无刷直流电机的数学模型

2.2 无刷直流电机的数学模型
在本文中，以两极三相无刷直流电机为例来说明其数学建立模型的过程。

电机定子绕组为Y 型联接，转子采用内转子结构，3个霍尔元件在空间相互间隔120°对称放置。

在此结构基础上，假设电机的磁路不饱和，不计涡流损耗、磁滞损耗及电枢反应；忽略齿槽效应；驱动系统中，整流逆变电路的功率管和续流二极管均为理想开关器件错误!未找到引用源。

2.2.1 定子电压方程
由以上的假设条件，无刷直流电机每相绕组的相电压由电阻压降和绕组感应电势两部分组成，其定子电压平衡方程为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a c b a c cb
ca
bc b ba
ac ab a
c b a c b a
c b a e e e i i i L L L L L L L L L dt
d i i i R 0
0R 000R U U U (2-1)
式(2-1)中，a e 、b e 、c e 为各相定子反电动势，a i 、b i 、c i 为各相定子电流，a U ，
b U ，
c U 为定子各相电压，a R ，b R ，c R 为定子各相绕组电阻，a L ，b L ，c L 为
定子各相绕组自感，ab L ，ac L ，ba L ，bc L ，ca L ，cb L 为定子间各相绕组的互感，由于无刷直流电机的转子为永磁体。

假设无刷直流电机三相绕组对称，忽略磁阻间的影响，则可以认为定子各相绕组间互感为常数，即s c b a L L L L ===，
R R R R c b a ===，M L L L L L L cb ca bc ba ac ab ======。

则式(2-1)改写为
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a c b a s s s
c b a c b a e e e i i i L M
M
M L M M M L dt d i i i R 0
0R 000R
U U U (2-2)
由0i i i c b a =++，0Mi Mi Mi c b a =++，代入式(2-2)，整理可得
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a c b a c b a c b a e e e i i i L 000L 000L dt d i i i R 0
0R 000R
U U U (2-3)
式(2-3)中M L L s -=。

图2-3虚线框部分所示即为电子电枢部分等效电路。

2.2.2 反电势动方程
在物理学当中，在磁场中单根导体切割磁力线运动产生的电动势e 为
Blv e = (2-4)
其中，B 、l 分别为磁场强度和导体在磁场中运动有效长度，v 为导体在垂直于
磁感线运动的线速度。

在无刷直流电机中，转速n 与v 的关系为式(2-5)，R '为绕组旋转半径。

60
2n R v '
=π (2-5)
假设直流电机绕组每一相的匝数为ΦW ，由于每一相有两根导体，所以每一相绕组的总感应电动势为
ΦΦ=eW E 2
(2-6)
将式(2-4) (2-5)代入式(2-6)，则转速n 与总感应电动势ΦE 的关系为
n W R Bl E 15Φ
Φ'=π
(2-7)
在电机设计制造成型以后l ，R '，ΦW 均为固定值。

2.2.3 电磁转矩方程
直流电机的电磁转矩是指电机在正常运行时，电枢绕组流过电流，这些载流导体在磁场中受力所形成的总转矩。

设无刷直流电机的电流峰值为：p I ，电动势峰值为p E ，绕组只有两相同时导通，当从IPM 直流侧看，两相绕为串联，所以电磁功率为p p I E 2P m =。

忽略换相过程的影响，无刷直流电机的电磁转矩为
p p p p p p p m
e I n I E n n P T ψωω2211=== (2-8)
式(2-8)中，p ψ为电机电磁磁链的峰值。

由(2-8)式可知，无刷直流电机的电磁转矩与电流p I 成正比关系，与普通的直流电机的关系一样错误!未找到引用源。

2.2.4 运动方程
dt
d J
Z T T L e ω
ω=-- (2-9)
式(2-9)中，e T 、L T 分别为电磁转矩和负载转矩(Nm)，ω为电机角速度，Z 为黏滞摩擦系数(N ·m ·s)，J 为电机转子的转动惯量(kg ·m 2)错误!未找到引用源。

2.3 无刷直流电机特性分析
2.3.1 机械特性
机械特性是指在直流电压d U 不变的情况下，电机转速与电磁转矩之间的关系。

将式(2-7) 代入式(2-3)，则得无刷直流电机的机械特性方程式(2-10)，整理后得(2-11)。

)(15dt dI
L I R U W R Bl n ⋅-⋅-'=
Φπ
(2-10)
T
e e
d T K k RT U K n 230-=
π
(2-11)
式(2-11)中，T K 为电机转矩系数，e k 为线反电势系数，ca bc ab d U U U U ===。

由式(2-11)可得不同直流母线电压下无刷直流电机的机械特性曲线，如图2-5所示，图中4321d d d d U U U U >>>。

e
n
图2-5 无刷直流电机机械特性示意图
式(2-11)表示的是直线方程，但实际由于电机损耗中的可变部分以及电枢反应影响，机械特性曲线只是近似直线。

如图2-5所示，在一定的直流母线电压下，电机转速随电磁转矩的增加自然下降，d U 越大纵轴截距越大，即曲线向上平移。

由于无刷直流电机采用电力电子器件实现电子换向，这些器件通常都具有非线性的饱和特性，在堵转转矩附近，随着电枢电流增大，管压降增加较快，所以机械特性的末端会有明显的向下弯曲错误!未找到引用源。

无刷直流电机的机械特性与普通他励直流电机机械特性相似，改变直流母线电压的大小就可以改变机械特性上的空载点。

因此，无刷直流电机通常采用PWM 调制等方式进行调速。

2.3.2 调节特性
调节特性是指电磁转矩不变的情况下，电机转速和直流电压d U 之间的变化关系。

不计功率器件损耗，稳态运行时
n k I r U e a d 30
π
+
= (2-12)
Zn T I K L T 30π
=
- (2-13) ()L a d T a e T T r U K Z
r k K n --+=
π3030
(2-14)
由式(2-14)，可得不同电磁转矩下无刷直流电机转速随d U 变化的曲线，如图2-6所示，图中4321e e e e T T T T <<<。

由图2-6可见，调节特性存在死区，当d U 在死区范围内变化时，电磁转矩不足以
克服负载转矩使电机启动时，电机转速始终为零。

当d U 大于门限电压，超出死区范围时，电机才能起转并达到稳态，d U 越大稳态转速也越大。

由于存在摩擦力，调节特性曲线组不会过原点错误!未找到引用源。

d
n
图2-6 无刷直流电机调节特性示意图。