【解析版】广东省中山市重点中学2013年高考数学一模试卷(文科)
2013年广东省中山市重点中学高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2013•中山一模）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）
．
a b
解：∵根据正弦定理，
cosC==＜
2
，[，]∪（[，[斜率等于＞﹣
斜率等于
≥
，∴≤α
6．（5分）（2013•中山一模）有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取
B．
∴取出的球的编号互不相同的概率为
7．（5分）（2013•中山一模）已知直线ax+by+c=0与圆o：x2+y2=1交于A、B两点，且|AB|=，则•=
B
的大小，即可求得的值．
的正弦值，即sin=
则=1=
8．（5分）（2013•中山一模）若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（）
9．（5分）（2013•中山一模）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH的面积不改变；
③棱A1D1始终与水面EFGH平行；
④当E∈AA1时，AE+BF是定值．
其中正确说法是（）
10．（5分）（2013•中山一模）函数f（x）=x2﹣bx+a的图象如图所示，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（）
（，，
∈
，
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）
11．（5分）（2013•中山一模）若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程为4x﹣y﹣3=0．
12．（5分）（2013•中山一模）若命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为a＜﹣2或a＞2．
13．（5分）（2013•中山一模）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母
线的夹角）是．
．
故答案为：．
14．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．
个，
+3
即为
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（12分）（2013•中山一模）函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如下图所
示，该图象与y轴交于点F（0，1），与x轴交于点B，C，M为最高点，且三角形MBC的面积为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．
，
的值，利用二倍角公式、两角和差的余弦公式求得
，∴周期
，又∵，∴
（Ⅱ）由，得
，∴，
，
=
16．（12分）（2013•中山一模）已知等差数列{a n}中，a2=3，a4+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足：b n+1=2b n，并且b1=a5，试求数列{b n}的前n项和S n．
，根据题意得：，解方程可求
，根据题意得：
解得：
=9
17．（14分）（2013•资阳二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．
，得到
，∵
，
=
，∴
AG=
2000人，各年级男，女生人数如下表：
0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．
，∴
应在高三年级抽取的人数为
19．（14分）（2013•中山一模）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到15一O.1x万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为l0．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润=售价一供货价格．问：
（I）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（Ⅱ）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？
此时每套供货价格为
元时，由得，
依题意，单套丛书利润
当且仅当，即
20．（14分）（2013•中山一模）已知函数，其中实数a，b是常数．
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（1）≥0”发生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式；
（Ⅲ）记y=f（x）的导函数为f′（x），则当a=1时，对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]使得f（x1）=f′（x2），求实数b的取值范围．
，得到，即
=
，
=
，∴
）上单调递增，即
，时，
．
且，解得。
2013年广东文科数学高考模拟试题10份(含详细答案)1
俯视图侧视图正视图2013届广东高考数学（文科）模拟试题（一）满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （ ）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于 （ ）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<3、已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=,则a 与b 的夹角为 ( ) A 、3π B 、34π C 、4π D 、6π 4、函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）5、已知x ，y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的比值为（ ）A 、12 B 、2 6 A 、1275 B 、C 、1225 D 、1326 7、已知x 、y ） A 、1.30 B 、1.45 C 、1.65 D 、1.808、已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A 、1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、(1,)+∞C 、(1,2)D 、1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9、若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A 、B 、10(1,)n n n N *>∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则23344520122013a a a a ++=（ ） A 、20102011 B 、20112012 C 、20122013 D 、20132012二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2013年广东高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ，2{|20,}T x x x x =-=∈R ，则S T = ( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【测量目标】集合的交集运算.【考查方式】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素. 【参考答案】A【试题解析】集合S ={0，2-}，T ={0，2}，故S T ={0}，故选A. 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 ( ) A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【测量目标】函数的定义域和集合的交集运算.【考查方式】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域. 【参考答案】C【试题解析】要使函数有意义，需1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得11x x >-≠且，（步骤1）故函数的定义域为1,11+∞ （-）（，），故选C. （步骤2）3．若i(i)34i x y +=+，,x y ∈R ，则复数i x y +的模是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【测量目标】复数的四则运算及复数的模.【考查方式】通过等式两边增添、通分等手段化简求出复数的代数形式，进而求出复数的模. 【参考答案】D【试题解析】方法一：因为i(i)34i x y +=+，所以()()()34i i 34i i ==43i i i i x y +-++=--，（步骤1）故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法二：因为i(i)34i x y +=+，所以+i=3+4i y x -，所以4x =，3y =-，（步骤1） 故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）方法三：因为i(i)34i x y +=+，所以(i)i(+i)=(i)(34i)=43i x y --⋅+-，（步骤1）即i=43i x y +-，故22i =43i =4+(3)5x y +--=，故选D. （步骤2）4．已知5π1sin()25α+=，那么cos α= ( ) A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【测量目标】诱导公式.【考查方式】通过三角函数的化简变形，正弦和与余弦互化. 【参考答案】C【试题解析】因为5πππ1sin()sin(2π+)sin()2225ααα+=+=+=，故1cos =5α，故选C. 5．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 ( )A ．1B ．2C ．4D ．7【测量目标】程序框图和流程图.【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】C【试题解析】根据初始化条件，顺序执行程序就可以得到结果. 第一次执行循环：12s i ==，(23…成立)；（步骤1）第二次执行循环：23s i ==，(33…成立)；（步骤2）第三次执行循环：44s i ==，(43…不成立)，结束循环，故输出4s =，故选C. （步骤3）6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ()A ．16 B ．13 C ．23D ．1 第5题图第6题图【测量目标】平面图形的三视图的和棱锥的体积.【考查方式】由三视图还原出直观图，根据“长对正，高对齐，宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算. 【参考答案】B【试题解析】如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，（步骤1） 故其体积为111112323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B. （步骤2） 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 ( ) A ．20x y +-= B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．