都有一唯一的一个立方根。
相同：0的平方根和立方根都是0本身。
4 n次方根定义：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根，当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。
注意：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；正数的奇次方根有一个且只有一个，是正数，负数的奇次方根有一个且只有一个，是负数；零的n次方根仍是零。
（2）n为偶数时性质类似平方根，n为奇数时性质类似立方根。
三例题精讲例1 1.414, ，..63.0,5,211,25-,0.020020002…,0.20302, 327,2π中哪些是有理数，哪些是无理数？选题意图：本题主要考察无理数的概念，同时复习有理数的概念。
解析：判断一个数是无理数还是无理数必须按定义来分，无限不循环小数是无理数，知道它的常见表现形式，抓住它的本质，无限小数，带根号的不一定是无理数，；有理数包括整数和分数，但有分数线的也不一定是分数。
答案：有理数包括整数和分数，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数，327,25 都是开方开得尽得数，所以1.414,0.20302,25,..63.0,211-,327 都是有理数；ππ是有特定意义的是有规律但不循环小数是开方开不尽的数，，2...02002002.0,,5，所以它们都是无理数。
针对训练在32,,722,125,523π-，0.1213141516…中，无理数是______________.例2 下列命题中正确的个数有( )实数不是无理数就是有理数（2）不带根号的数一定是有理数（3）无理数数可以分为正 无理数和负无理数（4）有理数可以分为正有理数和负有理数（5）无理数一定是无限不循环 小数A 2B 3C 4D 5 出题意图：考查实数，有理数，无理数的分类解析：实数分为有理数和无理数，故（1）对；π不带根号，但其为无理数，故（2）错；按符号分（3）对，（4）不对，0是有理数，0既不是正数也不是负数；据定义（5）对。
故选B 。
答案：B 针对训练下列语句错误的是（ ）（A ）正整数，0，负整数统称为整数（B ）整数与分数统称为有理数 （C ）开方开不尽的数和π统称为无理数（D ）有理数，无理数统称为实数例3求下列各式的值（1）1.69的平方根 (2)144121 (3)0016.0± (4)9的算术平方根 选题意图：考查平方根，算术平方根的概念及常见数的平方。
解析：（1）最好记住1～20各整数的平方，这样才能熟练求出一些特殊数的平方根（2）看清题问的是什么，算术平方根还是平方根，a 的还是a 的（3）对于正的平方根,被开数扩大100倍,平方根就扩大10倍,反之缩小100,平方根就 缩小10倍.答案：解：（1）因为(±1.3)2=1.69,所以1.69的平方根是±1.3。
(2)因为122=144，112=121，所以144121=1211(3)因为（0.04）2=0.0016,所以0016.0±=±004(4)39=,3的算术平方根是3，所以9的算术平方根是3。
针对训练求（1）256的平方根（2）0001.0的算术平方根例4 若3+-y x 与2003-+y x 互为相反数，求yx yx -+2的值。
选题意图：该题既考查了相反数与绝对值的性质，又通过非负数相加和为零，每一项都为零这一结论增强了学生思维能力。
解析：由互为相反数可知其和为0，又因为两数都大于等于0，所以只有同时都为零，才能使其和为0。
解：∵3+-y x 与2003-+y x 互为相反数∴3+-y x +2003-+y x =0又∵02003,03≥-+≥+-y x y x∴⎩⎨⎧=-+=+-0200303y x y x∴x=1000,y=1003∴10022-=-+yx yx 答案：-1002针对训练已知0)5(32=-++y x ，求2)(y x -的平方根。
例5 已知x,y 是实数，且222133x x x y +-+-=，求y x 3-的值。
选题意图：考查被开方数必须大于0的性质.解析：要求x-3y 的值，必须知道x,y 的值，一个等式求两正个未知数的值，不可能,肯定还有隐含条件。
看到含有字母的二次根式，就要想被开方数≥0，确定字母的取值范围，由此不难得出 x 2=3.解：∵2x -3≥0,3-2x ≥0∴2x =3,x =±3∴ 31=y ∴y x 3-=±13-答案：±13- 针对训练：若424422+--+-=x x x y ，求 y x +2的立方根例6已知x 是满足不等式2x x 381+-≥的非负整数,y 是5-11的小数部分,求(4xy )11+的4次方根。
选题意图：考查绝对值，无理数的性质，如何确定无理数的整数和小数部分，及n 次方根。
解析：要求结论必须知道x,y ；由不等式确定x 值；确定无理数的小数部分一般先确定其整数部分，确定整数部分把无理数平方看其介于哪两个相邻整数之间。
解：∵2x x 381+-≥ ∴18-≤x 又∵2223)8(2≤≤ ∴382≤≤ ∴2181≤-≤又∵x 是非负整数∴x=0，或1, 又∵224113≤≤∴5-11的整数部分是1∴y 是411-∴xy=0或411-∴(4xy )11+的4次方根是0或54±答案：0，54±针对训练 若x 为正整数，x -14为整数，试问式子x -14是否存在最大值，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由。
