数学分析 第二章21-1数列极限的定义、性质
数列极限的概念与性质
数列极限的概念与性质数列是数学中一种非常重要的数学对象，它在许多领域都有广泛的应用。
而数列的极限是数列理论中的一个基本概念，通过对数列的极限的研究，可以揭示数列的性质和规律，进一步拓展数学的应用领域。
一、数列极限的概念数列极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列随着项数增加而趋近的某个确定值。
对于一个数列{an}，当n趋近于无穷大时，如果存在一个实数A，使得对于任意给定的正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，有|an - A|< ε成立，那么数A就是数列{an}的极限，记作lim(n→∞) an = A。
二、数列极限的性质1. 唯一性：数列的极限如果存在，则唯一。
这意味着一个数列不可能有两个不同的极限。
2. 有界性：如果一个数列存在极限，则它是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。
3. 保号性：如果数列{an}的极限为A，则当n足够大时，数列的每一项与A的关系与A的正负号相同。
4. 极限的四则运算：如果两个数列{an}和{bn}的极限都存在，则它们的和、差、乘积、商的极限也存在，并且有相应的运算规律。
5. 夹逼定理：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且li m(n→∞) an = lim(n→∞) cn = A，那么lim(n→∞) bn = A。
6. 收敛数列的有界性：如果数列{an}的极限存在，则数列{an}是有界的。
7. 子列的极限：如果数列{an}的极限为A，则它的任意一个子列的极限也为A。
三、数列极限的应用1. 无穷级数：通过对数列极限的研究，可以求解各种无穷级数的和，如等比级数、调和级数等。
2. 函数极限：函数极限可以看作是数列极限的推广，通过对数列的极限性质的研究，可以进一步推导函数的极限性质。
3. 微积分：微积分中的导数和积分都与数列的极限密切相关，数列极限的概念和性质对于理解微积分理论非常重要。
4. 计算机科学：数列极限的思想也可以应用到计算机科学中，通过数值计算的方法来逼近数列的极限，解决计算问题。
数列极限的定义 有哪些性质
数列极限的定义有哪些性质
数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。
1数列极限的定义
数列极限用通俗的语言来说就是：对于数列an，如果它的极限是a，那么，不管给出多小的正数ε，总能找到正整数N，只要数列的下标n>N，就能保证|an-a|<ε。
比如对于这样一个数列
an=n（当n《100时）或an=1/n (当n>100时）
这个数列的极限是0。
当对于任意给定的正数比如1/3，数列下标在1~100时，|an|>ε=1/3，但只要n>N=100，后面的所有项都满足|an|<1/3
从这个意义来说，数列有没有极限，前面的有限项（不管这有限项有多大）不起决定作用。
2数列极限的性质
（1）极限的唯一性
如果数列{xn}收敛，那么数列的极限唯一。
（2）收敛数列的有界性
如果数列{xn}收敛，那么数列一定有界。
（3）收敛数列的保号性
若数列{xn}收敛于a，且a>0, 则存在正整数N，使得当时n>N时，有xn>0。
以上性质中，极限的唯一性和有界性了解即可；极限的保号性用的是最多的,它常与求递推数列的极限、函数的极值点与拐点、连续函数的零点定理等一起应用，也是最容易出错的。
数列极限的定义与性质
数列极限的定义与性质数列是由一系列按特定规律排列的数字组成的序列。
在数学中，了解数列的极限是非常重要的。
通过研究数列的极限，我们可以揭示数列的性质，并且可以应用到不同的领域中。
本文将探讨数列极限的定义与性质，帮助读者更好地理解和应用数列。
一、极限的定义数列的极限是指当数列中的项趋近于某个值时，数列的值也趋近于该值。
数列极限可以用以下方式进行定义：设有数列 {a_n}，其中 n 表示数列中的项的索引（在数列中的位置）。
若对于任意给定的正实数ε，都存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n - A| < ε 成立，则称数列 {a_n} 的极限为 A，记作lim(n→∞) a_n = A。
其中，|a_n - A| 表示 a_n 与 A 之间的差的绝对值。
ε (epsilon) 是一个任意小的正实数，N 是一个正整数。
二、极限的性质数列极限具有以下性质：1. 极限的唯一性：设数列 {a_n} 的极限为 A，则数列的极限是唯一的，即不存在另外的极限值。
2. 极限的有界性：若数列 {a_n} 的极限为 A，则对于任意给定的正实数ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有|a_n| < |A|+ε 成立。
换句话说，当 n 足够大时，数列的值都在 A 的某个邻域内。
3. 极限的保号性：若数列 {a_n} 的极限为 A，且 A > 0 (或 A < 0)，则存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 a_n > 0 (或 a_n < 0) 成立。
也就是说，当 n 足够大时，数列的值与其极限符号一致。
4. 极限的四则运算：设数列 {a_n} 和 {b_n} 的极限分别为 A 和 B，则有以下四则运算定理：- 两个数列的和的极限等于两个数列的极限的和，即lim(n→∞) (a_n + b_n) = A + B。
- 两个数列的差的极限等于两个数列的极限的差，即lim(n→∞) (a_n - b_n) = A - B。
数列极限的基本概念与性质
数列极限的基本概念与性质数列是数学中的重要概念之一，它由一系列按特定顺序排列的数所组成。
数列的极限是研究数列性质的基本概念之一，它描述了数列中数值的趋势和变化规律。
本文将介绍数列极限的基本概念和性质，并讨论其在数学和实际问题中的应用。
一、数列极限的基本概念数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的数值是否会趋于某一个固定的值。
具体而言，对于一个数列{an}，当存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，则称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an = a。
如果数列不存在这样的实数a，则称数列{an}发散。
二、数列极限的性质1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