20x y ++= 【测量目标】直线与圆的位置关系、直线的方程.【考查方式】给定所求直线与已知直线垂直和已知圆相切的位置关系，利用待定系数法求出直线方程，再利用数形结合法对所求参数值进行取舍. 【参考答案】A【试题解析】与直线1y x =+垂直的直线方程可设为0x y b ++=，（步骤1） 由0x y b ++=与圆221x y +=相切，可得22||111b =+，得2b =±.（步骤2）由于两者相切于第一象限，则可知2b =-，故直线方程为20x y +-=，故选A. （步骤3）8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是. ( )A ．若l α∥，l β∥，则αβ∥ B ．若l α⊥，l β⊥，则αβ∥ C ．若l α⊥，l β∥，则αβ∥ D ．若αβ⊥，l α∥，则l β⊥ 【测量目标】空间中直线、平面之间的位置关系.【考查方式】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系. 【参考答案】B【试题解析】选项A ，若l α∥，l β∥，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B ，若l l αβαβ⊥⊥，，则∥，故正确；选项C ，若l l αβαβ⊥⊥，∥，则，故错误；选项D ，若,l αβα⊥∥，则l 与β的位置关系有三种可能：l l l βββ⊥⊂，∥，，故错误.故选B. 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 () 第6题图A ．14322=+y xB ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【测量目标】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质.【考查方式】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程. 【参考答案】D【试题解析】右焦点为(1,0)F 说明有两层含义：椭圆的焦点在x 轴上和1c =.又离心率为12c a =，故2a =，222413b a c =-=-=，（步骤1） 故椭圆的方程为13422=+y x .（步骤2）10．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【测量目标】平面向量基本定理.【考查方式】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断. 【参考答案】C【试题解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为-a b 是确定的，故总存在向量c ，满足=-c a b ，即=+a b c ，故正确.对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足λμ=+a b c ，故正确；对于③，如果λμ=+a b c ，则以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ，故正确；对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以||a ，||λb ，||μc 为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误. 因此选C二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________ 【测量目标】等比数列的通项与性质.【考查方式】给定等比数列的首项和公比，求出通项公式，再构造新数列，求解新数列的部分和. 【参考答案】15【试题解析】由首项和公比写出等比数列的前四项，然后代入1234||||a a a a +++求值. 也可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.方法一：1234||||a a a a +++=()()()231|12||12||12|15+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二：因为1234||||a a a a +++=1234||||||||a a a a +++，数列{||}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-.12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =________ ． 【测量目标】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义【考查方式】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数. 【参考答案】12【试题解析】计算出函数2ln y ax x =-在点(1,)a 处的导数，利用导数的几何意义求a 的值. 因为12y ax x'=-，所以1|2 1.x y a ='=-（步骤1） 因为曲线在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故210a -=，12a =.（步骤2） 13．已知变量,x y 满足约束条件30111x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩…剟…，则z x y =+的最大值是 ________【测量目标】线性规划问题的最值求解.【考查方式】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值. 【参考答案】5【试题解析】画出平面区域如图阴影部分所示，由z x y =+，得y x z =-+，z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，（步骤1）由图知，当直线y x z =-+经过点(1,4)B 时，目标函数取得最大值，为145z =+=.（步骤2）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）第13题图14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________ ．【测量目标】极坐标方程、普通方程和参数方程的互化.【考查方式】已知极坐标方程，通过建立直角坐标系将其化为普通方程，从而得出参数方程.【参考答案】cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）【试题解析】先把极坐标方程化为普通方程，再把普通方程化为参数方程. 2cos ρθ=化为普通方程为22222x x y x y +=+，即22(1)1x y -+=，（步骤1）则其参数方程为1cos sin x y αα-=⎧⎨=⎩，（α为参数），即cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数）（步骤2）15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED =________ ．【测量目标】正弦定理和余弦定理在几何中的应用.【考查方式】由平面图形中给定线段，利用勾股定理和三角函数求解平面图形中线段的长度. 【参考答案】212【试题解析】由题意可求AE 的长及BAC ∠，故可把DE 放在AED △或ECD △中，利用余弦定理求解.也可以从E 点出发作辅助线，将DE 放在直角三角形中求解.方法一：因为3AB =，3BC =，所以223(3)23AC =+=，3tan 33BAC ∠==，所以π3BAC ∠=.（步骤1）在Rt BAE △中，π3cos 32AE AB ==，则3332322CE =-=. （步骤2）第15题图在ECD △中，2222cos DE CE CD CE CD ECD=+-⋅∠223333121()(3)232224=+-⨯⨯⨯=，故212DE =.（步骤3） 方法二：如图，作EM AB ⊥交AB 于点M ，作EN AD ⊥交AD 于点N .（步骤1） 因为3AB =，3BC =, 所以3tan 33BAC ∠==，则π3BAC ∠=，（步骤2）π3cos 32AE AB ==，π313cos 3224NE AM AE ===⨯=, π333sin 3224AN ME AE ===⨯=，39344ND =-=. （步骤3） 在Rt DNE △中，22DE NE ND =+223921()()442=+=，（步骤4）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数π()2cos(),12f x x x =-∈R ． (1) 求π()3f 的值； (2) 若33πcos ,(,2π)52θθ=∈，求π()6f θ-． 【测量目标】正弦函数和余弦函数的图象与性质..【考查方式】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等方法求出函数值. 【试题解析】(1)因为π()2cos()12f x x =-，所以ππππ2()2cos()2cos 21331242f =-==⨯= (2)因为3π(,2π)2θ∈，3cos 5θ=，所以22234sin 1cos 1()55θθ=--=--=-. （步骤1） 所以π()6f θ-=ππ26θ--π24θ=-=222(cos sin )22θθ⨯+=cos sin θθ+=341555-=-. （步骤2）17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：第15题图分组（重量） [80,85) [85,90)[90,95)[95,100)频数（个）5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率． 【测量目标】频数分布表、频率、分层抽样、古典概型等概念的理解和相关运算.【考查方式】由频数分布表找出相应范围内的频数，由分层抽样确定在某范围内的个体数目，用列举法求解古典概型.【试题解析】（1）根据频数分布表，苹果重量在[90,95)范围内的频数为20，因为样本容量为50，故所求频率为200.450=. （2）重量在[80,85)和[95,100)范围内的苹果频数之比为5:151:3=，又1414⨯=，故重量在[80,85)内的苹果个数为1.（3）从苹果重量在[80,85)范围内抽出的苹果记为a ，从[95,100)范围内抽出的苹果记为1,2,3，则任取两个苹果的所有情况为{,1}a ，{,2}a ，{,3}a {1,2}，{1,3}，{2,3}，共六个结果，（步骤1）记事件{A =重量在[80,85)和[95,100)中各有一个苹果}，其包含的基本事件个数为3，故31()62P A ==. （步骤2）18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF △沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥ABCF -，其中22BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【测量目标】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质、平面图形的折叠问题和三棱锥的体积的求法. 【考查方式】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积.第18题图【试题解析】（1）证法一：在折叠后的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以AD AEAB AC=, 所以DE BC ∥. （步骤1）因为DE ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCF ，所以DE ∥平面BCF .（步骤2） 证法二：在折叠前的图形中，因为,AB AC AD AE ==, 所以A D A EA B A C=, 所以D E B C ∥，即,D G B F E G C F ∥∥.