上海市2021年高考复习数学模拟试卷(一)

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2021-2022学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|=___ ．2.（填空题，4分）函数f （x ）= √x +1的反函数为f -1（x ），则f -1（3）=___ ．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 35 ，则cos2θ的值为 ___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足 x|x|4+y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 13.（单选题，5分）已知直线a 在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（）A. C 103x 7B. C 104x 6C. −C 103x 7D. −C 104x 615.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12A.12B.13C.14D.1517.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．（2）若函数g（x）= f(x)x19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π．3（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20.（问答题，16分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．和3，求|AB|；（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32（2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k的值；（3）点M（t，0），t＞0，对任意确定的实数k，若△AMB是以AB为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M有几个，并说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．是否为“A型数列”；（1）判断数列π、- √3、-1、12（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．【解答】：解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= √12+22 = √5．故答案为：√5．【点评】：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2.（填空题，4分）函数f（x）= √x +1的反函数为f-1（x），则f-1（3）=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．【解答】：解：∵已知函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），设f（x）=3，则√x +1=3，解得x=4，则f-1（3）的值是4．故答案为：4．【点评】：本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 3，则cos2θ的值为 ___ ．5【正确答案】：[1]- 725【解析】：由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】：解：∵cosθ=- 35 ，则cos2θ=2cos 2θ-1=2× 925 -1=- 725 ，故答案为：- 725 ．【点评】：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}={x|0＜x ＜2}， ∴A∩B={x|0＜x ＜1}=（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]12π【解析】：利用圆柱体的体积公式求解即可．【解答】：解：因为底面半径长为2，母线长为3，所以圆柱的体积为V=Sh=π×22×3=12π．故选：12π．【点评】：本题考查了圆柱的体积公式的理解与应用，属于基础题．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合代数余子式的定义，即可求解．【解答】：解：在三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式A 12=（-1）1+2 |1336| =-（1×6-3×3）=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查代数余子式的求解，考查计算能力，属于基础题．7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】：解：数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n(n ≥11) ，则 n→∞a n = lim n→∞ (2−1n) =2-0=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：利用对数的性质及运算法则直接求解．【解答】：解：∵log 2（x+1）+log 2（x-1）=1，∴log 2（x+1）（x-1）=1=log 22，∴（x+1）（x-1）=2且x+1＞0，x-1＞0，故x= √3 ，故答案为： √3 ．【点评】：本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-6，+∞）【解析】：将问题转化为x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，构造g （x ）=x 2+2x+3，利用二次函数的图象与性质，求解函数的最值，即可得到答案．【解答】：解：函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，且f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，令g （x ）=x 2+2x+3，函数g （x ）在[1，2]上单调递增，所以g （x ）min =g （1）=6，则6≥-m ，即m≥-6，所以实数m 的取值范围为[-6，+∞）．故答案为：[-6，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数图象与性质的应用，利用函数单调性求解函数最值的应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）【正确答案】：[1] 45【解析】：由排列组合的知识易得总数为120，不符合的有24，由古典概型概率公式求解即可．【解答】：解：从10人中任选3人有 C 103 =120种选法，这3人中只有女生的共有 C 43 =4种，这3人中只有男生的共有 C 63 =20种， ∴这3人中必须男女生都有的共96种，∴所求概率P= 96120 = 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4，12]【解析】：设点C 坐标（c osθ，sinθ），将 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 用θ函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】：解：设C （cosθ，sinθ）， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，- √3 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ-1，sinθ- √3 ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ = PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（cosθ-1，sinθ- √3 ）•（-2，-2 √3 ）=-2（cosθ-1+ √3 sinθ-3）=8-4（ √32 sinθ+ 12 cosθ）=8-4sin （θ+ π6 ），因为sin （θ+ π6 ）∈[-1，1]，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[4，12]，故答案为：[4，12]．【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足x|x|4 +y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][4-2 √2 ，4）【解析】：把 x|x|4 +y|y|=1等式变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+2y-4的范围，取绝对值得答案即可．【解答】：解答】解：由 x|x|4+y|y|=1，得 {x ≥0，y ≥0x 24+y 2=1 或 {x ＞0，y ＜0x 24−y 2=1 或 {x ＜0，y ＞0y 2−x 24=1 ，如图，令z=x+2y-4，得y=- 12 x+ 12 z+2，由图可知，当直线y=- 12 x+ 12 z+2与第一象限的椭圆相切时，直线在y 轴上的截距最大，联立得 {y =−12x +12z +2x 24+y 2=1 ，即2x 2-（2z+8）x+z 2+8z+12=0，∵相切，∴Δ=（2z+8）2-4×2×（z 2+8z+12）=0，∴z 2+8z+8=0，∴z=-4±2 √2 ，∵椭圆的图象只在第一象限，∴z=-4 +2√2 ，根据双曲线的方程知，两条双曲线的渐近线方程都是y=- 12 x ，当直线y=- 12 x+ 12z+2无限靠近y=- 12x时，12z+2趋于0，即z趋于-4，∴-4＜z≤-4 +2√2，∴|x+2y-4|的取值范围是[4-2 √2，4），故答案为：[4-2 √2，4）．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查直线与椭圆相切，双曲线的渐近线，考查数形结合思想，是中档题．13.（单选题，5分）已知直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：B【解析】：“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，由此能求出结果．【解答】：解：直线a在平面β上，则“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，∴直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的必要非充分条件．故选：B．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查空间中线与面的位置关系等基础知识，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题．14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（）A. C103x7B. C104x6C. −C103x7D. −C104x6【正确答案】：C【解析】：写出（x-1）10的二项展开式的通项公式，令r=3，可得所求项．【解答】：解：（x-1）10的二项展开式的通项公式为T r+1= C10r x10-r（-1）r= C10r（-1）r x10-r，r=0，1，2， (10)令r=3，T4=- C103 x7，故选：C．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查运算能力，是一道基础题．15.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k【正确答案】：B【解析】：根据双曲线标准方程直接求解．【解答】：解：方程4x2+ky2=4k，即为x2k +y24=1，由方程表示双曲线，可得y 24−x2−k=1，所以a=2，b=√−k，所以虚轴长为2b=2√−k．故选：B．【点评】：本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个A.12B.13C.14D.15【正确答案】：D【解析】：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间[t，t+2π）上总有两个交点，然后考虑，40减去个周期后，在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．的交点个数，【解答】：解：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12≈6.37，易知在[t，t+2π）上它们有两个交点，而402π所以前6个周期共有交点12个，因此我们主要研究它们在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，＜t＜-π时，它们在区间[t，t+0.74π]上无交点，当- 7π6＜t＜0时，它们在区间[t，t+0.74π]有1个交点，当- π3时，它们在区间[t，t+0.74π]上有2个交点，当0＜t＜π6因此交点个数可能为12，13，14，不可能是15．故选：D．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知易得△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，进而可求全面积；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，进而证明DH⊥平面PAC，可得∠DPH是PD与平面PAC所成角；在△PDH中求解即可．【解答】：解：（1）由题意知△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，所以三棱锥P-ABC的全面积S= 12 ×1×1×3+ 12× √2 × √2 ×sin60°= 3+√32；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，因为PA、BA、CA两两互相垂直，所以PA⊥平面ABC，DH在平面ABC内，所以PA⊥DH，又因为DH⊥AC，所以DH⊥平面PAC，所以∠DPH是PD与平面PAC所成角；因为DH= 12，PH= √52，所以tan∠DPH= √55，∠DPH=arctan √55，所以PD与平面PAC所成角的大小为arctan √55．【点评】：本题考查表面积的问题和线面角的求法，属中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数g（x）= f(x)x（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）分a=0和a≠0两种情况，分别利用奇函数与偶函数的定义分析判断即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【解答】：解：（1）当a=0时，函数f（x）为偶函数，证明如下：函数f（x）=x2+1，定义域为R，因为f（-x）=x2+1=f（x），所以当a=0时，函数f（x）为偶函数；当a≠0时，f（-1）=2-a，f（1）=2+a，则f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），函数f（x）为非奇非偶函数．（2）函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞），证明如下：g（x）= f(x)x =x+1x+a，设1≤x1＜x2，则g(x1)−g(x2)=x1+1x1+a−(x2+1x2+a) = (x1−x2)(1−1x1x2) = (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，由于1≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2−1x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2），则函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数单调性和奇偶性的判断与证明，考查了函数奇偶性与单调性的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π3．