计算机图形学-图形变换与裁剪-二维线段裁剪
计算机图形学-二维图形变换与裁剪ppt课件
基本几何变换——比例变换
比例变换是指对P点相对于坐标原点沿x方向放 缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。 其中Sx和Sy称为比例系数。
Y
P'(4,3) P(2,1)
X
比例变换(Sx=2,Sy=3)
以坐标原点为缩放参照点 不仅改变了物体的大小和形状，也改变了位置(离原点的距离 )
19
基本几何变换——比例变换
21
基本几何变换——旋转变换
二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度 （逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’ 的重定位过程。
P' r θ r
α
图 旋转变换
22
Y
P X
基本几何变换——旋转变换
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P' r P X
推导: α x r cos y r sin 极坐标: 逆时针旋转θ 角
P P T
27
规范化齐次坐标——平移变换矩阵
平移：
x 'y ' x y T xT y
1 0 0 x' y' 1x y 1 0 1 0 T T 1 x y
28
规范化齐次坐标——比例变换矩阵
比例:
S 0 x x ' y ' x y 0 S y
16
基本几何变换——平移变换
平移 将P点从一个坐标位置 移到另一个坐标位置的 重定位过程。
T P Tx
P' Ty
Y
X
图 平移变换
17
基本几何变换——平移变换
推导：
x' x Tx y ' y Ty
计算机图形学二维图形的裁剪
垂直并指向屏幕里面，即右手坐标系中Z轴的负方向。 反过来，如果P在该边界线的左边(即外侧)，这时AB×AP的方向与X-
Y平面垂直并指向屏幕外面，即右手坐标系中Z轴的正方向。 设：点P(x，y)、点A(xA，yA)、点B(xB，yB)， 向量AB={(xB-xA)，(yB-yA)}， 向量AP={(x-xA)，(y-yA)}， 那么AB×AP的方向可由下式的符号来确定：
依次下去，相对于第三条、第四条边界线进行裁剪，最后输出的多边 形顶点序列即为所求的裁剪好了的多边形。如下图所示。
7.3.1 Sutherland-Hodgeman多边形裁剪
新的多边形顶点序列产生规则： 在用窗口一条边界及其延长线裁剪一个多边形时，该边界线把平面分
成两个部分：一部分称为边界内侧；另一部分称为边界外侧。 如下图所示,依序考虑多边形的各条边。假设当前处理的多边形的边为
V=(xB-xA)·(y-yA)-(x-xA)·(yB-yA)
(3-14)
因此，当V≤0时，P在边界线内侧； 而V>0时，P在边界线外侧。
练习
Sutherland-Hodgeman多边形裁剪中，常用向量叉积法来测试当前点P是 否在边界内侧。已知窗口边界A(30,100)、B(40,180)，某点P(50, 300),请 问点P在边界内侧吗？
7.3 多边形的裁剪
多边形裁剪的常用算法 1．Sutherland-Hodgeman多边形裁剪 2．Weiler－Atherton任意多边形裁剪
7.3.1 Sutherland-Hodgeman多边形裁剪
Sutherland-Hodgman算法也叫逐边裁剪法，该算法是萨瑟兰德 (I．E．Sutherland)和霍德曼(Hodgman)在1974年提出的。这种算法采用了 分割处理、逐边裁剪的方法。 一、Sutherland-Hodgeman多边形裁剪算法思想：
计算机图形学第6章二维图形的裁剪
• 重点：掌握二维图形点、线段、多边形和字符的裁剪算法 。
• 难点：理解二维图形的裁剪算法思想并且用C语言进行算法 的实现。