（步骤1）在折叠后的图形中，仍有,DG BF EG CF ∥∥. 又因为DG ⊄平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，所以DG ∥平面BCF ，同理可证EG ∥平面BCF . （步骤2）又,DG EG G DG =⊂ 平面DEG ,EG ⊂平面DEG ，故平面DEG ∥平面BCF . （步骤3） 又DE ⊂平面DEG ，所以DE ∥平面BCF .（步骤4）（2）证明：在折叠前的图形中，因为ABC △为等边三角形，BF CF =， 所以AF BC ⊥，则在折叠后的图形中，,.AF BF AF CF ⊥⊥（步骤1）又12,22BF CF BC ===，所以222BC BF CF =+, 所以BF CF ⊥. （步骤2） 又BF AF F = ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以CF ⊥平面ABF .（步骤3） (3) 解：由（1）可知GE CF ∥，结合（2）可得GE ⊥平面DFG .（步骤1）1132F DEG E DFG V V DG FG GF --∴==⋅⋅⋅⋅1111313()323323324=⋅⋅⋅⋅⋅=（步骤2）19．（本小题满分14分）设各项均为正数的 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n *+=--∈N 且2514,,a a a 构成等比数列．(1) 证明：2145a a =+；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．【测量目标】等差数列、等比数列的定义及应用，函数与方程的思想以及不等式的证明.【考查方式】把等式、不等式、等差数列和等比数列等知识结合在一起来考查，考查了递推公式、等比中项、等差数列的概念和通项公式，会用列项相消法求数列的前n 项和，放缩法证明不等式的知识. 【试题解析】解：（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，（步骤1）21045n a a a >∴=+ （步骤2）（2）当2n …时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,（步骤1）102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n …时，{}n a 是公差2d =的等差数列. （步骤2）2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =,（步骤3）由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=（步骤4）21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. 为正等差数列∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（步骤5）（3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ （步骤1） 1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111.2212n ⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦（步骤2）-20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【测量目标】点到直线的距离公式、直线的点斜式方程、抛物线的定义和标准方程、导数的几何意义、直线与抛物线的交点、二次函数的最值以及待定系数法的应用.【考查方式】由点到直线的距离公式建立关于c 的方程，从而确定c 并写出抛物线的标准方程；设出点坐标并求出切线方程从而得到所求直线方程；利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，建立关于y 的目标函数，从而确定函数的最小值.【试题解析】（1）依题意023222c d --==，解得1c =（负根舍去）（步骤1） ∴抛物线C 的方程为24x y =.（步骤2）（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . （步骤1）∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. （步骤2） ∵21141x y =， ∴112y x xy -= . （步骤3） ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ①，同理 20202y x xy -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. （步骤4） ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=；（步骤5）（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+，所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++ （步骤1）联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=，2212001202,y y x y y y y ∴+=-=（步骤2）0020x y --= ()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2()+22y y y ++ （步骤3）∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92 （步骤4）21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()k ∈R ． (1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()2321f x x kx '=-+【测量目标】导数的计算和导数在研究函数中的应用，利用导数来求函数的单调区间和最值.【考查方式】由抛物线与直线方程的位置关系来求解方程，通过导数来求函数及函数的单调区间；对于导数中含有未知数，需要讨论判别式∆的符号，然后比较区间端点的函数值与极值的大小从而确定最值.【试题解析】(1)当1k =时()2321,f x x x '=-+（步骤1）41280∆=-=-<()0f x '∴>,()f x 在R 上单调递增.（步骤2）（2）当0k <时，()2321f x x kx '=-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（步骤1） 第21题图（i ）当()()2412433k k k ∆=-=+-…，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在[],k k -上单调递增，（步骤2）从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == ,当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（步骤3）（ii ）当()()24124330k k k ∆=-=+->，即3k <-时，令()23210f x x kx '=-+=解得：221233,33k k k k x x +---==,注意到210k x x <<<,（步骤4）(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断) ()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,（步骤5）()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--（步骤6）综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--（步骤7）解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-…，故()()f x f k …（步骤1）32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++…故()()f x f k -…（步骤2）而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==（步骤3）（1）解法3：因为2()321f x x kx '=-+，22(2)4314(3)k k ∆=--⨯⨯=-；（步骤1） ○1当0∆…时，即30k -<…时，()0f x '…，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；（步骤2）○2当0∆>时，即3k <-时，令()0f x '=，解得22223363k k k k x +-+-==或22223363k k k k x ----==；（步骤2）令()0f x '>，解得233k k x --<或233k k x +->；（步骤3）令()0f x '<，解得223333k k k k x --+-<<；（步骤4）因为223033k k k k k +-+<=<-，2232333k k k k k k --->=>作()f x 的最值表如下：xk 23,3k k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 233k k --2233,33k k k k ⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭233k k +-23,3k k k ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭k -()f x ' +- 0+()f xk极大值极小值32k k --则23min (),3k k m f k f ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪= ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭，23max (),3k k M f k f ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤5）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3222(26)3927k k k k ----+=； 3223222(26)1832(26)318()32727k k k kk k k k k k f f k ⎛⎫----+-------=> ⎪ ⎪⎝⎭2480279k k -==->，所以23min (),()3k k m f k f f k k ⎧⎫⎛⎫+-⎪⎪=== ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤6）因为22222333313333k k k k k k k k f k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--------⎢⎥=-⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3222(26)3927k k k k -+--+=；2322332(26)395427()327k k k k k k k k f f k ⎛⎫---+--+++--= ⎪ ⎪⎝⎭32322352(26)3652(26)33650420272727k k k k k k k k k k +-++--++=<=<；所以233max (),()23k k M f k f f k k k ⎧⎫⎛⎫--⎪⎪=-=-=-- ⎪⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭；（步骤7） 综上所述，所以m k =，32M k k =--.（步骤8）。
