2020年山东省高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
15. 已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA， SB所成角的正弦值为
15 ， SA与圆锥底面所成角为 45 ， 8
若 SAB的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为 ______.
16. 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当 最长边 c 1 时， ABC 周长的最大值为 _______.
因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，
所以甲套设备优于乙套设备．
20. 解：（Ⅰ）由题可知，线段
的垂直平分线交 于点 P，
所以
，则
，
所以 P 的轨迹是以
为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为
，
则
，所以
，
可得动点 P 的轨迹 E 的方程为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点 故可设 l 的方程为
BD .
又因为 BC PD , PD BD D , 且 BD , PD 平面 PBD ，所以 BC 平面 PBD ，
又因 D 平面 PBC，所以 平面 PBC 平面 PBD
（ 2）由（ 1）得平面 ABCD 平面 PBD ,
设 E 为 BD 的中点，连结 PE ，因为 PB PD 6 ,
所以 PE BD , PE 2, 又平面 ABCD 平面 PBD ，
n AB 0 2 y 0
由
得
，不妨取 n (2 ,0, 2) .
n AM 0 (2 )x (4 3 ) y 2 z 0
4
因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为
，所以
3
2 2 42
(
1
，
2) 2 2
2
解得
,
3
2 ，（不合题意舍去） .
故存在 M 点满足条件，且 CM
2 .
CP 3
19. （ 1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1. 已知集合 A x 0 x 3 ， B x log 2 x 1 则 A B （ ）
A. (2,3)
B. (0,3)
C. (1,2)
D. (0,1)
2
（ 1）若 f （ x）在 x= 2 处取得极值，且 f ′（ 1） =g（-1 ） -2 ．求函数 h（x）的单调区间； 2
（ 2）若 a=0 时，函数 h（ x）有两个不同的零点 x1， x2
①求 b 的取值范围；
②求证：
x1x 2 e2
＞
1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第
22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
D 的直线斜率存在且不为 0，
，
，
由
得
，
而
8
由于直线过点
，所以
，
所以
（即为定值）
21. （ 1）因为 f (x)
ax
1
，所以
f
(1)
a 1,
x
由 f (1) g( 1) 2 可得 a=b-3.
又因为 f ( x) 在 x
2 处取得极值， 2
所以 f (
2 )
2 a
2 0，
2
2
所以 a=" -2,b=1" .
A． 18π
B． 21 2
C． 21π
D． 42π
11．直线 2ax by 1 与圆 x2 y2 1相交于 A、B 两点（其中 a, b 是实数），且 AOB 是直角三
角形 ( O是坐标原点 ) ，则点 P(a, b) 与点 ( 0,1) 之间距离的最小值为 ( )
A0
B.
2
C.
21
D.
21
2
12．抛物线 y 2 2px（ p>0）的焦点为 F，点 A、 B 在抛物线上，且 AFB 120 ，弦 AB中点 M在
17. （ 1）由
有
数列
是首项为
，公比为 的等比数列 .
（ 2）
，
，
=
=
18. （ 1）证明：因 四边形 ABCD 为直角梯形，
且 AB / / DC , AB AD 2 , ADC , 2
所以 BD 2 2 ，
又因为 CD 4, BDC
。根据余弦定理得 BC 2 2,
4
所以
2
CD
2
BD
BC 2，故 BC
的值； 若不
3
CP
3
存在，说明理由．
19. （12 分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在
[100 ， 120）内，则为合格品，
否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随
机从两套设备生产的大量产品中各抽取了
50 件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测． 表是甲
2. 若 p ： x R ， cos x 1，则（ ）
A. p ： x0 R ， cos x0 1
B. p ： x R ， cosx 1
C. p ： x0 R ， cos x0 1
D. p ： x R ， cosx 1
3. 下列说法中，正确的是（
）
A.
命题“若
2
am
bm2 ，则 a
b ”的逆命题是真命题
6
平面 ABCD 平面 PBD BD ， PE 平面 ABCD . 如图，以 A 为原点分别以 AD ， AB 和垂直平面 ABCD 的方向为 x, y, z 轴正方向，建立空间直角坐 标系 A xyz ，
则 A(0,0,0) ， B(0,2,0) ， C (2,4,0) ， D(2,0,0) ， P(1,1,2)，
套设备的样本频数分布表，图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图．
表 1：甲套设备的样本频数分布表
质量指标值
[95 ， 100） [100 ， 105） [105 ， 110） [110 ，115） [115 ，120） [120 ， 125]
频数
1
4
19
20
5
1
（ 1）将频率视为概率，若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中合格品约有多少件？ （ 2）填写下面 2×２列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为这种产品的质量指标值 与甲乙两套设备的选择有关：
分。
22． [选修 4— 4：坐标系与参数方程 ]（ 10 分）
在平面直角坐标系
中，点
，直线 的参数方程为
为参数），以坐标
原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（ 1）求曲线 的直角坐标方程；
（ 2）若直线 与曲线 相交于不同的两点
是线段 的中点，当
时，求
的值．
23． [选修 4— 5：不等式选讲 ]（ 10 分） 已知 a， b， c R ，且 a b c 1 ．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. （ 12 分）已知数列
满足
17~21 题为必考题，每个试
（ 1）证明数列
为等比数列，求出
的通项公式；
（ 2）数列 的前项和为 ，求证：对任意
准线 l 上的射影为 M1 ，则 MM 1 的最大值为（
）
AB
43
A.
B.
3
3
23
3
D.
3
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 y
cos(
x ) 的单调递增区间是 _______________
32
14. （ x 3 x ） 12 的展开式中，含 x 的正整数次幂的项共有＿＿＿项
(2) 若 A 是轨迹 E 的左顶点，过点 D（ -3 ，8）的直线 l 与轨迹 E交于 B，C两点，求证： 直线 AB、
AC的斜率之和为定值 . 21. （ 12 分）已知函数 f （x） = 1 ax2+lnx ， g（ x ）=-bx ，其中 a，b∈R，设 h（x ） =f （ x ） -g （ x ），
sin x+acos x 的图象（
）
x＝ 对称，则函数 g（ x）＝
6
A．关于直线 x＝－ 对称
3
C．关于点（ ，0）对称
3
B．关于直线 D．关于点（
x＝ 对称
6
5 ， 0）对称 6
10．三棱锥 S﹣ ABC中，SA⊥底面 ABC，若 SA＝AB＝ BC＝AC＝ 3，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）
值为（
）
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
5. 函数 f ( x)
10x 10 x
x2
的图像大致为（
）
1
A.
B.
C.
D.
6. 已知向量 a ， b 满足 a 1 ， a b 1，则 a (2 a b) （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
7. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱 的长度为（ ）
0.01+0.022 ）× 5=0.16 ；
∴乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 5000×0.16=800（件） ；
（ 2）由表 1 和图得到列联表：
甲套设备
乙套设备
合计
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (1)
高三理科数学模拟试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{0,2,}A a =，{}21,Ba a =-，若A B I 只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 2 D. 2-【答案】B 【解析】分析：先利用两集合有公共元素得到a 值，再通过集合元素的互异性和公共元素的唯一性进行验证． 详解：因为A B I 只有一个元素，所以1a =或2a a a =-或22a a -=或20a a -=，解得1a =或0a =或2a =或1a =-，当1a =时，{}{}{}0,2,1,1,0,0,1A B A B ==⋂=（舍）， 当0a =时，集合A 与互异性矛盾（舍）， 当2a =时，集合A 与互异性矛盾（舍），当1a =-时，{}{}{}0,2,1,1,2,2AB A B =-=⋂=（符合题意）， 即1a =-．点睛：本题考查集合的交集运算、集合元素的性质等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、分类讨论能力和基本计算能力． 2.已知复数ii (,,)2ia x y a xy +=+∈+R ，则2x y += A. 1 B.35C. 35-D. 1-【答案】A 【解析】由题得()(2)2(2)21a i x y i i x y x y i x y +=++=-++∴+=，故选A.3.已知p ：2a >，q ：x R ∀∈，210x a x ++≥是假命题，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：通过一元二次不等式恒成立的条件，判别式不大于零，求出参数a 的范围，之后根据其为假命题，求其补集得到命题q 为真命题是对应的参数a 的范围，之后利用集合的包含关系判断即可.详解：如果不等式210x a x ++≥恒成立， 则240a ∆=-≤，解得22a -≤≤， 因为其是假命题，则有(,2)(2,)a ∈-∞-+∞U ，又因为(2,)+∞是(,2)(2,)-∞-+∞U 的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A.点睛：该题所考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要根据一元二次不等式解集的形式，对其判别式的符号进行判断，求得结果，下一步的任务就是需要判断两个命题对应的参数的取值所构成的集合间的包含关系求得结果.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()n nS a n =-∈N ，则2018a =（ ） A. 20162 B. 20172 C. 20182 D. 20192【答案】B 【解析】21,2n n Sa n Nn Q （），+=-∈∴≥时，112121n n n n n a S S a a --=-=---（）， 化为：12n n a a -=． 1n =时，1121a a =-，解得12a =． ∴数列{}n a 是等比数列，首项为1，,公比为2．12018120172018222.n n a a ．--∴=∴== 故选B.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，解题时应注意11 n =1 n 2nn n S a S S -⎧∴=⎨-≥⎩. 5.已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点，当2AB C D =时，双曲线的离心率为（ ） A. 2【答案】C 【解析】∵双曲()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有相同的焦点F∴(2,0)F ，2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ，D 两点 ∴令2x =，则216y =，即4y =±. ∴8AB =∵2AB C D = ∴4CD =将2x =代入到双曲线的方程可得241y ba =±-，则24214b a-=. ∵2224a b c +== ∴51a =-∴双曲线的离心率为5151ce a +===- 故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．6.已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则p （X>4）=（ ） A. 0.1588 B. 0.1587C. 0.1586D. 0.1585【答案】B 【解析】试题分析：正态分布曲线关于对称，因为,故选B ．考点：正态分布7.如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A.424π++ B. 2422π++ C. 2424π++ D. 2224π++ 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体，分别计算各个面的面积，相加可得答案．详解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 其直观图如下所示：其表面积S=2×12π•12+2×12×2×1+1212π⨯⨯ +()2+222⨯﹣2+4，故选C ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d c a f x x ⎰B.()d caf x x⎰C. ()d ()d bcabf x x f x x +⎰⎰D. ()d ()d cbbaf x x f x x -⎰⎰【答案】D 【解析】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫b c f （x ）dx ﹣∫a b f （x ）dx ，然后根据定积分的意义进行选择即可． 详解：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X 轴的面积代数和． 即∫b c f （x ）dx ﹣∫a b f （x ）dx 选项D 正确． 故选D ．点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.9.执行如图所示的程序框图，令()y f x=，若()1f a >，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,2)(2,5]-∞⋃B. (,1)(1,)-∞-+∞UC. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D 【解析】分析：先根据程序框图得()f x 解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.详解：因为2,2()=23,251,5x x f x x x x x ⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a >得25225112311a a a a a a>⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或 所以11225115a a a a a <-<≤<≤∴<-<≤或或或， 因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10.将函数sin ()3y x π=-的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，②向右平移3π个单位，得到函数()y f x=的图象，则函数()'()f x y f x =在区间[0,2]π上的对称中心为（ ） A. (,0)π，(2,0)π B. (,0)πC. (0,0)，(,0)πD. (0,0)，(,0)π，(2,0)π 【答案】D 【解析】 函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得1s in ()23y x π=-，再向右平移3π个单位，得到函数1()s i n ()22f x x π=-的图象，由111()s i n ()'()c o s ().22222f x x fx x ππ=-⇒=-故()12t a n ()'()22f x x f x π=-，令122x π- =(1)(),2k x k k Z ππ⇒=+∈故k 所有可能的取值为1,0,1-，故所求对称中心为()()()0,0,,0,2,0ππ，故选D.11.已知椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PFF ∆是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120P F F <∠<o o，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. 1)2C. 1(,1)2D. 1(0,)2【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣2c ．设∠PF 1F 2 =θ，则1260120P F F <∠<o o ，故﹣12＜cosθ＜12，再由余弦定理，求得e 的范围． 详解：由题意可得 PF 1=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2 =2a ﹣PF 1=2a ﹣2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1260120P F F <∠<o o，∴﹣12＜cosθ＜12．△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cosθ=222c 22a acc -+ ，由﹣12＜cosθ＜12 可得e 的范围12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 故答案为：B.点睛：本题考查椭圆的几何性质及其应用，列出不等式并转化为关于离心率的不等式是解答的关键，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a=-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).12.已知()2,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f x a ⎡⎤=⎣⎦恰有两个根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,-+∞ B. ()1,2l n 22--C. (],2l n 22-∞-D. (],22l n 2-∞-【答案】C 【解析】试题分析：根据f （x ）的图象判断a 的范围，用a 表示出x 1，x 2，得出x 1+x 2关于a 的函数，从而可得出x 1+x 2的取值范围． 