第8章 点阵常数及晶粒尺寸的测定.ppt
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点阵常数的精确测定共29页PPT
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
点阵常数的精确测定
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
45、自己的饭量自己知道。——苏联
点阵参数测定
布氏 硬度
0.07 0.037 0.022 0.015
X射线衍射法测点阵常数的原理
立方晶系物质：
λ H +K +L a= 2 2sin θ
2 2
2
波长λ是经过精确测定得到的，有效数字达五位以上， 如CuKα1辐射的波长为1.54060埃。可近似认为无误差。
干涉指数是整数，也无所谓误差。 点阵参数a的测量精度取决于sinθ的精度。
sin θ =
2
λ2
4d 2
2∆d ∆ sin θ = − 2 ⋅ d 4dห้องสมุดไป่ตู้
2
λ2
∆d = K cos 2 θ d
∆ sin 2 θ = −2 K sin 2 θ cos 2 θ = D sin 2 2θ
D 是常数，这里微分符号用Δ表示。
最小二乘法（柯亨法）
修正后立方系布拉格方程为 ：
sin 2 θ =
I A族碱金属元素的原子间距、熔点、沸点和硬度
金属 元素 Li Na K Rb Cs
结构 类型 bcc bcc bcc bcc bcc
键电 子数 1 1 1 1 1
原子间 距/Å 3.04 3.72 4.62 4.92 5.32
熔点 /℃ 180 97.8 63.3 39 28.4
沸点 /℃ 1342 883 760 686 669
点阵参数的测量精度
点阵参数测量的误差处理
德拜-谢乐法中系统误差的来源 1）相机半径误差 2）底片收缩（或伸长）误差 3）试样偏心误差 4）试样对X射线的吸收误差 5）X射线折射误差 消除德拜-谢乐法中系统误差的校正方法 1）采用精密实验技术 采用不对称装片法，将试样轴高精度地对准相机中心，采用直径更大 的相机，保证曝光时间的温度。 2）应用数学处理方法
点阵常数测定
x1y1、x2y2、 ···xnyn, 运用最小二乘法可以 ··· 求得最佳直线截距a和斜率b。
方法如下： 测量值最小误差的平方和表达式：
2 2 △y2 a bx1 y1） a bx2 y2） （ （
依最小二乘法原理，最佳直线是使误差的平方和为最小的 2 直线，使 △y 为最小值的条件是：
4.4.1 原理
点阵参数是晶体物质的重要参数，它随物 质的化学成分和外界条件（温度和压力）而 变化。在金属与合金材料的研究过程中所涉 及到的许多理论和实际应用问题，如晶体物 质的键合能、密度、热膨胀、固溶体类型、 固溶度、固态相变、宏观应力等都与点阵常 数变化密切相关。
测量衍射图相上各条衍射线的 位置2θ值，然后利用布拉格方程 和各个晶系的面间距公式，求出 该晶体的点阵常数。
△sin 2 Dsin cos
2 2 2
D为常数
各条衍射线的观察值 sin 有一定误差 D sin 2 2 ，将误差加到平方形式的布拉格 方程中去， 2 2 2 2 2 2 sin 2 h k l ） Dsin 2 （ 对立方晶系 4a0
2
A C
a=a0±bcos2θ
b——常数
如果以cos2θ为自变量，a为因变量，上式为一直线 方程。 a H 2 K 2 L2 根据各条衍射线测得的θ带入 2sin
计算点阵常数，然后作a与 推到 cos 2 ＝ 0。
cos
2
的图解，并外
具体作法，以点阵常数a为纵坐标， cos 2 坐标作图
5.1 5.0
4.5 4.3 1.2
(620) α2
80.601
2
40
2 2
0.97332
方法如下： 测量值最小误差的平方和表达式：
2 2 △y2 a bx1 y1） a bx2 y2） （ （
依最小二乘法原理，最佳直线是使误差的平方和为最小的 2 直线，使 △y 为最小值的条件是：
4.4.1 原理