（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，结合正弦定义，以及三角函数的恒等变换，即可求解．【解答】：解：（1）∵OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，∴AB= √OA2+OB2−2×OA×OB×cosπ3 = √15002+10002−2×1500×1000×12=500√7，故岸线上点A与点B之间的直线距离为500√7米．（2）∵在△PAB中，500√7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，∴ PA=√7√3(π3−θ)，PB= √7√3（0＜θ＜π3），设两段网箱获得的经济总收益为y元，则y=40PA+30PB= √7√3(π3−θ) + √7√3= √7√3(π3−θ)+3sinθ]= √7√3√3cosθ+sinθ)=10000√91√3sin(θ+arctan2√3) ，当 θ+arctan2√3=π2，即 θ≈π2−arctan2√3 ∈（0， π3）时， y max =10000√91√3≈55076 （元），故两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．20.（问答题，16分）已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为 32 和3，求|AB|；（2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k 的值；（3）点M （t ，0），t ＞0，对任意确定的实数k ，若△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线l 的方程为y=k （x-1），代入抛物线方程后应用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，利用焦半径公式及已知|AF|+|AB|=2|BF|，得出x 1，x 2的关系，与韦达定理结合可求得k ；（3）把 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于t 的方程，由一元二次方程根的分布可得t 的正数解的个数．【解答】：解：（1）根据抛物线定义，|AF|= 32 ，|BF|=3， ∴|AB|= 92；（2）设直线l 的方程为y=k （x-1），由 {y =k (x −1)y 2=4x ，可得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0，Δ=（2k 2+4）2-4k 4=16k 2+16＞0， ∴x 1+x 2=2+ 4k 2 ，x 1x 2=1，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|AB|=x 1+x 2+2，又∵|AF|+|AB|=2|BF|，∴（x 1+1）+（x 1+x 2+2）=2（x 2+1）， ∴x 2-2x 1=1， ∴x 1=k 2+43k 2 ，x 2= 5k 2+83k 2，代入x 1x 2=1得： k 2+43k 2 • 5k 2+83k 2 =1， ∴k 4-7k 2-8=0，∴k 2=-1（舎）或k 2=8， ∴k= ±2√2 ；（3）∵△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴MA⊥MB ， MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，即（x 1-t ，y 1）（x 2-t ，y 2）=0， ∴（x 1-t ）（x 2-t ）+y 1y 2=0，即x 1x 2-t （x 1+x 2）+t 2+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2（x 1x 2-x 1-x 2+1）=-4， ∴1-t （2+ 4k 2 ）+t 2-4=0，即t 2-（2+ 4k 2 ）t-3=0， ∵ Δ=(2+4k 2)2+12＞0 ，t 1t 2=-3＜0，∴方程仅有一个正实数解，存在一个满足条件的点M ．【点评】：本题考查了直线和圆锥曲线（抛物线）的相关计算，属于综合性较强的题目，解决此类题的一个基本思路就是要联立直线方程和圆锥曲线方程，再用设而不解的方法来进行相关解答，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．（1）判断数列π、- √3、-1、12是否为“A型数列”；（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据A型数列的新定义直接判断即可；（2）分q=1，q＞1和0＜q＜1分别求出{a n}的前n项和为S n，再判断是否存在A满足|S n-A|递减即可求解；（3）分k≥1和0＜k＜1两种情况讨论，首先判断k≥1不符合题意，当0＜k＜1时，先证明a n≤0，进而可得a n以及符合题意的A的值，再证明A是唯一的即可．【解答】：解：（1）因为|π−0|＞|−√3−0|＞|−1−0|＞|−12−0|，“A型数列“的定义可知该数列是“A型数列“．（2）若q=1，|S n-A|=|n-A|，不存在A∈R使得数列{|n-A|}是递减数列，此时{S n}不是“A型数列“；若q＞1，S n=q(1−q n)1−q =q(q n−1)q−1，因为{S n}为递增数列，对于任意A，存在N，当n＞N时，|S n-A|=S n-A，递增，因此不存在A，此时{S n}不是“A型数列“；若0＜q＜1，S n=−q1−q q n+q1−q，取A=q1−q，|S n−A|=q1−qq n，递减，此时符合题意；综上所述A=q1−q，q的取值范围{q|0＜q＜1}．（3）（i）若k≥1，则a1=0，a2=-1，a3=k-1．此时若存在A∈R使得{a n}是A型数列，则|A|＞|A+1|＞|k-1-A|，从而A＜−12且k＜1，矛盾；（ii）当0＜k＜1时，首先证明a n≤0（n∈N*）．用反证法．由题意，此时a1=0，a2=-1，a3=k-1．因此，若存在n∈N*，使得a n＞0，则n≥4．假设n=m为使得a n＞0的最小正整数，则a m＞0≥a m-1，故a m=−ka m−1−1＞0⇒a m−1＜−1k，而a m−1=−ka m−2−1＜−1k ⇒a m−2＞1−kk2＞0，与m的最小性矛盾．故a n≤0（n∈N*），从而a n+1=-ka n-1对一切n∈N*成立．据此，可解得a n=(−k)n−1−1k+1．故当α=−1k+1时，|a n−α|=k n−1k+1，即：{|a n-α|}为递减数列．于是{a n}为α型数列．再证明α是唯一解．用反证法．假设存在A≠α使得{a n}是A型数列．若A＞α，则由a2m−1=α+k2m−2k+1得，当m＞log k2[(A−α)(k+1)]+1时，a2m-1＜A．故|a2m−1−A|=A−α−k2m−2k+1＜A−α−k2mk+1=|a2m+1−A|，{|a n-A|}不是递减数列，从而{a n}不是A型数列．同理可证A＜α时，{a n}也不是A型数列，综上，k∈（0，1），相应的A=−1k+1．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列知识的综合运用等知识，属于中等题．。

专题07 数列(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习专题07 数列一、填空题1．（2020·上海高三其他）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则，∴148a d +=． ∴．故答案为24．2．（2020·上海高三其他）设无穷等比数列n a 的公比为q ，首项10a >，则公比q 的取值范围是________．【答案】【解析】因为21231lim()211n n a a qa a a a q q→∞•+++==>--，又10a >且01q <<，解得2,13q ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3．（2017·上海闵行高三一模）已知数列的前n 项和为，则此数列的通项公式为___________．【答案】【解析】当1n =时,11211a S ==-=,当2n ≥时,()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=,又1121-=,所以12n n a .故答案为:12n na .4．（2020·宝山上海交大附中高三其他）若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则．【答案】8 【解析】由题意，，∴88n =-，∴23232228lim()lim(8)8n n n n a a a n →∞→∞++⋅⋅⋅+=-=．5．（2020·上海高三其他）已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 【答案】(－3，＋∞) 【解析】因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）设各项均为正数的等比数列的前n 项和为，则6S =______．【答案】63. 【解析】由，得()661126312S -⇒==-．故答案为: 637．（2020·上海普陀高三二模）设n S 是等差数列的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=nn S n ______.【答案】12-【解析】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d dS n a n ∴=+-（其中d 是公差），，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，．故答案为：12-8．（2020·上海高三其他）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有01011012n na n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】由011101011(2)1021212n n n n n na a a S n n S nn S -=-=++=---，令1n =，得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷(附答案详解)

2021年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 设a >b >0，c ≠0，则下列不等式中，恒成立的是( )A. 1a >1bB. ac 2>bc 2C. ac >bcD. c a <c b 2. 下列函数中，值域为(0,+∞)的是( )A. y =x 2B. y =2xC. y =2xD. y =|log 2x|3. 从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为( )A. C 84−12B. C 84−8C. C 84−6D. C 84−4 4. 设集合A ={y|y =a x ,x >0}(其中常数a >0，a ≠1)，B ={y|y =x k ,x ∈A}(其中常数k ∈Q)，则“k <0”是“A ∩B =⌀”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 设全集U =R ，A =(−∞,2)，则∁U A =______．6. 设复数z =1−2i ，(i 是虚数单位)，则|z|=______．7. 若关于x ，y 的方程组{2x +y =43x −ay =8无解，则实数a =______． 8. 已知球的半径为2，则球的体积为______．9. 若直线l 1：2x +my +1=0与l 2：y =3x −1互相垂直，则实数m =______．10. 已知sinα=−√55，α∈(−π2,π2)，则sin(α+π2)=______． 11. 已知(x +2x )n 的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则展开式中的常数项为______(结果用数值表示)．12. f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=2x −1，则不等式f(x)>1的解集为______．13. 方程1+log 2x =log 2(x 2−3)的解为______．14. 平面直角坐标系中，满足到F 1(−1,0)的距离比到F 2(1,0)的距离大1的点的轨迹为曲线T ，点P n (n,y n )(其中y n >0，n ∈N ∗)是曲线T 上的点，原点O 到直线P n F 2的距离为d n ，则n →∞lim d n =______．15. 如图所示矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作E 1，E 2，…，E 7，自左到右依次记作F 1，F 2，…，F 7，满足AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，(其中i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7)的有序数对(i,j)共有______对．16. 已知函数y =f(x)在定义域R 上是单调函数，值域为(−∞,0)，满足f(−1)=−13，且对于任意x ，y ∈R ，都有f(x +y)=−f(x)f(y).y =f(x)的反函数为y =f −1(x)，若将y =kf(x)(其中常数k >0)的反函数的图象向上平移1个单位，将得到函数y =f −1(x)的图象，则实数k 的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=2.点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点．(1)求证：D ，B ，B 1，D 1四点共面；(2)求直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的大小．18.设常数k∈R，f(x)=kcos2x+√3sinxcosx，x∈R．(1)若f(x)是奇函数，求实数k的值；(2)设k=1，△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(A)=1，a=√7，b=3，求△ABC的面积S．19.某校运会上无人机飞行表演，在水平距离x∈[10,24](单位：米)内的飞行轨迹如图所示，y表示飞行高度(单位：米).其中当x∈[10,20]时，轨迹为开口向上的抛物线的一段(端点为M、Q)，当x∈[20,24]时，轨迹为线段QN，经测量，起点M(10,24)，终点N(24,24)，最低点P(14,8)．(1)求y关于x的函数解析式；(2)在A(0,24)处有摄像机跟踪拍摄，为确保始终拍到无人机，求拍摄视角θ的最小值．(精确到0.1°)20. 设A 1，A 2分别是椭圆Γ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，点B 为椭圆的上顶点．(1)若A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，求椭圆Γ的方程； (2)设a =√2，F 2是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段F 2Q 的中点M 在y 轴上，求△F 2BQ 的面积．(3)设a =3，点P 是直线x =6上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左、右顶点的两点，且C ，D 分别在直线PA 1和PA 2上，求证：直线CD 恒过一定点．21. 设数列{a n }与{b n }满足：{a n }的各项均为正数，b n =cosa n ，n ∈N ∗．