湘教版八年级数学下册直角三角形的性质和判定Ⅰ教案

1.1.1 直角三角形的性质

教学目标

知识与技能：1.理解并掌握直角三角形的判定定理和斜边上的中线性质定理。

2.能运用直角三角形的判定与性质，解决有关的问题。

过程与方法：通过对几何问题的“操作—探究—讨论—交流—讲评”的学习过程，提高分析

问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：感受数学活动中的多向思维、合作交流的价值，主动参与数学思维与

交流活动。

教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的推导与运用。

教学难点：“操作—探究—讨论—交流—讲评”得出直角三角形斜边上的中线性质定理。

教学过程

一、教学引入

1、三角形的内角和是多少度。学生回答。

2、什么是直角三角形？日常生活中有哪些物品与直角三角形有关？请举例说明。

3、 等腰三角形有哪些性质？

二、探究新知

1、探究直角三角形的判定定理：

⑴ 观察小黑板上的三角形，由∠A +∠B 的度数，能说明什么？

——两个锐角互余的三角形是直角三角形。

⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？

2、探究直角三角形的性质：

⑴ 学生画出直角三角形ABC 斜边的中线CD 。

⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边长度之间的关系。

⑶ 学生猜想：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

3、 共同探究：

例 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线。

求证：CD =12

AB 。 [教师引导：数学方法——倒推法、辅助线]

三、应用迁移 巩固提高

练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。

即已知CD 是△ABC 的AB 边上的中线，且CD =12

AB 。求证：△ABC 是直角三角形。 提示：倒推法，要证明△ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角有关系。现在我们只有边的关系，我们学过的边与角能联系起来的就是等腰三角形。还要找到与90°有关的角，但是我们只知道三角形的内角和为180°。通过提示，请同学们自己写出证明过程。

四、课堂小结

1、两个锐角互余的三角形是直角三角形。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。反过来讲也正确。

五、作业布置 练习

教学反思：

1.1.2 直角三角形的性质的推论

重难点

重点：直角三角形的性质推论：

（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;

（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.

难点：

1.性质定理的证明方法.

2.性质定理及其推论在解题中的运用.

讲一讲

例1 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =8 cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ， ∠A =30°，求BC ，CD 和DE 的长.

分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，得BC 的长.由直角三角形斜边中线的性质可求CD 的长.在Rt △ADE 中，由∠A =30°，即可求DE 的长.

解：∵∠ACB =90，∠A =30°，∴

AB BC 21=.

∵AB =8，∴BC =4.

∵D 为AB 的中点，CD 为中线，

∴421==AB CD . ∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°.

∵在Rt △ADE 中，

AD DE 21=，而AB AD 21=，

∴241==AB DE . 例2 在△ABC 中，AB =AC =BC （△ABC 为等边三角形），D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于点E .求证：AC CE 41=.

分析：CE 在Rt △DEC 中，由△ABC 为等边三角形得出∠EDC =30°，进而得出CE 是CD 的一半.又由D 为BC 的中点，得CD 为BC 的一半，因此得证.

证明：∵DE ⊥AC 于点E ，∴∠DEC =90°(垂直的定义).

∵△ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠C =60°.

∵在Rt △EDC 中，∠C =60°，∴∠EDC =90°-60°=30°，

∴CD EC 21=.

∵D 为BC 的中点，

∴

BC DC 21=， ∴AC DC 21=. ∴AC CE 41=.

例3 如图，AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD =CD ，AC =BC .

求证：AB =BO .

分析：证AB =BO 只需证明∠BAO =∠BOA .由等腰直角三角形的性质可知，

BC DF 21=.由此，建立起AE 与AC 之间的关系，故可利用角相等得证.

证明：如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，过点A 作AE ⊥BC 于点E .

∵在△BDC 中，BD ⊥CD ，BD =CD ，

∴BC DF 21=.

∵BC =AC ， ∴

AC DF 21=.

∵DF=AE，∴

AC AE

2

1

，

∴∠ACB=30°.

∵∠CAB=∠ABC，∴∠BAO=∠ABC=75°.

∴∠OBA=30°.

∴∠AOB=75°.

∴∠BAO=∠AOB，∴AB=BO.

练一练

1.在△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB.求证：AE=2CE.

2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA.

求证：DE=DC.

3.如图，已知AB=AC，AD⊥BC于点D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于点E，若AD=9，BC=12，求BE的长.

5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长.

教学反思：