点阵参数是晶体物质的重要参数，它随物 质的化学成分和外界条件（温度和压力）而 变化。在金属与合金材料的研究过程中所涉 及到的许多理论和实际应用问题，如晶体物 质的键合能、密度、热膨胀、固溶体类型、 固溶度、固态相变、宏观应力等都与点阵常 数变化密切相关。
测量衍射图相上各条衍射线的 位置2θ值，然后利用布拉格方程 和各个晶系的面间距公式，求出 该晶体的点阵常数。
△sin 2 Dsin cos
2 2 2
D为常数
各条衍射线的观察值 sin 有一定误差 D sin 2 2 ，将误差加到平方形式的布拉格 方程中去， 2 2 2 2 2 2 sin 2 h k l ） Dsin 2 （ 对立方晶系 4a0
2
A C
a=a0±bcos2θ
b——常数
如果以cos2θ为自变量，a为因变量，上式为一直线 方程。 a H 2 K 2 L2 根据各条衍射线测得的θ带入 2sin
计算点阵常数，然后作a与 推到 cos 2 ＝ 0。
cos
2
的图解，并外
具体作法，以点阵常数a为纵坐标， cos 2 坐标作图
5.1 5.0
4.5 4.3 1.2
(620) α2
80.601
2
40
2 2
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XRD的原理及应用ppt课件
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三、X射线衍射方法
• X 射线的波长较短, 大约在10- 8~ 10- 10cm 之间。与晶体中的原子间距数量级相同, 因 此可以用晶体作为X 射线的天然衍射光栅, 这就使得用X射线衍射进行晶体结构分析成 为可能。在研究晶体材料时，X射线衍射方 法非常理想非常有效，而对于液体和非晶 态物固体，这种方法也能提供许多基本的 重要数据。所以X射线衍射法被认为是研究 固体最有效的工具。在各种衍射实验方法 中，基本方法有单晶法、多晶法和双晶法。
衍射），已成为近代X射线衍射技术取得突出成 就的标志。但在双晶体衍射体系中，当两个晶体 不同时，会发生色散现象。因而，在实际应用双 晶衍射仪进行样品分析时，参考晶体要与被测晶
体相同，这使得双晶衍射仪的使用受到限制。
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24
四、X射线衍射的应用
• X射线衍射技术发展到今天, 已经成为最基 本、最重要的一种结构测试手段, 其主要应 用主要有物相分析 、 精密测定点阵参数、 应力的测定、晶粒尺寸和点阵畸变的测定、 结晶度的测定 、 晶体取向及织构的测定
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18
德拜相机
德拜相机结构简单，主 要由相机圆筒、光栏、 承光管和位于圆筒中心 的试样架构成。相机圆 筒上下有结合紧密的底 盖密封，与圆筒内壁周 长相等的底片，圈成圆 圈紧贴圆筒内壁安装， 并有卡环保证底片紧贴 圆筒。
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X射线衍射仪法
• X射线衍射仪法以布拉格实验装置为原型，融合了机械与 电子技术等多方面的成果。衍射仪由X射线发生器、X射 线测角仪、辐射探测器和辐射探测电路4个基本部分组成， 是以特征X射线照射多晶体样品，并以辐射探测器记录衍 射信息的衍射实验装置。现代X射线衍射仪还配有控制操 作和运行软件的计算机系统。
点阵常数的精确测定
X射线测定点阵常数是一种间接方法，它直接测量的是某 一衍射线条对应的θ角，然后通过晶面间距公式、布拉格 公式计算出点阵常数。以立方晶系为例，其晶面间距公
式为： adH 2K 2L 2
根据布拉格公式2dsinθ=λ，则有：
H2K2L2
a
sin
在式中，λ是入射特征X射线的波长，是经过精确测定的，
S
φ =S/4 R
设相机不准造成的半径误 差为ΔR，底片伸缩误差为 ΔS。则由于
R
2θ 2φ
S R SR
S R SR
相机半径误差及底片伸缩误
差导致的角度误差为
R、 S
（SR）
SR
编辑ppt
13
对于立方晶 a系 ： ctg