四 优化作业基础训练题（A ）1．数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（）．（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个2．下列说法中正确的是（ ）．（A ）4是8的算术平方根 （B ）16的平方根是4（C ）6是6的平方根 （D ）a -没有平方根3．若()227.0-=x ，则=x （ ）．（A ）-0.7 （B ）±0.7 （C ）0.7 （D ）0.494．36的平方根是（ ）．（A ）6 （B ）±6 （C ）6 （D ）6±5．一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．（A ） 1 （B ） 0 （C ） -1 （D ）1，-1或06．3a 的值是（ ）．（A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 以上都可能7．下列说法中，正确的是（ ）．（Ａ）27的立方根是3，记作27=3 （B ）-25的算术平方根是5（C ）a 的三次立方根是3a ± （D ）正数a 的算术平方根是a8 下列各式中错误的是（ ）．（A ）6.036.0±=± （B ）6.036.0=（C ）2.144.1-=- （D ）2.144.1±=9．9的算术平方根是__________，81的平方根是___________．10．若x x -+有意义，则=+1x ___________．11．当x _______时，根式121-x 有意义．12．请你观察、思考下列计算过程：因为121112=，所以11121=，同样，因为123211112=，所以11112321=…由此猜想76543211234567898=_________________．13．求下列各数的平方根：（1）425 （2）()24- （3）()()82-⋅-．14．计算：（1）256； （2）44.1-； （3）2516±； （4）01.0；（5）232⎪⎭⎫ ⎝⎛±； （6）410-±．15．解方程：（1）942=x ； （2）()112=+x ； （3）()049121352=--x ．16．将半径为12cm 的铁球融化，重新铸造出27个半径相同的小铁球，如不计损耗，小铁球半径是多少cm ？（提示：球的体积公式为334R v π=）提高训练题（B ）1.平方根等于本身的数是________；算术平方根等于本身的数是______；立方根等于本身的数是___________．2．如果==32,36a a 那么__________．3．如果0≤a ≤1，化简|a |＋|a －1|＝__________．4．当x ＝______时，12+x ＝0，当x ______时，式子2+x ＋2--x 有意义．5．如果（x －6）2＋|y ＋2|＋1+z ＝0，那么（x ＋1）2＋（y －2）2＋（z －3）2的四次方根是______．6．满足－2＜x ＜10的整数x 是______________________．7．正方体的体积是216 cm 3，则它的表面积是_______cm 2． 8．a ，b 为实数，则代数式（a －b ）2＋ab ＋|a |的值…………………………（ ）（A ）大于0 （B ）大于或等于0 （C ）小于0 （D ）等于09．一个正数的正的平方根是m ，那么比这个正数大1的数的平方根是………（ ）（A ）m 2＋1 B .±1+m （C ）12+m （D ）±12+m10．n 1－n 1-＝2成立的条件是…………………………………………………（ ）（A ）n 是偶数 （B ）n 是大于1的自然数 （C ）n 是大于1奇数 （D ）n 是整数11．已知A ＝342--+b a a 是a ＋2的算术平方根，B ＝9232-+-b a b 是2－b 的立方根．求3A －2B 的立方根．12．已知y ＝12-x ＋x 21-＋x －2．求y x +10的值．综合迁移题（C ）1．若a a a =-+-20152014，则=-22014a ______________ 2．已知c b a ，，为△ABC 的三边，则化简=--++-2)(c b a c b a _____________．3.已知a,b 为实数,且01)1(1=---+b b a ,求20142015b a +的值优化作业答案:针对训练1. 无理数有5，...1213141516.0,32,2π2. C3.（1）±16（2）0.1 4. 0)5(,032≥-≥+y x ，它们的和为0，所以⎩⎨⎧=-=+0503y x ，所以x=-3,y=52)(y x -=64,故其平方根为±85. ∵04,0422≥-≥-x x∴x =±2又∵x -2≠0∴x =-2,y =4∴y x +2=8，它的立方根是2 6. 解答：∵14-x ≥0∴x 是不大于的正整数 又∵x -14是整数，14-x 是0～14间的完全平方数，它们是0，1，4，9，当14-x 取最大值9时，相应x -14的值也最大，即当x=14-9=5时，相应的x -14=9=3最大。