【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题(原卷版)
2020年高考数学(理)总复习：平面向量(解析版)
在 △ ABC 中， AC＝ 1，∠ ABC＝ 60°.
根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．
作 △ ABC 的外接圆，当 BC 为圆的直径时， |a|最大，
8
此时 |a|＝BC ＝ 1 ＝2 3 ； sin 60 ° 3
当 B， C 无限接近时， |a|＝ BC→0.
故 |a|的取值范围是
23 0,
3
A．9
B．3
C. 109
D． 3 10
【解析】 向量 a＝ (2，－ 4)， b＝ (－ 3， x)， c＝ (1，－ 1)，∴ 2a＋b＝ (1， x－ 8)，
由 (2a＋ b)⊥ c，可得 1＋8－ x＝ 0，解得 x＝9.则 |b|＝ － 3 2＋ 92＝ 3 10.故选 D.
【答案】 B
如图，设 M (－ 1， 3)，则 O→A＋ O→B＝O→M ，取 N(1，－ 3)，
∴ O→M＝－ O→N.由 |C→D |＝ 1，可知点 D 在以 C 为圆心，半径 r ＝ 1 的圆上， ∴ O→A＋ O→B＋O→D ＝ O→D －O→N＝ N→D ，
∴ |O→A＋
O→B＋
O→D
|＝
→ |ND
|，∴
D． [ 7－ 1， 7＋ 1]
【解析】 法一：设出点 D 的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求
7
解．
设 D(x， y)，则由 |C→D |＝1， C(3,0)，得 (x－ 3)2＋ y2＝ 1.
又∵ O→A＋ O→B＋ O→D ＝ (x－ 1，y＋ 3) ，
∴ |O→A＋ O→B＋ O→D |＝ x－ 1 2＋ y＋ 3 2.
B．2 3
C．2
D．－ 3
( ) 【解析】
2020年高考数学(文)一轮复习专题5.2 平面向量的基本定理及坐标表示(讲)(解析版)
专题5.2平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识点一平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2。
其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
知识点二平面向量的坐标运算运算坐标表示和(差)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)数乘已知a ＝(x 1，y 1)，则λa ＝(λx 1，λy 1)，其中λ是实数任一向量的坐标已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)知识点三平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 21＝μ1，2＝μ2.考点一平面向量基本定理及其应用【典例1】(2019·河北衡水第一中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R)，则52μ－λ＝()A.－12 B.1 C.32 D.－3【答案】A【解析】(1)AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.【方法技巧】平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【变式1】(2019·山东济南二中质检)在△ABC 中，AN →＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为()A.－4B.－1C.1D.4【答案】B【解析】(1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋－(1－n )AB →＋n 5AC →。
高考数学复习专题知识梳理总结—平面向量及其应用
高考数学复习专题知识梳理总结—平面向量及其应用1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，3.两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ． 4．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ①b ①x 1y 2－x 2y 1＝0． 7．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则①AOB 就是向量a 与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a 与b 的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a 与b 同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a与b垂直．8．平面向量的数量积9.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.<常用结论>1．五个特殊向量(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．(4)与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a |和－a|a |. 2．五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n →＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． (3)若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0①P 为①ABC 的重心．(4)在①ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为①ABC 的重心，则有如下结论：①GA →＋GB →＋GC →＝0； ①AG→＝13(AB →＋AC →)； ①GD→＝12(GB →＋GC →)，GD →＝16(AB →＋AC →)． (5)若OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.3．基底需要的关注三点(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎨⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.4．共线向量定理应关注的两点(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ①b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定． 5．两个结论(1)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. (2)已知①ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则①ABC 的重心G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33. 6．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b ＜0且a ，b 不共线． 7．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.。
决战2020年高考数学(理)平面向量专题： 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:【考点讲解】(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 . (2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r ,(2)121222221122x x y y x y x y ++⋅+.4.(1)2222,.x y x y ++(2)221212()()x x y y -+-.【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得AD ⊥BC ，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅DBCD BC AD //0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u r Q ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2b =，6sin 3B =，求()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以,，, 2sin ,,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =2sin(2)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦EOCBAD xy所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f 3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴ =9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ1253cos ,2sin )(53cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=---⋅--u u u r u u u u r（θθθODCBA解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=---⋅--u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N.55cos 55<<-θ553,553-553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【答案】10N1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(,3)PA x y =--u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=--=+-u u u r u u u r u u u r2333)222-≥-，当3(0,)2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-3【真题分析】3.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【答案】235.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即2222102720210n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则2212212cos 54cos θθ-=+-⨯⨯⨯=-a b ，2212212cos 54cos θθ+=++⨯⨯⨯=+a b ，则54cos 54cos θθ++-=++-a b a b ，令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()()maxmin 2025,164++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是25． 【答案】4，257. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1.可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78. 【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，所以3cos 3sin x x -=． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠． 于是3tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值23-．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值23-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r，【模拟考场】即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）A .910 B . 310 C . 310- D . 910- 【解析】依题意223110BC =+=，由射影定理得221,10AC AC CD CB CD CB =⋅==，其中103cos ==BC AB B ，所以有139cos 3101010CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅=⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u ru u u ur ()()2221334x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点()1,33--距离平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=+-+= ⎪⎝⎭u u u u r ，故选B.【答案】B3244344943637+433237+4.已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则()()223cos 1sin 3OA OB OD θθ++=+-++u u u r u u u r u u u r ()822cos 3sin θθ=++,因为2cos 3sin θθ+的最大值为()22237+=,所以OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r的最大值为()28271717+=+=+,故填17+.【答案】17+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4.【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，||=22OP ∴u u u r .（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m n y m n =+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）22；（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值；xyＣＢＡ12345–1–2–3–4–5123–1–2–3O(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
2020年高考数学（理）高频核心考点专题：平面向量 （全国版含解析）
A． AD
B． 1
AD
2
C． BC
D． 1
BC
2
【解析】本题的考点是平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，用向量法表示三角
形中线的性质要引起重视，由题意可知 D，E，F 分别是 BC，CA，AB 的中点，所以有以下结论：
1
二、知识概述：
1．向量的概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于 1 个单位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【答案】A
4.【2017 年高考北京卷文数】设 m,n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n ”是“ m n < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若 0 ，使 m n ，则两向量 m,n 反向，夹角是180 ，
备考情况：1.以考查向量的线性运算、共线为主，主要是在理解含义的基础上，进一步解题，比如利用向 量的线性运算求参数. 2.单独考查平面向量的实际背景及基本概念的题目极少. 3.备考重点： (1) 理解相关概念是基础，掌握线性运算的方法是关键； (2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题，注意运用数形结合的思想方法.