a
所以， a(SR)( )ctg
a S R2
当θ接近90度时，相机半径误差及底片伸缩误差
编辑ppt
20
数学处理方法
图解外推法 最小二乘法
编辑ppt
21
图解外推法
如果所测得的衍射线条θ角趋近 90°，那么误差（△a/a）趋近 于0。
但是，要获得θ=90°的衍射线 条是不可能的。于是人们考虑 采用“外推法”来解决问题。
所谓“外推法”是以θ角为横坐 标，以点阵常数a为纵坐标；求 出一系列衍射线条的θ角及其所 对应的点阵常数a；在所有点阵 常数a坐标点之间作一条直线交 于θ=90°处的纵坐标轴上，从 而获得θ=90°时的点阵常数， 这就是精确的点阵常数。
编辑ppt
9
对布拉格公式微分，可得:
2 d sin n 2 d cos 2 sin d d ctg d d ctg d 对于立方晶系： d a
da
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2.1点阵常数精确测定及其应用ppt课件
,
3 .43
物相名称
I/Ic
I(Area)
W%
Al
3.62
32793
91.6
MgZn2
3.43
2840
8.4
点阵常数精确测量的应用
7055铝合金不同均匀化温度的析出相结构、硬度、固溶度与点阵常 数的关系
拟合055铝合金不同均匀化温度的析出相结构、硬度、固溶度与点阵常 数的关系
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
❖ 测量数据并读入文件 ❖ 数据平滑、寻峰、搜索/匹配
注意：当样品中含有多个相时，如果只计算主相的点阵常数， 则只标定主相，其它相不要同时标出
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
• 图谱拟合
峰形拟合对宽位、宽度、高 度和面积的计算比一般寻峰 更加精确，进行结构精修和 定量分析、亚晶粒尺寸和微 观应力的计算都是必要的
点阵常数精确测量的应用
7055铝合金不同均匀化温度的析出相结构、硬度、固溶度与点阵常 数的关系
编号 1# 2#
成分
Al-8.2Zn-2.4Mg1.2Cu-0.01Zr
Al-8.2Zn-2.4Mg1.2Cu-0.01Zr
状态
HB
300C24h均匀 90 化
4 5 0 C / 2 4 h 均 130 匀化
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
利用计算机进行外推计算时，无论是简单晶体结构还是 复杂晶体结构，只要先定出相，找出PDF卡片，就能用 一个命令来完成。如Al2O3的点阵常数计算：
实验方法 （D/max 2500 PC+MDI Jade）
❖其它误差的消除 ❖仪器误差 ❖采用标准Si作拟合曲线来消除。在此不作介绍。 ❖温度误差 ❖可以将室温设定在25，在一般情况下可消除 误差。或者作温度误差校正。 ❖关于误差计算的说明 ❖无论如何精确计算，最终结果都是存在误差的， 只不过在同一台设备上多次测量的结果具有同 向误差
点阵常数测定课件
数据对比
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将实验测定的点阵常数与理论值或已知值进行对比，以评 估实验结果的准确性，并找出可能的误差来源。
结果误差分析
01
误差来源识别
02
通过分析实验过程和操作，识别可能导致误差的各种因素，如测量设 备的精度、环境因素、操作误差等。
03
误差传递分析
04
对实验中的各个步骤进行误差传递分析，评估每个步骤对最终结果的 影响程度，为改进实验方法和提高精度提供依据。
点阵常数测定的意义
了解物质的基本结构
点阵常数的测定可以帮助我们了解物质的基本结构，包括原子或分子的排列规 律，这对于理解物质的物理和化学性质至关重要。
指导材料科学研究和应用
通过点阵常数的测定，可以为材料科学研究和应用提供重要的基础数据，例如 在材料合成、性能优化等方面。
点阵常数测定的方法
X射线晶体学
结果可靠性评估
重复性测试
01
输标02入题