(1)设a 2=3π4，a 3=π3，若{b n }是无穷等比数列，求数列{b n }的通项公式； (2)设0<a 1≤π2.求证：不存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列；(3)当1≤n ≤2m +1时，{b n }为公差不为0的等差数列且其前2m +1项的和为0；若对任意满足条件0<a n ≤6π(1≤n ≤2m +1)的数列{a n }，其前2m +1项的和S2m+1均不超过100π，求正整数m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为a>b>0，所以1a <1b，故A错误；因为a>b>0，c≠0，则c2>0，所以ac2>bc2，故B正确；若a>b>0，c<0，则ac<bc，故C错误；若a>b>0，c<0，则1a <1b，ca>cb，故D错误．故选：B．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数y=x2的值域为[0,+∞)，故排除A；∴函数y=2x的值域为{y|y≠0}，故排除B；∵函数y=2x的值域为(0,+∞)，故C满足条件；函数y=|log2x|的值域为[0,+∞)，故排除D，故选：C．由题意利用基本初等函数的值域，得出结论．本题主要考查基本初等函数的值域，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：根据题意，从正方体的8个顶点中选取4个，有C84种取法，正方体的8个顶点中，4个顶点共面的情况有12种，6个表面，6个对角面，则可得到四面体的个数为C84−12，故选：A．根据题意，用间接法分析，先计算从正方体的8个顶点中选取4个的取法，再排除其中4点共面的情况，即可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：当a >1时，集合A =(1,+∞)，若k <0，则B ={y|y =x k ,x ∈A}=(0，1)，此时A ∩B =⌀；当0<a <1，集合A =(0,1)，若k <0，则B ={y|y =x k ,x ∈A}=(1，+∞)，此时A ∩B =⌀，故“k <0”是“A ∩B =⌀”的充分条件，当a >1时，集合A =(1,+∞)，若A ∩B =⌀，B ={y|y =x k ,x ∈A}，可得k ≤0；当0<a <1，集合A =(0,1)，若A ∩B =⌀，B ={y|y =x k ,x ∈A}，可得k ≤0，所以“k <0”不是“A ∩B =⌀”的必要条件，所以“k <0”是“A ∩B =⌀”的充分非必要条件．故选：A ．分a >1和0<a <1两种情况，根据充分必要条件的定义分别，判断其充分性和必要性即可．本题考查了充分必要条件，属于中档题．5.【答案】[2,+∞)【解析】解：∵全集U =R ，A =(−∞,2)，∴∁U A =[2,+∞)．故答案为：[2,+∞)．利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6.【答案】√5【解析】解：因为复数z =1−2i ，所以|z|=√12+(−2)2=√5．故答案为：√5．由复数的模的计算公式即可求出．本题主要考查复数模的运算，属于基础题．7.【答案】−32【解析】解：若关于x ，y 的方程组{2x +y =43x −ay =8无解，则直线2x +y −4=0和直线3x −ay −8=0平行，故有32=−a1≠−8−4，求得a=−32，故答案为：−32．由题意可得直线2x+y−4=0和直线3x−ay−8=0平行，再利用两条直线平行的性质，求出a的值．本题主要考查二元一次方程组无解问题，两条直线平行的性质，属于基础题．8.【答案】32π3【解析】解：∵球的半径为R=2，∴球的体积为V=4π3R3=32π3．故答案为：32π3．根据球的体积公式，结合题中的数据直接加以计算，可得答案．本题已知球的半径，求球的体积．着重考查了球的性质、求的体积公式及其应用等知识，属于基础题．9.【答案】6【解析】解：∵直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x−1互相垂直，∴2×3+m×(−1)=0，求得实数m=6，故答案为：6．由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．10.【答案】2√55【解析】解：因为sinα=−√55<0，α∈(−π2,π2)，所以α∈(−π2,0)，cosα=√1−sin2α=2√55，则sin(α+π2)=cosα=2√55．故答案为：2√55．由题意可得范围α∈(−π2,0)，进而根据同角三角函数基本关系式，诱导公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.【答案】1120【解析】解：∵已知(x +2x )n 的二项展开式中，所有二项式系数的和为2n =256，∴n =8．则展开式中的通项公式为T r+1=C 8r ⋅2r ⋅x 8−2r ，令8−2r =0，求得r =4，可得展开式的常数项为C 84⋅24=1120，故答案为：1120．由题意利用二项式系数的性质，求得n =8，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.【答案】(−∞,−1)∪(1,+∞)【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f(x)=2x −1，此时，若f(x)>1，即2x −1>1，解可得x >1，此时f(x)>1的解集(1,+∞)，又由f(x)是偶函数，则当x <0时，f(x)>1的解集(−∞,−1)，综合可得：不等式f(x)>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．根据题意，当x ≥0时，f(x)=2x −1，由函数的解析式可得f(x)>1在(0,+∞)上的解集，结合函数的奇偶性可得f(x)>1在(−∞,0)上的解集，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 13.【答案】x =3【解析】解：∵1+log 2x =log 2(x 2−3)，∴log 2(2x)=log 2(x 2−3)，故2x =x 2−3，故{x 2−3>0x >0x 2−2x −3=0，解得：x =3，故答案为：x =3．问题转化为{x 2−3>0x >0x 2−2x −3=0，求出x 的值即可．本题考查了解方程问题，考查对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．14.【答案】√32【解析】解：设曲线T 上的点为P ，由题意，|PF 1|−|PF 2|=1，则曲线T 为双曲线，焦点坐标为F 1(−1,0)，F 2(1,0)，2a =1，a =12，c =1，∴b 2=c 2−a 2=1−14=34，∴双曲线方程为4x 2−43y 2=1．渐近线方程为y =±√3x ，而点P n (n,y n )(其中y n >0，n ∈N ∗)是曲线T 上的点，当n →+∞时，直线P n F 2的斜率趋近于√3，即k P n F 2=√3．则P n F 2：y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0．∴n →∞lim d n =√3|√(√3)2+(−1)2=√32．故答案为：√32．由双曲线定义可知T 的轨迹方程，求得渐近线方程，得到直线P n F 2的方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的定义域几何性质，考查数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】18【解析】解：根据题意，矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，则AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=i 8+j 2，若AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，则i 8+j 2≤2，变形可得i +4j ≤16，又由i ，j ∈N ∗，1≤i ，j ≤7，当i =1时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =2时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =3时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =4时，j 可取的值为1、2、3，共3个；当i =5时，j 可取的值为1、2，共2个；当i =6时，j 可取的值为1、2，共2个；当i =7时，j 可取的值为1、2，共2个；则符合条件的有序数对(i,j)共有3×4+2×3=18对，故答案为：18．根据题意，有由向量加法的运算性质可得AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而由数量积的计算公式可得AE i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +i 8AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +j 8AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=i 8+j2，变变形可得i +4j ≤16，据此分类讨论(i,j)的组合，由加法原理计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】3【解析】解：由题意，设f(x)=y =−a x ，根据f(−1)=−13，解得a =3， ∴f(x)=y =−3x ，那么x =log 3(−y)，(y <0)，x 与y 互换，可得f −1(x)=log 3(−x)，(x <0)，则y =kf(x)=−k ⋅3x ，那么x =log 3(y −k )，x 与y 互换，可得y =log 3(−xk )，向上平移1个单位，可得y =log 3(−xk )+1，即log 3(−x)=log 3(−3x k)，故得k =3，故答案为：3．由题意设f(x)=−a x 根据f(−1)=−13，解得a ，在求解y =kf(x)的反函数，向上平移1个单位，可得y =f −1(x)，即可求解实数k 的值；本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.【答案】解：(1)证明：∵点D ，D 1分别是棱AC ，A 1C 1的中点，∴DD 1//CC 1， ∵CC 1//BB 1，∴DD 1//BB 1， ∴D 、B 、B 1、D 1四点共面． (2)作C 1F ⊥B 1D 1，垂足为F ，∵BB 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1， ∴直线BB 1⊥直线C 1F ，∵C 1F ⊥直线B 1D 1且BB 1与B 1D 1相交于B 1， ∴直线C 1F ⊥平面DBB 1D 1，∴∠C 1BF 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角．在直角△C 1BF 中，BC 1=2√2，C 1F =2√55，sin∠C 1BF =√1010，直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角为arcsin √1010．【解析】(1)证明DD 1//BB 1，即可证明D 、B 、B 1、D 1四点共面．(2)作C 1F ⊥B 1D 1，垂足为F ，说明∠C 1BF 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角，再求出直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的大小．本题考查直线与平面所成角的求法，平面的基本性质，是中档题．18.【答案】解：(1)由题意知，f(0)=k =0，下面对k =0进行检验：若k =0，则f(x)=√3sinxcosx ，对任意x ∈R 都有f(−x)=√3sin(−x)cos(−x)=−√3sinxcosx =−f(x)， ∴f(x)是奇函数，∴k =0．(2)∵f(A)=cos 2A +√3sinAcosA =1， ∴1+cos2A2+√32sin2A =1，整理，得sin(2A +π6)=12，∴2A +π6=π6+2kπ或5π6+2kπ，k ∈Z ，∴A =kπ或π3+kπ，k ∈Z ， ∵A ∈(0,π)，∴A =π3，由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc，即12=9+c 2−76c，整理，得c 2−3c +2=0，解得c =1或c =2， ∴S =12bcsinA =3√34或3√32．【解析】(1)由f(0)=0，知k =0，再对k =0进行检验，即可；(2)结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出A =π3，再由余弦定理求出c 的值，最后根据S =12bcsinA ，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握三角形面积公式、余弦定理和三角恒等变换的相关公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)x ∈[10,20]时，设：y =a(x −14)2+8，M(10,24)代入得 a =1， ∴y =(x −14)2+8， x ∈[20,24]时， ∵Q(20,44)、N(24,24)， ∴y =−5x +144，∴y ={(x −14)2+8x ∈[10,20]−5x +144x ∈(20,24]．(2)如图，设仰角为α，俯角为β，∵Q(20,44)，A(0,24)，∴仰角α最小为45°， tanβ=24−y x，=24−(x 2−28x +204)x=28−(x +180x)≤28−12√5，x ∈[10,20]∴俯角β最小为arctan(−12√5+28)≈49.4°， ∴θ最小为94.4°．【解析】(1)结合函数的图象，通过x ∈[10,20]时，设：y =a(x −14)2+8，利用M(10,24)代入得 a =1，求出解析式，然后得到函数的解析式即可． (2)设仰角为α，俯角为β，推出tanβ=24−y x，化简后利用基本不等式求解最值，推出θ最小为94.4°．本题考查函数与方程的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)A 1(−a,0)，A 2(a,0)，B(0,1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a, 1)，A 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a, 1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a 2+1=−4，解得a 2=5，即椭圆Γ的方程为x 25+y 2=1；(2)椭圆的方程为x 22+y 2=1，则F 2(1,0)，设Q(x Q ,y Q )，由线段F 2Q 的中点在y 轴上，得x Q =−1，代入椭圆方程，得y Q =√22，即Q(−1, √22)，S △F 2BQ =S △BF 2M +S △BQM =12(1−√24)⋅2=1−√24； (3)证明：由题意A 1(−3,0)，A 2(3,0)，设点P 的坐标为(6,m)，直线PA 1：y =m9(x +3)，与椭圆方程 x 29+y 2=1联立消去y ，得(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0，由韦达定理，得x C =−3m 2+279+m 2，即C(−3m 2+279+m 2, 6m 9+m 2)，同理 D(3m 2−31+m 2, −2m 1+m 2)，当x C =x D ，即27−3m 29+m 2=3m 2−3m 2+1，即m 2=3时，直线CD 的方程为x =32，当x C ≠x D 时，直线CD ：y −−2m1+m 2=4m3(3−m 2)(x −3m 2−31+m 2)，化简得y =4m3(3−m 2)(x −32)，恒过点(32, 0)，综上所述，直线CD 恒过点(32, 0)．