A．
3
AB
1
AC
44
B．
1
AB
3
AC
44
C．
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题5.2 平面向量的基本定理(解析版)
5.2 平面向量的坐标运算一、平面向量的坐标运算 1．向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）. 2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1）， |a ，|a ＋b 3．平面向量共线的坐标表示设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1=0. 4．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为 ．(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝ 【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1） 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0. （2）由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.【举一反三】1.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a＋2b的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 D【解析】 由题意可得，OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，所以AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)．又∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →，即(a －1)×2－1×(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1，又∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b时，取“＝”．故选D.2．已知点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________. 【答案】 －23【解析】 点P (－1,2)，线段PQ 的中点M 的坐标为(1，－1)， ∴向量PQ →＝2PM →＝2(1＋1，－1－2)＝(4，－6)．又PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，∴4×1＋6λ＝0，即λ＝－23.3.已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43【解析】 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0，1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是( )A.2＋1B.7＋1C.2－1D.7－1 【答案】 A【解析】 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，则x 2＋(y ＋2)2＝1， 即动点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆， ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，几何意义表示：点M (x ，y )与点N (－1，－1)之间的距离，即圆C 上的点与点N (－1，－1)的距离，∵点N (－1，－1)在圆C 外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是|NC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.故选A. 【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，．若点在圆上，则实数（ ）A ．B ．C ．D ．O :10l x ky -+=22:4C x y +=, A B OM OA OB =+M C k =2-1-01考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______. 【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当C 与A 重合时，10,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=，当C 与B 重合时，01,OC OA OB =⨯+⨯1x y +=， 当C 从AB 的端点向圆弧内部运动时，1x y +>， 于是猜想当C 是AB 的中点时，x y +取到最大值.当C 是AB 的中点时，由平面几何知识OACB 是菱形， ∴,OC OA OB =+∴11 2.x y +=+= 猜想x y +的最大值是2.解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设AOC α∠=，则1(1,0),((cos ,sin )2A B C αα-.于是OC xOA yOB =+可化为：1(cos ,sin )(1,0)(2x y αα=+-，∴1cos ,2sin .x y y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（1） 解法2 函数法求最值由方程组（1）得：cos ,.x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴cos 2sin(30)x y ααα+=+=+，又0120α≤≤， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法3 不等式法求最值由方程组（1）得：222221sin cos ()3x y xy x y xy αα=+=+-=+-，∴211()33xy x y =+-， 由0,0x y >>，及x y +≥2()4x y xy +≥， ∴2()4x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号. ∴max () 2.x y +=思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量∵,OC xOA yOB =+∴,.OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩ 设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-，又||||||1OC OA OB ===，∴1cos ,21cos(120).2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴2[cos cos(120)]2sin(30)x y ααα+=+-=+， ∴当30α=时，max () 2.x y += 解法5 两边平方法∵,OC xOA yOB =+∴22(),OC xOA yOB =+∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=， ∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y +=思考方向四 考虑平行四边形法则过C 作CM ∥OB 交OA 于M ，作CN ∥OA 交OB 于N ，则OMCN 是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：OC OM ON =+，在OMC ∆中，设AOC α∠=，则 120BOC α∠=-， 且||,||.OM x MC y == 解法6 利用正弦定理sin sin sin OM MC OCOCM COM OMC==∠∠∠， 1sin(60)sin sin 60x y αα==+，由等比性值得：1sin(60)sin sin 60x y αα+=++，∴2sin(30)x y α+=+，∴当30α=时，max () 2.x y += 解法7 利用余弦定理222||||||2||||cos60,OC OM MC OM MC =+-⋅∴2221()3x y xy x y xy =+-=+-222()()()344x y x y x y ++≥+-⋅=，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时取等号， ∴max () 2.x y += 【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【答案】6【解析】 方法一 如图，作平行四边形OB 1CA 1，则OC →＝OB 1→＋OA 1→，因为OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°， 所以∠B 1OC ＝90°.在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝30°，|OC →|＝23， 所以|OB 1→|＝2，|B 1C →|＝4，所以|OA 1→|＝|B 1C →|＝4， 所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二 以O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝λ－12μ，3＝32μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2.所以λ＋μ＝6.2.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝ .【答案】 52【解析】 由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)， ∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)， ∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)， 又∵P 为CD 的中点，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝12，μ＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.1．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 【答案】 (－3，－5)【解析】 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．