为了验证实验结果的可靠性，进行了重复性测试，并 对多次测量的结果进行统计分析，以评估结果的稳定 性和一致性。
03
与其他实验方法或已知数据进行对比，以验证本实验 结果的可靠性。同时，也与理论值进行比较，以评估
实验方法的准确性和适用范围。
04
对比验证
05
点阵常数测定实验注意事项
实验安全注意事项
实验前应检查实验设 备和仪器是否完好， 如有故障应及时报修 或更换。
实验结束后应关闭电 源，整理好实验器材 ，确保实验室整洁有 序。
实验过程中应保持安 静，避免干扰和意外 事故的发生。
实验操作规范
实验前应仔细阅读实验指导书， 了解实验原理、操作步骤和注意
事项。
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将实验测定的点阵常数与理论值或已知值进行对比，以评 估实验结果的准确性，并找出可能的误差来源。
结果误差分析
01
误差来源识别
02
通过分析实验过程和操作，识别可能导致误差的各种因素，如测量设 备的精度、环境因素、操作误差等。
03
误差传递分析
04
对实验中的各个步骤进行误差传递分析，评估每个步骤对最终结果的 影响程度，为改进实验方法和提高精度提供依据。
点阵常数测定的意义
了解物质的基本结构
点阵常数的测定可以帮助我们了解物质的基本结构，包括原子或分子的排列规 律，这对于理解物质的物理和化学性质至关重要。
指导材料科学研究和应用
通过点阵常数的测定，可以为材料科学研究和应用提供重要的基础数据，例如 在材料合成、性能优化等方面。
点阵常数测定的方法
X射线晶体学
结果可靠性评估
重复性测试
01
输标02入题
为了验证实验结果的可靠性，进行了重复性测试，并 对多次测量的结果进行统计分析，以评估结果的稳定 性和一致性。
03
与其他实验方法或已知数据进行对比，以验证本实验 结果的可靠性。同时，也与理论值进行比较，以评估
实验方法的准确性和适用范围。
04
对比验证
05
点阵常数测定实验注意事项
实验安全注意事项
实验前应检查实验设 备和仪器是否完好， 如有故障应及时报修 或更换。
实验结束后应关闭电 源，整理好实验器材 ，确保实验室整洁有 序。
实验过程中应保持安 静，避免干扰和意外 事故的发生。
实验操作规范
实验前应仔细阅读实验指导书， 了解实验原理、操作步骤和注意
事项。
第8章点阵常数
第8章点阵常数
对于点阵参数精确测量方法的研究，人们总是 希望熊获得尽可能高的精确度和准确度。 然而， 从实际应用出发则未必都是如此。高精度测量要求 从实验、测蜂位和数据处理的每一步骤都仔细认真， 这只有花费大量的劳动代价才能取得；对于无需追 求尽可能高的精度时则测量的步骤可作某些简化。 甚至，有时实际试样在高角度衍射线强度很弱或者 衍射线条很少，此时只能对低角衍射线进行测量与 分析。总而言之，在实际应用中应当根据实际情况 和分折目的，选择合适的方法，既不能随意简化处 理；也不许盲目追求高精度。
第8章点阵常数
There are two general approaches to indexing, the exhaustive and the analytical approach. Both of these approaches require very accurate d-spacing data. The smaller the errors, the easier it is to test solutions because there are often missing data points due to intensity extinctions related to the symmetry or the structural arrangement or due to lack of resolution of the d-spacing themselves. The earliest approaches were of the exhaustive type and were done by graphical fitting or numerical table fitting.