【解析】(1)由椭圆方程分别求出点A 1，A 2，B 的坐标，然后利用已知向量关系，求出a 的值即可求解；(2)先求出椭圆的方程，即可求出F 2的坐标，设出Q 的坐标，根据已知可求出Q 的横坐标，然后代入椭圆方程化简求出Q 的坐标，进而可以求解；(3)由已知a 的值即可求出椭圆的左右顶点的坐标，再设出P 的坐标为(6,m)，由此可得直线PA 1的方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理求出C 的坐标，同理求出D 的坐标，若直线CD 的斜率不存在可求出直线CD 的方程，若斜率存在即可求出直线CD 的方程，即可求出直线CD 过的定点，进而得证．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，涉及到三角形面积问题以及直线过定点的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：由a 2=3π4，a 3=π3，可得b 2=cos3π4=−√22，b 3=cos π3=12，公比为q =−√22，由b 22=b 1⋅b 3解得b 1=1，数列{b n }的通项公式为b n =(−√22)n−1．(2)证明：设存在递减的数列{a n }，使得{b n }是无穷等比数列，则0<a 2<a 1<π2，此时cosa 2>cosa 1>0，公比q=cosa2cosa1>1，cosan=cosa1⋅(q)n−1，考虑不等式cosa1⋅q n−1>1，当n>1−log q(cosa1)时，即n≥1+[1−log q(cosa1)]时，有cosa n>1(其中[x]表示不超过x的最大整数)，这与f(x)=cosx的值域为[−1,1]矛盾，所以假设不成立，得证；(3)解：(b1+b2m+1)(2m+1)2=0，可得b1+b2m+1=0，由等差数列性质b i+b2m+2−i=b1+b2m+1=0(1≤i≤m+1,i∈N∗)，即cosa i+cosa2m+2−i=0，特别地，b m+1=0，现考虑S2m+1的最大值．为使S2m+1取最大值，应有a n∈[5π,6π]，否则在S2m+1中将a n替换为a n′，且cosa n=cosa n′，a n′∈[5π,6π]，将得到一个更大的S2m+1，由cosa i+cosa2m+2−i=0可知a i+a2m+2−i=2⋅11π2=11π，特别地，a m+1=11π2；于是(S2m+1)max=m⋅(11π)+11π2=(2m+1)⋅11π2≤100π，解得m≤18922，所以m的最大值为8．【解析】(1)运用等比数列的中项性质，解方程可得公比q，所求通项公式；(2)运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；(3)运用等差数列的中项性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2021-2022学年上海市金山区高三(上)期末数学试卷(一模)

2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x ＞2}，B={x|x ＜3}，则A∩B=___ ．2.（填空题，4分）函数y=log 2（x-1）的定义域是___ ．3.（填空题，4分）若复数z 满足iz= √3 -i （i 为虚数单位），则|z|=___ ．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x 3的系数为 ___ .（结果用数值表示）5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式 |1sinαsinα1| 的值为 ___ ． 6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ．8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x+ 1y=1，则4x+y 的最小值为 ___ ．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示）10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ．11.（填空题，5分）若数列{a n }满足a n +a n+1+a n+2+…+a n+k =0（n∈N *，k∈N *），则称数列{a n }为“k 阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n }的通项公式为b n =2cosωn ，记T n =b 1b 2…b n ，1≤n≤2021，n∈N *，则当n=___ 时，T n 取得最小值．12.（填空题，5分）已知点O （0，0）、A 0（2，3）和B 0（5，6），记线段A 0B 0的中点为P 1，取线段A 0P 1和P 1B 0中的一条，记其端点为A 1、B 1，使之满足（|OA 1|-5）（|OB 1|-5）＜0，记线段A 1B 1的中点为P 2，取线段A 1P 2和P 2B 1中的一条，记其端点为A 2、B 2，使之满足（|OA 2|-5）（|OB 2|-5）＜0，依次下去，得到点P 1、P 2、…，P n 、…，则 n→∞|A 0P n |=___ ．13.（单选题，5分）已知a 、b∈R ，则“ ba ＞1”是“b ＞a”的（）条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √31616.（单选题，5分）已知向量a与b⃗的夹角为120°，且a• b⃗ =-2，向量c满足c=λ a +（1-λ）b⃗（0＜λ＜1），且a• c = b⃗• c，记向量c在向量a与b⃗方向上的投影分别为x、y．现有两个结论：① 若λ= 13，则| a |=2| b⃗ |；② x2+y2+xy的最大值为34．则正确的判断是（）A. ① 成立，② 成立B. ① 成立，② 不成立C. ① 不成立，② 成立D. ① 不成立，② 不成立17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=3x．（1）设y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，若f-1（x1x2）=1，求f-1（x 13）+f -1（x 23）的值；（2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2 ，迎宾区的入口设置在点A 处，出口在点B 处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B 到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B 到达出口（P 为△ABC 内一点）．（1）若△PBC 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC 区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3 ，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点．（1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率；（2）当△AOB 的面积为 32时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n}的各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n}，称{p n}为{a n}的“序数列”．例如，数列a1、a2、a3满足a1＞a3＞a2，则其“序数列”{p n}为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．（1）若数列3-2x、5x+6、x2的“序数列”为2、3、1，求实数x的取值范围；）•（2）若项数均为2021的数列{x n}、{y n}互为“保序数列”，其通项公式分别为x n=（n+ 12）n，y n=-n2+tn（t为常数），求实数t的取值范围；（23（3）设a n=q n-1+p，其中p、q是实常数，且q＞-1，记数列{a n}的前n项和为S n，若当正整数k≥3时，数列{a n}的前k项与数列{S n}的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p、q满足的条件．2021-2022学年上海市金山区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{x|2＜x＜3}【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x|x＞2}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，4分）函数y=log2（x-1）的定义域是___ ．【正确答案】：[1]（1，+∞）【解析】：由函数的解析式知，令真数x-1＞0即可解出函数的定义域．【解答】：解：∵y=log2（x-1），∴x-1＞0，x＞1函数y=log2（x-1）的定义域是（1，+∞）故答案为（1，+∞）【点评】：本题考查求对数函数的定义域，熟练掌握对数函数的定义及性质是正确解答本题的关键．3.（填空题，4分）若复数z满足iz= √3 -i（i为虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：根据复数的四则运算先化简复数，然后计算复数的长度即可【解答】：解：∵ iz=√3−i，∴-z= √3 i+1，∴z=-1- √3 i，∴|z|= √1+3 =2，故答案为：2．【点评】：本题主要考查复数的计算，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，比较基础．4.（填空题，4分）（x+2）6的展开式中x3的系数为 ___ .（结果用数值表示）【正确答案】：[1]160【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】：解：由于（x+2）6的二项展开式的通项公式为 T r+1= C6r•2r•x6-r，令6-r=3，求得 r=3，∴展开式中x3的系数是：23• C63 =160．故答案为：160．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.（填空题，4分）已知cosα= 13，则行列式|1sinαsinα1|的值为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：利用行列式的定义，结合同角三角函数的基本关系式，求解即可．【解答】：解：cosα= 13，|1sinαsinα1| =1-sin2α=cos2α= 19．故答案为：19．【点评】：本题考查行列式的定义，同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.（填空题，4分）某小区共有住户2000人，其中老年人600人，中年人1000人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为 ___ ．【正确答案】：[1]200【解析】：利用分层抽样的性质直接求解．【解答】：解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为400的样本，则样本中中年人的人数为： 400× 10002000 =200．故答案为：200．【点评】：本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，5分）设P 为直线y=2x 上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为 ___ ．【正确答案】：[1]（3，6）【解析】：设出点的坐标，求出双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】：解：由题意设P （s ，2s ），s ＞0，双曲线 x 24-y 2=1的两条渐近线x±2y=0，点P到双曲线 x 24 -y 2=1的两条渐近线的距离之积为27，5s √5•3s √5=27 ，解得s=3，所以P （3，6）．故答案为：（3，6）．【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题． 8.（填空题，5分）已知x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1，则4x+y 的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]25【解析】：4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4x y +17，然后利用基本不等式可解决此题．【解答】：解：∵x ＞0，y ＞0，且 4x + 1y =1， ∴4x+y=（ 4x + 1y ）（4x+y ）= 4yx + 4xy +17≥2 √4yx •4xy+17=25，当且仅当 {4y x =4xy4x+1y =1即x=y=5时等号成立，∴4x+y 的最小值为25．故答案为：25．【点评】：本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于基础题．9.（填空题，5分）有身高全不相同的6位同学一起拍毕业照，若6人随机排成两排，每排3人，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率是 ___ .（结果用最简分数表示）【正确答案】：[1] 120【解析】：根据题意，分步计算“6个人进行全排列”和“后排每人都比前排任意一位同学高”的排法，由古典概型公式计算可得答案．【解答】：解：根据题意，将6个人进行全排列，共有A 66=720排法，若后排每人都比前排任意一位同学高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有A 33A 33=36种排法，则后排每人都比前排任意一位同学高的概率P= 36720 = 120 ；故答案为： 120．【点评】：本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的性质以及应用，属于基础题． 10.（填空题，5分）已知P 1、P 2、P 3、⋯、P 10是抛物线y 2=8x 上不同的点，点F （2，0），若 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，则| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1]40【解析】：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10，由向量的和为零向量，可得x 1+x 2+.....x 10=20，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，可得向量的模的和的值．【解答】：解：设P 1、P 2、P 3、⋯、P 10的横坐标x 1，x 2......x 10，由抛物线的方程y 2=8x 可得准线方程x=-2，因为 FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +…+ FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ ，所以（x 1+x 2+.....x 10-10×2，y 1+y 2+.....+y 10）=（0，0），所以x 1+x 2+.....x 10-10×2=0，即x 1+x 2+.....x 10=20，由抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离可得：| FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 1 |+| FP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+…+| FP 10⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=（x 1+2）+.....（x 10+2）=x 1+x 2+.....x 10+10×2=20+20=40，故答案为：40．【点评】：本题考查抛物线的性质的应用及向量的运算性质的应用，属于基础题．11.（填空题，5分）若数列{a n}满足a n+a n+1+a n+2+…+a n+k=0（n∈N*，k∈N*），则称数列{a n}为“k阶相消数列”．