即如果lim（n→∞）an = a且lim（n→∞）an = b，则a = b。
2. 有界性：收敛的数列是有界的。
即如果lim（n→∞）an = a，则存在正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M成立。
3. 极限的保号性：如果数列{an}收敛于a且a>0，那么从某一项开始，数列{an}的所有后续项都大于0。
类似地，如果a<0，则所有后续项都小于0。
4. 收敛数列的性质：如果数列{an}和{bn}分别收敛于a和b，则数列{an + bn}和{an × bn}也收敛，并且它们的极限分别为a + b和a × b。
三、数列极限的应用数列极限在数学和实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的例子：1. 函数极限：函数极限是数列极限的一种推广。
通过将函数的自变量限制在一组无限逼近的数值上，可以研究函数在特定点的极限值。
2. 近似计算：利用数列极限的性质，可以通过有理逼近法近似计算无理数，如计算π的值等。
3. 经济学模型：经济学中的一些模型可以用数列来表示，通过分析数列的极限，可以研究经济模型的稳定性和变化趋势。
4. 物理学问题：在物理学中，数列的极限可以用于描述粒子的运动趋势和变化规律，如速度、加速度等。
数列的极限知识点归纳总结
数列的极限知识点归纳总结数列的极限是高中数学中重要的概念之一，它在解析几何、微积分等数学领域中起着重要的作用。
本文将对数列的极限进行知识点归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定义和概念1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数的集合。
数列可以用公式表示，常用的表示方式为{an}或{an}∞n=1。
2. 数列的极限定义：对于数列{an}，如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε，那么称数列{an}的极限为a。
3. 数列的收敛和发散：如果数列{an}存在极限，称该数列收敛；否则，称该数列发散。
二、极限的性质1. 极限唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：对于收敛数列{an}，存在一个正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M。
3. 夹逼定理：如果{an} ≤ {bn} ≤ {cn}，并且lim an = lim cn = a，那么lim bn = a。
4. 四则运算法则：若数列{an}和{bn}收敛，并且lim an = a，lim bn = b，则有以下运算结果：- lim(an ± bn) = a ± b- lim(an · bn) = a · b- lim(an / bn) = a / b (b ≠ 0)三、重要的数列极限1. 常数数列：对于常数c，数列{an} = c（n为正整数）的极限为c。
2. 等差数列：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，极限为lim an = a1。
3. 等比数列：对于等比数列{an} = a1 · q^(n - 1)，其中a1为首项，q为公比，当|q| < 1时，极限为lim an = 0；当|q| > 1时，极限不存在。
4. 幂函数数列：对于幂函数数列{an} = n^p，其中p为实数，当p >0时，极限为正无穷大；当p < 0时，极限为0。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
高中数学数列极限的概念及相关题目解析
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
21-1数列极限的定义、性质讲解
xn0
x1
a x2
x3
x
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n 1 n ( 1) n 1 1 证 xn 1 n n
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n 1 n ( 1) n1 1. 就有 1 即 lim n n n
x n 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
2018/10/23
8
x n 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 ,由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 给定 , 1000
只要 n 1000时,
1 有 xn 1 , 1000
1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
2018/10/23 9
极限的定义 如果对于任意给定的正数 (不论它 多么小 ), 总存在正数 N , 使得对于 n N 时的一 切 x n ,不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列 x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
2018/10/23 15
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
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• 3.一般地，N与任意给定的有关， 取得
越小，相应地N就越大，如果N存在，这 样地N不唯一。
2021/3/22
13
N定义 :
lim
n
xn
a
0
0, 对N，n0
N,
有|
xn0
a
|
成立
0
几何解释:
a 0
2
a 0
存在某xn00
x1
a x N 2
x2
x3
0，对任意N , 存在n0
2021/3/22
32
例2.证明下列极限
1.证明：lim n2 a2 1
n
n
2.证明：lim n
2n 9n3
1 7
0
3.lim (0.999 99) 1 n n
2021/3/22
33
例3证明极限
2n 1
2
lim
.
n 3n 2
3
lim 2n 1 2 .
n
n
lim 100n 0 n n!
c, 则总存在正整数N ,
当n N时,不等式xn c成立.
特别地,若 lim n
xn
a, a
0, 存在正整数N ,
当n N时,有xn 0.
2021/3/22
29
2、唯一性 定理2 收敛数列的极限必唯一.