2.已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 【答案】 1【解析】 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.3.线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝ . 【答案】 －2或6【解析】 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.4. 已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． 【答案】 (3,3)【解析】 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．5.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x ＝ .【答案】 4【解析】 ∵向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(x,1)，∴a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，∵(a －2b )∥(2a ＋b )，∴(8－2x )(x ＋1)－(16＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－2＝0，即－52x 2＋40＝0，又∵x >0，∴x ＝4.6．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为 ． 【答案】 3【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.7.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是 ．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，E (2,0)，D (0,2)，F (3,1)， P (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤α≤π2，即AP →＝(cos α，sin α)，ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)． ∵AP →＝λED →＋μAF →，∴(cos α，sin α)＝λ(－2,2)＋μ(3,1)， ∴cos α＝－2λ＋3μ，sin α＝2λ＋μ，∴λ＝18(3sin α－cos α)，μ＝14(cos α＋sin α)，∴2λ－μ＝12sin α－12cos α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4.∵－π2≤α≤π2，∴－3π4≤α－π4≤π4.∴－22≤22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4≤12.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD (含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．【答案】5【解析】如图所示，①设点O 为正六边形的中心， 则AO →＝AB →＋AF →.当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连结OP ， 则AP →＝AO →＋OP →， ∵OP →与FB →共线，∴存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 则AP →＝AO →＋tFB →＝AB →＋AF →＋t (AB →－AF →) ＝(1＋t )AB →＋(1－t )AF →，∴此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点为P ，则AP →＝52AO →＝52()AB →＋AF →＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，为最大值．9.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，点P 是△ABC 内一点(含边界)，若AP →＝23AB →＋λAC →，则|AP →|的最大值为________． 【答案】2133【解析】 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°， ∴A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)，设点P 为(x ，y )，0≤x ≤3，0≤y ≤3， ∵AP →＝23AB →＋λAC →，∴(x ，y )＝23(3,0)＋λ(1，3)＝(2＋λ，3λ)，∴⎩⎨⎧x ＝2＋λ，y ＝3λ，∴y ＝3(x －2)，① 直线BC 的方程为y ＝－32(x －3)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73，y ＝33，此时|AP →|最大，∴|AP →|＝499＋13＝2133. 10.已知三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，BE →＝3EC →，若点P 是BC 边上的动点，则AP →·AE →的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103 【解析】 因为AB ＝AC ，BC ＝4，∠BAC ＝120°，所以∠ABC ＝30°，AB ＝433.因为BE →＝3EC →，所以BE →＝34BC →.设BP →＝tBC →，则0≤t ≤1，所以AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋tBC →，又AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34BC →，所以AP →·AE →＝(AB →＋tBC →)·⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋34BC →＝AB →2＋tBC →·AB →＋34BC →·AB →＋34tBC →2＝163＋t ×4×433cos150°＋34×4×433cos150°＋34t ×42＝4t －23， 因为0≤t ≤1，所以－23≤4t －23≤103，即AP →·AE →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，103.11在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．【答案】102【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )， ∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧x ＝5λ，y ＝3μ，∴x ＋y ＝5λ＋3μ.∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝2×54＝102， 当且仅当x ＝y 时取等号， ∴5λ＋3μ的最大值为102. 12.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．【答案】 (－1,0)【解析】 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)， 又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)， ∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。
2020年高考数学 考纲揭秘 专题5 平面解析几何 理
（五）平面解析几何初步考纲原文1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直（4）掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想3．空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置（2）会推导空间两点间的距离公式（十五）圆锥曲线与方程1．圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.（4）了解圆锥曲线的简单应用.（5）理解数形结合的思想.2．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.高考预测对于直线与圆的考查：1．从考查题型来看，涉及本专题的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.2．从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.3．从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想. 对于圆锥曲线的考查：1．从考查题型来看，涉及本专题的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2．从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.3．从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想. 新题速递1．已知点()2,0F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率为A ．2 D ．4 2．若圆C 过点()()0,1,0,5-，且圆心到直线20x y --=的距离为则圆C 的标准方程为__________．3的右焦点为1F ，离心率为，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截（1）求椭圆C 的方程；（2）若24y x =上存在两点M N 、，椭圆C 上存在两个点P Q 、满足： 1P Q F 、、三点共线，1M N F 、、三点共线且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.答案1．C 【解析】将双曲线2233(0)x my m m -=>的方程化为标准方程可得2213x y m -=，故23c m =+， 即34m +=，得1m =，故双曲线的离心率为2ce a==，故选C.3．【解析】（1）∵过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为2，∴222b a=， ∵离心率22∴22c a =又222a b c =+，解2,1,1a c b ===∴椭圆C 的方程为2212x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，此时4,22,42PMQN MN PQ S ===四边形； 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()(1)0y k x k =-≠，联立24y x =，得()2222240(0)k x k x k ∆-++=>，设,M N 的横坐标分别为,M N x x ， 则242M N x x k +=+，∴MN 244M Nx x p k ++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程()()110y x k k=--≠联立椭圆C 的方程，消去y ，得()22224220(0)kx x k ∆+-+-=>，设,P Q 的横坐标分别为,P Q x x ，则24,2P Q x x k +=+P Q x x 22222k k -+， ∴()2222222221142214222k kPQ k k k k +-⎛⎫=+-= ⎪+++⎝⎭，()()2222421122PMQNk SMN PQ k k +=⋅=+四边形,令21(1)k t t +=>，则()()222242421421421111PMQN t t S t t t t ⎛⎫===+> ⎪-+--⎝⎭四边形， 综上，()min42PMQNS =四边形.。
