河南省南阳一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
南阳市一中2020年秋期高一第一次月考
数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．已知集合{}{51A y B x y x x ==
=<->或，则=⋂)(B C A R （
）
A ．[0,1)
B ．[-1,1)
C ．[0,1]
D ．[1,1]
-2．若集合{}01
23A =，，，，}{
()B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，，，则B 中所含元素的个数为（）
A ．4
B ．
C ．7
D ．10
3．设集合11|,,|,3663k k M x x k Z N x x k Z ⎧
⎫⎧⎫
==
+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭
，则M 、N 的关系为（）
A.N
M ⊆ B.N
M = C.N
M ⊇ D.N
M ∈4．满足{}4321a a a a M ，，，⊆，且{}{}21321a a a a a M ，，，= 的集合M 的个数为（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．设I 是全集，集合,,M N P 都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（
）
A ．()I M P C N ⋂⋂
B ．()I M N
C P ⋂⋂C ．()
I I M C N C M ⋂⋂D ．()()
M N M P ⋂⋃⋂6．下列各式中，表示y 是x 的函数的有（
）
①(3)y x x =--；②y =；③1,0
1,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；④0,1,x y x ⎧=⎨
⎩
为有理数为实数．A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
7．已知A B R ==,x A ∈,y B ∈,:f x y ax b →=+是从A 到B 的映射,若2和7的原像分别是4和9,则5在f 作用下的像是（
）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．78．函数()2y f x =-定义域是[]0,4，则(1)y f x =+的定义域是（
）
A ．[3,1]-
B ．[2,2]-
C ．[1,3]-
D ．[1,5]
9．如图所示的图形中，可以表示以{|01}M x x =≤≤为定义域，以{|01}N y y =≤≤为值域的函数的图象是（
）
A. B.
C. D.
10．已知集合{}0,1,2P =，{}
10,N Q x x x =<∈，():21f x x x P →-∈，则该函数的值
域为（
）
A ．{}
1,3B ．()
1,3C ．
[]
1,3D ．Q
11．已知集合{},{},,1,1M x y z N -==，则从集合M 到集合N 的映射中，满足()1f x =的
映射有（
）个
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．已知函数
m nx x x f ++=2)(，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合
{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（
）
A ．[0,4)
B ．[1,4)
-C ．[3,5]
-D ．[0,7)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数1
1
)(2--=
x x x f ，则它的定义域为14．已知A B ，均为集合{}13579U
=，，，，的子集，且{}3A B = ，}9{)(=⋂A B C U ，则A =
______________
15．下列说法正确的是________________
①{}
2
(4)0x x x ∈-=N 与集合{}022-，
，相等②方程()()0x a x a -+=
的所有实数根组成的集合可记为{}
a a -，③全体偶数组成的集合为{}
2x x k x =∈Z
，④集合{}
x y y x =)(，表示一条过原点的直线
16．设函数1
1,02
()12,03
3x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是________.
三、解答题：
17．（本小题满分10分）已知集合{
}{
}
2
2
,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若
{}3A B =- ，
求实数a 的值。
18．（本小题满分12分）已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，
{|12}
C x m x m =-≤≤（1）求A B ，()R C A B ⋃；（2）若B C
C ⋂=，求实数m 的取值范围.
19．（本小题满分12分）已知集合{
}2
|40A x x x =+=，{
}
22
|2(1)10B x x a x a =+++-=.
（1）若A B ⊆，求a 的值；（2）若B A ⊆，求a 的值.
20．
（本小题满分12分）根据下列条件，求f (x )的解析式.（1）f (f (x ))＝4x －3，其中f (x )为一次函数；（2）12()(0)f f x x x x ⎛⎫
+=≠
⎪⎝⎭
.21．
（本小题满分12分）函数f （x ）的完整图象如图所示，曲线BCD 为抛物线的一部分．（Ⅰ）求f （x ）解析式；（Ⅱ）若f （x ）=1，求x 的值；
22．
（本小题满分12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为
x 台，当月产量不超过400台时，总收益为
2
14002
x x -
元，当月产量超过400台时，总收益为80000元.（注：利润=总收益-总成本）（1）将利润表示为月产量x 的函数()f x ；
（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？。
2020-2021学年河南省南阳市第一中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年河南省南阳市第一中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{A y y ==，{5B x x =<-或}1x >，则()AB =R（ ）A ．[0,1)B ．[)1,1- C ．[0,1] D ．[1,1]-【答案】C【分析】先化简集合{A y y ==，再由交集和补集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{{}0A y y y y ===≥，{5B x x =<-或}1x >，所以{}51RB x x =-≤≤，因此()[]0,1R A B ⋂=.故选：C.2．若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．7D ．10【答案】D【分析】根据题中条件，由列举法写出集合B 中的所有元素，即可得出结果.