已知“2阶相消数列”{b n}的通项公式为b n=2cosωn，记T n=b1b2…b n，1≤n≤2021，n∈N*，则当n=___ 时，T n取得最小值．【正确答案】：[1]2020【解析】：由b n+b n+1+b n+2=0可求出{b n}周期，对cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0变形可求得cosω= −12，从而求得cos2ω，cos3ω，得到{b n}的前三项，分析T n的正负情况，可得n=3k+1（k∈N）时T n为负值，对此时的T n的求表达式可得-2k，k最大时T n有最小值．【解答】：解：由已知得b n+b n+1+b n+2=0（n∈N*），故b n+1+b n+2+b n+3=0（n∈N*），故b n=b n+3（n∈N*），{b n}的周期为3，设b n=2c n，其中c n=cosωn，故{c n}的周期为3，由题意有cosωn+cosω（n+1）+cosω（n+2）=0，由和差化积公式有2cos（ωn+ω(n+2)2）cos（w(n+2)−ωn2）+cosω（n+1）=0，故2cos[ω（n+1）]cosω+cos[ω（n+1）]=0，因此（2cosω+1）cos[ω（n+1）]=0，若ω（n+1）= π2+kπ（k∈Z），不存在这样的ω对任意n恒成立，故舍，则cosω= −12，c1=cosω= −12，c2=cos2ω=2cos2ω-1= −12，由三倍角公式有c3=cos3ω=4cos3ω-3cosω=1，故T n=b1b2…b n=2n c1c2…c n，当n=3k+1（k∈N）时T n＜0，当n=3k+2（k∈N）时T n＞0，当n=3k+3（k∈N）时T n＞0，当n=3k+1（k∈N）时，T n=2n（c1c2c3）k c1=2n（14）k（- 12）=-2k，3k+1≤2021，故k≤673，此时T n最小，此时n=2020，故答案为：2020．【点评】：本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.（填空题，5分）已知点O（0，0）、A0（2，3）和B0（5，6），记线段A0B0的中点为P1，取线段A0P1和P1B0中的一条，记其端点为A1、B1，使之满足（|OA1|-5）（|OB1|-5）＜0，记线段A1B1的中点为P2，取线段A1P2和P2B1中的一条，记其端点为A2、B2，使之满足（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，依次下去，得到点P1、P2、…，P n、…，则n→∞|A0P n|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），可得P（3，4），根据已知条件可得A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，再由P1，P2，…P n，…是中点，可得出P1，P2，…P n，…的极限即为P（3，4），即可求解．【解答】：解：由（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，可知|OA2|和|OB2|一个大于5一个小于5，设线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（x，y），由√x2+y2 =5且y−3x−2=y−6x−5，可得x=3，y=4，所以线段A0B0上到原点距离等于5的点为P（3，4），若（|OA2|-5）（|OB2|-5）＜0，则A1，B1应在点P（3，4）的两侧，所以第一次应取A1，B1，A2，B2•••中必有一点在P（3，4）的左侧，一点在P（3，4）的右侧，因为P1，P2，…P n，…是中点，所以P1，P2，…P n…的极限为P（3，4），所以n→∞|A0P n|=|A0P|= √2，故答案为：√2．【点评】：本题考查数列极限，考查学生的运算能力，属于难题．13.（单选题，5分）已知a、b∈R，则“ ba＞1”是“b＞a”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：D【解析】：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，然后分别对a＞0，a＜0讨论得出b与a的关系，进而可以求解．【解答】：解：因为ba ＞1可化为：b−aa＞0，当a＞0时，b-a＞0，即b＞a；当a＜0时，b-a＜0，即b＜a，所以ba＞1与b＞a没有关系，故选：D．【点评】：本题考查了四个条件的关系的应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．14.（单选题，5分）下列函数中，以π2为周期且在区间[ π4，π2]上单调递增的是（）A.f（x）=|cos2x|B.f（x）=|sin2x|C.f（x）=sin4xD.f（x）=cos2x【正确答案】：A【解析】：由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】：解：由于f（x）=|cos2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递增，故A满足条件；由于f（x）=|sin2x|的周期为12 × 2π2= π2，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除B；由于f（x）=sin4x的周期为2π4 = π2，在区间[ π4，π2]上，4x∈[π，2π]，f（x）没有单调性，故排除C；由于f（x）=cos2x的周期为2π2=π，在区间[ π4，π2]上，2x∈[ π2，π]，f（x）单调递减，故排除D，故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15.（单选题，5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是棱AB、BC、BB1的中点，以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上，则这个直三棱柱的体积为（）A. 38B. √38C. 316D. √316【正确答案】：C【解析】：连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，利用线面垂直的判定定理和性质证明三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由体积公式求解即可．【解答】：解：如图，连接A1C1，BC1，C1D，并分别取它们的中点R1，P1，Q1，连接AC1，RR1，PP1，QQ1，R1P1，P1Q1，Q1R1，则RR1 || AC1，PP1 || AC1，QQ1 || AC1，且RR1= 12 AC1，PP1= 12AC1，QQ1= 12AC1，连接AC，可得AC⊥PQ，因为CC1⊥平面ABCD，又PQ⊂平面ABCD，则CC1⊥PQ，又CC1∩AC=C，AC，CC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥平面C1CA，又AC1⊂平面C1CA，所以PQ⊥AC1，同理可得，AC1⊥PR，又PQ∩PR=P，则AC1⊥平面PQR，所以RR1⊥平面PQR，PP1⊥平面PQR，QQ1⊥平面PQR，则三棱柱PQR-P1Q1R1为直三棱柱，由正方体的棱长为1，可得PQ=QR=PR= √22，RR1= √32，故V PQR−P1Q1R1 = √32×12×(√22)2×√32=316．故选：C．【点评】：本题考查了空间中线线、线面位置关系的判断，线面垂直的判定定理和性质的应用，棱柱的体积公式的理解与应用，属于中档题．16.（单选题，5分）已知向量 a 与 b ⃗ 的夹角为120°，且 a • b ⃗ =-2，向量 c 满足 c =λ a +（1-λ） b ⃗ （0＜λ＜1），且 a • c = b ⃗ • c ，记向量 c 在向量 a 与 b⃗ 方向上的投影分别为x 、y ．现有两个结论： ① 若λ= 13 ，则| a |=2| b ⃗ |； ② x 2+y 2+xy 的最大值为 34．则正确的判断是（） A. ① 成立， ② 成立 B. ① 成立， ② 不成立 C. ① 不成立， ② 成立 D. ① 不成立， ② 不成立【正确答案】：C【解析】： ① 根据 a ⋅b ⃗ =−2 及 a 与 b ⃗ 的夹角为120°求出 |a |⋅|b ⃗ |=4 ，假设 |a |=2|b ⃗ | 成立，求出 |b ⃗ |=√2 与 |a |=2√2 ，代入后发现等式不成立，故 ① 错误；② 利用向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，再结合 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 可得：OC⊥AB ，利用投影公式求出 x 2+y 2+xy =34|c |2 ，只需求出| c |最大值，利用面积公式和基本不等式求出| c |最大值为1，进而求出x 2+y 2+xy 最大值．【解答】：解：由 a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b ⃗ |cos120°=−2 ，解得 |a |⋅|b ⃗ |=4 ，当 λ=13 时， c =13a +23b⃗ ，由 a ⋅c =b ⃗ ⋅c 得， a ⋅(13a +23b ⃗ )=b ⃗ ⋅(13a +23b⃗ ) ，即 13a 2+23a ⋅b ⃗ =13a ⋅b ⃗ +23b ⃗ 2 ，由 a ⋅b ⃗ =−2 得 13|a |2=23+23|b ⃗ |2 ，因为 |a |⋅|b⃗ |=4 ，假设 |a |=2|b ⃗ | ，则可求出 |b ⃗ |=√2，|a |=2√2 ，代入 13|a |2=23+23|b⃗ |2 中，等号不成立，故 ① 错误；设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，因为 c =λa +(1−λ)b⃗ (0＜λ＜1) ，由向量共线定理可知，点C 在线段AB 上，如图，设〈a，c〉=α，则〈b⃗，c〉=120°−α，因为a⋅c=b⃗⋅c，所以|a|⋅|c|cosα=|b⃗|⋅|c|cos(120°−α)，即|a|⋅cosα=|b⃗|⋅cos(120°−α)，所以x2+y2+xy=|c|2cos2α+|c|2cos2(120°−α)+|c|2cosαcos(120°−α)=34|c|2，S△ABO=12|a|⋅|b⃗|sin120°=√34×4=√3，而要想保证|c|最大，只需|AB|最小，由余弦定理可得：|AB|2=|a |2+|b⃗|2−2|a||b⃗|cos120°=|a |2+|b⃗|2+4≥2|a||b⃗|+4= 12，当且仅当|a|=|b⃗|时等号成立，所以|AB|最小值为2√3，所以|c|最大值为2S△ABO|AB|=1，故x2+y2+xy=34|c|2的最大值为34，② 正确；故选：C．【点评】：本题考查平面向量基本定理，数量积的综合应用，属于综合题．17.（问答题，14分）如图，已知圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB̂的中点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）由圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，求出SA=4，由此能求出圆锥的表面积．（2）以O 为原点，OQ 为x 轴，OA 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SO 与PQ 所成角的大小．【解答】：解：（1）∵圆锥的底面半径r=2，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，得SA=4，∴圆锥的表面积S=π×22+ 12 ×4π×4=12π．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意可得SO=2 √3 ，则S （0，0，2 √3 ），O （0，0，0），A （0，2，0），Q （2，0，0），P （0，1， √3 ）， SO ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-2 √3 ）， PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-1，- √3 ），设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ，则cosθ= |SO ⃗⃗⃗⃗⃗ •PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ||SO ⃗⃗⃗⃗⃗||PQ⃗⃗⃗⃗⃗ | = 4√6 = √64 ， ∴异面直线SO 与PQ 所成角的大小为arccos √64．【点评】：本题考查圆锥的表面积、异面直线所成角的大小的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=3x ．（1）设y=f -1（x ）是y=f （x ）的反函数，若f -1（x 1x 2）=1，求f -1（x 13）+f -1（x 23）的值；（2）是否存在常数m∈R ，使得函数g （x ）=1+ mf (x )+1 为奇函数，若存在，求m 的值，并证明此时g （x ）在（-∞，+∞）上单调递增，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）求得f-1（x）=log3x，再由对数的运算性质可得所求值；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数，由g（0）=0，解方程可得m，检验可得结论；再由单调性的定义证明g（x）的单调性，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤．【解答】：解：（1）由f（x）=3x，y=f-1（x）是y=f（x）的反函数，可得f-1（x）=log3x，f-1（x1x2）=log3（x1x2）=1，即有x1x2=3，所以f-1（x13）+f-1（x23）=log3x13+log3x23=3（log3x1+log3x2）=3log3（x1x2）=3；（2）假设存在常数m∈R，使得函数g（x）=1+ mf(x)+1为奇函数．由g（x）=1+ m1+3x 为R上的奇函数，可得g（0）=1+ 12m=0，解得m=-2，即有g（x）=1+ −21+3x ，g（-x）+g（x）=1+ −21+3−x+1+ −21+3x=2-2• 1+3x1+3x=0，所以存在m=-2，使得g（x）为奇函数；证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，g（x1）-g（x2）=- 21+3x1 + 21+3x2=2• 3x1−3x2(1+3x1)(1+3x2)，由x1＜x2，可得0＜3x1＜3x2，即3x1-3x2＜0，所以g（x1）-g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在（-∞，+∞）上单调递增．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及函数的反函数的求法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，∠ACB= π2，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中AC=300米，BC=200米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）．（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若∠BPC= 2π3，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果；（2）在三角形PBC中由∠PCB的度数表示出∠PBC的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积，再利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可．