详解：作出f （x ）的函数图象如图所示：由[f （x ）]2=a 可得f （x ）=a ， ∴a ＞1，即a ＞1．不妨设x 1＜x 2，则x 12=eaa （t ＞1），则x 1=t ，x 2=lnt ，∴x 1+x 2=lnt t ，令g （t ）=lnt t ，则g′（t ）=12t2-t ，∴当1＜t ＜4时，g′（t ）＞0，当t ＞4时，g′（t ）＜0， ∴当t=4时，g （t ）取得最大值g （4）=ln4﹣2=2ln2﹣2． ∴x 1+x 2≤2ln2﹣2． 故选C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,)a λ=r ，(3,1)b =r ，(1,2)c =r ，若向量2a b -r r 与c r 共线，则向量a r在向量c r 方向上的投影为______． 【答案】0.【解析】【详解】试题分析：根据向量共线求出λ，计算a c r rg ，代入投影公式即可．详解：向量a r =（1，λ），b r=（3，1）， 向量2a r ﹣b r=（﹣1，2λ﹣1）， ∵向量2a r ﹣b r 与c r=（1，2）共线， ∴2λ﹣1=﹣2，即λ=1-2．∴向量=（1，1-2）， ∴向量a r 在向量c r 方向上的投影为|a r |•cos ＜a r ，c r ＞=112·203a c c-⨯==r r r 故答案为0．点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算．解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底．14.若不等式组002600x y x y x y m ≥⎧⎪≥⎪⎨+-≤⎪⎪-+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(,3][0,6)-∞-⋃.【解析】先画部分可行域00260x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，设直线0x y m -+=与x 轴的交点为(,0)m -，另外(3,0),(0,6)A B ， 由图形可知：当(,3][0,6)m ∈-∞-⋃时，可行域为三角形，故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．点睛：本题考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，以及简单的线性规划的应用问题，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.15.在三棱锥A B C D -中，A B C ∆与B C D ∆都是正三角形，平面A B C ⊥平面BCD ，若该三棱锥的外接球的体积为2，则A B C ∆的边长为__________． 【答案】6. 【解析】试题分析：取AD ，BC 中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，DF ，求出EF ，判断三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接OA ，OC ，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的体积． 详解：取AD ，BC 中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，DF ，由题意知AF ⊥DF ，设三角形的边长为2a,，该三棱锥的外接球的体积为2,∴EF=12，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上， 连接OA ，OC ，有R 2=AE 2+OE 2，R 2=CF 2+OF 2，∴R 2=）2+OE 2，R 2=a 2+﹣OE ）2，∴3a =∴三棱锥的边长为6． 故答案为6．点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 16.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且ME ，则AB =__________． 【答案】6. 【解析】分析：解决该题需要将点,F E 的坐标求出，之后设出直线的方程，与抛物线的方程联立，消元，写出M 的坐标，应用两点间距离公式求得2k 的值，应用焦点弦长公式求得结果.详解：根据题意可知直线的斜率是存在的，抛物线的焦点坐标是(1,0)F ，设直线:(1)l y kx =-，将直线与抛物线方程联立24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消元可得2222(24)0k x k x k -++=，从而可得212224k x x k ++=，从而求得2222(,)k M k k+，求得(1,0)E -，根据M E ，可得222224(1)11k k k+++=，求得22k =，而1224226A Bx x p k =++=++=，所以答案是6.点睛：该题考查的是有关抛物线的焦点弦长问题，解决问题的关键是需要设出直线的方程，联立求得弦中点坐标，之后应用两点间距离公式建立等量关系式，最后应用焦点弦长公式求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足112a =，*1112()n nn N a a +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：222212312n a a a a +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)12n a n=. (2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据题意得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n a n =；（2）依题可知22211124n a n n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 1111114141nn n n ⎛⎫<⋅⋅=- ⎪--⎝⎭，裂项求和即可. 详解：（1）由条件可知数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且首项为2，公差为2，故12n a n =. （2）依题可知22211124n a n n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭ 1111114141nn n n ⎛⎫<⋅⋅=- ⎪--⎝⎭，所以2222123na a a a +++⋅⋅⋅+ 1111111142231n n ⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-⎝⎭ 1124n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故222212312n a a a a +++⋅⋅⋅+<.点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．18.（山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟考试）如图，在四棱锥P A B C D -中， 222P A P D A D C D B C =====，且90==︒∠∠A D C B C D ．（1）当2P B =时，证明：平面P A D ⊥平面A B C D ； （2）当四棱锥P A B C D -的体积为34，且二面角PA DB --为钝角时，求直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）313【解析】试题分析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,P O B O ，由正三角形的性质可得O P A D⊥，由勾股定理可得P O O B ⊥，根据线面垂直的判定定理可得P O ⊥平面A B C D ，从而根据面面垂直的判定定理可得平面P A D ⊥平面AB C D ；（Ⅱ）根据四棱锥P A B C D -的体积为34，可得3P O =，∴2293342O E P O P E =-=-=，以O 为坐标原点，以,OAO B 为x 轴，y 轴．在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z -，算出直线PA 的方向向量与平面PCD 的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.试题解析：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,PO B O ， ∵P A D ∆为正三角形，∴OP A D ⊥，∵90A D C B C D ∠=∠=︒，∴//B C A D ， ∵112B C A D ==，∴B C O D=， ∴四边形B C D O 为矩形，∴1O BC D ==， 在P O B ∆中，P O ，1O B =，2P B =，∴90P O B ∠=︒，∴P O O B ⊥， ∵A D O BO ⋂=，∴P O ⊥平面A B C D ， ∵P O ⊂平面PAD ，∴平面P A D ⊥平面A B C D ． （Ⅱ）∵A D P O ⊥，A D O B ⊥，P O B O O⋂=， ,P O B O ⊂平面POB ，∴A D ⊥平面POB ，∵A D ⊂平面AB C D ，∴平面P O B ⊥平面A B C D ， ∴过点P 作P E ⊥平面A B C D ，垂足E 一定落在平面POB 与平面A B C D 的交线B O 上． ∵四棱锥P A B C D-的体积为34， ∴()111323P A B C DV P E A D B C C D -=⨯⨯⨯+⨯= ()113211224P E P E ⨯⨯⨯+⨯==，∴32P E =，∵P O，∴2O=．如图，以O 为坐标原点，以,OAO B 为x 轴，y 轴． 在平面POB 内过点O 作垂直于平面AOB 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O x y z -， 由题意可知()1,0,0A，30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0D -，()1,1,0C -，31,2D P u u u v ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0D C =uu u v ， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =v ，则00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩uuu v v uuu v v ，得3020x y z y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 令1x =，则23z =-，∴21,0,3n v ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，32P A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，设直线PA 与平面PCD 所成角为θ， 则s i n c o s ,P A n u u u v v θ=·3P An P A n=⨯u u u v v u u u v v则直线PA 与平面PCD所成角的正弦值为31313．【方法点晴】本题主要考查利用线面垂直、面面垂直的判定定理以及空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度x ︒C21 23 24 27 29 32产卵数y 个 6 11 20 27 5777经计算得： 611266i i x x ===∑， 611336i i y y ===∑， ()61()557i i i x x y y =--=∑， ()62184i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和621()236.ˆ64i i i y y =-=∑，e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy =ˆb x +ˆa （精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 回归方程为ˆy =0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522. （i ）试与（1）中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好；（ii ）用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.参考公式：^221112222111()()()ˆˆˆ,1()()=，======----==-=----∑∑∑∑∑∑nnni i i i i ii i i n n ni i i i i i x xy y x y n x y y y b a yb x R x x x n x y y【答案】(Ⅰ)ˆy =6.6x −138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190. 【解析】分析：（1）由题中所给数据求出ˆˆ,b a 后可得线性回归方程．（2）①由（1）中的方程可求得相关指数R 2=0.9398，与所给的数据比较可得结论．②根据所选模型中的方程进行估计即可．详解：（1）由题意得，()()()616215576.8ˆ6,4i i i ii x x y y b x x ==--==≈-∑∑ ∴ ˆa=33−6.6⨯26=−138.6， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆy =6.6x −138.6．（2） ① 由所给数据求得的线性回归方程为ˆy =6.6x −138.6，相关指数为R 2=()()621621236.641110.06020.9398.3930ˆii i ii y y y y ==--=-≈-=-∑∑ 因为0.9398＜0.9522，所以回归方程ˆy =0.060.2303x e 比线性回归方程ˆy 6.6138.6x =-拟合效果更好．② 由①得当温度035x C =时，ˆy 0.2303358.06050.060.06e e ⨯==， 又 8.06053167e ≈， ∴ ˆy 0.063167190≈⨯≈， 即当温度为35 0C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.点睛：相关指数R 2是用来判断回归方程拟合程度的量，当R 2大时说明方程的拟合程度较好，当R 2小时说明方程的拟合程度较差．20.已知抛物线C ：22(0)y p x p =>的焦点F 与椭圆T ：2212x y +=的一个焦点重合，点0(,2)M x 在抛物线上，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点. （1）求抛物线C 的标准方程以及M F 的值.（2）记抛物线的准线'l 与x 轴交于点H ，试问是否存在常数R λ∈，使得A F F Bλ=u u u v u u u v，且22854H A H B +=都成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)24y x =；2MF =. (2) 存在λ满足条件，且λ的值为2或12. 【解析】试题分析：（1）由题意方程，求得椭圆的焦点坐标()0,1F ，则可得12p=，即可求得p 的值，求得拋物线方程，利用拋物线的焦点弦公式即可求得MF 的值； （2）将直线方程代入抛物线方程，由向量数量积的坐标运算，求得2142t λλ=+-，利用韦达定理以两点之间的距离公式，列方程，即可求得实数入的值.试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆T ：2212x y +=中，222,1a b ==，故2221c a b =-=，故()0,1F ，故12p =，则24p =，故抛物线C 方程为24y x =，将()0,2M x 代入24y x =，记得01x =，故122pMF =+=. （Ⅱ）依题意，()0,1F ，设:1l x t y =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y t y --=.∴121244y y t y y +=⎧⎨=-⎩① 且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又A F F B λ=u u u v u u u v则()()11221,1,x y x y λ--=-，即12y y λ=-，代入① 得()222144y t y λλ⎧-=⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，且()1,0H -， 则()()222222112211H A H B x yx y +=+++++ ()222212121222x x x x yy =++++++ ()()()222212121211222t y t y t y t y y y =+++++++++ ()()()2221212148t yy t y y =+++++ ()()221168448t t t t =+++⋅+ 42164016t t =++.由42851640164t t ++=， 解得218t =或2218t =-（舍），故2λ=或12.21.已知函数()l n f x x x =，2()(3)xg x x a x e=-+-（a 为实数）. （1）当5a =时，求函数()g x 的图象在1x =处的切线方程；（2）求()f x 在区间[,2](0)tt t +>上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,[,e]x x e∈，使方程()2()xg x ef x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)4e 3e y x =-.(2) 当1t e ≥时, m i n ()()l n fx ft t t ==；当10t e <<时,m i n11()()f x f e e==- (3)1(4,32)e e+-. 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到()'14g e =，()1g e =，所以切线方程为()41y e ex -=-，即43y e x e =-；（2）当1t e ≥时，()f x 为增函数可得到函数最值，当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内，()f x 为减函数，在区间1,2t e ⎛⎤+⎥⎝⎦上，()f x 为增函数，进而得到最值；（3）原式子等价于32l n a x x x =++，令()32l n h x x x x=++，研究函数的单调性得到函数的图像进而得到零点情况. 详解：（1）当5a =时，()()253xg x x x e =-+-，()1g e =，()()2'32xgx x x e =-++，故切线的斜率为()'14g e =，所以切线方程为()41y e ex -=-，即43y e x e =-. （2）∵()'l n 1f x x =+，当1t e ≥时，在区间[],2t t +上，()f x 为增函数，所以()()m i nl n f x f t t t ==，当10t e <<时，在区间1,t e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭内，()f x 为减函数，在区间1,2t e ⎛⎤+⎥⎝⎦上，()f x 为增函数，所以()m i n 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（3）由()()2xgx ef x =，可得22l n 3x x x a x =-+-，则32l n a x x x =++，令()32l n h x x x x=++， 则()()()223123'1x x hx x x x+-=+-=.