固体物理考研试卷合集

中国科技大学

一九九七年招收硕士学位研究生去学考试试题 试题名称：固体物理

一 很多元素晶体具有面心立方结构，试

1 绘出其晶胞形状，指出它所具有的对称元素

2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状

3 面心立方的Cu 单晶（晶格常熟a=3.61Å）的x 射线衍射图（x 射线波长λ＝1.54Å）中，为什么不出现（100），（422），（511）衍射线？ 4它们的晶格振动色散曲线有什么特点？

二 已知原子间相互作用势n

m

r r

r

U β

α

+

−

=)(，其中α，β，m,n 均为>0的常数，试证明此

系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m。

三 已知由N 个质量为m ，间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为

2sin 42

1

qa m ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=βω

1 试给出它的格波态密度()ωg ，并作图表示

2 试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率max ω的意义

四 半导体材料的价带基本上填满了电子（近满带），价带中电子能量表示式

，其中能量零点取在价带顶。这时若处电子被激

发到更高的能带（导带）而在该处产生一个空穴，试求此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量。（已知，())(10016.1234J k k E ×−=cm k 6101×=s J ⋅×=−34

10054.1h 2

3

35101095s

w ⋅×−0.9cm =m ）

五 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为5.3=a Å，假设每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导时，金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（已知）

K T 0=J 19

10

−eV 602.11×=

六 二维自由电子气的电子能量表达式是

()

m k m k k E y

x 222

222h h +

=

当方向有磁场入射时，电子能量本征值将为一系列Landau 能级。Landau 能级是高简并度分立能级，试导出其简并度。

z k

中国科学院1997年硕士研究生入学试题参考答案 一 （每题5分，工20分）

1 晶胞如图：

对称元素：3个立方轴，4个3次轴，6个2次轴，1个一次轴，一个中心反映。 2 倒易点阵为体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。

3 面心立方结构的消光条件不允许出现奇偶混杂的面指数，所以（100），（110）衍射线不出现，又因为衍射条件要求d 2≤λ，所以，74.0)422(=d Å，09.0)511(=d Å，不符合衍射条件，不出现衍射峰。

4 只有3支声学振动，没有光学支。在[100]和[111]方向，两支横声学波是简并的。 二 解：满足稳定态的条件

()()0)()1()1(,0,020

202

02222>−=+++−=>=+++m n r m r n n r m m dr r u d dr r u d dr du m n m α

α 所以n>m 。

三 解：1 根据态密度定义可以给出

()dq L

d g π

ωω2=

（这里L ＝Na ） 一维原子链应考虑正负两支

所以 ()dq

d L

dq d L

g ωπωπω=×

=22 将2

sin

42

1

qa

m ⎟

⎠

⎞

⎜⎝⎛=βω代入得： 21

22

)(2

2cos 2ωωωω−==m m a qa a dq d 得：()()

2

1222ω

ω

π

ω−=m

N

g ，其中m

m βω4=

2

截止频率是只有频率在ω到ωm 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减，一维单原子晶格看作成低通滤波器。

四 解：02

22

6.0m k

E m e

−=∂∂=∗h

所以，空穴的有效质量为： 06.0m m m e h =−=∗

∗ 空穴波矢：cm k k e h 6

101×−=−= 空穴准动量：cm

s

J k h •×−=×××−=−−28

634

10105410110054.1h 空穴速度为：()

s cm k dk

dE v k

6341093.110016.121

1×=×××=

=

−h

h 空穴能量：

()J k E E h 22

10

016.1−×=−=

五 解：按自由电子气模型，能量E －E ＋dE 之间的电子数为

()dE E f E m V dN 2

1

2

322242⎟⎠

⎞⎜⎝⎛•=h π

在时

K T 0= 1)(=E f 当

F E E <0)(=E f 当

F E E > 故∫

⎟⎠

⎞

⎜⎝⎛•=

00

21

2

322242F

E dE E m V N h π

23

02

322231F E m ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛=h π 令V

N n =

，得：()

32

2

2032n m E F πh = 锂晶体电子浓度 ()3223

81066.4105.31

cm n ×=×=

−

所以(

)

eV n m

E F

72.4323

222

0==πh

六 解：()

m

k m k k k E t y x 222

22

222h h h r =+=

，等能面是一个圆，其半径h

mE

k t 2= 园内状态数()()A mE

k A

E N t •=

••

=2

22

22h πππ