专题5.2 解析几何与平面向量相结合问题(解析版)
一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命中的热点问题。
它们具体结合体现在夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将向量语言坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算，或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】（2020·湖北高考模拟（理））已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左，右焦点分别为12,F F ，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M 是线段1PF 上一点，且满足122,0MF PM MF OP =⋅=，则椭圆离心率的取值范围为______________. 【答案】1(,1)2【解析】试题分析：由题意得，设(,)P x y ，取1MF 的中点N ，由12MF PM=，则112NF PN =，解得点(,)33x c yN -，又20MF OP ⋅=，所以2MF OP ⊥，由三角形的中位线可知ON OP ⊥，即(,)(,)033x c yx y -⋅=，整理得222()x c y c -+=，所以点P 的轨迹为以(,0)c 为圆心，以c 为半径的圆上，所以使得圆与椭圆有公共点，则12c a c c a -⇒，所以椭圆的离心率为1(,1)2e ∈． 【方法点晴】本题的解答中设出点P 的坐标，取1MF 的中点N ，可转化为ON OP ⊥，代入点的坐标，可得点P 的轨迹方程，只需使得圆与椭圆有交点即可得到,a c 的关系，求解椭圆离心率的取值范围. 【举一反三】1.（2020南宁模拟）已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>A 2:8C y ax =F E P AP FP ⊥EA．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，设，由，得，因为在的渐近线上存在点，则，即，又因为为双曲线，则，故选B．【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解，，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键．2.（2020·四川高考模拟（理））已知圆1C：22(5)1x y++=，2C：22(5)225x y-+=，动圆C满足与1C 外切且2C与内切，若M为1C上的动点，且1CM C M⋅=，则CM的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】A【解析】∵圆1C：()2251x y++=，圆2C：()225225x y-+=，动圆C满足与1C外切且2C与内切，设圆C的半径为r，由题意得1211516CC CC r r+=++-=（）（），()1,21,4⎛⎝⎦4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭()2,+∞()(),0,2,0A a F a00,bP x xa⎛⎫⎪⎝⎭AP FP⊥2220020320cAP PF x ax aa⋅=⇒-+=E P0∆≥222222299420988ca a a c e ea-⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤E14e<≤AP FP⊥0∆≥∴则C 的轨迹是以（()()505,0，，- 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=，即CM 为圆1C 的切线，要CM 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则2211CM CC =-==00106488,64x x =++-≤≤minCM∴=== ，选A.3．（2020·江西高考模拟（理））过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的左焦点F(−c,0) (c >0)，作倾斜角为π6的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，且OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率为__________． 【答案】√3+1【解析】试题分析：因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，由题意∠PFO =π6，故OE =12OF =12c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴E 为PF 的中点，令右焦点为F′，则O 为FF′的中点，则PF′=2OE =c ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以OE ⊥EF ，∴PF ⊥PF′，∵PF −PF′=2a ， ∴PF =PF′+2a =2a +c 在Rt △PFF′中，PF 2+PF′2=FF′2， 即(2a +c)2+c 2=4c 2，所以离心率e =√3+1．类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】（2020·江苏省如皋中学高考模拟）已知圆22:1C x y +=，点()00,P x y 是直线l ：3240x y +-=上的动点，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围是_____． 【答案】240,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由在圆C 上总存在不同的两点A ，B 使得OA OB OP +=可知四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ．然后分类讨论：当直线AB 的斜率为0时，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．当直线AB 的斜率不存在时，可得4(,0)3P ，此时直线AB 方程为为23x =，满足条件．当直线AB 的斜率存在且不为0时，利用AB OP ⊥，OP y k x=，可得直线AB 方程为2000220x x y y y +-=，圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，再利用003240x y +-=，即可解出所求范围．【详解】∵在圆C 上总存在不同的两点,A B 使得OA OB OP +=， ∴四边形OAPB 是菱形， ∴直线AB 垂直平分OP ．①当直线AB 的斜率为0时，由直线:3240l x y +-=得(0,2)P ，此时在圆C 上不存在不同的两点,A B 满足条件．②当直线AB 的斜率不存在时，由直线:3240l x y +-=可得4(,0)3P ，此时直线AB 的方程为23x =， 满足条件．③当直线AB 的斜率存在且不为0时， ∵AB OP ⊥，0OP y k x =， ∴0AB x k y =-． ∴直线AB 的方程为000022y x x y x y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即2000220x x y y y +-=，由题意得圆心到直线AB 的距离1d =<，即22004x y +<，又003240x y +-=，∴20013240x x -<，解得024013x <<． ∴0x 的取值范围是24(0,)13． 【点睛】解答本题的关键有两个：一个是根据题意得到四边形OAPB 是菱形，于是AB 垂直平分OP ，进而转化为坐标运算处理．二是针对直线AB 的斜率的取值情况进行分类讨论，在每种情况下判断是否满足条件，最后将问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解．考查转化和计算能力，具有综合性和难度． 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，点1,0A ，直线FA 与抛物线C交于点P （P 在第一象限内)，与其准线交于点Q ，若2PQ FP =，则点P 到y 轴距离为（ ） A．1 B．2C．1D．2【答案】B 【解析】【分析】过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ．根据三角形相似可得直线FA 的倾斜角为135︒，从而斜率为1-，进而可求得2p =，于是可求得点P 的纵坐标，根据点P 在曲线上可得其横坐标，即为所求．【详解】由题意得抛物线的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设准线与y 轴交于点1F ．过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为1P ，则11PP FF ∥，∴1||||||||QP QP FP PP ==， ∴145PQP ∠=︒,∴直线FA 的倾斜角为135︒， ∴21012FApp k -==-=--，解得2p =． 又由11PP FF ∥得11||||||||PP QP QF FF ==12||PP =，∴)1||14PP ==-设(),P x y，则14y +=-∴3y =-∴()224341x =-=，又点P 在第一象限，∴)212x ==，即点P 到y轴距离为2．