2013广东高考数学文科试题及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．255．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是图 1A ．1B ．2C ．4D ．7 6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是图 2俯视图侧视图正视图A ．16 B ．13 C ．23D ．1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 A ．0x y += B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=8．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 12．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 图 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？ (3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中2BC =． (1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ； (3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -． 图 419．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列． (1) 证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ,()'2321f x x kx =-+参考答案一、选择题 1．A 由题意知{}0,2S=-，{}0,2T =，故{}0S T = ；2．C 由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为()()1,11,-+∞ ；3．D 因为()34ix yi i +=+，所以34xi y i -=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，x yi +的模5==；4．C 51sin sin()cos ()cos()cos 22225ππππααααα⎛⎫⎡⎤+=+=-+=-==⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；5．C ；1i =时，1(11)1s =+-=；2i =时，1(21)2s =+-=；3i =时，2(31)4s =+-=； 6．B 由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V =⋅⋅⋅⋅=； 7．A 设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1==，所以b =为相切与第一象限，所以0b >，故b =l 的方程为0x y +=；8．B 若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若,//l l αβ⊥，则αβ⊥，故C 错；,l αβα⊥//，若l 平行交线，则//l β，故D 错；9．D 由焦点可知()1,0F可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知11,2c c a ==，所以2,a b ===准方程为22143x y += 10．B ①②容易判断是对的，③给定单位向量b 和正数μ，可知b λ 的方向确定，c μ的模确定，如图，若c AB μ< ，则等式不能成立；④给定正数λ和μ，则b λ 和c μ的模确定，若b c a λμ+< ，则等式不成立。
2013年广东高考数学文科试题及答案
2013年广东高考数学文科试题及答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：13V Sh =．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = A ．{0} B ．{0,2} C ．{2,0}- D ．{2,0,2}- 【解析】：选A 2．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是 A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：C3．若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解析】：选D . 4．已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：选C.5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．7 【解析】选C.6．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是 A ．16 B ．13 C ．23D ． 【解析】选B.7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是 A．0x y += B ．10x y ++=图 1图 2俯视图侧视图正视图C ．10x y +-=D ．0x y ++=【解析】选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =8．设为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】选B9．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x【解析】选D.10．设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+a b c ；②给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+a b c ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量 b ， c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．设数列{}n a 是首项为，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=【解析】1512．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ． 【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意''1112,210,2x y ax y a a x ==-=-=∴= 13．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-≥+-11103y x y x ，则z x y =+的最大值是．【解析】最优解为()1,4，故填 5 ；（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．【解析】先化成直角坐标方程()2211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数） 15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ． 【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=从而30AE CAD =∠= ，DE ==三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．图 3(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ==-，1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．17．（本小题满分13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，其中重量在[80,85)的有几个？(3) 在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率．【解析】（1）苹果的重量在[)95,90的频率为20=0.450； （2）重量在[)85,80的有54=15+15⋅个； （3）设这4个苹果中[)85,80分段的为1，[)100,95分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在[)85,80和[)100,95中各有1个的事件为A ，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以31(A)62P ==.18．（本小题满分13分）如图4，在边长为1的等边三角形ABC 中，,D E 分别是,AB AC 边上的点，AD AE =，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图5所示的三棱锥A BCF -，其中BC =(1) 证明：DE //平面BCF ； (2) 证明：CF ⊥平面ABF ；(3) 当23AD =时，求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -．【解析】（1）在等边三角形ABC 中，AD AE =AD AEDB EC∴=,在折叠后的三棱锥A BCF -中 也成立，//DE BC ∴ ,DE ⊄ 平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ；（2）在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥①，12BF CF ==. 在三棱锥A BCF -中，BC =222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥② BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面；（3）由（1）可知//GE CF ，结合（2）可得GE DFG ⊥平面.11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ⎝19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．图 4(1)证明：2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++< ． 【解析】（1）当1n =时，22122145,45a a a a =-=+，20n a a >∴=（2）当2n ≥时，()214411n n S a n -=---，22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+∴当2n ≥时，{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列，25214a a a ∴=⋅，()()2222824a a a +=⋅+，解得23a =, 由（1）可知，212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-= ∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+ 11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为．设P 为直线上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线上移动时，求AF BF ⋅的最小值．