因为1132h e e e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，()14h =，所以()12420he h e e e⎛⎫-=-+< ⎪⎝⎭， ∴()1h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以实数a 的取值范围为14,32e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题；研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现，同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xO y 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x ty t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2s i n ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为(0)6πθρ=>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；（2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积.【答案】(1) 2240x y x +-=；(0)y x >(2) 112CP QS ∆-． 【解析】分析：第一问利用三种方程的转化方法，求出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程，第二问设出点,P Q 的坐标，代入相应的方程，求得对应的ρ，利用极坐标中ρ的几何意义，求得底边P Q 的长，再结合图形的特征，求得对应的高，之后求得三角形的面积.详解：(1)曲线1C 的普通方程()2224x y -+=，即2240x y x +-= 所以1C 的极坐标方程为24c o s 0ρρθ-=，即4c o s ρθ=. 曲线3C 的直角坐标方程：(0)y x x > （2）依题意，设点,P Q 的坐标分别为1,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将6πθ=代入4c o s ρθ=，得1ρ=将6πθ=代入2s i n ρθ=，得21ρ= 所以121P Q ρρ=-，依题意得，点1C 到曲线6πθ=的距离为1s i n 16d O C π== 所以)111322C P Q S P Q d ∆=⋅=-. 点睛：该题属于选修内容，在解题的过程中，第一问比较常规，按照公式就能求得结果，第二问在解题的过程中，用极坐标中ρ的几何意义来求得三角形的底边长，是比较新颖 的，在求高的时候紧抓图形的特征，解法好.23.已知()1f x x xm =++-. （1）若()2f x ≥，求m 的取值范围.（2）已知1m >，若()1,1x ∃∈-使()23f x x m x ≥++成立，求m 的取值范围. 【答案】(1) m 1≥或3m ≤-. (2)31(1)2x ≤<． 【解析】分析：（1）根据绝对值三角不等式，可得()1f x m ≥+，求解12m +≥即可得出m 的取值范围；（2）()1,1x ∃∈-使()23f x x m x ≥++成立等价于()23f x x m x ≥++即()212m x x -≥+成立，再构造()221x g x x+=-，然后利用基本不等式即可求m 的取值范围. 详解：（1）∵()11fx x x m m =++-≥+ ∴只需要12m +≥ ∴12m +≥或12m +≤- ∴m 的取值范围为是1m ≥或3m ≤-. （2）∵1m >∴当()1,1x ∈-时，()1f x m=+ ∴不等式()23f x x m x ≥++即22m x m x ≥++ ∴()212m x x -≥+，221x m x+≥-， 令()()()()2212132312111x x x g x x x x x---++===-+----.∵012x <-<∴()311x x-+≥-（当1x =时取“=”）∴()m i n2gx∴2m ≥. 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论的思想，法二是运用数形结合的思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活使用.。
2020年普通高等学校招生考试全国统一考试(数学模拟卷)及其参考答案(山东)
A. 210
B. 120
C. 120
D. 210
4.B 【解析 】由二项 展开式， 知其通项 为 Tr1
C1r0
(
1 x
)10r
(
x)r
(1)r C1r0 x2r10
，令
2r 10 4 ，解得 r 7 .所以 x4 的系数为 (1)7 C170 120. 选 B.
5.已知三棱锥 S ABC 中， SAB ABC π , SB 4, SC 2 13, AB 2, BC 6 ， 2
，得
x
2.
由 0 x 2 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递闰；
当 x 2 时， g(x) 0 ， g(x) 单调递增.
从 而 g(x) 在 x 2 时 取 得 最 小 值 为 g(2) 16 ， 从 而 点 A 到 圆 心 C 的 最 小 值 为
g(2) 16 4 ，所以| AB | 的最小值为 4 1 3. 选 A.
C. {(1,1), (2, 4)}
D.
x y 2
x 1
1.C【解析】
首先注意到集合 A 与集合 B 均为点集，联立 y
x2
，解得
y
1
，或
x 2
y
4
பைடு நூலகம்
，从而集合
A
B
{(1,1),
(2,
4)}
，选
C.
2.已知 a bi(a, b R) 是 1 i 的共轭复数，则 a b 1 i
A. 1
2
2
SA AC
.所以
SA
平面
ABC
.又由于
SABC
1 26 2
6
，从而
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题一含答案
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}20M x x x =-≥，{}2N x x =<，则MN =（ ）A ．{}0x x ≤B ．{}12x x ≤<C ．{}012x x x ≤≤<或D ．{}01x x ≤≤ 2．已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A ．2- B ．2i - C ．2 D ．2i3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设向量a ，b 满足()3,1a b +=，1a b ⋅=，则a b -=（ ）A ．2BC ． D5．在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154 B ．154- C ．38 D ．38-6．已知函数()()1f x x x =+，则不等式()()220f x f x +->的解集为（ ） A ．()2,1- B ．()1,2- C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),21,-∞-+∞7．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A ．27-+ B ．43 C ．27+ D ．328．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（ ）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A ．互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多 10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b >B ．若a b >，则a a b b >C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞11．已知函数()122log x f x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x b < D ．0x c < 12．已知函数()ln f x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）A12= B ．12128x x < C ．1232x x +< D ．2212512x x +> 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知cos 5θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2θ=________． 14．一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________．15．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________．16．已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A ，B 两点，且5AB =，直线l 经过C的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，试从下列①②条件中任选一个作为已 知条件并完成下列（1）（2）两问的解答． ①sin sin in sin s C A A b a cB--=+； ②2cos cos cos c C a B b A =+．（1）求角C ；（2）若c =，a b +=ABC 的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列．满足15a =．且2a ，9a ，30a 成等比数列． （1）求{}30a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈，且13b =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11ABB A ．（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值．20．（12分）设点()A ，)B ，直线AP 和BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M 和N 是轨迹C 上不同的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON 的面积为定值．21．（12分）为了应对新型冠状病毒肺炎带来的强传染性，外出佩戴口罩成为必要．某工厂生产N 95型口罩并成箱包装，每箱200件，每一箱口罩出厂前要对产品进行检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有两件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱口罩检验了20件，结果恰有2件不合格．以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（ⅰ）若不对该箱余下的口罩做检验，这一箱口罩的检验费用和赔偿费用的和记为X ，求()E X ． （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为依据，是否应该对该箱余下的所有口罩做检验？ 22．（12分）已知定义在区间()0,2上的函数()ln mf x xx =+，m R ∈． （1）证明：当1m =时，()1f x ≥；（2）若曲线()y f x =过点()1,0A 的切线有两条，求实数m 的取值范围．参考答案1．C 由20x x -≥，解得1x ≥或0x ≤，所以集合{}10M x x x =≥≤或．因为{}2N x x =<，所以{}012MN x x x =≤≤<或．故选C ．2．A()()()()1311324121112i i i i i i i i -----===--++-，∴复数131ii -+的虚部为2-．故选A ． 3．A 直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则21a =且51a≠-，解得1a =±，所以当1a =±时，满足两直线平行，则“1a =-”是“两条直线平行”的充分不必要条件．故选A ．4．B 因为()3,1a b +=，所以231a b +=+=22410416a b a b a b -=+-⋅=-⨯=，所以6a b -=．故选B ．5． D 由二项式定理可得62⎛⎫- ⎝的通项为()()663166120,1,2,3,62r r rrr r rrT C C x r---+⎛⎛⎫==-=⎪⎝⎭⎝⎝⎭，令32r-=，则1r=，所以2x的系数为()6111613228C-⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭．故选D．6．D ()()1f x x x=+，()()()1f x x x f x∴-=-+=-，()f x∴为定义域R上的奇函数．又当0x>时，()()21f X x x x x=+=+为增函数，()f x∴在R上单调递增．由()()220f x f x+->知，()()()222f x f x f x>--=-，22x x∴>-，即220x x+->，解得2x<-或1x>．故选D．7．C 连接1QF，由12PF F为等腰三角形且Q为2PF的中点，由2PF c=知12QF PF⊥，且22cQF=．由双曲线的定义知122cQF a=+，在12Rt FQF中，()2222222c ca c⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得双曲线C的离心率e=．故选C．8．C 函数sin2y x=的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到函数()()sin22f x xϕ=-的图象，则当0,4xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，222,22xπϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦．由函数()f x在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，可知，()2222222kk Zkππϕππϕπ⎧-+≤-⎪⎪∈⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()4k k Zkππϕπ-≤-∈≤．又由02πϕ<<，可知04ππ<≤①．函数()f x的所有零点满足()22x k k Zϕπ-=∈，即()12k Zx kπϕ=+∈，由最大负零点在5,126ππ⎛⎫--⎪⎝⎭内，得()511226Zk kπππϕ-+<-∈<，即()51112262Zk k kπππϕπ--<<-∈-，由02πϕ<<可知，当1k=-时，123ππϕ<<②．由①②可得，ϕ的取值范围为,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦．故选C．9．ABC 由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确．故选ABC ．10．ABCD 对实数a ，b ，m ．22am bm >，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，a ab b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立；当0a b >>时，a a b b >成立，a a b b ∴>成立，B 正确；0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a ma m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122a b a a ∴+=+，设()()121f a a a a=+>，()2120a f a =-'>，()f a ∴在区间()1,+∞上单调递增，当1a →时，()3f a →，()3f a ∴>，即()23,a b +∈+∞，D 正确．11．ABC 由()122log x f x x =-，可知函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <，则()f a ，()f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．12．AD 由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=，1211x x =，12+=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>，即12256x x >，B 错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ．13．解析：（方法一）因为cos 5θ=-，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5θ=，所以22222sin 22sin cos 4an 2cos 2cos t sin 3θθθθθθθ⎛ ⎝⎭====-⎛- ⎝⎭⎝⎭．（方法二）因为cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=，所以tan 2θ=-，所以()()22222tan 4tan 21tan 312θθθ⨯-===---． 答案：4314．解析：因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为4，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 答案：2015．解析：如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ．设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60ABC AC r ===︒∠，即r =．当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R d V d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =．由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 答案：649π16．解析：由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-．∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=，由一元二次方程根与系数的关系得1232px x +=，又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()00,M x y ，由题意知204y x =，则()()()2222200000334188x y x x MN x =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为答案：2 17．解：（1）选择①， 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈， 故3C π=（5分）选择②， 根据正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=．