一、裁剪的意义 为了描述图形对象，我们必须存储它的全部信息，但有时为了达到分 区描述或重点描述某一部分的目的，往往将要描述的部分置于一个窗口内， 而将窗口外的部分“剪掉”，这个处理过程叫做裁剪，裁剪在计算机图形 处理中具有十分重要的意义。 裁剪实质上是从数据集合中抽取信息的过程，这个过程是通过一定的 计算方法来实现。
7.2.2 中点分割算法
二、中点分割算法实现： 1、将直线的两端点P1、P2编码得：C1、C2； 2、判别 根据C1和C2的具体值，可以有三种情况： （1）C1＝C2＝0，表明两端点全在窗口内，因而整个线段也在窗内， 应予保留。 （2）C1&C2≠0（两端点代码按位作逻辑乘不为0），即C1和C2至少 有某一位同时为1，表明两端点必定处于某一边界的同一外侧，因而整个线 段全在窗外，应予舍弃。 （3）不属于上面两种情况，均需要求交点。
如果上面四个不等式中任何一个不满足，则点（x，y）位于窗口之 外。 对于任意多边形窗口，需要根据多边形内点的判别准则进行判断。
7.2 线段的裁剪
直线段的裁剪比点复杂，其裁剪方法又是多边形裁剪和三维图形裁剪的 基础。 一、直线裁剪的基本思想 判断直线与窗口的位置关系： 1．确定直线是完全可见； 2．部分可见； 3．还是完全不可见。 对部分可见线段，求出它与窗口边界的交点，并将窗口内的线段输出。
一、中点分割算法思想： 1、中点公式
7.2.2 中点分割算法
2、中点分割法求交点的规则 如图中所示，当线段P1P2求出中点P后，舍弃线段的哪部分，由下面 两条规则决定：
中点分割法求交点规则
计算机图形学中的二维裁剪算法研究
计算机图形学中的二维裁剪算法研究计算机图形学研究的是如何在计算机上制图，根据研究对象的不同又分为二维图形学和三维图形学。
二维图形学研究的范畴是点，线，面。
本文就是介绍计算机图形学中的众多基本算法之一的二维剪裁算法。
在二维剪裁算法中，椭圆形窗口线剪裁算法又是应用最为广泛的算法之一，所以将是本文重点论述的对象。
标签：计算机图形学；二维剪裁算法；椭圆形窗口线剪裁算法计算机图形学中的基本算法对于计算机图形学应用于实践有着重要的作用，而且算法需要时时更新才能够发挥出计算机图形学在实践中的作用。
本文对计算机二维剪裁算法进行介绍，并对其中的椭圆窗口线剪裁算法进行着重的研究分析，探讨如何使该算法更加的稳定高效，方便易行。
算法可以指导人们的工作与生活，所以笔者在本文通过坐标分析设计出一个算法以供读者参考。
1 二维剪裁算法的基本介绍剪裁算法是计算机图形学中的基础算法之一。
剪裁在日常生活和工作中的应用十分广泛，最典型的一个应用就是对整体场景中的局部目的物进行剪裁。
剪裁的过程其实就是将场景中的目的物标记圈出来，一般为矩形窗口框圈出。
矩形窗口框为闪动的虚线框，可以根据剪裁的目的物大小随意变换矩形框的大小。
此外具体说来，剪裁算法还有其他的形式。
如：点剪裁，线段剪裁，多边形剪裁，曲线及文字剪裁等。
现在笔者再详细介绍二维剪裁算法。
二维剪裁算法分为两种，一种是对线段的剪裁，一种是对多边形的剪裁。
因为线段和多边形往往是二维平面中的图形，故而使用二维剪裁算法对其进行剪裁。
目前对该领域的研究已经取得了很丰硕的成果，已经有很多成熟也高效实用的二维剪裁算法。
详细地来说，这些经典的算法有Cyrus—berk二维剪裁算法，Cohen—Sutherland二维多边形剪裁算法等等。
2 椭圆形窗口线剪裁算法的简介在计算机图形学中，椭圆形窗口线剪裁算法是十分重要的一种基础算法。
该算法之所以十分重要，笔者总结为两点原因：首先椭圆形是几何图形中最基础的图形之一，其次在我们的日常生活和工作当中有很多地方的剪裁工作是更适合椭圆形的（我们生活与工作之中，很少有标准的圆形目的物去剪裁，更多情况下是不规则的图像剪裁，而椭圆形可以更好的，更多的剪裁出合适的目的物）。
二维线裁剪主要方法
二维线裁剪主要方法在计算机图形学领域，二维线裁剪是一项重要的技术，它被广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计和游戏开发等方面。