【解析】（1）依题意d 1c =（负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =；（2）设点11(,)A x y ,22(,)B x y ，),(00y x P ，由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理， 20202y x x y -=. ② 综合①、②得，点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y x xy -=002，即00220x x y y --=； （3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为9221．（本小题满分14分）设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈．(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间；(2) 当0<k 时,求函数)(x f 在[]k k -,上的最小值m 和最大值M ． 【解析】：()'2321fx x kx =-+(1)当1k =时()'2321,41280fx x x =-+∆=-=-<()'0f x ∴>,()f x 在R 上单调递增.（2）当0k <时，()'2321f x x kx =-+，其开口向上，对称轴3kx =，且过()01，（i）当(241240k k k ∆=-=+-≤，即0k ≤<时，()'0f x ≥，()f x 在[],k k -上单调递增，从而当x k =时，()f x 取得最小值()m f k k == , 当x k =-时，()f x 取得最大值()3332M f k k k k k k =-=---=--.（ii ）当(241240k k k ∆=-=>，即k <时，令()'23210f x x kx =-+=解得：12x x ==,注意到210k x x <<<,(注：可用韦达定理判断1213x x ⋅=，1223kx x k +=>,从而210k x x <<<；或者由对称结合图像判断)()(){}()(){}12min ,,max ,m f k f x M f k f x ∴==-()()()()32211111110f x f k x kx x k x k x -=-+-=-+>()f x ∴的最小值()m f k k ==,()()()()()232322222222=[1]0f x f k x kx x k k k k x k x k k --=-+---⋅-+-++<()f x ∴的最大值()32M f k k k =-=--综上所述，当0k <时，()f x 的最小值()m f k k ==,最大值()32M f k k k =-=--解法2（2）当0k <时，对[],x k k ∀∈-，都有32332()()(1)()0f x f k x kx x k k k x x k -=-+-+-=+-≥，故()()f x f k ≥32332222()()()(221)()[()1]0f x f k x kx x k k k x k x kx k x k x k k --=-++++=+-++=+-++≤故()()f x f k ≤-，而 ()0f k k =<，3()20f k k k -=-->所以 3max ()()2f x f k k k =-=--，min ()()f x f k k ==。
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷I)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。
【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}．2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i1i +(-)＝( )．A. −1−12i B ．11+i 2- C ．1+12i D ．1−12i 【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。
【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。
【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13. 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ． y =±14x B ．y =±13x C ．12y x =± D ．y =±x【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。
【解析】∵2e =2c a =，即2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：∀x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 【答案】B【考点】本题主要考查常用逻辑用语等基本知识。
广东省中山一中2013届高三高考模拟数学文试题
DCBA中山一中2013年高考文数模拟试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z 的实部是1-，虚部是2，其中i 为虚数单位，则z1在复平面对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若,30,1253==S S 那么7S =A ．43B ．54C ．48D ．56 3.“2a =”是“直线l ：y x a =+和圆C :221x y +=相切”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 （ ）A ．163B ．8C ．16D ． 835．如图，在ABC ∆中，已知DC BC 3=，则AD =u u u r（ ）A. AC AB 3132+ B. AC AB 3132-C. 1233AB AC +u u u r u u u rD. 1233AB AC -u u ur u u u r6.若21ln (),x f x x -⎧=⎨≥⎩（0<x<2）（x 2）若()2,f m m =则的值为（ ） A ．eB ．2C.1e D ． 2或1e7.已知0,0>>b a ，若不等式3103m a b a b--≤+恒成立，则m 的最大值等于（ ）A.4B.16C.9D.38.函数2()f x x x b =++，函数()()xg x e f x '=-的零点所在的区间是(,1)k k +(k Z ∈)，则k 的值等于 （ ）Ks5uA. 1-B.0C. 1D. 0或19．有下列四种说法：①命题“2000,0x R x x ∃∈->使得”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤都有” ； ②“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的必要不充分条件； ③“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真； ④若实数,[0,1]x y ∈,则满足: 122<+y x 的概率为4π.其中错误的个数是（ ）0 B ．1 C ． 2 D ．3 10．对于定义域和值域均为[0,1]的函数()f x ，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点[0,1]x ∈称为f 的n 阶周期点．设12,0,2()122,1,2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩ 则f 的3阶周期点的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（11～13题）11．双曲线)0,0.(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线为x y 3-=，双曲线的离心率为 ．12.如图，该程序运行后输出的结果是 ． 13．已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232013a a a a ⋅⋅⋅⋅L 的值为 ．（二）选做题（14～15题） 14．（几何证明选讲选做题）如图,△ABC 中,D 、E 分别在边AB 、AC 上,CD 平分∠ACB,DE ∥BC,如果AC=10,BC=15,那么AE=___________.15.（坐标系与参数方程选做题）若直线1224x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与直线023=+-ky x 垂直，则常数k = .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知)sin ,(cos )),cos(),2(sin(x x b x x a -=-+=ρρππ， 函数b a x f ρρ⋅=)(.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3BC B π==,求AC 边的长.型号A 样式B 样式C 样式A=1，S=0S=S+1 A=A+2A>15?输出S结束开始否 是17．(本小题满分12分)一车间生产A, B, C 三种样式的LED 节能灯,每种样式均有10W 和30W 两种型号,某天的产量如右表(单位:个):按样式分层抽样的方法在这个月生产的灯泡中抽取100个，其中有A 样式灯泡25个. （1）求z 的值； w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）用分层抽样的方法在A 样式灯泡中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个灯泡，求至少有1个10W 的概率．18.(本小题满分14分) 矩形ABCD 中，AD AB =2，E是AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起到'A BE ∆的位置，使''AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ；（2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积.19. (本小题满分14分) 在平面直角坐标系上，设不等式组)()3(200*∈⎪⎩⎪⎨⎧--≤≥>N n x n y y x 表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为n a .（1）求出a a a 123,,的值（不要求写过程）； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）令b n =11+n n a a （n ∈N *），求b 1+b 2+…+b n .20．（本小题满分14分）已知函数()321232a f x x x x =-+-()a ∈R ． （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[)1,x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）若过点10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (2,0)-,离心率10W 2000 z 3000 30W300045005000e=2,M 、N 是椭圆上的的动点。
2013年广东省高考数学试卷(文科)