故选B ．2.（2020南充模拟）已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出为定值，再由基本不等式求出最小值．3．（2020·江西高考模拟（理））双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线分别交1l 及2l 于P ，Q 两点，若满足11122OP OF OQ =+，则双曲线的离心率为（ ）,,A B P 2214yx -=2PA PB PO +=O ,PA PB ,m n 224nm+mnABC ．2D【答案】C 【解析】【详解】∵22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 双曲线的两条渐近线方程为y b a =-x ，y ba=x ， ∵过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ． ∵11122OP OF OQ =+， ∴点P 是线段F 1Q 的中点，且PF 1⊥OP ，∴过F 1的直线PQ 的斜率k PQ ab =， ∴过F 1的直线PQ 的方程为：y ab=（x +c ），解方程组()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得P （2a c -，abc ），∴|PF 1|＝|PQ |＝b ，|PO |＝a ，|OF 1|＝|OF 2|＝|OQ |＝c ，|QF 2|＝2a ， ∵tan ∠QOF 2b a =，∴cos ∠QOF 2ac=， 由余弦定理，得cos ∠QOF 2222242c c a c +-==1222a ac c-=， 即e 2﹣e ﹣2＝0，解得e ＝2，或e ＝﹣1（舍）故选C ．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】（2020荆州模拟）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点．设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】设平面内曲线上的点，则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点，∵点在曲线上，∴，整理得 ．故选A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点的轨迹方程． 【举一反三】1．（2020·武汉市实验学校高考模拟）以椭圆22195x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左右焦点分别是12,F F ，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点00(,)P x y 00(0,0)x y >>，满足(),AB x y =AB θ()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+B A θP C 4π222x y -=C 1xy =-1xy =222y x -=221y x -=C (),P x y 4π())'22P x y x y ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，'P 222x y -=()()22222x y x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1xy =-P11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-= （ ） A ．2B ．4C ．1D ．1-【答案】A 【解析】【分析】通过已知条件，写出双曲线方程，结合已知等式及平面几何知识得出点M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，利用三角形面积计算公式计算即可． 【详解】作出简图如下∵椭圆22195x y +=，∴其顶点坐标为3030-（，）、（，）， 焦点坐标为（2020-，）、（，）， ∴双曲线方程为22145x y -=，12(3,0),(3,0)F F - 由11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，可得1 M F 在1PF 与21 F F 方向上的投影相等，1111111tan 5MA F A F B MF A MF B MF A F A ∴=∴∠=∠∠==，，，112122tan 55tan 11tan 12125MF A PF A MF A ∠∴∠===-∠-，∴直线1PF 的方程为5312y x （）=+．即：512150x y -+=，把它与双曲线联立可得532P（，） ，2PF x ∴⊥轴，又2tan 1MF O ∠=，所以245MF O ∠=︒，即M 是12F PF △ 的内切圆的圆心，12121114222PMF PMF SSPF PF ∴-=-⨯=⨯=（）．故选A ． 2.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C 、A 、B 三点共线．设C （x ，y ），则C 在AB 所在的直线上， ∵A （2，1）、B （4，5）， ∴AB 所在直线方程为 ，整理得：．故P 的轨迹方程为：．故选：A.类型四 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例4】（2020·兰州高考模拟（理））设1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，直线l过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足1132FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为() A 3B 3C ．13 D ．16【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆中线段关系，表示出1439c AF =，122F F c =，24329cAF a =-．由余弦定理即可求得a 与c 的关系，进而求得离心率．【详解】因为F 1是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线l 过F 1交y 轴于C 点所以()1,0F c - ，即1OF c = 因为1230CF F ∠=，所以123cCF =又因为1132FC AF =所以19AF =在三角形AF 1F 2中，19AF =，122F F c =，229AF a =-，根据余弦定理可得 222112212112cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠=，代入得=⎝⎭a = 所以离心率为c e a ==，所以选A 【举一反三】1.（2020锦州一模）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点， 为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】如图所示， 为与的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ，，向量的夹角为钝角时， ，又，两边除以得，即，解集x 1212,,,A AB B 2F 12B F 12A B P 12B PB ∠⎫⎪⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎛ ⎝⎭⎫⎪⎪⎝⎭12B PB ∠22A B 21F B ,,a b c ()()2221,,,A B a b F B c b =-=--222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<22222,0b a c a ac c =-∴-->2a 210e e -->210e e +-<，又，故选C ． 2.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D类型五 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________． 【答案】1122e -<<101,02e e <<∴<<F 22221(0,0)x y a b a b-=>>E F x ,A B ABE ∆e ()1,+∞()1,2(1,1+()2,+∞()222:124x y C a a +=>222:4O x y a +=+C 12F F 、P O l O ,M N 126PF PF ⋅=PM PN ⋅6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】1.（2019上海市闵行区七宝中学高三）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立，则的最小值是_________.【答案】【解析】因为是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设，，，又，，即，它表示的圆心在，半径为的圆， 表示圆上的点到的距离，圆心到点的距离为， 的最大值为， 要使恒成立，即的最小值是，故答案为.三．强化训练 一、选择题1．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，，过点的直线为，由得，直线代入得则，即，，所以，故选B 2．（2020烟台市届高三高考一模）已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12 B ．C ．24D ．【答案】C 【解析】设，，∵、分别为双曲线的左、右焦点，∴，.∵，()0,1224x y +=A B OA OB OP +=P 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2211x y +-=22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()2212x y +-=()P x y ，()()1122A x y B x y ，，()0,11y kx =+OA OB OP +=()()1212x y x x y y =++，，1y kx =+224x y +=()221230k x kx ++-=12221k x x k +=-+12221y y k+=+221k x k =-+221y k=+()2211x y +-=∴，∴，∴， 即，∴， 解得，，设，则，在中可得，解得，∴，∴的面积.故选：C ．3．（2020·河南高考模拟（理））1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．)