即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =， 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故3C π=． （5分）（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-．得225a b ab =+-， 即()253a b ab =+-， 解得2ab =， 又因为ABC 的面积为12sin ab C ， 所以ABC． （10分） 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠． 因为2a ，9a ，30a 成等比数列， 所以()()()2111298a d a d a d ++=+．又15a =，解得2d =或0d =（舍），所以23n a n =+． （4分） （2）依题意得123n n b b n +-=+，即121n n b b n --=+（2n ≥且*n N ∈）， 所以()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+()()()221321215322n n n n n n ++=++-+++==+． （7分）13b =对上式也成立，所以()2n b n n =+，即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． （9分） 所以11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1113232124211122n nn n n ⎛⎫=+ +--=-+++⎝⎭+⎪． （12分） 19．（1）证明：因为侧面11ABBA 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，所以AD =．在1Rt ABB 中，11tan 2AB AB B BB ∠==，在Rt ABD 中，tan ABD AD AB ==∠，所以1AB B ABD ∠=∠．又1190BAB AB B ∠+∠=︒，所以190BAB ABD ∠+∠=︒，所以在AOB 中，90BOA ∠=︒，即1BD AB ⊥，又CO ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1CO AB ⊥，又BD CO O =，所以1AB ⊥平面BCD ．又BC ⊂平面BCD ，所以1BC AB ⊥． （6分）（2）解：由（1）可知OD ，1OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则0,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以33AB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝=⎭，0,33AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()DB =-，BC ⎛= ⎝⎭．设平面ABC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0033x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，得y =，z =，则(11,2,n =．又平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =，设二面角D BC A --的大小为θ，由题图可知θ为锐角，则12122cos 55n n n n θ⋅===⋅，所以二面角D BC A --的余弦值是5． （12分） 20．（1）解：设点P 的坐标为(),x y ，由题意知23AP BP k k ==-⋅， 化简得点P的轨迹方程为(22132x y x +=≠． （4分） （2）证明：由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0， 又由已知得23AP BP k k =-⋅， 因为//AP OM ，//BP ON ，所以23OM ON k k =-⋅． 设直线MN 的方程为x my t =+，代入C 的方程得()222234260m y mty t +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ， 则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+， （6分） 又()212122222121212262363OM ON y y y y t k x x m y y y t k mt y t m -⋅====-+++-，得22223t m =+． 所以12111222MONS t y y t t =-===，即MON 的面积为定值2（12分） 21．解：（1）从这箱产品中任取20件检验，每件产品为不合格品的概率为()01p p <<，且每件产品是否为不合格品相互独立．因此设X 为不合格口罩数，X 符合二项分布．所以()()1822201f p C p p =-，所以()()()1722021110f p C p p p '=--，故当00.1p =时，()f p 取最大值． （5分）（2）（ⅰ）设剩余180件口罩中不合格品为Y ，则()~180,0.1Y B ，()18E Y =，则检验费用和赔偿费用之和为20225X Y =⨯+，()()4025E X E Y =+，所以()490E X =． （9分）（ⅱ）整箱检验费用为2200400⨯=元，因为()490400E X =>，所以需要对余下的所有口罩做检验． （12分）22．（1）证明：当1m =时，()1ln f x x x=+ ． ()22111x f x x x x-'=-+=， ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,2上单调递增，()()min 11f x f ∴==，()1f x ∴≥． （3分）（2）解：当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，可知不符合题意．当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），又切线过点()1,0A ，()()()00001f x f x x '∴-=-，即()()0001f x f x x '=-， 000200ln 1mx m x x x x +=∴--， 整理得0200l 10n 21x m m x x ++--=． （*） 由题意，得方程（*）在区间()0,2上有两个不同的实数解． （5分）（方法一）令()221ln 1m m g x x x x+=+--， ()()()321x m x g x x --'=．①当21m =，即12m =时，()g x 在()0,2上单调递增，∴此时不满足要求． （6分） ②当21m >，即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减或在()0,1，()2,2m 上单调递增，在()1,2m 上单调递减，而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln 21ln 2048m g +=+->->，()12ln 204g m m m=+>， ()g x ∴在区间()0,1上有唯一的零点，在区间()1,2上无零点．∴此时不满足要求． （8分）③当021m <<，即102m <<，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增． ()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()20g m >，()20g >， ()g x ∴在区间()0,2上有唯一的零点，∴此时不满足要求． （10分）④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln 24m g -=+． 当()20g ≤，即24ln 23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一的零点，此时不满足要求． 当()20g >，即24ln 203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点，设为1x ，2x ． 此时，()21m f x x x '=-，显然()f x '在区间()0,2上单调递减． ()()12f x f x ''∴≠，∴此时满足要求．综上所述，实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分） （方法二）关于0x 的方程()0020021110ln x x x m x -+-+=在区间()0,2内有两个不同的实数解，显然12不是方程的解，故原问题等价于22l 12n x x x x m x+-=-在区间()0,2内有两个不同的实数解． 设()()22112l 2ln 1n x x x x x x x s x x x x +-+-==--，02x <<，12x ≠， 则()()()2ln 11212x x x x s x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭'=-，02x <<，12x ≠． 令()2ln 1h x x x =+，02x <<，12x ≠， 则()221221x h x x x x -'=-+=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()12ln 402h x h ⎛⎫∴>=-> ⎪⎝⎭． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0s x '>．当()1,2x ∈时，()0s x '<， 从而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()s x 单调递增， 当()1,2x ∈时，()s x 单调递减． （9分）令()1ln t x x x x =+-，02x <<，12x ≠，()ln t x x '∴=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0t x '<，当()1,2x ∈时，()0t x '>， ()()10t x t ∴≥=．∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x >， 当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0s x ≤． 而当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()10s x s ≤=，当x 从12右侧趋近12时，()s x →-∞，作出()s x 的大致图象如图所示， 故22l 12n x x x x m x +-=-在区间()0,2内有两解()20s m ⇔<<，解得24ln 203m -<<，即实数m 的取值范围是24ln 2,03-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （12分）。
山东省2020年高考数学一模试卷(理科)B卷(模拟)
山东省2020年高考数学一模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·公安期中) 已知集合A={﹣1，1}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合B等于（）A . {﹣2，2}B . {﹣2，0，2}C . {﹣2，0}D . {0}2. （2分） (2018高二下·上海月考) 若为非零实数,则以下四个命题都成立:① ②③若则④若则则对于任意非零复数上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）(2020·广州模拟) 已知命题： R，；命题： R，，则下列命题中为真命题的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·吉安月考) 运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为101，则判断框中可以填（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·梧州模拟) 的展开式中的系数为（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高三上·河南期中) 已知函数，若有且仅有两个不同的实数，，使得则实数的值不可能为A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·黑龙江期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·四川期中) “ ”是“对任意的正数，”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）(2017·四川模拟) 设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D两点，则 =（）A . ﹣9B . ﹣3D . 910. （2分）(2016·湖南模拟) 设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，2]C .D . 以上均不正确11. （2分） (2020高三上·泸县期末) 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁12. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 给出下列三个命题：①函数的单调增区间是②经过任意两点的直线，都可以用方程来表示；③命题：“ ，”的否定是“ ，”，其中正确命题的个数有（）个A . 0B . 1C . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·郑州模拟) 已知数列满足，且，则 ________.14. （1分） (2015高二上·金台期末) 双曲线的离心率e∈（1，2），则m的取值范围是________．15. （1分） (2017高一下·淮安期末) 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________．16. （1分） (2018高三上·长春期中) 函数是定义在上的奇函数，且，对任意的都有成立， ________三、解答题： (共7题；共60分)17. （5分）(2017·山东) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3， =﹣6，S△ABC=3，求A和a．18. （10分）(2019·河北模拟) 一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.（1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望.19. （10分） (2020高三上·渭南期末) 如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°,PA⊥平面ABCD,AB=AC=PA=2,E,F,M分别为线段BC,AD,PD的中点.（1）求证:直线EF⊥平面PAC;（2）求平面MEF与平面PBC所成二面角的正弦值.20. （10分）(2020·滨州模拟) 已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21. （10分） (2019高三上·黑龙江月考) 已知函数为的导函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在[0，＋∞)上的最大值.22. （5分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，点P（2，﹣1）在直线l上，求线段|AB|的长度．23. （10分） (2017高二下·黄冈期末) 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣a|．（1）若f（x）的最小值为2，求a的值；（2）若f（x）≤|2x﹣4|的解集包含[﹣2，﹣1]，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1. 答卷前.考生务必将自己的姓名.考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4•测试范囤：高中全部内容.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1. 已知集合A = {—2,-1,0丄2}. B = [x\y = 4^}9则()A. {1,2}B. {0丄2} D. {-2,-1,0}2. 已知复数Z = 是纯虚数，则d的值为（）2 11A. 3B. 4C. 5D. 65. 在 AABC 中，D 为 BC 上—点，E 是 AD 的中点，若 BD = ADC ，CE = - AB + //AC ,則 2 + ( )1 1 7 7A. —B. ——C. —D.—：33666. 已知数列｛©｝满足 ©T, a 2=-,若 d”(a”_i+2d”+i) = 35_|・d”+i(nn2,“wNj,则数列｛%｝的通项 a… =()A ______ p _________________________ p ____________________ rj ___________________________F 7 F^T r 7 戶TT7. 已知函数/（x ） = 2sin （Qv + 0）（Ovty<6,|创< ◎的图象经过点（三，2）和（丫\一2）.若函数2 63 g （x ） = f （x ）-m 在区间[-二0]上有唯一零点，则实数川的取值范国是（）2A. （711B. {-1}U （-|,|]C. C-|,l]D. {—2}U （—1,1]8. 已知A （3,2）,若点P 是抛物线y 2=8x±任意一点，点Q 是圆（x-2）2 + y 2=l 上任意一点，则 |PA| + |PQ|的最小值为（）9. 如图为我国数学家赵爽(约3世纪初〉在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜邑给其中5个小区域涂色，规定毎个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C区域涂色不相同的概率为()A. 1710・已知两个半径不等的圆盘査放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为X V X2.X^X A ,大圆盘上所写的实数分别记为儿」2，儿,儿' 如图所示•将小圆盘逆时针旋转讹= 123,4)次，毎次转动90°,记7；(i = 123,4)为转动j次后各区域内两数乘积之和•例如=x}y2+x2y3+x3y4+x4y}.若x}+x2+x3+x4 <0 9儿+儿+儿+儿<0.则以下结论正确的是A. 7\忑忑忑中至少有一个为正数B. 7\忑忑忑中至少有一个为负数C. 7],7；,7；,7；中至多有一个为正数D. 7],7；,7；,7；中至多有一个为负数11・已知集合4={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数, 十位数和百位数，记这个三位数为a,现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I (a),按从大到小排成的三位数记为D (a)(例如a=219,贝，(a) =129, D (a) =921),阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a,则输出6的值为()12. 如下图，在正方体ABCD-A^C^中，点E、F分别为棱9 CC：的中点，点。
2020年高考新课标(全国卷1)理科数学模拟试题(附参考答案)