【解答】：解：（1）由题设，∠PCA= π4，PC=100 √2米，PB=100 √2米，在△PAC中，由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC•PC•cos π4，所以PA=100 √5米．游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为t1= 300+20050=10分钟，游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为t1= 100√5+100√250=2（√5+√2）分钟，所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快10-2（√5+√2）≈3分钟．（2）∵∠BPC= 2π3，设∠PCB=θ则θ∈(0，π3)，在△PBC中∠PBC= π3−θ，由正弦定理得200sin2π3=PBsinθ=PCsin(π3−θ)，得PB= 400√33sinθ，PC= 400√33sin(π3−θ)．所以△PBC面积S= 12•PB•PC•sin2π3= 40000√33•sinθ•sin(π3−θ) = 20000√33•sin(2θ+π6)−10000√33，当 θ=π6∈(0，π3) 时，△PBC 面积的最大值为10000√33平方米．【点评】：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．20.（问答题，16分）已知P （0，1）为椭圆C ： x 24 + y 23 =1内一定点，Q 为直线l ：y=3上一动点，直线PQ 与椭圆C 交于A 、B 两点（点B 位于P 、Q 两点之间），O 为坐标原点．（1）当直线PQ 的倾斜角为 π4 时，求直线OQ 的斜率；（2）当△AOB 的面积为 32 时，求点Q 的横坐标；（3）设 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试问λ-μ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）先得到直线PQ 的方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解之即可求得Q 点坐标，进而可得OQ 斜率；（2）直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，结合韦达定理求得|x 1-x 2|，再由S △AOB = 12|OP||x 1-x 2|= 32，即可求解；（3）直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，结合韦达定理表示得到y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ，再根据 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到λ= 1−y 1y2−1，μ= y 2−y 13−y 2 = y 2−3+3−y 13−y 2 =-1+ 3−y 13−y 2，即可求解．【解答】：解：（1）因为直线PQ 的倾斜角为 π4 ，且P （0，1），所以直线PQ 方程为y=x+1，联立 {y =x +1y =3，解得Q （2，3），则直线OQ 的斜率为 32 ；（2）已知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y=kx+1，联立 {x 24+y 23=1y =kx +1，得（3+4k²）x²+8kx-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=- 8k 3+4k 2 ，x 1x 2=- 83+4k 2，则|x 1-x 2|= √(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√96+192k 23+4k 2 = 32，解得k²= 14 ，即k=± 12，所以直线PQ 方程为y= 12 x+1或y=- 12 x+1，由 {y =12x +1y =3 得Q （4，3）；由 {y =−12x +1y =3 得Q （-4，3）；（3）已知直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为x=m （y-1），联立 {x 24+y 23=1x =m (y −1)，得（4+3m²）（y-1）²+8（y-1）-8=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1-1+y 2-1=- 84+3m 2 ，（y 1-1）（y 2-1）=- 84+3m 2 ，所以y 1-1+y 2-1=（y 1-1）（y 2-1），因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以λ= 1−y 1y 2−1 ，μ= y 2−y 13−y 2= y 2−3+3−y 13−y 2=-1+ 3−y 13−y2，则λ-μ= 1−y 1y 2−1 +1- 3−y 13−y 2= 2[(1−y 1)2+(1−y 1)]2+2(1−y 1)(1−y 1)(y 2−1)(3−y 2) +1=1．【点评】：本考查直线与椭圆的综合，考查直线斜率求解，椭圆中定值问题，属于中档题． 21.（问答题，18分）已知有穷数列{a n }的各项均不相等，将{a n }的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p n }，称{p n }为{a n }的“序数列”．例如，数列a 1、a 2、a 3满足a 1＞a 3＞a 2，则其“序数列”{p n }为1、3、2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”．（1）若数列3-2x 、5x+6、x 2的“序数列”为2、3、1，求实数x 的取值范围；（2）若项数均为2021的数列{x n }、{y n }互为“保序数列”，其通项公式分别为x n =（n+ 12 ）•（ 23）n ，y n =-n 2+tn （t 为常数），求实数t 的取值范围；（3）设a n =q n-1+p ，其中p 、q 是实常数，且q ＞-1，记数列{a n }的前n 项和为S n ，若当正整数k≥3时，数列{a n }的前k 项与数列{S n }的前k 项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p 、q 满足的条件．【正确答案】：【解析】：（1）由题意得出不等式即可求出；（2）作差判断{x n}增减，得出序数列即可求解；（3）讨论q=±1或q=0，q＞1，0＜q＜1，-1＜q＜0，根据数列的单调性结合题意可得．【解答】：解：（1）由题意得a2＞a3＞a1，即{5x+6＞x2x2＞3−2x，解得1＜x＜6，即x的取值范围是{x|1＜x＜6}；（2）x n+1−x n=(n+32)(23)n+1−(n+12)(23)n=3−2n6(23)n，当n=1时，x2-x1＞0，即x2＞x1，当n≥2时，x n+1-x n＜0，即x n+1＜x n，故x2＞x1，x2＞x3＞x4＞⋯＞x2021，又x1=1，x3=2827，x4=89，因此{x n}的序数列为2，3，1，4，5，⋯，2021．又因{x n}、{y n}互为“保序数列“，故y2＞y3＞y1＞y4＞y5＞⋯＞y2021，只需满足2＜t2＜52，解得：4＜t＜5．即t的取值范围是{t|4＜t＜5}；（3）① 当q=±1或q=0时，数列{a n}中有相等的项，不满足题意．② 当q＞1时，数列{a n}单调递增，故{S n}也应单调递增，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＞0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递增，故p+q ＞0．③ 当0＜q＜1时，数列{a n}单调递减，故{S n}也应单调递减，从而S n+1−S n=a n+1=q n+p＜0对n∈N*且n＜k恒成立．又数列{q n+p}单调递减，故p+q＜0．④ 当-1＜q＜0时，数列{a2n-1}单调递减，且a2n-1＞p；{a2n}单调递增，且a2n＜p，于是S2n+1−S2n−1=a2n+a2n+1=q2n−1+q2n+2p＜0对n∈N*且n≤k−12恒成立，即2p＜（-q）2n-1（1+q），从而2p≤0．另一方面，S2n+2−S2n=a2n+1+a2n+2=q2n+q2n+1+2p＞0对n∈N*且n≤k−22恒成立，即2p＞-q2n（1+q），从而2p≥0．综上，2p=0，即p=0．此时S2n−1=1−q2n−11−q =11−q−q2n−11−q＞11−q，S2n=1−q2n1−q=11−q−q2n1−q＜11−q，满足题意．综上，当q＞1时，p、q满足的条件是p+q＞0；当0＜q＜1时，p、q满足的条件是p+q＜0；当-1＜q＜0时，p、q满足的条件是p=0．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列的单调性等知识，属于中等题．。

2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市春季2021年高考数学试卷含答案解析

2021年上海市春季高考数学试卷一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为〔结果用数值表示〕．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立 24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．26．函数，求f 〔x 〕的最小正周期及最大值，并指出f 〔x 〕取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．数列{a n }是公差为2的等差数列．〔1〕a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；〔2〕设a 1=﹣19，数列{a n }的前n 项和为S n ．数列{b n }满足，记〔n ∈N *〕，求数列{c n }的最小项〔即对任意n ∈N *成立〕．29．对于函数f 〔x 〕，g 〔x 〕，记集合D f ＞g ={x|f 〔x 〕＞g 〔x 〕}．〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕1．复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3．【考点】复数的根本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i〔i为虚数单位〕的实部是3，故答案为：3．2．假设log2〔x+1〕=3，那么x=7．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法那么化简求解即可．【解答】解：log2〔x+1〕=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为，又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为，故答案为：．4．函数的定义域为[2，+∞〕．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x﹣2≥0得，x≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞〕．故答案为[2，+∞〕．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号〔﹣1〕i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：〔﹣1〕1+3||=〔4×2+1×0〕=8．∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，那么实数a=1．【考点】反函数．【分析】由于函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，可得函数的图象经过点〔1，2〕，即可得出．【解答】解：∵函数的反函数的图象经过点〔2，1〕，∴函数的图象经过点〔1，2〕，∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC中，假设A=30°，B=45°，，那么AC=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24〔结果用数值表示〕．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{a n}的首项为2，公比为，那么{a n}的各项的和为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】{a n}的各项的和=，即可得出．【解答】解：{a n}的各项的和为：==3．故答案为：3．10．假设2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么a=﹣4．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，那么2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i〔i为虚数单位〕是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i〔i为虚数单位〕也是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+〔2﹣i〕=﹣a，解得a=﹣4．那么a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m]上的最小值为0，最大值为1，那么实数m的取值范围是[1，2]．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出，求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴对称轴x=1，∴f〔1〕=0，f〔2〕=1，f〔0〕=1，∵f〔x〕=x2﹣2x+2在区间[0，m]上的最大值为1，最小值为0，∴，∴1≤m≤2，故答案为：1≤m≤2．12．在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆x2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，那么的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法那么．【分析】此题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到此题答案．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，AB中点M〔x′，y′〕．∵x′=，y′=，∴=〔x1+x2，y1+y2〕=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴〔x﹣3〕2+y2=4，圆心C〔3，0〕，半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=〔AB〕2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2．∴||≥2，∴≥4，∴的最小值为4．故答案为：4．二.选择题〔本大题共12题，每题3分，共36分〕13．假设sinα＞0，且tanα＜0，那么角α的终边位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，那么角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sinα＞0，那么角α的终边位于一二象限，∵由tanα＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．应选择B．14．半径为1的球的外表积为〔〕A．πB． C．2πD．4π【考点】球的体积和外表积．【分析】利用球的外表积公式S=4πR2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的外表积为4π×12=4π，应选：D．15．