证：
设
lim
n
xn
a,
又
lim
n
xn
b,
由定义,
0, N1, N2,使得, 当n N1时, 恒有 xn a ;
证明的方法是从分析 |xna|< 出发，找出 Ф(n) 与 的关系：ε > Ф(n) ,解出 N适合不等式。
由于N 不唯一，故可把 |xna| 适当放大，得到一 个新的不等式，再找 N。
2021/3/22
24
二、数列极限的性质：
1. 保序性：
定理1
设lim n
xn
a,
lim
n
yn
b,且a
b.
则 N ,n N : xn yn .
n 1,2,3,则称 M是数列{xn }的上界,若 m R,
使 xn m n 1,2,,则称 m是数列xn的下界,
一个数列 {xn }既有上界又有下界，则称之为. 有界数列，否则，称之为无界数列.
显然，{xn }有界 X 0,使 xn X ,n 1,2,3
2021/3/22
31
定理4 收敛数列必有界.
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
2021/3/22
11
注意：
1.不等具式有x任n 意a性和刻稳划定了性x的n与双a重的意无义限。接近;
的任意性刻划了xn与A无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取定，它就 确定了，这样用静态的形式|xnA|< 来
表示xn无限接近于A的动态过程。
2021/3/22
12
• 2.N用来刻划n的增大程度，定义中n>N表 明了比N大的各项：xN+1，xN+2,...都满足
|xnA|<, xn是否以A为极限，关键是对
当n N2时, 恒有 xn b , 取N maxN1, N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a 2 .
上式仅当 a b 时才能成立.
故收敛数列的极限必唯一
2021/3/22
30
3、有界性
定义 对数列{xn },若 M R,使 xn M
2021/3/22
34
应用二项式定理
n
(1
yn )n
1
nyn
n(n 1) 2
y2 n
yn n
1
n(n 2
1)
y2 n
即得到
2 n n 1 yn n
于是， 0, 取
N
2
2
,
当n N
时，成立
2
n n1
n
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22
例7
n2 1 1
lim
.
n 2n2 7n 2
证： 0,
n2 1 1 7n 2
即 (a b) / 2 xn (3a b) / 2, (3b a) / 2 yn (a b) / 2,
yn (a b) / 2, (a b) / 2 xn ,同时成立
从而,当n N时, 有xn yn 成立,
2021/3/22
26
推论1(保序性)
若
lim
n
xn
a, lim n
多么小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一
切 xn,不等式 xn a 都成立,那末就称常数a
是数列
x
的极限,或者称数列
n
xn收敛于a
,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
2021/3/22
10
N定义 :
lim
n
xn
a
0, N 0,使n N时, 恒有 xn a .
第二章 极限与连续
一、数列的极限及性质、存在准则 二、函数的极限 三、函数的连续、闭区间上连续函
数的性质
2021/3/22
1
(一)、数列极限的定义和性质
一．概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
2021/3/22
播放 2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
播放 7
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
2021/3/22
8
xn 1
(1)n1 1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
x
N时,
使点 xn0 落在 (a 0 , a 0 )外,
2021/3/22
14
例1 证明 lim n (1)n1 1.
n
n
证
xn 1
n (1)n1 1
n
1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或n 1 ,
所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
yn
b,且存在正整数N ,
当n N时,不等式 xn yn成立,则a b.
特别地,若 lim n
xn
a,且存在正整数N ,
当n N时,有xn b,则a b.
证明:(反证法)
反设有a<b,则由定理1,存在N,
当n>N时,不等式xn yn成立, 这与条件矛盾. 特别情况类似可证.
2021/3/22
若数列｛ x n ｝满足
x1 x 2
xn ,
则称为单调递减数列.
２．有界数列：对于数列｛ xn｝，若存在 M>0， 使︱ xn ︱≤M,则称数列为有界的．否则称数 列为无界的．
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6
2.数列极限的定义 观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势.
n
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27
注意:在xn yn的情况,可能有a=b成立.
推论2(保号性)
若 lim n
xn
a, 且a
b,则总存在正整数N,
当n N时, 不等式xn b成立.
特别地,若 lim n
xn
a, a
0, 存在正整数N,
当n N时,有xn 0.
2021/3/22
28
推论3(保号性)
若
lim
n
xn
a, 且a
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17
定义 极限为0的数列称为无穷小量 .
lim
n
xn
a
{ xn
a}
是无穷小量
.
例如：
qn 1时，{qn }是无穷小量 .
注意：不能把无穷小量理解为很小的量。
2021/3/22
18
例4
设xn
0,且 lim n
xn
a
0,
求证 lim n
xn
a.
证
任给 0,
lim n
xn
a,
1
注：定理1的逆命题不成立，如
xn
n
与
2 yn n
2021/3/22
25
证 xn a, yn b,(n ) 取 (a b) / 2, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
xn
a.
xn a xn a
xn a a
1 a
2021/3/22
19
例5 证明：
设 a 1,证明lim n a 1 . x
令 n a 1 yn , yn 0 (n 1,2,)