2020年高考新课标数学（理科）模拟试题（全国卷1）考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”；③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．12、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-… 8、如图阴影部分1C 是曲线x y =与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、nm329、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 3所有正确的说法 A 、① B 、①② C 、②③ D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.511、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．14,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()3,23D ．()3,412、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年 最新 高考数学模拟试题(理科)1(含详细答案)
第1页，共16页 高考数学模拟试题（理科）1 题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合A={x|x2-1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（ ） A. （-∞，-1） B. （-∞，-1] C. （1，+∞） D. [1，+∞）
2. 已知复数，则=（ ）
A. B. C. D. 3. 若，，则sinα的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
A. B. C. D. 5. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D. 6. 世界数学名题“3x+1问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复第2页，共16页
进行上述运算后，最后结果为1．现根据此问题设计一个程序框图如图所示．执行该程序框图，输入的N=5，则输出i=（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7
7. 已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）=Acos（ωx+ϕ）图象的一个对称中心可能为（ ）
A. （-2，0） B. （1，0） C. （10，0） D. （14，0）
8. 函数y=esinx（-π≤x≤π）的大致图象为（ ）
A. B.
C. D. 9. 已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，AC=2，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，则这个球的表面积为（ ）
A. B. 4π C. 8π D. 16π 第3页，共16页
2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)
2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}2,1-- D ．{}2,1,0--2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．23．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >a >a B ．a >a >aC ．a >a >aD ．a >a >a4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+ 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--C ．1(,1]2-D ．{2}(1,1]--8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则a ,a 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．2B C ．5D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．14．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD =1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()()()1121n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程. （2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin ρθθ=-． （1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R （I ）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （II ）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918a b b c c a++≥+++（a b c ++）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{|B x y ==，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}2,1-- D ．{}2,1,0--【答案】D【解析】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B =-- .故选D. 2．已知复数()2a iz a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】A 【解析】()()()()221222255a i i a i a az i i i i +-++-===+++-是纯虚数 2105205a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：12a =-本题正确选项：A3．已知3ln2a π=，2ln3b π=，23ln c π=，则下列选项正确的是（ ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x ，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减， ∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于12201112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()2222,23f e f e e e ==--，()()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()10010020101f e e =>-，排除D 选项.故选A. 5．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B 【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B.6．已知数列{}n a 满足11a =，213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（ ）A ．112n - B ．121n - C ．113n - D ．1121n -+【答案】B【解析】111123n n n n n n a a a a a a -+-++= ,11123n n n a a a +-+= ,1111112()n nn n a a a a +--=-, 则1111211n n n n a a a a +--=- ,数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列， 1111222n n n na a -+-=⨯= ，利用叠加法，211213211111111()()......()122.......2n n n a a a a a a a --+-+-++-=++++ ， 1212121n n n a -==-- ，则121n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x πωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6π和2(,2)3π-.若函数()()g x f x m =-在区间[,0]2π-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1]-B ．11{1}(,]22--C ．1(,1]2- D ．{2}(1,1]--【答案】D【解析】由题意得21362k T ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，k N ∈，得21T k π=+，故242k Tπω==+，因为06ω<<，k N ∈，所以2ω=.由2sin 263f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ππϕπ+=+，因为2πϕ<，故6πϕ=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52666x πππ-≤+≤，令26t x π=+，则由题意得2sin 0t m -=在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12m =-或11222m -<≤，解得{}(]21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知()A 3,2，若点P 是抛物线2y 8x =上任意一点，点Q 是圆22(x 2)y 1-+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线28y x =的焦点()2,0F ，准线l ：2x =-， 圆22(2)1x y -+=的圆心为()2,0F ，半径1r =， 过点P 作PB 垂直准线l ，垂足为B ，由抛物线的定义可知|PB PF =，则1PA PQ PA PF r PA PB +≥+-=+-，∴当,,A P B 三点共线时PA PB +取最小值325+=，1514PA PQ PA PB ∴+≥+-≥-=． 即有PA PQ +取得最小值4，故选B ．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17 B ．27C ．37D ．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E ,分4步进行分析： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E ，与A,B 区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有3种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有2种颜色可选， 则区域D,C 有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1234,,,x x x x ，大圆盘上所写的实数分别记为1234,,,y y y y ,如图所示.将小圆盘逆时针旋转()1,2,3,4i i =次，每次转动90︒，记()1,2,3,4i T i =为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++. 若1234++0x x x x +<， 1234+++0y y y y <，则以下结论正确的是A ．1234,,,T T T T 中至少有一个为正数B ．1234,,,T T T T 中至少有一个为负数C ．1234,,,T T T T 中至多有一个为正数D ．1234,,,T T T T 中至多有一个为负数 【答案】A【解析】根据题意可知：（12341234+++++x x x x y y y y +）（）>0,又（12341234+++++x x x x y y y y +）（）去掉括号即得：（12341234+++++x x x x y y y y +）（） =1234T T T T +++>0,所以可知1234,,,T T T T 中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．495【答案】D 【解析】试题分析：A ，如果输出的值为792，则a =792， I （a ）=279，D （a ）=972，b =D （a ）−I （a ）=972−279=693，不满足题意． B ，如果输出的值为693，则a =693,，I （a ）=369，D （a ）=963，b =D （a ）−I （a ）=963−369=594，不满足题意． C ，如果输出的值为594，则a =594，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，，不满足题意． D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A．2BCD【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH -FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MNA M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H ,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数())ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．【答案】2-【解析】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布()2,1N ，若()()223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为2X =， 结合题意有：()()2232,12a a a -++=⇒=.故答案为1．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c为半焦距，则(),0F c，又()0,B b，所以:0BF bx cy bc+-=，以12A A为直径的圆的方程为O：222x y a+=，因为12i iPA PA⋅=，1,2i=，所以O与线段BF有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>⎩，故4223102e ee⎧-+<⎨>⎩，12e<.故填⎭.16．四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD=1CB CD==，则四面体A BCD-的外接球的表面积为______【答案】4π【解析】如图，在四面体A BCD-中，AB⊥底面BCD，AB BD=1CB CD==，可得90BCD∠=︒，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，2=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1． 其表面积为2414ππ⨯=．故答案为：4π．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和()1*12N 2n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2nn n b a =.（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()()1121n nn n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足()*124N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()1122n n n S a n N -+⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，当2n ≥时，211122n n n S a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为11221n n n n a a --=+，12,1n n n n n b a b b -=∴=+，即当2n ≥时,11n n b b --=，令1n =,可得11112S a a =--+=,即112a =. 又1121b a ==,∴数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.于是()1112nn n b n n a =+-⋅==，2n n n a ∴=. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1112122n n n n n n c n n n n ++=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()111211221212121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 22311111121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦11124212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭,可得162642n +<=，5n <，因为n 是自然数，所以n 的最大值为4. 18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？ 【解析】（Ⅰ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，()11101010100P X ==⨯=，()1111210525P X ==⨯⨯=，()11213225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()13121132210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()22317425510525P X ==⨯+⨯⨯=，()2365251025P X ==⨯⨯=，()33961010100P X ==⨯=，∴X 的分布列为（Ⅱ）选择延保一，所需费用1Y 元的分布列为：1171176970009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 10720=（元）. 选择延保二，所需费用2Y 元的分布列为：21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD （Ⅱ），设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120{0n AB n AC ⋅=⋅=，又1(0,1,2)AB =，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-， 因此有12121210cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅，于是12310,sin n n 〈〉= 所以二面角11D AC B --（Ⅲ）依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+， 又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得21cos ,3(1)NE n NE n NE n⋅〈〉===⋅-，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得2λ=， 所以线段1A E 2.20．