二维线裁剪的主要任务是通过对线段进行裁剪，将不在指定区域内的线段部分删除，从而实现对图形的简化和优化。
在本文中，将介绍二维线裁剪的主要方法，包括Cohen-Sutherland算法、Liang-Barsky算法和梁友栋-差值判断算法，通过对这些方法的介绍，读者可以更加全面地了解二维线裁剪的原理和实现。
Cohen-Sutherland算法Cohen-Sutherland算法是一种用于二维线裁剪的经典算法，它将裁剪区域划分为九个部分，分别对应于裁剪区域的内部、上下左右和四个角落。
在进行裁剪时，首先对线段进行编码，然后根据编码结果和裁剪区域的编码进行比较，通过判断编码结果的变化来确定线段是否在裁剪区域内，如果线段完全在裁剪区域内，则保留整条线段；如果线段完全在裁剪区域外，则删除整条线段；如果线段跨越裁剪区域边界，则对线段进行裁剪，得到部分在裁剪区域内的线段。
Liang-Barsky算法Liang-Barsky算法是另一种常用的二维线裁剪算法，它通过参数化的方式对线段进行裁剪。
算法首先计算线段与裁剪区域边界的交点，并根据线段在裁剪区域内的参数化表示来确定线段的裁剪结果。
通过参数化的方式，Liang-Barsky算法能够高效地计算出线段与裁剪区域的交点，并对线段进行裁剪，从而实现对线段的快速剪裁。
梁友栋-差值判断算法梁友栋-差值判断算法是一种基于差值判断的二维线裁剪算法，它通过计算线段与裁剪区域边界的差值来判断线段的裁剪结果。
算法首先计算线段与裁剪区域的交点，并根据线段在裁剪区域内的差值来确定线段的裁剪结果。
通过差值判断的方式，梁友栋-差值判断算法能够高效地计算出线段与裁剪区域的交点，并对线段进行裁剪，从而实现对线段的快速剪裁。
总结以上介绍了三种常用的二维线裁剪算法，它们分别是Cohen-Sutherland算法、Liang-Barsky算法和梁友栋-差值判断算法。
二维变换和裁剪
5.2 二维图形基本几何变换矩阵
5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.2.5 平移变换矩阵 比例变换矩阵 旋转变换矩阵 反射变换矩阵 错切变换矩阵
5.2 二维图形基本几何变换矩阵
二维图形基本几何变换是指相对于坐标原 点和坐标轴进行的几何变换，包括平移、比例、
旋转、反射和错切五种变换。本节以点的二维
x ' x Tx y' y Ty
P’
P
Tx
1 2 3 4 5
Ty
O
6
x
图5.1 平移变换
相应的齐次坐标矩阵表示为：
x'
y ' 1 x Tx
y T y 1 x
1 y 1 0 Tx
0 1 Ty
0 0 1
因此，二维平移变换矩阵为：
p q s
则二维几何变换公式为，可以写成：
x'1 x' 2 x' n 1 x1 y1 1 x a b y'2 1 2 y 2 1 c d l m y' n 1 xn y n 1 y '1 p q s
a11b13 a12b23 a13b33 a 21b13 a 22b23 a 23b33 （5-1） a n1b13 a n 2 b23 a n3b33
由线性代数知道，矩阵乘法不满足交换律，只有左矩 阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。 特别地，对于二维变换的两个3×3的方阵A和B，矩阵 相乘公式为：
a11b11 a12b21 a13b31 a11b12 a12b22 a13b32 a b a b a b a 21b12 a 22b22 a 23b32 21 11 22 21 23 31 a n1b11 a n 2 b21 a n3b31 a n1b12 a n 2 b22 a n3b32
计算机图形学之裁剪算法
窗口特别小的场合。
2、中点裁剪法
中点分割裁剪法是将Cohen-Sutherland 算法中求线段与窗口边界的交点的过程用折 半查找（即求中点）的方法来代替。仍然采 用对线段端点进行编码的方式判断完全可见 和显然完全不可见的线段，对于与窗口有交 点的线段，该算法分别求离两个端点最近 （或最远）的可见点。这两个可见点之间的 线段即是原线段的可见部分。