2013年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．76．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．17．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|=．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．2013年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合S={x|x2+2x=0，x∈R}，T={x|x2﹣2x=0，x∈R}，则S∩T=（）A．{0}B．{0，2}C．{﹣2，0}D．{﹣2，0，2}【分析】根据题意，分析可得，S、T分别表示二次方程的解集，化简S、T，进而求其交集可得答案．【解答】解：分析可得，S为方程x2+2x=0的解集，则S={x|x2+2x=0}={0，﹣2}，T为方程x2﹣2x=0的解集，则T={x|x2﹣2x=0}={0，2}，故集合S∩T={0}，故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，首先分析集合的元素，可得集合的意义，再求集合的交集．2．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1＞0且x﹣1≠0，进而可求得x的范围．【解答】解：要使函数有意义需，解得x＞﹣1且x≠1．∴函数的定义域是（﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查对数函数的定义域及其求法，熟练解不等式组是基础，属于基础题．3．（5分）若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故选：D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键．4．（5分）已知sin（+α）=，cosα=（）A．B．C．D．【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．故选：C．【点评】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．1【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．据此即可得到体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中PA⊥底面ABC，PA=2，AB⊥BC，AB=BC=1．∴．因此V===．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）A．B．x+y+1=0 C．x+y﹣1=0 D．【分析】设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=﹣x+b，即x+y+b=0．根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=±，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程．【解答】解：设所求的直线为l，∵直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=﹣1∴设直线l方程为y=﹣x+b，即x+y﹣b=0∵直线l与圆x2+y2=1相切，∴圆心到直线的距离d=，解之得b=±当b=﹣时，可得切点坐标（﹣，﹣），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，∴b=﹣不符合题意，可得b=，直线方程为x+y﹣=0故选：A．【点评】本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l 的方程．着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．8．（5分）设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理，可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α，l∥β，则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A 错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β，故C错误；若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键．9．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．10．（5分）设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量，总存在向量，使；②给定向量和，总存在实数λ和μ，使；③给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使；④给定正数λ和μ，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来．【解答】解：选项①，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故①正确；选项②，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；选项③，取=（4，4），μ=2，=（1，0），无论λ取何值，向量λ都平行于x轴，而向量μ的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故③错误；选项④，因为λ和μ为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．二、填空题：本大题共3小题．每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+a3+|a4|= 15．【分析】根据条件求得等比数列的通项公式，从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值．【解答】解：∵数列{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴a n=a1•q n﹣1=（﹣2）n﹣1，∴a1=1，a2=﹣2，a3=4，a4=﹣8，∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15，故答案为15．【点评】本题主要考查等比数列的定义、通项公式，属于基础题．12．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，=1+4=5．由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大故答案为：5．【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为（θ为参数）．【分析】首先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后化直角坐标方程为参数方程．【解答】解：由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2﹣2x=0．化圆的方程为标准式，得（x﹣1）2+y2=1．令，得．所以曲线C的参数方程为．故答案为．【点评】本题考查了圆的参数方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，解答此题的关键是熟记互化公式，是中档题．15．（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数．（1）求的值；（2）若，求．【分析】（1）把x=直接代入函数解析式求解．（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值，然后将x=θ﹣代入函数解析式，并利用两角和与差公式求得结果．【解答】解：（1）（2）∵，，∴．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合．17．（13分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A 包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．【点评】本题考查古典概型问题，用列举法计算可以列举出基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．本题还考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．18．（13分）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中BC=．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；．（3）当AD=时，求三棱锥F﹣DEG的体积V F﹣DEG【分析】（1）在等边三角形ABC中，由AD=AE，可得，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，故有DE∥BC，再根据直线和平面平行的判定定理证得DE ∥平面BCF．（2）由条件证得AF⊥CF ①，且．在三棱锥A﹣BCF中，由，可得BC2=BF2+CF2，从而CF⊥BF②，结合①②，证得CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．再由，运算求得结果．【解答】解：（1）在等边三角形ABC中，AD=AE，∴，在折叠后的三棱锥A﹣BCF中也成立，∴DE∥BC．又∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF．（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF ①，且．∵在三棱锥A﹣BCF中，，∴BC2=BF2+CF2，∴CF⊥BF②．又∵BF∩AF=F，∴CF⊥平面ABF．（3）由（1）可知GE∥CF，结合（2）可得GE⊥平面DFG．∴=．【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定的定理的应用，用等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12﹣4n﹣1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．（1）证明：a 2=；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．【分析】（1）对于，令n=1即可证明；（2）利用，且，（n≥2），两式相减即可求出通项公式．（3）由（2）可得=．利用“裂项求和”即可证明．【解答】解：（1）当n=1时，，∵（2）当n≥2时，满足，且，∴，∴，∵a n＞0，∴a n=a n+2，+1∴当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列．∵a2，a5，a14构成等比数列，∴，，解得a2=3，由（1）可知，，∴a1=1∵a2﹣a1=3﹣1=2，∴{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列．∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1．（3）由（2）可得式=．∴【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、通项与前n项和的关系a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）是解题的关键．20．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x ﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．