（本小题满分12分）已知()()1122,,,A x y B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4p l y =与y轴交于点M ，若,A B 两点所在的直线方程为1y x =-，且直线:4pl y =恰好平分AFB ∠，求抛物线C 的标准方程.（2）若直线AB 与x 轴交于点P ，与y 轴的正半轴交于点Q ，且2124py y =，是否存在直线AB ，使得113PA PB PQ+=若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设()()1122p A x ,y ,B x ,y ,M 0,4⎛⎫⎪⎝⎭，由2x 2{1py y x ==-，消去y 整理得2x 2px 2p 0-+=，则212124p 80{x x 2x x 2p pp∆=->+==， ∵直线py 4=平分AFB ∠， ∴AF BF k k 0+=， ∴1212p p y y 440x x --+=，即：12121212p px 1x 1x x p 44210x x 4x x ----+⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴p 4=，满足Δ0>，∴抛物线C 标准方程为2x 8y =． （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设直线AB 的方程为：y kx b(k 0b 0)=+≠>，， 由2{x 2y kx bpy=+=，得2x 2pkx 2pb 0--=， ∴2212124p k 80{x x 2x x 2pb pk pb∆=+>+==-，∴()2222121222pb x x y y ?b 2p 2p 4p -===， ∵212p y y 4=， ∴22p b 4=， ∵b 0>， ∴p b 2=．∴直线AB 的方程为：py kx 2=+． 假设存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，即PQ PQ 3PA PB+=， 作AA x '⊥轴，BB x '⊥轴，垂足为A B ''、，∴121212p pPQ PQ OQ OQ y y p 22·PA PB AA BB y y 2y y ++=+'=+='，∵()21212y y k x x p 2pk p +=++=+，212p y y 4=，∴222PQ PQp 2pk p·4k 2pPA PB 24++==+，由24k 23+=，得1k 2=±， 故存在直线AB ，使得113PA PB PQ +=，直线AB 方程为1p y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得2a x -<或2a x -+>，0<<， ()f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数. 2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数， 当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。
2020高考理科数学仿真模拟卷01(解析版)Word版
2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2,1,0,1,2A =--，{}|B x y == ）A ．1,2B ．0,1,2C ．2,1--D ．2,1,0--2．已知复数()2z a R i=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2-D 23=2ln3b =3ln c π= ） A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a4．已知函数()ln 1f x x x =--，则的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．D E AD 若，3CE AB AC μ=+， ） A ．3B ．3-C ．6D ．76-6．已知数列满足，23a =，若()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列的通项（ ）A ．12n - B ．21n- C ．13n - D ．121n -+7．已知函数()2sin()(06,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6和(,2)3-.若函数[,0]2-上有唯一零点，则实数m ）A B ．{1}(,]22--C ．(,1]2-D8．已知A 3,2P y 8x =上任意一点，点是圆(x 2)y 1-+=上任意一点，则A ．3B ．4C ．5D ．69．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．4710．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，如图所示.将小圆盘逆时针旋转1,2,3,4i i =次，每次转动901,2,3,4i T i =为转动i 11223344112341234论正确的是A BC D11．已知集合A ={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为I （a ），按从大到小排成的三位数记为D （a ）（例如a ＝219，则I （a ）＝129，D （a ）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，则输出b 的值为（ ）A ．792B ．693C ．594D ．49512．如下图，在正方体中，点E F 、分别为棱点O 为上底面的中心，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的M 与平面所成角为α，则 ）．A 2B 5C 5D 6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()ln1f x x =+，4f a =，则f a -=________．14X 2,1N ，若223P X a P X a ≤-=≥+，则a =__________．15．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>中，是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在BF ，使得0PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.16AB ⊥的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列a 的前n 项和()1*12N n n n S a n -⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列b 满足2b a =.（Ⅰ）求证：数列b 是等差数列，并求数列a 的通项公式；（Ⅱ）设()()21n nc n a n a =-+-，数列c 的前n 项和为n()*N 63n T n <∈的n 的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数． （1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，，且点M 和的中点.（1（2）求二面角的正弦值；（3E 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3，求线段的长.20．（本小题满分12分）已知,,,A x y B x y 是抛物线:20C x py p =>上不同两点.（1）设直线:4l y =与y M 两点所在的直线方程为，且直线:4l y =恰好平AFB ∠.（2AB 与x 轴交于点P ，与y ，且124py y =，是否存在直线AB ，使得AB .21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x x ax a R =++∈，()22x g x e x x =+-. （1）讨论f x 的单调性；（2）定义：对于函数f x ，若存在00成立，则称f x 的不动点.如果函数F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，y ⎧⎪⎨=⎪（t 为参数），曲线的参数方程为2sin y θ⎧⎨=⎩，x 曲线的极坐标方（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2，A ，B 两点，求23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（I 的解集；（II 118a b b c c a++≥+++一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合2,1,0,1,2A =--，{}|B x y == ）A ．1,2B ．0,1,2C ．2,1--D ．2,1,0--【答案】D【解析】因为2,1,0,1,2A =-- ,0B x x =≤，所以2,1,0AB =-- .故选D.2．已知复数()2z a R i=∈+是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．2-D 2【答案】A【解析】()()21222255a i a az i i i i ++-===+++-是纯虚数210520a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪，解得：2a =-本题正确选项：A3=2ln3b =3ln c π= ） A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．b >c >a【答案】D 【解析】a6π=ln22，b 6π=ln33，c 6π=lnππ，∵6π＞0，∴a ，b ，c 的大小比较可以转化为ln22，ln33，lnππ的大小比较．设f （x ）=lnx x，则f ′（x ）=1−lnx x 2，当x ＝e 时，f ′（x ）＝0，当x ＞e 时，f ′（x ）＞0，当0＜x ＜e 时，f ′（x ）＜0 ∴f （x ）在（e ，+∞）上，f （x ）单调递减，∵e ＜3＜π＜4∴ln33＞lnππ＞ln44=ln22，∴b ＞c ＞a ，故选：D ．4．已知函数()ln 1f x x x =--，则的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于01112ln 1ln 2222f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭---，排除B 选项. 由于()()22,23f e f e e e ==--，()2f e f e >，函数单调递减，排除C 选项. 由于()1001000101f ee=>-，排除D 选项.故选A. 5．D E AD 若λ，3CE AB AC μ=+， ） A ．3B ．3-C ．6D ．76-【答案】B【解析】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA μμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪E AD 中点， 所以32=，32μ--=，解得,26λμ==- ，3λμ+=-.故选B. 6．已知数列满足，23a =，若()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列的通项（ ）A ．12n - B ．21n- C ．13n - D ．121n -+【答案】B【解析】 ,a a a += ,2()a a a a -=-, 则1211n n a a a a +-=- ,数列11a a ⎧⎫-⎨⎬是首项为2，公比为2的等比数列， 1222n n a a --=⨯= ，利用叠加法，21()()......()122.......2n a a a a a a a -+-+-++-=++++ ， 1212121n a -==-- ，则21n n a =-.选B. 7．已知函数()2sin()(06,)2f x x ωϕωϕ=+<<<的图象经过点(,2)6和(,2)3-.若函数[,0]2-上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．B ．{1}(,]22--C ．(,1]2-D 【答案】D【解析】由题意得362k T ⎛⎫-=+ ⎪得21T k =+，故42k Tω==+，因为06ω<<，k N ∈，由2sin 2f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得232k ϕπ+=+，因为2ϕ<，故6ϕ=，所以()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2666x -≤+≤，令26t x =+，则由题意得2sin 0t m -=,t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有唯一解，故由正弦函数图象可得12=-或222-<≤，解得21,1m ∈-⋃-.故选D8．已知A 3,2P y 8x =(x 2)y 1-+=上任意一点，则A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】抛物线8y x =的焦点2,0F ，准线l ：2x =-，圆(2)1x y -+=的圆心为2,0F ，半径1r =，P PB B∴当4，故选B．9．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A,C区域涂色不相同的概率为()A．17B．27C．37D．47【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A,B,C,D,E,分4步进行分析：①，对于区域A，有5种颜色可选；②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；③，对于区域E，与A,B区域相邻，有3种颜色可选；④，对于区域D,C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，则区域D,C有3+2×2=7种选择，则不同的涂色方案有5×4×3×7=420种， 其中，A,C 区域涂色不相同的情况有： ①，对于区域A ，有5种颜色可选；②，对于区域B 与A 区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域E 与A,B,C 区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域D,C ，若D 与B 颜色相同，C 区域有2种颜色可选， 若D 与B 颜色不相同，D 区域有2种颜色可选，C 区域有1种颜色可选， 则区域D,C 有2+2×1=4种选择， 不同的涂色方案有5×4×2×4=240种，∴A,C 区域涂色不相同的概率为p =240420=47 ,故选D ．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，如图所示.将小圆盘逆时针旋转1,2,3,4i i =次，每次转动901,2,3,4T i =为转动i 论正确的是A B C 1234 D 1234 【答案】A【解析】根据题意可知：>0,1234,1234A11．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a＝219，则I（a）＝129，D（a）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输出b的值为（）A．792 B．693 C．594 D．495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则a=792，I（a）=279，D（a）=972，b=D（a）−I（a）= 972−279=693，不满足题意．B，如果输出的值为693，则a=693,，I（a）=369，D（a）=963，b=D（a）−I（a）=963−369=594，不满足题意．C，如果输出的值为594，则a=594，I（a）=459，D（a）=954，b=D（a）−I（a）=954−459=495，，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则a =495，，I （a ）=459，D （a ）=954，b =D （a ）−I （a ）=954−459=495，满足题意．故选D ．12．如下图，在正方体中，E F 、O 其中含的部分为，不含的部分为，连接和的M 与平面所成角为α，则 ）．A2B 5C5D 6【答案】B【解析】连接EF ，因为EF //面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH //BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH //EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱为，三棱柱EBH -FCG 为，设M 点为的任一点，过M 点作底面1111的垂线，垂足为N ，连接,则即为与平面所成的角，所以=α，因为sinα=A M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为=A M AH5故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()ln1f x x =+，4f a =，则f a -=________．2-【解析】因为()()()()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，f a f a 2∴+-=，且f a 4=，则f a 2-=-.故答案为-214X 2,1N ，若223P X a P X a ≤-=≥+a =． 【答案】12X =结合题意有：2,12a =⇒=.故答案为1．15．已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>中，是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在BF ，使得0PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】c,0F c，又0,B b，所以，以x y a+=，因为0PA PA⋅=所以BF，所以ab a<>⎩即422422302c a c ac a⎧-+<⎨>，故4223102e ee⎧-+<⎨>，2故填.16AB⊥的表面积为______AB⊥1，11．414ππ⨯=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列a 的前n 项和()*12N n n S a n ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，数列b 满足2b a =.（Ⅰ）求证：数列b 是等差数列，并求数列a 的通项公式；（Ⅱ）设()()21n n c n a n a =-+-，数列c 的前n 项和为n ()*N 63n T n <∈的n 的最大值.【解析】 (Ⅰ) ()12n n S a n N +⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭，1112n n S a --⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，111n n n n n a S S a a --⎛⎫∴=-=-++ ⎪⎝⎭，化为221a a =+，2,1b a b b =∴=+2n ≥,，可得,即12a =. 