计算P1P2的最近可见点Pma和 Pmb ： （一）直线段P1P2的一个端点可见， P1 另一个端点不可见。 只需解算不可见端点的最近的 可见点。 1）设P1不可见，计算P1P2的中点Pm1。
P1
pm
P2
P2
判断中点Pm1如果落在（接近）窗口边上，则 确定该中点为最近可见点。裁剪结束。否则，
2）判断Pm1是否可见： 如果Pm1可见，以Pm1取代P2 ，返回到 1）计算 P1Pm1的中点Pm2，判断Pm2 如果Pm1不可见，以Pm1取代P1 ，返回到 1）计 算Pm1P2的中点Pm2，判断Pm2
关键： 根据多边形的边表，逐 次对每一段边与裁剪线 (窗口边直线)比较，判 别输入顶点的个数和坐 标，并联结成封闭多边 形。
不可见侧
2
多边形边与裁剪线相对位置的四种
情况与处理方法： (1) 位于可见一侧：输出终点作 为新多边形顶点 (2) 位于不可见一侧：不输出 (3) 由可见到不可见：输出与裁剪
P2
两种线段裁剪算法的比较
Cohen-Sutherland算法是最早的、使用最广泛的线
段裁剪算法之一。在裁剪窗口很大，大部分线段完全
可见，或裁剪窗口很小，大部分线段完全不可见的情 况下，该算法特别有效；在一般情况下，该算法有时 要做不必要的求交运算，因而效率不是太高.
计算机图形学 二维裁剪算法Cohen_Sutherland的实现
实验六二维裁剪算法Cohen_Sutherland的实现一、实验目的：理解并掌握直线裁剪算法。
使用Visual C++实现二维直线的裁剪的Cohen_Sutherland算法。
对窗口进行编码，并实现相应的裁剪函数。
二、实验内容及要求：1、要求用消息映射的方式，绘制出一个裁剪窗口，大小为200×150象素；2、按照例程的步骤画出3条典型线段，分别对应于完全在裁剪窗口内、完全在裁剪窗口外、穿过裁剪窗口三种情况，并按照本实验例程的方法用颜色分别表示出裁剪后的情况；3、按要求撰写实验报告，写出实验心得，并在实验报告中附上程序的核心算法代码。
三、实验设备：微机，Visual C++6.0四、实验内容及步骤：1、打开VC，新建一个MFC Appwizard项目，选择创建单文档工程（SDI工程）。
假设工程名为Clip。
如图1和图2所示。
图1图22、在图2的界面上点击Finish，完成工程的创建。
3、在视图类ClipView中定义变量CRect rect; 用于记录裁剪窗口的位置；4、在ClipView.cpp文件中定义四个宏，记录裁剪窗口的上下左右四个位置：#define LEFT 100#define RIGHT 300#define TOP 150#define BOTTOM 3105、在视图类的构造函数中为rect赋值；CClipView::CClipView(){// TODO: add construction code hererect = CRect(LEFT, TOP, RIGHT, BOTTOM);}6、在视图类（类CFillView中）的OnDraw()函数中绘制裁剪矩形，OnDraw函数的代码如下：void CClipView::OnDraw(CDC* pDC){CClipDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data herepDC->Rectangle(&rect);}7、在视图类（类CFillView中）添加成员函数int Encode(int x, int y)，该函数用于对线段的两个顶点进行Cohen_Sutherland编码。
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❖ 顺序连接。 几点说明： 裁剪算法采用流水线方式，适合硬件实现。 可推广到任意凸多边形裁剪窗口
32
Sutherland-Hodgman算法-4/4