3,⎡+∞⎣ B ．)2+∞，C ．[)1+∞，D ．(][)11-∞-+∞，，【答案】B 【解析】【分析】由题，1212,,PF m PF n F PF θ==∠=，先由双曲线的定义2m n a -=，再利用余弦定理2224cos 2m n c mnθ+-=，由题意212PF PF a ⋅=-可得222242m n c a +=-，最后再用 ,m a c n c a ≥+≥-可得c 、a 的不等关系，可得离心率.【详解】由题，取点P 为右支上的点，设1212,,PF m PF n F PF θ==∠= 根据双曲线的定义知：2m n a -=在三角形1F PF 中，由余弦定理可得：2224cos 2m n c mnθ+-=又因为 212PF PF a ⋅=-可得2cos mn a θ=- 即222242m n c a +=- 又因为,m a c n c a ≥+≥-所以222222()()422c a c a c a c a ++-≤-⇒≥即22e e ≥∴≥4．（2020·山东高考模拟（理））已知直线l 过抛物线C ：23y x =的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF FP =，则AB =（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B 【解析】【分析】先求出抛物线的焦点及准线，由向量关系可得F 是AP 的中点，再利用三角形中位线求出点A 到准线的距离，从而求出A 的坐标，进而确定直线AF 的方程，再联立直线与抛物线方程求出两交点横坐标之和，代入焦点弦12||AB x x p =++求值.【详解】如下图所示：不妨设A 在第一象限，由抛物线C ：23y x =可得3(,0)4F ，准线3:4DP x =-因为AF FP =，所以F 是AP 的中点 则23AD CF ==.所以可得9(,42A则AF k AP的方程为：3)4y x =-联立方程23)43y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩整理得：2590216x x -+=所以1252x x +=，则1253||422AB x x p =++=+=.选B.5.（2020莆田市高三）已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】结合题意，绘制图形，可知，结合，可知，所以设，所以，解得，故设F 的坐标为，则A 的坐标为，代入抛物线方程，得到，解得，故选B. 抛物线方程，得到，解得，故选B.6.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过点作圆：的切线，切点为，且直线与双曲线的一个交点满足，设为坐标原点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）C 22221x y a b -=0a >0b >1F 2F 1F Ω2224a x y +=l M l C N 122NF NF a -=O 12QN OF OM +=CA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】，故，即，故点为线段的中点，连接，则为的中位线，且，故，且，故点在双曲线的右支上，，则在中，由勾股定理可得， ，即，解得，故，故双曲线的渐近线方程为，故选C ． 7．（2020柳州市高考模拟）已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵是的边上的中线，∴．∵，∴，当且仅当三点共线时等号成立． 又，，∴， ∴， 又，∴．故离心率的取值范围为．故选C ．8．（2020葫芦岛市高三联考）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A ．B ．C ．D ．32y x =±3y x =62y x =±6y x =12ON PF OM +=1ON OM OM PF -=-1MN FM =M 1F N OM OM 12NF F ∆1,2aOM OM F N =⊥22NF OM a ==2112,2F N F N NF NF a ⊥-=N C 13NF a ∴=12Rt NF F ∆2221212NF NF F F +=()()22232a a c +=22101c b a a==+6b a =C 62y x =±【答案】C 【解析】 因为，所以，．因为，所以是线段的中点．又直线过双曲线的右顶点且平行于双曲线的一条渐近线，，所以，化简可得，所以，所以，结合解得．本题选择C 选项.9．（2020重庆市南开中学高三检测）如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（ ）A ．-2B ．1C ．4D ．【答案】B 【解析】 由题可设A ，其中a>0,d ＜0.又焦点F(1,0)， 所以|FD|=1+， 所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B10．（2020·辽宁高考模拟（理））已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，点M （-a ，0），N （0，b ），点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，则21S S =( ) A ．B ．4C ．D ．8 【答案】B 【解析】【分析】根据离心率求得ba的值，由此求得线段MN 所在直线方程，设出P 点的坐标，代入12PF PF ⋅，利用二次函数求最值的方法求得12PF PF ⋅取得最小值和最大值时对应的P 点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.【详解】由于双曲线的离心率为12c b a ⎛=+=，故b a = 所以直线MN的方程为)y x a =+，设()[](),0P t t a ∈-，焦点坐标为()()12,0,,0F c F c -，将12,,P F F 坐标代入12PF PF ⋅并化简得22313444t a a⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由于[],0t a ∈-，故当34t a =-时取得最小值，此时344P y a a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭；当0t =时取得最大值，此时P y =.故214S S ==.所以选B. 11．（2020·四川石室中学高考模拟）已知动直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，且满足52CB CA =，若M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OC OM ⋅的值为（ ） A ．3 B ．3C ．2D ．-3【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为32y x =+，根据题意可得()2,0B -，()1,3A -，∵M 是线段AB 的中点， ∴33,2M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),C x y ， ∵52CB CA =，∴()()52,1,32x y x y ---=---， ∴()()5212532x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得13533x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴153,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴1533315,,33222OC OM ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．12.（2020桂林高三质检）已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设直线，与椭圆方程联立可得，，设，则，，代入得,，于是，,故选C.二、填空题13．（2020上海市金山区高三）正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），D（﹣1，1），P（，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E（﹣3，﹣2）与点P（sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y+2k（x+3），点P的轨迹方程为x2+y2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：114．（2020·辽宁高考模拟（理））已知圆22:(2)(1)1C x y -+-=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则•PA PB 的取值范围为__________． 【答案】12[,)5+∞ 【解析】PA?PB =PA PB cos θ=22222222(1)(12sin)(1)(1)32PC PC PC PC PC θ--=--=+-因为圆心到直线的距离d =所以PC ≥，25PC ≥，2223PC PC +-125≥，当25PC =时取最小值。
2020版新攻略高考数学总复习浙江专用课件：5.2 平面向量基本定理及坐标表示
第三页，编辑于星期日：一点 二十九分。
教材研读
教材研读 栏目索引
1.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个① 不共线 向量,那么对于这一平面 内的任一向量a,② 有且只有 一对实数λ1、λ2,使a=③ λ1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组④ 基
=OxaP+
A.3 B.4 C.5 D.6
第二十页，编辑于星期日：一点 二十九分。
考点突破 栏目索引
解析 如图所示,设直线OP与直线HD相交于P',则可知 O=Pλ' ,O设P =OP '
ma+(1-m)b,
∴ma+(1-m)b=λ(xa+yb),∴λx+λy=m+1-m=1,∴x+y= ,∴1 问题等价于求λ
n3
考点突破 栏目索引
第三十一页，编辑于星期日：一点 二十九分。
解法二:∵ 2 ≠ 3,∴a与b不共线,
1 2
当ma+nb与a-3b共线时,
m
=
n
,
1 3
即得 m=- 1,
n3
故答案为- 1.
3
考点突破 栏目索引
第三十二页，编辑于星期日：一点 二十九分。
考点突破 栏目索引
方法指导
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0; ②已知b≠0,则a∥b的充要条件是a=λb(λ∈R).
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以求参数.