【分析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设，，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）设，，由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，所以PA：①PB：②联立①②可得点P的坐标为，即，，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．（3）根据抛物线的定义，有，，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以=．所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．21．（14分）设函数f（x）=x3﹣kx2+x（k∈R）．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k＜0时，求函数f（x）在[k，﹣k]上的最小值m和最大值M．【分析】（1）当k=1时，求出f′（x）=3x2﹣2x+1，判断△即可得到单调区间；（2）解法一：当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）．分△≤0和△＞0即可得出其单调性，进而得到其最值．解法二：利用“作差法”比较：当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，f（x）﹣f（k）及f （x）﹣f（﹣k）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2kx+1（1）当k=1时f′（x）=3x2﹣2x+1，∵△=4﹣12=﹣8＜0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．（2）当k＜0时，f′（x）=3x2﹣2kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f′（x）≥0，f（x）在[k，﹣k]上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=﹣k时，f（x）取得最大值M=f（﹣k）=﹣k3﹣k3﹣k=﹣2k3﹣k．（ii）当，即时，令f′（x）=3x2﹣2kx+1=0解得：，注意到k＜x2＜x1＜0，∴m=min{f（k），f（x1）}，M=max{f（﹣k），f（x2）}，∵，∴f（x）的最小值m=f（k）=k，∵，∴f（x）的最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k．综上所述，当k＜0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（﹣k）=﹣2k3﹣k解法2：（2）当k＜0时，对∀x∈[k，﹣k]，都有f（x）﹣f（k）=x3﹣kx2+x﹣k3+k3﹣k=（x2+1）（x﹣k）≥0，故f（x）≥f（k）．f（x）﹣f（﹣k）=x3﹣kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x2﹣2kx+2k2+1）=（x+k）[（x﹣k）2+k2+1]≤0，故f（x）≤f（﹣k），而f（k）=k＜0，f（﹣k）=﹣2k3﹣k＞0．所以，f（x）min=f（k）=k．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键．第21页（共21页）。
2013年高考真题——文科数学(新课标I卷)解析版(1)
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I （ ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)ii +=-（ ）（A ）112i --（B ）112i -+（C ）112i +（D ）112i -（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ） （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =±（D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧（C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） （A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若||42PF =，则POF ∆的面积为（ ） （A ）2（B ）22（C ）23（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ）（A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学文科试题含答案(纯word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔讲试卷类型（A）填涂在答题卡相应的位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
参考公式：球的体积，其中R为球的半径.锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合，，则＝（）A．{0} B.{0，2} C.{－2，0} D.{－2，0，Array 2}2、函数的定义域是（）A．（－1，+∞） B.，+∞）C. D.3、若，x，R，则复数的模是（）A．2 B.3 C.4 D.54、已知，则（）A． B. C. D.5、执行如图1所示的程序框图，若输入的值为3，则输出s的值为A．1 B.2 C.4 D.76、某三棱锥的三视图如图2所示，则该棱锥的体积是（）A． B. C. D. 17、垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是（）A． B.C. D.8、设l是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若l ∥,l ∥，则∥ B.若，，则∥ C.若，l ∥，则∥ D.若，l ∥，则9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于，则C 的方程是（ ） A ． B. C. D.10、设是已知的平面向量，且。
2013年高考文科数学广东卷有答案
数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20,}S x x x x =+=∈R ,2{|20,}T x x x x =-=∈R ,则ST =( ) A .{0}B .{0,2}C .{2,0}-D .{2,0,2}-2.函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( ) A .(1,)-+∞B .[1,)-+∞C .(1,1)(1,)-+∞D .[1,1)(1,)-+∞3.若i(+i)=3+4i x y ,,x y ∈R ,则复数+i x y 的模是( )A .2B .3C .4D .5 4.已知5π1sin()25α+=,那么cos α=( ) A .25-B .15-C .15D .255.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( ) A .1 B .2C .4D .76.某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( ) A .16B .13C .23D .17.垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A.0x y +- B .10x y ++= C .10x y +-=D.0x y +=8.设l 为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A .若l α∥,l β∥,则αβ∥B .若l α⊥,l β⊥,则αβ∥C .若l α⊥,l β∥,则αβ∥D .若αβ⊥,l α∥,则l β⊥9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ,离心率等于12,则C 的方程是 ( )姓名________________ 准考证号_____________------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）A .22134x y +=B.2214x = C .22142x y +=D .22143x y += 10.设a 是已知的平面向量且0≠a ,关于向量a 的分解,有如下四个命题： ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ；②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ,总存在单位向量b 和单位向量c ,使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ,c 和a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 ( ) A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11-13题)11.设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++= . 12.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a = .13.已知变量x ,y 满足约束条件30111,x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤≤，≥则z x y =+的最大值是 .(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C 的参数方程为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3,在矩形ABCD 中,AB =,3BC =,BE AC ⊥,垂足为E ,则ED = .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π())12f x x =-,x ∈R . （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）若3cos 5θ=,3π(,2π)2θ∈,求π()6f θ-. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率；（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个；（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率.18.（本小题满分13分）如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF △沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A B C F -,其中BC =（Ⅰ）证明：DE ∥平面BCF ； （Ⅱ）证明：CF ⊥平面ABF ；（Ⅲ）当23AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441n n S a n +=--,*n ∈N ,且2a,5a ,14a 构成等比数列.（Ⅰ）证明：2a = （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<.20.（本小题满分14分）数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点(0,)(0)F c c >到直线l ：20x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点,过P 点作抛物线C 的两条切线PA ,PB ,其中A ,B 为切点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时,求||||AF BF 的最小值.21.