又,∴数列n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1112b n n a =+-⋅==，2n na ∴=.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()1121n n n n c n n n n +=+⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()11211221212121n n n n ++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭, 223121...2121212121n n n T +⎡⎤∴=-+-++-⎢⎥-----⎣⎦1212163n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭, 可得5n <因为n 是自然数，所以n 的最大值为4.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】X 0，1，2，3，4，5，6，()01010100P X ==⨯=，()1210525P X ==⨯⨯=，()225551025P X ==⨯+⨯⨯=， ()32210105550P X ==⨯⨯+⨯⨯=，()425510525P X ==⨯+⨯⨯=， ()5251025P X ==⨯⨯=，()61010100P X ==⨯=， X（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：170009000110001300015000100502525100EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.21000011000120001042010025100EY =⨯+⨯+⨯=（元）. ∵，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱ABCD AB AC ⊥，1AB =，，且点M 和的中点.（1（2）求二面角的正弦值；（3E 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为3，求线段的长. A ，又因为分别为和的中点，得1,,1,(1,2,1)MN ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得0,,0MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=（Ⅱ），设(,,)n x y z =为平面的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即{20x =1z =1(0,1,1)n =， 设(,,)n x y z =则210{0n AB n AC ⋅=⋅=，又(0,1,2)AB =，得{，1z =可得(0,2,1)n =-， 1212n n =-⋅31010= 所以二面角11D AC B --的正弦值为10 （Ⅲ）依题意，可设A E A B λ=(1,2,1)NE λ=-+， 又2(1)NE n==⋅-430λλ+-=又因为所以线段20．（本小题满分12分）已知,,,A x yB x y是抛物线:20C x py p=>上不同两点.（1）设直线:4l y=与y M两点所在的直线方程为，且直线:4l y=恰好平AFB∠.（2AB与x轴交于点P，与y，且124py y=，是否存在直线AB，使得AB.【解析】（1）设()()1122A x,y,B x,y,M0,4⎛⎫⎪，由x2{1pyy x==-y x2px2p0-+=，则124p80{x x2x x2ppp∆=->+==，∵直线y4=平分AFB∠，∴，∴12y y440x x--+=，即：1212x1x1x xp44210x x4x x----+⎛⎫+=-+=⎪，∴x8y=．（2ABAB，由2{x 2py =，得x 2pkx 2pb 0--=， ∴124p k 80{x x 2x x 2pb pkpb ∆=+>+==-， ∴()222121222pb x x y y ?b -===，∵12p y y 4=， ∴2p b 4=， ∵b 0>， ∴b 2=． AB y kx 2=+． ABAA x ⊥BB x ⊥∵1212y y k x x p 2pk p +=++=+，12p y y 4=， 4k 2=±， AB AB y x 22=±+． 21．（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x x x ax a R =++∈，()22x g x e x x =+-.（1）讨论f x 的单调性；（2）定义：对于函数f x ，若存在成立，则称f x 的不动点.如果函数F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【解析】 (1)f x 的定义域为()()()10,0x ax f x x x，+++∞=>'， 对于函数10y x ax =++≥， ①当40a ∆=-≤10x ax ++≥. ()10x ax f x x ++∴=≥'在0,+∞恒成立.f x ∴在0,+∞为增函数；由0f x >，2222f x ∴在⎛ ⎝⎭为增函数，⎝⎭减函数.2a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数， ()10x ax f x x++=>'在0,+∞恒成立， f x ∴在0,+∞为增函数。
山东省2020届普通高等学校招生全国统一考试数学试题模拟卷(一) Word版含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试（模拟卷）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合2{|0}M x x x =-≥，{|2}N x x =<，则M N =( )A. {|0}x x ≤B. {|12}x x ≤<C. {|0x x ≤或12}x ≤<D.{|01}x x ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】首先求得集合M ，然后进行交集运算即可.【详解】求解二次不等式20x x -≥可得{}|10M x x x =≥≤或， 结合交集的定义可得：{|0M N x x ⋂=≤或12}x ≤<. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知i 为虚数单位，则复数131ii-+的虚部为（ ） A. 2- B. 2i -C. 2D. 2i【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数z ，然后由虚部定义可求． 【详解】()()()()131********i i i ii i i -----===++-﹣1﹣2i ， ∴复数131ii-+的虚部是﹣2， 故选A ．【点睛】该题考查复数代数形式的运算、复数的基本概念，属基础题．3.设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：若1a =-，则直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则1a =或，必要性不成立．考点：充分必要性．4.设向量a ，b 满足(3,1)a b +=，1a b ⋅=，则||a b -=( )A. 2B.6 C. 22 D.10【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量的运算法则求解其模即可. 【详解】由题意结合向量的运算法则可知：()222431416a b a b a b -=+-⋅=+-⨯=.本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，向量的模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.在62⎛⎫-⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ）A. 154-B.154C. 38-D.38【答案】C 【解析】【详解】因为1r T +=66((2rrr C -⋅⋅,可得1r =时，2x 的系数为38-，C 正确.6.已知函数()(1)f x x x =+，则不等式2()(2)0f x f x +->的解集为（ ） A. (2,1)- B. (1,2)-C. (,1)(2,)-∞-+∞D. (,2)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】判断出()f x 的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为()()22f xf x <-，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于x 的不等式，求得最终结果. 【详解】()()1f x x x =+ ()()()()11f x x x x x f x ∴-=--+=-+=-()f x ∴为奇函数当0x ≥时，()21f x x =+，可知()f x 在[)0,+∞上单调递增()f x ∴在(],0-∞上也单调递增，即()f x 为R 上的增函数()()220f x f x +-> ()()22f x f x ⇒>-- ()()22f x f x ⇒>- 22x x ∴>-，解得：2x <-或1x >本题正确选项：D【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.7.如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作直线与C 及其渐近线分别交于Q ，P 两点，且Q 为2PF 的中点．若等腰三角形12PF F 的底边2PF 的长等于C 的半焦距．则C 的离心率为（ ）A.22157-+ B.43C.22157+ D.32【答案】C 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得12QF PF ⊥，再根据双曲线定义以及勾股定理列方程，解得离心率.【详解】连接1QF ，由12PF F △为等腰三角形且Q 为2PF 的中点，得12QF PF ⊥，由2PF c =知22c QF =．由双曲线的定义知122cQF a =+，在12Rt FQF 中，()2222222c c a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22284708470a ac c e e ∴+-=∴+-= 2157e +∴=（负值舍去）． 故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义、双曲线的离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.8.将函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()y f x =的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A. ,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦B. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. ,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦D.,122ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的性质求得ϕ的取值范围．【详解】将函数sin 2y x=的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位长度得到()sin(22)y f x x ϕ==-的图象．若函数()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，则22πϕ-≤-，且222ππϕ-≤， 求得04πϕ<≤①．令22x k ϕπ-=，求得2k x πϕ=+，Z k ∈，故函数的零点为2k x πϕ=+，k Z ∈． ∵()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上， ∴51226k πππϕ-<+<-， ∴512262k k ππππϕ--<<--②． 由①②令1k =-，可得124ππϕ<≤， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的性质综合应用，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、“90后”从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中正确的是（）注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之间出生的人，“80前”指1979年及以前出生的人．A. 互联网行业从业人员中“90后”占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数“90后”比“80前”多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数“90后”比“80后”多【答案】ABC【解析】【分析】根据饼状图确定互联网行业从业人员中“90后”占总人数比例，即可判断A;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数比例，即可判断B;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数比例，根据饼状图确定“80前”的人数占总人数的比例,两者比较可判断C;根据条形图确定互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例不可确定，即可判断D.【详解】由题图可知，互联网行业从业人员中“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确；⨯=，互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%超过20%，所以互联网行业从业人员（包括“90后”“80后”“80前”）从事技术岗位的人数超过总人数的20%，B 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事运营岗位的人数占总人数的56%17%9.52%⨯=，超过“80前”的人数占总人数的比例，且“80前”中从事运营岗位的比例未知，C 正确；互联网行业从业人员中“90后”从事技术岗位的人数占总人数的56%39.6%22.176%⨯=，小于“80后”的人数占总人数的比例，但“80后”中从事技术岗位的比例未知，D 不一定正确． 故选：ABC【点睛】本题考查饼状图与条形图，考查数据分析与判断能力，属基础题. 10.对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A. 若22am bm >，则a b > B. 若a b >，则a ab bC. 若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+ D. 若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据不等式性质可判断A ；分类讨论，并结合不等式性质判断B;作差法判断C;先根据对数性质得1a b =，再利用导数研究函数()()121f a a a a=+>单调性，最后根据单调性确定函数值域，即可判断D. 【详解】对实数a ，b ，m ．2220am bm m ∴>>，a b ∴>，A 正确；a b >，分三种情况，当0a b >>时，0a ab b ；当0a b >>时，22a a ab b b ；当0a b >>时，22a aa b b b ，a ab b ∴>成立，B 正确； 0b a >>，0m >，()()()()()0()a m b a b m b a m a m a ab bm ab am b m b b b m b b m b b m +-+-++---===+++∴>+，C 正确；若0a b >>，且ln ln a b =，1a b ∴=，且1a >．122ab a a∴+=+， 设()()121f a a a a=+>，()2120af a =-'>，()f a ∴区间()1,+∞上单调递增，()(1)3f a f ∴>=，即()23,a b +∈+∞，D 正确．故选：ABCD【点睛】本题考查根据不等式性质判断大小、利用作差法比较大小、利用单调性研究取值范围，考查基本分析判断能力，属中档题.11.已知函数()122log xf x x =-，且实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <．若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（ ） A. 0x a < B. 0x a > C. 0x b < D. 0x c <【答案】ABC 【解析】 【分析】先判断()f x 单调性，再根据积的符号分类讨论，结合示意图确定选择.【详解】由()1222log 2log x x f x x x =-=+，可知函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增．因为实数a ，b ，()0c a b c >>>满足()()()0f a f b f c <， 则()f a ，f b ，()f c 可能都小于0或有1个小于0，2个大于0， 如图．则A ，B ，C 可能成立，0x c >，D 不可能成立．【点睛】本题考查函数单调性、函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题. 12.已知函数()ln f x x x =，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则（ ）1212x x += B. 12128x x <C. 1232x x +<D. 2212512x x +>【答案】AD 【解析】 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得等量关系，即可判断A ；利用基本不等式可判断BCD. 【详解】由题意知()()10f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=1211x x -=12=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确． 故选：AD【点睛】本题考查导数几何意义、基本不等式应用，考查基本分析求解与判断能力，属中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos 5θ=-且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43． 点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．14.一组数据的平均数是8，方差是16，若将这组数据中的每一个数据都减去4，得到一组新数据，则所得新数据的平均数与方差的和是________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解,即得结果.【详解】因为原数据平均数是8，方差为16，将这组数据中的每一个数据都减去4，所以新数据的平均数为844-=，方差不变仍为16，所以新数据的方差与平均数的和为20． 故答案为：20【点睛】本题考查新数据与原数据平均数与方差的关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 15.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点．