第三十三页，编辑于星期日：一点 二十九分。
2020年浙江高三数学总复习：平面向量基本定理及坐标运算复习讲义
第二节平面向量基本定理及坐标运算-备考方向明确h ---------------------------- 一方向比勢力更重要 ------------粗嵌球轴护盘建总耒----------网络构鯉一、平面向量基本定理如果e i,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入1,入2,使a=X i e i+X 2e2.其中,不共线的向量e i,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底1. 概念理解(1) 平面内的基底是不唯一的，同一向量在不同基底下的表示不相同，但基底确定后，表示唯一，即入1和入2唯一确定.⑵ 用平面向量基本定理可以将平面内任一向量分解成a二入i e i+入2e2的形式,这是线性运算的延伸.(3)可将向量的基本定理和物理中“力的分解”相联系，加深理解.2. 与平面向量基本定理相关联的结论(1)0不能作为基底.⑵△ ABC中,D为BC的中点,则AD=2(AB+7C).二、平面向量的正交分解1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2. 平面向量的坐标表示(1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,这样，平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.(2) 若A(X1,y1),B(x 2,y 2),则厉=(X2-X1,y 2-y 1).1. 概念理解(1)正交分解是向量的一种特殊分解，是向量基本定理的一种特殊情况.(2) 正交分解是将基底看作x轴正方向和y轴正方向上的单位向量, 体现数学中将一般结论特殊化的思想.2. 与向量的坐标表示相关联的结论(1) 若AB=(X i,y i),则BA=(-X i,-y 1).(2) 0=(0,0).(3) a=(x i,y 1),则与a方向相同的单位向量e= a = ( J12，2y12)三、平面向量的坐标运算及共线向量的坐标表示1. 平面向量的坐标运算(1) 若a=(X1,y 1),b=(x 2,y 2),贝卩a± b=(x 1 ±X2,y 1 士y2).(2) 若a=(x,y),则入a=(入x,入y).2. 向量共线的充要条件的坐标表示若a=(X1,y 1),b=(x 2,y 2),贝y a II b? X1y2-X2y1=0.概念理解(1) 向量共线常常解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件表示为X1y2-x 2y1=0,但不能表示为凶=/ .X2 y2(2) 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系,两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A,B,C三点满足OS =23A+J3B ,则3 3IACI_.AB= -------------解析：不妨设A(1,0),B(0,1),所以0C=( 2, 3),3 3所以| AC | =所以答案：3-高频考点先破考点一平面向量基本定理概念理解【例1] (1)下列命题：①平面内的任何两个向量都可以作为一组基底②在△ ABC中,向量7B, 'Be的夹角为/ ABC.③若a,b不共线,且入i a+卩i b二入2a+卩2b,贝卩入1二入2,卩1=卩2.其中错误的是_________ .⑵在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点，若AC =入AE + ^ AF ,其中入，卩€ R,贝卩入+卩= ___ .解析：(1)只有不共线的向量才能作为基底，所以①错误,②中两个向量的夹角指的是同起点两个向量之间的角，②错误,③正确.(2) AE =AD +1AB ,A F = AB + Z7D2 ，所以AE + AF =3AD +3AB =3AC ,2 2 2所以AC = 2AE + -AF .3 3所以入+卩=4.3答案：(1)①②(2) 43aao(i)平面向量基本定理中，作为基底的向量必须是不共线的；⑵基底选取的不同，要注意向量的表示也不相同，在平时的应用中，注意选取合理的基底能简化运算.卜迂移迪蜒在厶ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点0在线段CD上(与点C,D不重合),若70=x AB+(1-x) AC(x € R),则x的取值范围是(D )(A) (0鳥)(B) (0,3 )(C) (-1,0 ) (D) (-1,0 )2 3解析：依题意,设B0二入BC,其中1＜入＜4,3贝y有AO = AB +B0=A B + 入BC=AB + X ( AC - AB )=(1-入)AB + 入AC .又A0=x AB+(1-X) AC ,且AB, AC 不共线，于是有x=1-入€(-3,0 ),3即x的取值范围是(-1,0 ).故选D.3考点二平面向量基本定理的应用【例2】已知点O是厶ABC的外接圆圆心，且AB=3,AC=4若存在非零实数x,y,使得AO =XA B +y7C ,且x+2y=1,则cos / BAC 的值为() (A) | (B) £ (C)彳(D) 1解析：设M为AC的中点，则AO =X AB +y AC =XA B +2yA M ,又x+2y=1,所以O,B,M三点共线,又O是厶ABC的外接圆圆心，因此BML AC,从而cos/ BACW 故选A.3用平面向量基本定理解决问题的一般思路：(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量形式通过向量的运算解决问题.(2)基底未给出时，合理地选择基底.［匚迂移迪箋在厶ABC中,点P是AB上一点，且CP =?CA,Q是BC的中点,AQ与3 3CP的交点为M,又CM =t CP,则实数t的值为__________ .解析:因为CP =-CA+1CB ,3 3所以3CP=2CA + CB ,即2CP -2 CA=CB- CP ,所以 2 AP =PB ,即P为AB的一个三等分点(靠近A点),又因为A,M,Q三点共线，设AM 二入AQ (入€ R),所以CM = A M - AC = X AQ - AC = X ( 1A B +1 AC ) - "AC 二二7B + 2AC ,'22， 2 2又CM=t CP=t( AP- AC )=t ( 1AB- AC ) =-AB-t AC ,3 3故/ "3，解得广4,故t的值为3 .[上―?-1 4I 2 ，[_2、答案：34考点三平面向量的坐标运算【例3】(2018 •全国皿卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1, X ).若 c // (2a+b),则X 二_____ .解析：由题易得2a+b=(4,2),因为c // (2a+b),所以4X =2,得X =!.答案:12©三■©瀚(1)向量的坐标表示是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键•⑵要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两个信息，两向量共线有方向相同和相反两种情况•⑶两向量共线的充要条件有两种形式：①若a=(X1,y 1),b=(x 2,y 2),则a // b? X1y2-x 2y1=0;②若a // b(b 工0),贝U a= X b.(4) 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可由平行求参数：当两向量坐标均非零时，也可利用坐标对应比例来求解.已知向量AB =(2,x-1), "CD=(1,-y)(xy>0), 且AB // C D ,则？+丄的最小yx值等于(C )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析：由A B // C D得x-1+2y=0,即x+2y=1.又xy>0,所以2 + l= ( 2+丄)(x+2y)x y x y=4+皱+△> 4+2 4x y=8.当且仅当x=1 ,y= 4时取等号.故选C.-课堂类题精练' ------------------------ 服w中带铮学帀的z -------类型一平面向量基本定理的理解1. 若a , B是一组基底，向量丫=x a +y p (x,y € R),则称(x,y)为向量丫在基底a , p下的坐标，现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1) 下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为(D )(A)(2,0) (B)(0,-2)(C)(-2,0) (D)(0,2)解析：因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),即a=-2p+2q=(2,4),令a=xm+yn二(-x+y,x+2y),所以「X g即x=°,A +2y =4, y =2.所以a在基底m,n下的坐标为(0,2).故选D.2. 非零不共线向量OA, OB ,且2oP=x oA+y oB,若P A=入AB（入€ R）,贝卩点Q（x,y）的轨迹方程是（A ）(A)x+y-2=0 (B)2x+y-1=0 (C)x+2y-2=0 (D)2x+y-2=0解析：PA二入AB ,得OA- OP = X ( OB - oA),即OP =(1+ X ) OA- X OB.又2OP =x OA+y OB,所以x=2 2',消去X得x+y=2.故选A.类型二平面向量基本定理的应用3. 正三角形ABC内一点M满足CM =m cA+n CB(m,n € R), / MCA=45 ,则(A) 3-1 (B) 3+1(C)弓(D)宁解析:令m CA=CD ,n CB=C E ,由已知CM =m CA +n CB 可得CM =C D +C E .根据向量加法的平行四边形法则可得四边形CDM为平行四边形.由已知可得△ MCD^/ MCD=45 , / CMD=6° -45 ° ,由正弦定理可得sin45CD = sin (60 —45 )= sin 60 cos45 —cos60 sin 45 = Q3 —1 即CD 一岛-1 MD sin 45 sin45 2 ' CE 2由ITCA=CD ,n CB =CE ,因为△ ABC 为正三角形，所以CB=CA. 所以m 二虽.