在〔1+x〕6的二项展开式中，x2项的系数为〔〕A．2 B．6 C．15 D．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：〔1+x〕6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r•x r，令r=2，得展开式中x2的系数为：=15．应选：C．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是〔〕A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=，定义域为〔﹣∞，0〕∪〔0，+∞〕，可排除A，B；值域为〔0，+∞〕可排除D，应选：C．17．向量，，那么向量在向量方向上的投影为〔〕A．1 B．2 C．〔1，0〕D．〔0，2〕【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．【解答】解：=1，=1，||=，∴向量在向量方向上的投影=1．应选：A．18．设直线l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A．直线l平行于直线m B．直线l与直线m异面C．直线l与直线m没有公共点 D．直线l与直线m不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l与平面α平行，直线m在平面α上，∴直线l与直线m异面或平行，即直线l与直线m没有公共点，应选：C．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n〔n∈N*〕的第〔ii〕步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为〔〕A．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕B．1+2+3+…+2k+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕C．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2k2+k+2〔k+1〕2+〔k+1〕D．1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，那么当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕，∴从“k→k+1〞需增添的项是2k+1+2〔k+1〕，∴1+2+3+…+2k+2k+1+2〔k+1〕=2〔k+1〕2+〔k+1〕．应选：D．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，以下说法正确的选项是〔〕A．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C．焦距不相等，渐近线相同D．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，可得焦点为〔±，0〕，即为〔±2，0〕，渐近线方程为y=±x；的焦点在y轴上，可得焦点为〔0，±2〕，渐近线方程为y=±2x．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．应选：B．21．设函数y=f〔x〕的定义域为R，那么“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f〔x〕的定义域为R，假设函数f〔x〕为奇函数，那么f〔0〕=0，反之不成立，例如f〔x〕=x2．∴“f〔0〕=0〞是“函数f〔x〕为奇函数〞的必要不充分条件．应选：B．22．以下关于实数a，b的不等式中，不恒成立的是〔〕A．a2+b2≥2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．【考点】不等式的根本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：a2+b2﹣2ab=〔a﹣b〕2≥0，故A恒成立；对于B：a2+b2+2ab=〔a+b〕2≥0，故B恒成立；对于C：﹣ab=≥0，故C恒成立；D不恒成立；应选：D．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①假设x1y2﹣x2y1=0，那么；②假设x1x2+y1y2=0，那么．关于以上两个结论，正确的判断是〔〕A．①成立，②不成立B．①不成立，②成立C．①成立，②成立D．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①假设存在实数λ使得=，那么=λ，由于向量与既不平行也不垂直，可得x1=λx2，y1=λy2，即可判断出结论．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x1x2+y1y2+〔x2y1+x1y2〕=〔x2y1+x1y2〕，无法得到=0，因此不一定正确．【解答】解：①假设存在实数λ使得=，那么=λ，∵向量与既不平行也不垂直，∴x1=λx2，y1=λy2，满足x1y2﹣x2y1=0，因此．②假设x1x2+y1y2=0，那么=〔〕•=x 1x 2+y 1y 2+〔x 2y 1+x 1y 2〕=〔x 2y 1+x 1y 2〕，无法得到=0，因此不一定正确．应选：A ．24．对于椭圆．假设点〔x 0，y 0〕满足．那么称该点在椭圆C 〔a ，b 〕内，在平面直角坐标系中，假设点A 在过点〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么满足条件的点A 构成的图形为〔〕 A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．【分析】点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A 〔x 0，y 0〕在过点P 〔2，1〕的任意椭圆C 〔a ，b 〕内或椭圆C 〔a ，b 〕上，那么=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B 〔﹣2，1〕，点C 〔﹣2，﹣1〕，点D 〔2，﹣1〕，都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部．应选：B ．三.解答题〔本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分〕 25．如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A1C1与AC平行，∴∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，∴cos∠BC1A1==．∴∠BC1A1=arccos．∴异面直线BC1与AC所成的角的大小为arccos．26．函数，求f〔x〕的最小正周期及最大值，并指出f〔x〕取得最大值时x的值．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f〔x〕的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵，∴函数的周期为T=2π，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+=2kπ+，即x=2kπ+，k∈Z．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一局部，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处．灯口直径是24cm，灯深10cm，求灯泡与反射镜的顶点O的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕代入抛物线方程求得p，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，如下图：那么：设抛物线方程为y2=2px〔p＞0〕，点〔10，12〕在抛物线y2=2px上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O的距离3.6cm．28．数列{a n}是公差为2的等差数列．〔1〕a1，a3，a4成等比数列，求a1的值；〔2〕设a1=﹣19，数列{a n}的前n项和为S n．数列{b n}满足，记〔n∈N*〕，求数列{c n}的最小项〔即对任意n∈N*成立〕．【考点】等差数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】〔1〕利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a1的值．=2n﹣19+2n，由此能求出〔2〕由利用累加法能求出b n=2﹣〔〕n﹣1．从而能求出c n﹣c n﹣1数列{c n}的最小项．【解答】解：〔1〕∵数列{a n}是公差为2的等差数列．a1，a3，a4成等比数列，∴．解得d=2，a1=﹣8〕〔2〕b n=b1+〔b2﹣b1〕+〔b3﹣b2〕+…+〔b n﹣b n﹣1=1+==2﹣〔〕n﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n≥9，上式大于零，即c9＜c10＜…＜c n，进一步，2n+2n是关于n的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c1＞c2＞c3＞c4＜c5＜…＜c9＜c10＜…＜c n，∴．={x|f〔x〕＞g〔x〕}．29．对于函数f〔x〕，g〔x〕，记集合D f＞g〔1〕设f〔x〕=2|x|，g〔x〕=x+3，求D f；＞g〔2〕设f1〔x〕=x﹣1，，h〔x〕=0，如果．求实数a的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】〔1〕直接根据新定义解不等式即可，〔2〕方法一：由题意可得那么在R上恒成立，分类讨论，即可求出a 的取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a的取值范围．={x|x＜﹣1或x＞3}；【解答】解：〔1〕由2|x|＞x+3，得D f＞g〔2〕方法一：，，由，那么在R上恒成立，令，a＞﹣t2﹣t，，∴a≥0时成立．以下只讨论a＜0的情况对于，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，〔a＜0〕又t＞0，所以，∴=综上所述：方法二〔2〕，，由a≥0．显然恒成立，即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立令，，所以，综上所述：．二卷一.选择题：30．假设函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，那么ϕ的一个值是〔〕A．0 B．C．πD．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f〔x〕=sin〔x+φ〕是偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，即sin〔﹣x+φ〕=sin〔x+φ〕，∴〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z，当〔﹣x+φ〕=x+φ+2kπ时，可得x=﹣kπ，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k∈Z，结合选项可得B为正确答案．应选：B．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z的所对应的轨迹是〔〕A．两个点B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|==4，从而求出其运动轨迹．【解答】解：设z=x+yi，那么|x+yi﹣1|==4，∴〔x﹣1〕2+y2=16，∴运动轨迹是圆，应选：D．32．函数y=f〔x〕的图象是折线ABCDE，如图，其中A〔1，2〕，B〔2，1〕，C〔3，2〕，D〔4，1〕，E〔5，2〕，假设直线y=kx+b与y=f〔x〕的图象恰有四个不同的公共点，那么k 的取值范围是〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕B．C．〔0，1]D．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b＜2时，显然直线y=b与f〔x〕图象交于四点，故k可以取0，排除A，C；作直线BE，那么k BE=，直线BE与f〔x〕图象交于三点，平行移动直线BD可发现直线与f〔x〕图象最多交于三点，即直线y=与f〔x〕图象最多交于三点，∴k≠．排除D．应选B．二.填空题：33．椭圆的长半轴的长为5．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，那么该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{a n}记录某地区2021年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k=1，当第k天没下过雨时，记a k=﹣1〔1≤k≤31〕，他用数列{b n}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记b n=1，当预报第k天没有雨时，记b n=﹣1记录完毕后，小明计算出a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为28．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，根据a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k=1，不准确时a k b k=﹣1，∵a1b1+a2b2+a3b3+…+a31b31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三.解答题：36．对于数列{a n}与{b n}，假设对数列{c n}的每一项c n，均有c k=a k或c k=b k，那么称数列{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞．〔1〕设数列{a n}与{b n}的前三项分别为a1=1，a2=3，a3=5，b1=1，b2=2，b3=3，假设{c n}是{a n}与{b n}一个“并数列〞求所有可能的有序数组〔c1，c2，c3〕；〔2〕数列{a n}，{c n}均为等差数列，{a n}的公差为1，首项为正整数t；{c n}的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，假设存在唯一的数列{b n}，使得{c n}是{a n}与{b n}的一个“并数列〞，求t的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】〔1〕利用“并数列〞的定义即可得出．〔2〕利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，公差d，c n，通过分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕〔1，2，3〕，〔1，2，5〕，〔1，3，3〕，〔1，3，5〕；〔2〕a n=t+n﹣1，设{c n}的前10项和为T n，T10=﹣30，T20=﹣260，得d=﹣2，c1=6，所以c n=8﹣2n；c k=a k 或c k=b k．，∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k≥3．k∈N*时，c k=b k，∵数列{b n}唯一，所以只要b1，b2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b1，b2不唯一，．2021年7月25日。