60ABC ∠=︒，2AC =，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥РABC -的体积为1V ，三棱锥O ABC -的体积为2V ．若12V V 的最大值为3．则球O 的表面积为________． 【答案】649π【解析】 【分析】先求出ABC 的外接圆半径，根据题意确定12V V 的最大值取法，再根据12V V 的最大值为3，解得球半径，最后根据球的表面积公式得结果.【详解】如图所示，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则1OO ⊥平面ABC ． 设球O 的半径为R ，1OO d =，则22sin sin 60AC r ABC ===∠︒，即r =．121313P ABCABCP ABC ABC h S h V V d d S --⋅⋅==⋅⋅所以当P ，O ，1O 三点共线时，12max3V R dV d ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，即2R d =． 由222R d r =+，得2169R =，所以球O 的表面积26449S R ππ==． 故答案为：649π【点睛】本题考查三棱锥及其外接球的体积，考查空间想象能力以及基本分析求解能力，属中档题.16.已知直线:2l y x b =+与抛物线()2:20C y px p =>相交于A 、B 两点，且5AB =，直线l 经过C 的焦点．则p =________，若M 为C 上的一个动点，设点N 的坐标为()3,0，则MN 的最小值为________． 【答案】 (1). 2 (2). 22【解析】 【分析】将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p 的值，设点()00,M x y ，可得()200040y x x =≥，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN 的最小值.【详解】由题意知，直线:2l y x b =+，即22b y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．直线l 经过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，22b p∴-=，即b p =-． ∴直线l 的方程为2y x p =-．设()11,A x y 、()22,B x y ，联立222y x p y px=-⎧⎨=⎩，消去y 整理可得22460x px p -+=， 由韦达定理得1232p x x +=， 又5AB =，12552x p p x ∴++==，则2p =，∴抛物线2:4C y x =．设()()000,0M x y x ≥，由题意知2004y x =，则()()()2222200000334188x y x x MNx =-+=-+=-+≥，当01x =时，2MN 取得最小值8，MN ∴的最小值为故答案为：2；【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边试从下列①②条件中任选一个作为已知条件并完成下列(1)(2)两问的解答①sin sin sin sin A C A Bb a c--=+；②2cos cos cos c C a B b A =+. (1)求角C(2)若c =a b +=求ABC 的面积.【答案】（1）选择①，π3C =；选择②，π3C =（2）2【解析】 【分析】（1）选择①，利用正弦定理余弦定理化简sin sin sin sin A C A Bb a c--=+即得C ；选择②，利用正弦定理化简即得C 的值；（2）根据余弦定理得83ab =，再求ABC ∆的面积.【详解】解：（1）选择① 根据正弦定理得a c a bb a c--=+， 从而可得222a c ab b -=-，根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-， 解得1cos 2C =， 因为()0,πC ∈，故π3C =. 选择②根据正弦定理有sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=， 即()sin 2sin cos A B C C +=， 即sin 2sin cos C C C =因为()0,πC ∈，故sin 0C ≠，从而有1cos 2C =， 故π3C =（2）根据余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 得225a b ab =+-，即()253a b ab =+-，解得2ab =， 又因为ABC 的面积为1sin 2ab C ，故ABC 的面积为2. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.18.已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列,满足15a =,且2930,,a a a 成等比数列. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N +-=∈,且13b =求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ) 23n a n =+； (Ⅱ)n =T13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.【解析】 【分析】(Ⅰ)利用等比中项性质和等差数列的通项公式列方程，可解得公差d 的值，进而求得等差数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)根据题意，由累加法求出数列{}n b 的通项公式，再通过裂项相消法求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n T .【详解】(Ⅰ) 设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,依题意得()()()2111298a d a d a d ++=+又15a =,解得2d =,所以23n a n =+.(Ⅱ)依题意得123n n b b n +-=+,即121n n b b n --=+ (2n ≥且*n N ∈) 所以()()()112211...n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+-+ , ()()()22132121 (5322)n n n n n n ++=++-+++==+.对13b =上式也成立,所以()2n b n n =+,即()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 所以1111111113111...23243522212n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了累加法求数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，考查了推理能力与计算能力. 形如()1n n a a f n +-=的数列{}n a 均可利用累加法求通项公式.19.如图所示，在三棱柱中111ABC A B C -，侧面11ABB A 是矩形，2AB =，1AA =D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于O ，且CO ⊥面11ABB A .（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求二面角D BC A --的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（210. 【解析】 【分析】（1）推导出DB ⊥AB 1，1CO AB ⊥，从而AB 1⊥平面BDC ，由此能证明AB 1⊥BC ， （2）以O 为坐标原点，OA ，O 1B ，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D BC A --的余弦值． 【详解】解：（1）由于侧面11ABB A 是矩形，D 是中点， 故12tan 2AB B ∠=，2tan 2ABD ∠=，所以1AB B ABD ∠=∠，又1190BAB AB B ∠+∠=， 于是190BAB ABD ∠+∠=，1BD AB ⊥，而CO ⊥面1ABB A ，所以1CO AB ⊥1AB ⊥面BCD ，得到1BC AB ⊥（2）如图，建立空间直角坐标系，则20,3,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，26,0,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233C ⎛⎝，63D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭可以计算出面ABC 的一个法向量的坐标为(11,2,2n =- 而平面BCD 的一个法向量为()20,1,0n =设二面角D BC A--的大小为θ，则121210cos5n nn nθ⋅==【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-3，0），(3,0)，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-23．（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．【答案】（1）(221332x yx+=≠（26【解析】【分析】（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为23-列方程：(23333AP BPk k xx x==-≠+-，化简整理得标准方程(221332x yx+=≠，注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出MON ∆的面积，由平行条件得斜率关系：由23AP BP k k =-得23OM ON k k =-，即得坐标关系121223y y x x =-；设直线MN 的方程x my t =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++，代入121223y y x x =-可得22223t m =+，而三角形面积可表示为1212MONSt y y ∆=-=22223t m =+代入化简得2MONS∆== 【详解】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(2333AP BP k kx x x ==-≠+-，化简得P 的轨迹方程为(22132x y x +=≠（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//,//AP OM BP ON ， 则直线,AP BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-． 因为//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k =-设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y+=，得()222324260m ymty t +++-=．．．．①，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m-+=-=++ 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+又1212MONSt y y ∆=-=，所以2MONS∆==，即MON∆的面积为定值2考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）0.1；（2）（i ）490；（ii ）应该对余下的产品作检验. 【解析】 【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得()()182220C 1f p p p =-，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意01p <<的条件；（2）先根据第一问的条件，确定出0.1p =，在解（i ）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii ）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【详解】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为()()182220C 1f p p p =-. 因此()()()()()1817172222020C 211812C 1110f p p p p p p p p ⎡⎤='---=--⎣⎦.令()0f p '=，得0.1p =.当()0,0.1p ∈时，()0f p '>；当()0.1,1p ∈时，()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =； （2）由（1）知，0.1p =.（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知()180,0.1Y B ~，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+.所以()40254025490EX E Y EY =+=+=.（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验.【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论. 22.已知定义在区间(0,2)上的函数()ln mf x x x=+，m R ∈. （Ⅰ）证明：当1m =时，()1f x ≥；（Ⅱ）若曲线()y f x =过点(1,0)A 的切线有两条，求实数m 的取值范围.【答案】(1)见证明；(2) 24ln 203m -<< 【解析】 【分析】（1）利用导数求得函数单调性，可证得()min 1f x ≥；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程221ln 10m mx x x++--=在()0,2上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到m 范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到m 范围. 【详解】（1）证明：1m =时，()1ln f x x x=+ ()22111x f x x x x-=-+=' ()f x ∴在(]0,1上递减，在[)1,2上递增 ()()min 11f x f ∴== ()1f x ∴≥（2）当0m =时，()ln f x x =，()0,2x ∈，明显不满足要求； 当0m ≠时，设切点为()()00,x f x （显然01x ≠），则有()()0001f x f x x '=-00020ln 1mx x m x x x +-∴=-，整理得()020021ln 10*m m x x x ++--= 由题意，要求方程()*在区间()0,2上有两个不同的实数解 令()221ln 1m m g x x x x +=+-- ()()()321x m x g x x --⇒='①当21m >即12m >时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减112m ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭或先单调递减再递增()1m >而()()1120g me e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()10g m =>，()3212ln21ln2048m g +=+-≥->，()12ln204g m m m=+> ()g x ∴在区间()0,1上有唯一零点，在区间()1,2上无零点，所以此时不满足题要求. ②当12m =时，()0g x '≥ ()g x ⇒在()0,2上单调递增 ∴不满足在区间()0,2上有两个不同的实数解③当021m <<即102m <<时，()g x 在()0,2m 上单调递增，在()2,1m 上单调递减，在()1,2上单调递增.()21ln 10m e e m m g e e m +-⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，()10g m => ()g x ∴在区间()0,2上有唯一零点，所以此时不满足题要求.④当0m <时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增，()()1120g me e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，()10g m =<，()322ln24m g -=+ 当()20g ≤即24ln23m -≤时，()g x 在区间()0,2上有唯一零点，此时不满足题要求. 当()20g >即24ln203m -<<时，()g x 在区间()0,1和()1,2上各有一个零点 设零点为12,x x ，又这时()221x m m f x x x x '-==-显然在区间()0,2上单调递减 ()()12f x f x ∴≠''，此时满足题目要求.综上所述，m 的取值范围是24ln203m -<< （2）解法二：设切点为000,ln m x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭由解法一的关于0x 的方程()00200211ln 10x m x x x -+-+=在区间内()0,2有两解 显然12不是方程的解 故原问题等价于22ln 12x x x x m x+-=-在区间内()0,2有两解 设()()221ln ln 1212x x x x x x x x g x x x+-+-==--，02x <<且12x ≠ 则()()()2112ln 12x x x x g x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-'=，02x <<且12x ≠ 令()12ln h x x x =+，02x <<，则()221221x h x x x x -=-+='又10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '<；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0h x '> ()()min 12ln402h x h x h ⎛⎫⇒≥==-> ⎪⎝⎭， 故110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0g x '>；()1,2x ∈，()0g x '< 从而110,,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x 递增，()1,2x ∈，()g x 递减 令()1ln t x x x x =+-，02x << ()ln t x x ∴'=由于()0,1x ∈时()0t x '<，()1,2x ∈时()0t x '>()()()min 10t x t x t ∴≥==故10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x >；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x ≤， 而1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10g x g ≤=，12x →时，()g x →-∞ 故22ln 12x x x x m x+-=-在区间内()0,2有两解()20g m ⇔<< 解得：24ln203m -<<【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.。