故选D.n 2类型三 平面向量的坐标运算4. (2018 •嘉兴模拟)设 0< B <n ,向量 a=(sin 2 0 ,cos 0 ,1),若 a II b,贝卩 tan 0 = ________ . 解析：由 a I b 得 sin 2 0 =cos 0 , 又因为0< 0 <]cos 0工0,所以 2sin 0 =cos 0 ,即 tan 0 =-.2答案:1 2 得 m=CD ,n=昌, CA CB n CE CE CA 2 CA 'cB\0 ),b=(cos。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【精品】2020年高考数学总复习专题讲义★☆一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势.平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算.或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题. 二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题 【例1】【河北省石家庄市2019届高三3月检测】已知双曲线的左，右焦点分别是，，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】由向量加法法则结合三角形中位线性质，可得△MF 1F 2是以为F 1F 2斜边的直角三角形．由此设运用勾股定理算出与，得到结论．【举一反三】1.【山东省济南市2019届高三3月模拟】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( )A ．B ．C ．D ．2.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥u u u r u u u r，则E 的离心率的取值范围是 （ ） A ． ()1,2 B ． 321,4⎛ ⎝⎦ C ． 324⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥u u u r u u u r系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2OF ON OM +=u u u r u u u r u u u u r（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．52 B ． 512+ C ． 5 D ． 15+【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值． 【举一反三】1.【江西省上饶市2019届高三二模】设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，满足，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．2.已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1【指点迷津】涉及到的知识点有平面向量共线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值． 类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】已知对任意平面向量(),AB x y =u u u r ，把AB u u u r绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+u u u r，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -=D ． 221y x -=【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程． 【举一反三】【广东省江门市2019届高考一模】直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（ ） A ．B ．C ．D ．类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化【例4】【福建省莆田市2019届高三下学期检测】已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点.若，且，则（）A ．B ．C ．D ．【指点迷津】本题主要结合题意，绘制图形，利用抛物线的性质，建立方程，将几何问题代数化，计算p 值.求解此类问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．【举一反三】已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=u u u v u u u v u u u u v，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． 3y x =B ． 3y x =C ． 6y x = D ． 6y x =类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+ D ． ()2,+∞【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b a c =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查． 【举一反三】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． 52,12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ B ． 520,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ． 510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ D ． 51,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答． 【举一反三】【上海市闵行区七宝中学2019届高三3月月考】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足，均能使成立 ，则的最小值是_________.三．强化训练 一、选择题1．已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=u u u v u u u v u u u v ，则点P 的轨迹方程是（ ） A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ B ． ()2211x y +-= C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=2．【山东省烟台市2019届高三高考一模】已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为，则的面积为（ ） A ．12B ．C ．24D ．3．【贵州省2019年高考适应】已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，若，则的离心率取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．【广西壮族自治区柳州市2019届3月模拟】已知双曲线的左、右焦点为、，双曲线上的点满足恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．【山东师范大学附属中学2019届高三四模】已知直线与圆交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有，那么k 的取值范围是 A ．B ．2C ．D ．26．【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，且．过双曲线的右顶点作平行于双曲线的一条渐近线的直线，若直线交线段于点，且，则双曲线的离心率( )A．B．C．D．7．【安徽省六安市毛坦厂中学2019届高三3月月考】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．【重庆市南开中学2019届高三第三次检测】如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A．-2 B．1 C．4 D．9．【江西省南昌市2019届高三一模】已知，，为圆上的动点，，过点作与垂直的直线交直线于点，则的横坐标范围是( )A．B．C．D．10．【山东省济宁市2019届高三一模】已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为A．2 B．3 C．D．11.【广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研】已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点，若，则的面积为（）A．B．C．D．二、填空题12．【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，动点P满足，若，其中m、n R，则的最大值是________13．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】已知直线与圆：相交于，两点，为圆周上一点，线段的中点在线段上，且，则______．14．【福建省永安市第三中学2019届高三4月测试】已知分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足，若直线与双曲线的另一个交点为N，则的面积为__________.15．【贵州省2019年高考适应】抛物线的焦点为，在上存在，两点满足，且点在轴上方，以为切点作的切线，与该抛物线的准线相交于，则的坐标为__________.16．【浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．则_______；若，则点A的横坐标为___．17．【上海市南洋模范中学2019届高三3月月考】以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.。