存在的问题
❖ 逐边裁剪要求裁剪窗口为凸多边形，那么凹多边形窗口怎么办？
❖ 逐边裁剪法对凹多边形裁剪时，裁剪后分裂为几个多边形， 这几个多边形沿边框产生多余的线段？
裁剪算法的线段可见性测试方法，直至找到每段线段与窗口边界线的 交点或分割子段的长度充分小可视为一点为止
❖ 取中点Pm=(P1+P2)/2。
P2
P2
P1
从P1点出发找距P1最近的可见点
Pm
P1
用P1Pm代替P1P2
P2 Pm
P1
用PmP2代替P1P2
18
1.直线段裁剪(13/18) 中点分割法
❖ 优点：
裁剪结果区域的边界由两部分构成：
1. SP的部分边界
2. CP的部分边界
且在交点处，边界发生交替
即由SP边界转至CP边界
或由CP边界转至SP边界
36
Weiler-Atherton算法-4/7
如果SP与CP有交点，则交点成对出现，
它们被分为如下两类：
❖进点：SP边界由此进入CP
如，I1,I3, I5, I7, I9, I11
当前裁剪边
当前裁剪边
当前裁剪边
当前裁剪边
可见一侧 Pi+1
可见一侧
可见一侧
可见一侧
Pi
Pi+1
Pi I
Pi
Pi+1
Pi+1
Pi
I
窗口
(a) 输出Pi+1
窗口
(a) 无输出
窗口
(a) 输出I
窗口
(a) 输出I和Pi+1
线段与当前裁剪边的位置关系
31
Sutherland-Hodgman算法-3/4
❖ 裁剪结果的顶点构成：
29
Sutherland-Hodgman算法-1/4
❖ 分割处理策略：
将多边形关于矩形窗口的裁剪分解为多边形关于窗口四边所 在直线的裁剪。
❖ 流水线过程(左上右下)：左边的结果是右边的开始。
亦称逐边裁剪算法
30
Sutherland-Hodgman算法-2/4
内侧空间与外侧空间 多边形的边与半空间的关系
待裁剪线段：
P0 (x0 , y0 )P1(x1, y1)
❖ 前提：任何平面线段在凸多边形窗口进行 裁剪后，落在窗口内的线段不会多于1条。
6
1.直线段裁剪(5/18)
❖ 待裁剪线段和窗口的关系
1. 完全落在窗口内, 2. 完全落在窗口外, 3. 部分在内，部分在外.
7
5.5 二维线段裁剪
1 直线段裁剪
➢ 逐个端点判断其编码
ClCtCrCb中各位是否为 “1”，若是，则需求交。
➢ 最坏情形：
线段求交四次。
15
1.直线段裁剪(12/18)
Cohen-Sutherland 算法
1）特点： 用编码方法可快速判断线段-—— 完全可见 或 完全不可见。
2）特别适用两种场合： ① 大窗口场合； ② 窗口特别小的场合
原图
5
9
4
对左 10
边裁 1
8
32
98 4
10
1
7
3
2
6
对顶 4 9 8
5
边裁 10
7
1
7
6
32
对右 边裁
5
对底 4 9 8
5
边裁 10
6
1
7
6
3
2
Demo
33 图6 逐边裁剪法对凹多边形裁剪时可能出现的问题
Weiler-Atherton算法-1/7
裁剪窗口为任意多边形（凸、凹、带内环）的情况：
主多边形：被裁剪多边形，记为SP 裁剪多边形：裁剪窗口，记为CP
2 多边形裁剪
Sutherland_Hodgman算法 Weiler-Atherton算法
26
2.多边形裁剪（Ploygon clipping）-1/3
❖ 错觉：多边形裁剪是直线段裁剪的组合？
❖ 新的问题：
A B
A B
图1 因丢失顶点信息而去法确定裁剪区域
图2 原来封闭的多边形变成了孤立的线段
第五章 图形变换与裁剪（三） 5.5 二维线段裁剪
1
5.5 二维线段裁剪
1 直线段裁剪
直接求交算法 Cohen-Sutherland算法 中点分割裁剪算法 梁友栋-Barsky算法
2 多边形裁剪
Sutherland_Hodgman算法 Weiler-Atherton算法
2
1.直线段裁剪(1/18)
34
Weiler-Atherton算法-2/7
❖ 约定：
SP与CP均用它们顶点的环形链表定义