2. 系统误差外推函数的选择
对于点阵参数精确测量方法的研究，人们总是 希望熊获得尽可能高的精确度和准确度。 然而， 从实际应用出发则未必都是如此。高精度测量要求 从实验、测蜂位和数据处理的每一步骤都仔细认真， 这只有花费大量的劳动代价才能取得；对于无需追 求尽可能高的精度时则测量的步骤可作某些简化。 甚至，有时实际试样在高角度衍射线强度很弱或者 衍射线条很少，此时只能对低角衍射线进行测量与 分析。总而言之，在实际应用中应当根据实际情况 和分折目的，选择合适的方法，既不能随意简化处 理；也不许盲目追求高精度。
第8章点阵常数
There are two general approaches to indexing, the exhaustive and the analytical approach. Both of these approaches require very accurate d-spacing data. The smaller the errors, the easier it is to test solutions because there are often missing data points due to intensity extinctions related to the symmetry or the structural arrangement or due to lack of resolution of the d-spacing themselves. The earliest approaches were of the exhaustive type and were done by graphical fitting or numerical table fitting.
2. 系统误差外推函数的选择
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在六方晶系中， a=b≠c,α=β=90˚，γ=120˚，同理可证
明： sin2 hkl 2 / 3a2 h2 k 2 l 2 2 / 4c2 l 2 A h2 hk k 2 Bl2
六方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A。
二、衍射线条的指标化 1、衍射线条指标化的意义
衍射线条的指标化就是确定各衍射线所 对应的衍射指数hkl。衍射线条指标化主要用 途： a.点阵常数测定；b.晶粒大小测定; c.试样择优取向研究;d.类质同像研究 e.粉末照片有无杂项存在（物相鉴定） f.“超级结构”研究（固溶体有序化）
2、衍射线条指标化方法有两类： 一类是图解法：适用于立方晶系、四方
（5）单斜晶系
在单斜晶系中， a ≠ b≠c, α=γ=90˚ ≠β，可证明：
sin2 hkl 2 / 4a2 sin2 h2 2 / 4b2 k 2 2 / 4c2 sin2 l 2 2 cos / 2acsin2 hl Ah2 Bk2 Cl 2 Dhl
晶系和六方晶系。不适于低级晶轴。 另一类是分析法，对所有晶系都适用。
3、分析法的基本原理
分析主要是通过理论分析，确定各晶系不同晶 面与sin2θ之间的关系。如果衍射谱线满足某种关 系，则说明就属于该晶系。 （1）立方晶系：a=b=c,α=β=γ=90˚
根据布拉格方程和晶面计算公式有：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 k 2 l 2 A h2 k 2 l 2
同理，可证明：sin2 Ah2 Bk2 Cl2 Dhl hk l
则：
sin
2
hk
l
sin2 hkl
2Dhl
单斜晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式第一式外，不同(h0l)面的sin2θh0l差值之比必然满 足2D:4D:6D:8D:10D=1:2:3:4:5。
精确的晶胞参数数据能够反映一种物质 的不同试样间在结构上的细微差别，或者一 种晶体结构在外界物理化学作用下产生的微 小变化。它有很多重要的应用：如在相图研 究、固溶体研究、晶体的密度、热膨胀系数 的测定、金属材料中应力的测定以及矿物学 类质同相系列研究等方面，均需要精确的晶 胞参数。
一般利用X射线衍射方法，测定物质的晶体 结构，步骤如下： （1）测定晶胞的形状及大小； （2）测定晶胞中的原子数目； （3）测定该物质晶体的点阵类型及对称情况； （4）根据衍射线条的强度，测定晶胞中的原子 位置。
4、X射线指标化分析方法
（1）已知结构