（本小题满分14分）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R . （Ⅰ）当1k =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当k ＜0时,求函数()f x 在[,]k k -上的最小值m 和最大值M .数学试卷 第7页（共14页）数学试卷 第8页（共14页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)答案解析一、选择题 1.【答案】A【解析】由题意知{0,2}S =-，{0,2}T =，故{0}ST =，故选A ．【提示】先求一元二次方程的根，再用列举法求交集元素． 【考点】集合的交集运算． 2.【答案】C【解析】由题意知1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解得1x >-且1x ≠，所以定义域为(1,1)(1,)-+∞【提示】从函数有意义的角度分析求解定义域，再由各个集合的交集得出定义域． 【考点】函数的定义域和集合的交集运算． 3.【答案】D【解析】因为i(i)34i x y +=+，所以i 34i x y-=+，根据两个复数相等的条件得：3y -=即3y =-，4x =，所以x yi +43i =-，i x y +的模5=；6.【答案】B【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形，高为2， 所以该三棱锥的体积111112323V ==；【提示】由三视图还原出直观图，根据“长对正、高对齐、宽相等”寻找出三棱锥的相关数据，代入棱锥的体积公式进行计算． 【考点】平面图形的三视图的和棱锥的体积．7.【答案】A【解析】设所求直线为l ，因为l 垂直直线1y x =+，故l 的斜率为1-，设直线l 的方程为y x b =-+，化为一般式为0x y b +-=；因为l 与圆相切221x y +=相切，所以圆心(0,0)到直线l 的距离1=，所以b =0b >，【解析】若α与β相交，且l 平行于交线，则也符合A ，显然A 错；若l l αβ⊥，∥，则αβ⊥，故C 错；l αβα⊥，∥，若l 平行交线，则l β∥，故D 错；【提示】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【考点】空间中直线、平面之间的位置关系．9.【答案】由线面平行或垂直的某些给定条件来判断相关线面的位置关系． 【解析】由焦点可知(1,0F ）可知椭圆焦点在x 轴上，由题意知1c =，12c a =，所以2a b ===，22143x y +=； 【提示】给定椭圆的离心率和焦点，求出各参数从而确定其标准方程． 【考点】椭圆的标准方程和椭圆的几何性质． 10.【答案】C【解析】对于①，若向量a ，b 确定，因为a b -是确定的，故总存在向量c ，满足c a b =-，数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）即a b c =+，故正确．对于②，因为c 和b 不共线，由平面向量基本定理可知，总存在唯一的一对实数λ，μ，满足a b c λμ=+，故正确；对于③，如果a b c λμ=+，则以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形，如果单位向量b 和正数μ确定，则一定存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+，故正确；对于④，如果给定的正数和不能满足“以||a ，||b λ，||c μ为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b 和c 就不存在，故错误．因此选C【提示】给定某些向量，利用平行四边形或三角形法则及平面向量基本定理来进行判断． 【考点】平面向量基本定理． 二、填空题 11.【答案】15【解析】由题意知11a =，22a =-，34a =，48a =-，所以；1234a a a a +++【解析】因为2ln y ax x =-，所以2y ax x'=-，因为曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，所以1210x y a ='=-=，所以12a =；【提示】给定曲线上某点切线在坐标轴上的位置关系，利用该点导数的几何意义求解原方程，从而求出待定系数．【考点】曲线的切线与导数的联系，导数的几何意义． 13.【答案】5【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1)-，(1,2)-，(1,1)，(1,4)代入可知z 的最大值为145z =+=；【提示】画出线性约束条件表示的平面区域，用图解法求最值． 【考点】线性规划问题的最值求解．14.【答案】，（为参数）【解析】因为曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=；所以2cos 2cos 1cos2x ρθθθ===+①，sin 2sin cos sin 2y ρθθθθ===②； ①可变形得：cos21x θ=-③，②可变形得：sin 2y θ=；由2222(1)1x y -+=【解析】因为在矩形ABCD 中，AB =3BC =，BE AC ⊥，所以30BCA ∠=︒，所以cos30CE CB =︒=CDE △中，因为60ECD ∠=︒，由余弦定理得： 2222021212cos60224DE CE CD CE CD =+-=+-=⎝⎭，所以CD =； ππππππcos cos sin sin 6612333f θθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫-=--=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭314525210⨯-⨯=⎭； 【提示】给定余弦函数表达式，利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式等λμcos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩α数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个，则重量在[80,85)的个数541515=⨯=+； （3）设在[80,85)中抽取的一个苹果为x ，在[95,100)中抽取的三个苹果分别为a b c ，，，从抽出的4个苹果中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b，(,)a c ，(,)b c 6种情况，其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c种；设“抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”为事件A ，则事件A 的概率31()P A ==；（2）证明：在图4中，因为因为ABC 是等边三角形，且F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥；在图5中，因为在BFC △中，122BF FC BC ===，，所以222BF FC BC +=，BF CF ⊥，又因为AF CF ⊥，所以CF ABF ⊥平面（3）因为AF CF AF BF ⊥⊥，，所以AF ⊥平面BCF ，又因为平面DGE ∥平面BCF ，所以AF ⊥平面DGE；所以11111113333232336324F D EGDGE V S FG DG GE FG -====△； 【提示】通过折叠问题来分析折叠前后变化的元素和不变化的元素，从而得出线面平行或垂直关系以及三棱锥的体积．【考点】线面平行、线面垂直和面面平行的判定与性质，平面图形的折叠问题和三棱锥（2）当2n ≥时，2211444(41)4(1)1n n n n n a S S a n a n -+⎡⎤=-=------⎣⎦2214n n a a +=--， 所以221(2)n n a a +=+，因为{}n a 各项均为正数，所以12n n a a +=+； 因为2a ，5a ，14a 构成等比数列，所以22145a a a =，即2222(24)(6)a aa +=+，解得23a =，因为2a =，所以11a =，212a a =+，符合12n n a a +=+，所以12n n a a +=+对1n =也符合，所以数列{}n a 是一个以11a =为首项，2d =为公差的等差数列，1(1)221n a n n =+-=-；（3）因为111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭， 所以1223111111111111121323522121n n a a a a a a n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112133521212121212n n n nn ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-=< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； 所以对一切正整数n ，有11112a a a a a a +++<．以抛物线C 的方程为24x y =； （2）因为抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=，设过00(,)P x y 点的切线l '与抛物线的切点坐标为21,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线l '的斜率2104012y m k m x m -==-，解得10m x =或20m x =；不妨设A 点坐标为2111,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）坐标为2221,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭0，所以12m m ≠；221112441201211()42AB m m k m m x m m -==+=-； 所以直线AB 的方程为210111()42y m x x m -=-，代入整理得：012y x =；（3）A 点坐标为2111,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 点坐标为2221,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 点坐标为(0,1)，因为0020x y --=；所以100m x x =，200m x x ==1202m m x +=， 12048m m x =-；因此=22222222221122121111|||11114444AF BF m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222222212121212121211111111()1()[()2]44164164m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=++=+++=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22220000001139(48)[(2)2(48)]1269216422x x x x x x ⎛⎫=-+--+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以当03x =时，||||AF BF 取最小值9；①当0∆≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，此时无最小值和最大值；②当0∆>时，即k <()0f x '=，解得x ==或。