外边界取顺时针方向 内边界取逆时针方向 使得沿多边形的边走动，
其右边为多边形的内部。
C2 C8
C5
I2
I7
C1
I1
I8
C3
C7
I3
I4
I6
I5
C6
C4
35
Weiler-Atherton算法-3/7
❖ SP和CP把二维平面分成两部分。 ❖ 内裁剪：SP∩CP ❖ 外裁剪：SP-CP
❖ 所以也称为编码裁剪算法
❖ 端点编码：
定义为它所在区域的 编码
❖ 快速判断“完全不可见” 线段两端点编码的逻 辑“与”运算结果非 零 ，则完全不可见。
14
1.直线段裁剪(11/18)
Cohen-Sutherland 算法
对于那些部分可见又部分不可见的线段，需要 求交，求交前先测试与窗口哪条边所在直线有交？
4. 结束 裁剪过程是递归的。
12
1.直线段裁剪(9/18)
Cohen-Sutherland 算法
❖ 关键问题：
如何快速判别 完全可见 和 完全不可见 线段？
❖ 解决方法 —— 编码：
由窗口四条边所在直线把二维平面分成9个区域，每个 区域赋予一个四位编码，CtCbCrCl，上下右左；
Ct
1
0
,
❖ 裁剪（clipping）的目的
判断图形元素是否在裁剪窗口之内并找出其 位于内部的部分
❖ 裁剪处理的基础
图元关于窗口内外关系的判别 图元与窗口的求交
❖ 裁剪与覆盖的区别
3
1.直线段裁剪(2/18)
❖ 裁剪窗口
矩形、圆形、一般多边形
❖ 被裁剪对象
线段、多边形、曲线、字符
❖ 设计裁剪算法的核心问题
效率高，速度快
直接求交算法 Cohen-Sutherland算法 中点分割裁剪算法 梁友栋-Barsky算法
8
1.直线段裁剪(6/18)
直接求交算法
直线与窗口边都 写成参数形式， 求参数值。
9
5.5 二维线段裁剪
1 直线段裁剪
直接求交算法
Cohen-Sutherland算法
中点分割裁剪算法 梁友栋-Barsky算法
ymax P4
P3
B
U
S
ymin P1
A
T
L xmiRn
P2 xmax
AS是一维窗口TS中的可见部分
21
1.直线段裁剪(15/18)
❖ ❖
当当QQ为不L空为ia集空n时集g，时-B线，a段Qr可AsB看k不成y可是裁能一剪在个窗一算口维法中窗有口可见线段。
❖ 直线L与区域的交：
Q L 口P1P2P3P4 L [xmin, xmax;,] [,; ymin, ymax]
❖ 存在可见线段的充要条件 AB Q 即 AB RS TU 不为空集 。
ymax P4
P3
B
U
S
ymin P1
A
T
L xminR
P2 xmax
ymax P4
ymin P1
A
T
L xmiRn
P3
B
U
S
Q RS TU
P2
xmax 23
1.直线段裁剪(17/18)
Liang-Barsky裁剪算法
Cohen-Sutherland 算法
算法步骤：
1. 判别线段两端点是否都落在窗口内，如果是，则线 段完全可见，转至第4步；
2. 判别线段是否为显然不可见，如果是，则裁剪结束， 转至第4步 ；
3. 求线段与窗口边延长线的交点，这个交点将线段分 为两段，其中一段显然不可见，丢弃。对余下的另 一段重新进行第1步处理，
ymax P4
U
R
P3
B
U
S
❖
RS,AB,
TU三条线段的交集的端点坐标 ymin
P1
❖ 等价于求三条线段的
A
P2
TT S
左端点的最大值，右端点的最小值
L
R xmin
xmax
AS是一维窗口TS中的可见部分
❖ 向x轴投影，得到可见线段端点的 x 坐标变化范围
max[ xmin , min( xA , xB ), min( xT , xU )] x min[ xmax, max( xA , xB ), max( xT , xU )]
,
y ymax else
Cb
1 0
, y ymin else
1 Cr 0
, x xmax else
Cl
1 0
, x xmin else
1 0 01 1 0 0 0 0 0 01 00 0 0 01 01 0100