当试样物相、所属晶系和点阵常数已知 时，可将已知点阵常数代入面间距公式， 求出各个(hkl)面对应的d值。然后将计算 的d值与实测各衍射线d值进行比较，而面 间距相同的指数应相同，由此可标出各衍 射线的衍射指数。如下图。
单晶硅的衍射图谱
当物相虽未知，但是属于前人已分析过 的（在粉末衍射数据库中可查到），可找出 该物相的标准卡片，将实测d值与卡片相比较 ，可利用卡片上记录的衍射指数来标定各衍 射线的衍射指数。
（3）四方晶系
在四方晶系中，a=b≠c,α=β=γ=90˚，同理可证明：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 k 2 2 / 4c2 l 2
A h2 k 2 Cl 2
四方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A，但各晶面的 sin2θhk0之比值与六方晶系不同。
（2）未知结构
当试样物相未知，需采用一般的指标化 方法。
以立方晶系为例。
对于一个衍射图谱，必须收集足够多的 衍射线条。因为要区别出简单立方和体心立 方，在一个图谱上至少应有7条衍射线。
立方晶系指标化
对于立方点阵有：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 k 2 l 2 A h2 k 2 l 2
第8章 点阵常数及晶粒尺寸的 测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途 二、衍射线条的指标化 三、点阵常数的精确测定 四、点阵常数精确测定的应用 五、晶粒尺寸的测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途
物质的种类千差万别，即使是同种物质 ，经过不同的制备及加工过程，其晶体结构 也存在较大差别。通过物相分析，可查找实 测衍射线的PDF卡片，但也往往不能完全吻合 ，甚至有时完全找不到合适的卡片与谱线对 应，在此情况下，可以利用衍射谱线来分析 和计算晶体结构参数。
（6）三斜晶系
在三斜晶系中，a ≠ b≠c, α ≠ γ ≠β≠90˚ 。这 类晶体的结构比较复杂，在各（hkl）衍射面 的sin2θhkl值之间很难找到某种关系。根据这一 特点，热能证明某物质的衍射谱线与上述五 种晶系都不符合，而且又找不到各晶面的 sin2θhkl值间的确切关系，则可以判断这种物质 就是三斜晶系的结构。
（4）斜方晶系 在斜方晶系中， a ≠ b≠c,α=β=γ=90˚，同理可
证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 2 / 4b2 k 2 2 / 4c2 l2
Ah2 Bk2 Cl 2
斜方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(h00)面的sin2θh00有公因子A。
立方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，sin2θhkl还有公因子A。
（2）六方晶系和三方晶系
分析晶体学问题时，常将三方晶系归并到六方晶系 中。同时进行矢量转化。
设在三方晶系中，基矢为a3, b3, c3，六方晶系中，基 矢为a, b, c，则a= a3－b3， b＝ b3－c3，c＝ a3+b3+ c3。
明： sin2 hkl 2 / 3a2 h2 k 2 l 2 2 / 4c2 l 2 A h2 hk k 2 Bl2
六方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A。
二、衍射线条的指标化 1、衍射线条指标化的意义
衍射线条的指标化就是确定各衍射线所 对应的衍射指数hkl。衍射线条指标化主要用 途： a.点阵常数测定；b.晶粒大小测定; c.试样择优取向研究;d.类质同像研究 e.粉末照片有无杂项存在（物相鉴定） f.“超级结构”研究（固溶体有序化）
2、衍射线条指标化方法有两类： 一类是图解法：适用于立方晶系、四方
（5）单斜晶系
在单斜晶系中， a ≠ b≠c, α=γ=90˚ ≠β，可证明：
sin2 hkl 2 / 4a2 sin2 h2 2 / 4b2 k 2 2 / 4c2 sin2 l 2 2 cos / 2acsin2 hl Ah2 Bk2 Cl 2 Dhl
晶系和六方晶系。不适于低级晶轴。 另一类是分析法，对所有晶系都适用。
3、分析法的基本原理
分析主要是通过理论分析，确定各晶系不同晶 面与sin2θ之间的关系。如果衍射谱线满足某种关 系，则说明就属于该晶系。 （1）立方晶系：a=b=c,α=β=γ=90˚