专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____．【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=，当1x =时,,当43210x x x x ++++=时，，故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且）则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______．【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。

2020-2021学年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月高考模拟测试数学试卷含详解

上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.2.方程33log 1log (2)x x =-+的解集为_________.3.已知a R ∈，复数()(1)a i i z i-+=，若z 的虚部为1，则a =_________.4.已知cos 5cos(2),sin 32θππθθθ=-<，则sin 2θ=_________.5.若二项式21()n x x-的展开式共有6项，则此展开式中含4x 的项的系数是_________.6.若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =______.7.袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回的随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是_________.8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若396,,S S S 成等差数列，若254a a +=，则8a 的值为_________.9.已知球O 的半径是1，,,A B C 三点都在球面上，若A 和B 的球面距离、A 和C 的球面距离都是4π，B 和C 的球面距离是3π，则二面角B OA C --的大小是_________.10.已知实数,x y 满足不等式组2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，若目标函数(10)z y ax a =+-<<最大值为8，则a 的值为_________.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A ，,E F 为圆22:(1)(1)4C x y -+-=上的两动点，且EF =，若圆C 上存在点P ，使得,0AE AF mCP m +=>，则m 的取值范围为_________.12.已知0,0a b ≠>，若222()2f x b ax b a x b b =+-+-有两零点12,x x ，且120x x +<，则ab的取值范围上_________.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.关于“若4a b +=，则,a b 至少有一个等于2”及其逆命题的说法正确的是（）A.原命题为真，逆命题为假B.原命题为假，逆命题为真C.原命题为真，逆命题为真D.原命题为假，逆命题为假14.设34:02x xp x-≤，22:(21)0q x m x m m -+++≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A.[]2,1- B.[]31-， C.[)(]2,00,1- D.[)(]2,10,1-- 15.甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（虚线为甲的折线图），则以下说法错误的是（）A.甲、乙两人打靶的平均环数相等B.甲的环数的中位数比乙的大C.甲的环数的众数比乙的大D.甲打靶的成绩比乙的更稳定16.已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当AB 上一点F 满足(01)AF AB λλ=<<时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为（）A.12B.23C.35D.45三、解答题（本题共5小题，满分76分）17.（7分+7分）已知关于x 得二次方程：2(2)4(2)0(,)x i x ab a b i a b R ++++-=∈.（1）当方程有实数根时，求点(,)a b 的轨迹方程；（2）求方程实数根的取值范围.18.（7分+7分）已知函数23()sin 3sin cos (,,0)2f x a x a x x a b a b a =+-+<,（1）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为[]5,1-，求实数,a b 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 图像的对称中心和单调区间.19.（3分+4分+7分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()P x (单位：元)与时间x （单位：天）（130,x x N *≤≤∈）的函数关系满足()10kP x x=+（k 为常数，且>0k ），日销售量()Q x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为()f x （单位：元），且第20天的日销售收入为603元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+；②()||Q x a x m b =-+；③()xQ x ab =；④()log b Q x a x =.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()Q x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()Q x ，求()f x 的最小值.20.（4分+6分+6分）如图，已知双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ= .（1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN ⋅的取值范围；（3）试用λ表示MON △的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.21.已知数列{}n a ：1，2-，2-，3，3，3，4-，4-，4-，4-，⋅⋅⋅，11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个，即当1)(122k k k k n -+<≤（）（*k ∈N ）时，1(1)k n a k -=-，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+（*n ∈N ）.（1）求2020S 的值；（2）求当(1)(1)(2)22k k k k n +++<≤（*k ∈N ），试用n 、k 的代数式表示n S （*n ∈N ）；（3）对于*t ∈N ，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n ∈N ，且1}n t ≤≤，求集合2020P 中元素的个数.上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021年高三下学期5月高考模拟测试数学试卷（最后一卷）2021.5.31一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.若集合{}12,A x x x R =-<∈，则A Z = _________.【答案】{0,1,2}【解析】:13A x -<<，{}0,1,2A Z ∴= 。

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高考复习
练习 20．（14 分）已知无穷数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足S푛 = 퐴푎푛2 + 퐵푎푛 + 퐶，其中 A、B、C 是常数．（1）若 A＝0，B＝3，C＝﹣2，求数列{an}的通项公式；
1
1
（2）若 A＝1，B = 2，C = 16，且 an＞0，求数列{an}的前 n 项和 Sn；
（3）试探究 A、B、C 满足什么条件时，数列{an}是公比不为﹣1 的等比数列．
21．（14 分）已知函数 f（x）＝log2（x+a）； 1
（1）当 a＝1 时，若0＜f(1 - 2x) - f(x)＜2，求 x 的取值范围；
（2）若定义在 R 上奇函数 g（x）满足 g（x+2）＝﹣g（x），且当 0≤x≤1 时，g（x）＝f（x），求 g （x）在[﹣3，﹣1]上的反函数 h（x）；
푡 ‒ 2푥
（3）对于（2）中的
g（x），若关于
x
的不等式g(8
+
2푥
+
)
3
≥
1
‒
푙표푔23在
R
上恒成立，求实数
t
的取
值范围．
4
5
2021 年上海市高考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、填空题
1
1
1．（5 分）（2021•上海模拟）幂函数 y＝f（x）的图象经过点(4，4)，则f(4)的值为 4
9
1 解得：0 ≤ x ≤ 2，即函数的定义域为[0，12] 所以 arcsin（1﹣x）是减函数，arccos2x 也是减函数所以当 x＝0 时，函数有最大值，为y = 휋2 + 휋2 = 휋；
当x
=
1 2时，函数有最小值，为y
=
휋6
+
0
=
휋 6，
휋 所以值域为[6，휋]，
휋 故答案为[6，휋]．
1 19 由 an =- 9n + 9 = 0 得 n＝19，
即 a19＝0，当 n≥20 时，an＜0，
当 n＜19，an＞0，
因此在 a2，a4，a8，a2 ，中，当 n≤4 时，a2푛＞0，
푛
当 n≥5 时，a2푛＜0，
故当 n＝4 时，Bn 取得最大值．故答案为：4．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式的计算，要求熟练掌握相应的公式，考查学生的计算能力．
时，B 取得
n
7．（5 分）函数 y＝arcsin（1﹣x）+arccos2x 的值域为
．
8．（5 分）设正项数列 {an}的前 n 项和是 S n，若 {a n}和 { S 푛}都是等差数列，且公差相等，则 a 1+d
＝
．
{ 9．（5 分）已知函数 f（x） =
푥2 ‒ 3푡푥 (푡 ‒ 13)
+ 푥
18，푥 ≤ ‒3 푥
33，记
，＞
a ＝f（n）（n∈N*），若{a }是递减数列，则实数
n
n
t 的取值范围是
．
10．（5 分）已知 f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b 为常数），若对于任意 x∈R 都有 f（x）≥f（152휋），则方程 f
（x）＝0 在区间[0，π]内的解为．
故答案为：25．
【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（5 分）（2021•上海模拟）等差数列{an}中，a1＝2，S10＝15，记 Bn＝a2+a4+a8 + ⋯ + 푎2푛，则当 n＝
4 时，Bn 取得最大值．【考点】85：等差数列的前 n 项和．
9 푦的最小值是
25
．
【考点】7F：基本不等式及其应用．
【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用．
【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得பைடு நூலகம்．
【解答】解：∵x，y∈R+，且 4x+y＝1，
19
19
则푥 + 푦 = （4x+y）(푥 + 푦) = 13 +
푦푥
+
36푥 푦
≥
13+2
푦 36푥 푥 ⋅ 푦 = 25．
2
．在数列{a }中，若当 n≥k 时，a ＝1，当 1≤n＜k 时，a
n
n
n
＞1（k≥2，k∈N*），则首项 a1 可取数值的个数为
（用 k 表示）．
二、选择题
13．（5 分）函数 y＝2x+log2x 的零点在区间（）内．
A．(14，13)
B．(13，25)
C．(25，12)
D．(12，23)
11．（5 分）函数 g（x）（x∈R）的图象如图所示，关于 x 的方程[g（x）]2+m•g（x）+2m+3＝0 有三个不
同的实数解，则 m 的取值范围是
．
1
20
12．（5 分）已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数 n，当 a n为偶数时，
푎푛
푎푛 + 1
an+1 = 2 ；当 an 为奇数时，an+1 =
∴ 2푡푎푛(휋
+
훼)
+
푐표푡(휋2
‒ 훼) + 훼)
=
푠푖푛훼 + 2푠푖푛훼 2푡푎푛훼 ‒ 푡푎푛훼
=
3cosα
=
12 5．
12 故答案为： 5 ．
【点评】本题考查诱导公式的运用，考查学生的计算能力，正确运用诱导公式是关键．
3．（5
2 分）（2021•上海模拟）计算：푛l→i∞m[n2（푛
‒
푛
휋 7．（5 分）（2021•上海模拟）函数 y＝arcsin（1﹣x）+arccos2x 的值域为 [6，휋] ．
【考点】34：函数的值域；4R：反函数；HV：反三角函数．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，根据单调性求最值．
【解答】解：由题意知{ - 1‒≤1 ≤12-푥 ≤x 1≤ 1，
‒
푛
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]＝
．
4．（5 分）已知二元一次方程组的增广矩阵是（1m 푚4 푚푚+ 2 ），若该方程组无解，则实数 m 的值
为
．
5．（5
分）已知
x，y∈R+，且
1 4x+y＝1，则푥
+
9 푦的最小值是
．
6．（5 分）等差数列{an}中，a1＝2，S10＝15，记 Bn＝a2+a4+a8 + ⋯ + 푎2푛，则当 n＝最大值．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】由条件求出数列的公差，利用等差数列的前 n 项和公式进行计算即可．
8
【解答】解：在等差数列{an}中，a1＝2，S10＝15， 10 × 9
∴S10＝10a1 + 2 푑 = 15，
即 20+45d＝15，45d＝﹣5，
1 ∴d =- 9，
1
1 19
an＝2 - 9（n﹣1） =- 9n + 9 ，
19．（14 分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点 A、B、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点 C 在点 A 的北偏东 47°方向，点 B 在点 C 的南偏西 36°方向，点 B 在点 A 的南偏东 79°方向，且 A、B 两点的距离约为 3 海里．
3
（1）求 A、C 两点间的距离；（精确到 0.01）
푙푖푚[
푛→∞
푛(푛
+
1)
+
푛(푛
+
2)]
=
1
2
푛푙푖→푚∞（1 + 푛1 + 1 + 푛2）＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查极限的计算，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．（5 分）（2021•上海模拟）已知二元一次方程组的增广矩阵是（1m 푚4 푚푚+ 2 ），若该方程组无解，则
实数 m 的值为 ﹣2 ．
=
4
푐표푠(훼 ‒ 휋2) + 2푠푖푛(휋
5，则2푡푎푛(휋 + 훼) + 푐표푡(휋2
‒ 훼) + 훼)
=
152 ．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用诱导公式化简，再代入即可得出结论．
6
4 【解答】解：∵cosα = 5，
푐표푠(훼 ‒ 휋2) + 2푠푖푛(휋
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]＝
3
．
【考点】6F：极限及其运算．
【专题】52：导数的概念及应用．
【分析】푛l→i∞m[n2（푛2
‒
푛
1 +
1
‒
푛
1 +
2）]
=
푛2
2푛2
푙푖푚[
푛→∞
푛(푛
+
1)
+
푛(푛
+
2)]，由此可求极限的值．
【解答】解：lim[n
푛→∞
2（
2 푛
‒
푛
1 +
1
‒
푛