根据布拉格方程和晶面计算公式有：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 k 2 l 2 A h2 k 2 l 2
同理，可证明：sin2 Ah2 Bk2 Cl2 Dhl hk l
则：
sin
2
hk
l
sin2 hkl
2Dhl
单斜晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式第一式外，不同(h0l)面的sin2θh0l差值之比必然满 足2D:4D:6D:8D:10D=1:2:3:4:5。
精确的晶胞参数数据能够反映一种物质 的不同试样间在结构上的细微差别，或者一 种晶体结构在外界物理化学作用下产生的微 小变化。它有很多重要的应用：如在相图研 究、固溶体研究、晶体的密度、热膨胀系数 的测定、金属材料中应力的测定以及矿物学 类质同相系列研究等方面，均需要精确的晶 胞参数。
一般利用X射线衍射方法，测定物质的晶体 结构，步骤如下： （1）测定晶胞的形状及大小； （2）测定晶胞中的原子数目； （3）测定该物质晶体的点阵类型及对称情况； （4）根据衍射线条的强度，测定晶胞中的原子 位置。
4、X射线指标化分析方法
（1）已知结构
当试样物相、所属晶系和点阵常数已知 时，可将已知点阵常数代入面间距公式， 求出各个(hkl)面对应的d值。然后将计算 的d值与实测各衍射线d值进行比较，而面 间距相同的指数应相同，由此可标出各衍 射线的衍射指数。如下图。
单晶硅的衍射图谱
当物相虽未知，但是属于前人已分析过 的（在粉末衍射数据库中可查到），可找出 该物相的标准卡片，将实测d值与卡片相比较 ，可利用卡片上记录的衍射指数来标定各衍 射线的衍射指数。
（3）四方晶系
在四方晶系中，a=b≠c,α=β=γ=90˚，同理可证明：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 k 2 2 / 4c2 l 2
A h2 k 2 Cl 2
四方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A，但各晶面的 sin2θhk0之比值与六方晶系不同。
（2）未知结构
当试样物相未知，需采用一般的指标化 方法。
以立方晶系为例。
对于一个衍射图谱，必须收集足够多的 衍射线条。因为要区别出简单立方和体心立 方，在一个图谱上至少应有7条衍射线。
立方晶系指标化
对于立方点阵有：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 k 2 l 2 A h2 k 2 l 2
第8章 点阵常数及晶粒尺寸的 测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途 二、衍射线条的指标化 三、点阵常数的精确测定 四、点阵常数精确测定的应用 五、晶粒尺寸的测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途
物质的种类千差万别，即使是同种物质 ，经过不同的制备及加工过程，其晶体结构 也存在较大差别。通过物相分析，可查找实 测衍射线的PDF卡片，但也往往不能完全吻合 ，甚至有时完全找不到合适的卡片与谱线对 应，在此情况下，可以利用衍射谱线来分析 和计算晶体结构参数。
（6）三斜晶系
在三斜晶系中，a ≠ b≠c, α ≠ γ ≠β≠90˚ 。这 类晶体的结构比较复杂，在各（hkl）衍射面 的sin2θhkl值之间很难找到某种关系。根据这一 特点，热能证明某物质的衍射谱线与上述五 种晶系都不符合，而且又找不到各晶面的 sin2θhkl值间的确切关系，则可以判断这种物质 就是三斜晶系的结构。
（4）斜方晶系 在斜方晶系中， a ≠ b≠c,α=β=γ=90˚，同理可
证ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
sin2 hkl 2 / 4a2 h2 2 / 4b2 k 2 2 / 4c2 l2
Ah2 Bk2 Cl 2
斜方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(h00)面的sin2θh00有公因子A。
立方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，sin2θhkl还有公因子A。
（2）六方晶系和三方晶系
分析晶体学问题时，常将三方晶系归并到六方晶系 中。同时进行矢量转化。
设在三方晶系中，基矢为a3, b3, c3，六方晶系中，基 矢为a, b, c，则a= a3－b3， b＝ b3－c3，c＝ a3+b3+ c3。