【详解】因为集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，， 当0x =时，0y =；则()0,0是集合B 中的元素；当1x =时，0y =或1y =，则()1,0，()1,1是集合B 中的元素；当2x =时，0y =或1y =或2y =，则()2,0，()2,1，()2,2是集合B 中的元素； 当3x =时，0y =或1y =或2y =或3y =，则()3,0，()3,1，()3,2，()3,3是集合B 中的元素.即B 中所含元素的个数为10个. 故选：D.3．设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M ，N 的关系为（ ）A ．M N ⊆B ．M NC ．M N ⊇D ．M N ∈【答案】A【分析】将集合M 、N 中表达式化为216k +、26k +，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M 、N 的包含关系.【详解】集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭中的元素，满足366121k k x +=+=，k Z ∈， 集合1|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭中的元素，满足63126k k x +=+=，k Z ∈， ∵21k +表示所有的奇数，2k +表示所有的整数； ∴M N ⊆ 故选：A.4．满足1{M a ⊆，2a ，3a ，4}a ，且1{M a ⋂，2a ，31}{a a =，2}a 的集合M 的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先根据1{M a ⋂，2a ，31}{a a =，2}a 可知1a ，2a 是M 中的元素，3a 不是M 中的元素，由子集的定义即可得出答案.【详解】解：1{M a ⋂，2a ，31}{a a =，2}a1a ∴，2a 是M 中的元素，3a 不是M 中的元素 1{M a ⊆，2a ，3a ，4}a1{M a ∴=，2}a 或1{M a =，2a ，4}a ，故选：B.【点睛】此题考查了交集的运算，属于基础题.5．设I 是全集，集合,,M N P 都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．()I M P C N ⋂⋂B ．()I M NC P ⋂⋂ C ．()I I M C N C M ⋂⋂D ．()()M N M P ⋂⋃⋂【答案】B【解析】观察图形得：图中的阴影部分表示的集合为()I M N C P ⋂⋂， 故选B.6．下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①(3)y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【分析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解.【详解】①(3)y x x =--,定义域为R ,化简解析式为3y =，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，是函数；②y =2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ∈∅，所以不是函数；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩，定义域为R ，对应法则对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数，定义域为R ，当1x =时，y 有两个值0,1与之对应，所以不是函数. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题.7．已知A B ==R ,x A ∈,y B ∈,:f x y ax b →=+是从A 到B 的映射,若2和7的原像分别是4和9,则5在f 作用下的像是 A ．3 B ．4C ．6D ．7【答案】A【解析】∵2和7的原象分别是4和9，∴由4297a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1a =，2b =-，即:2f x y x →=-，则当5x =时，523y =-=，故选A.8．函数(2)y f x =-定义域是[0,4]，则(1)y f x =+的定义域是（ ） A ．[3,1]- B ．[2,2]-C ．[1,3]-D ．[1,5]【答案】A【分析】根据函数的定义域求出222x -≤-≤，再由212x -≤+≤，解不等式即可求解.【详解】函数(2)y f x =-定义域是[0,4]， 则222x -≤-≤，所以212x -≤+≤，解得31x -≤≤， 所以函数(1)y f x =+的定义域为[3,1]-. 故选：A9．如图所示的图形中，可以表示以{|01}M x x =≤≤为定义域，以{|01}N y y =≤≤为值域的函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的定义可判断．【详解】解：A 选项，函数定义域为M ，但值域不是N ； B 选项，函数定义域不是M ，值域为N ；D 选项，集合M 中存在x 与集合N 中的两个y 对应，不构成映射关系，故也不构成函数关系． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的概念及表示方法，是基础题.10．已知集合{}0,1,2P =，{}10,N Q x x x =<∈，():21f x x x P →-∈，则该函数的值域为（ ） A ．{}1,3 B ．()1,3C ．[]1,3D ．Q【答案】A【分析】让自变量取遍集合P 中所有元素求出函数值组成值域．【详解】由题意记()21f x x =-，则(0)1,(1)1,(2)3f f f ===，值域为{1,3}． 故选：A.【点睛】本题考查函数的定义，考查求函数值域．掌握值域的定义是解题关键． 11．已知集合{},{},,1,M x y z N l -==，则从集合M 到集合N 的映射中，满足()1f x =的映射有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】在两个集合中，集合M 有三个元素，其中一个已经确定对应关系，剩下两个元素，分别和集合N 中的三个元素对应，得到共有4种不同的结果． 【详解】解：∵满足x 对应的元素是1，故l =1 集合M 中还有两个元素y 和z ， y 可以和1-对应，也可以和1对应, z 可以和1-对应，也可以和1对应, 每个元素有两种不同的对应， ∴共有2×2＝4种结果， 故选B ．【点睛】本题考查映射的个数，在两个集合中，若A 集合有m 个元素，B 集合有n 个元素，根据分步计数原理知，从集合A 到集合B 的映射的个数是nm ．12．已知函数2()f x x nx m =++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)【答案】A【分析】设a A ∈，代入集合B 得到0m =，讨论0n =和0n ≠两种情况，得到2()f x x nx n =+=-无解，计算得到答案.【详解】,A B 都不是空集，设a A ∈，则()0f a =；a B ∈，则()()()00f f a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时：方程的解为0x = 此时{}0A B ==，满足； 当0n ≠时：2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =，则2()f x x nx n =+=-无解，24004n n n ∆=-<∴<<综上所述：04n ≤<，[0,4)m n +∈ 故选A【点睛】关键点睛：解题关键在于确定0m =后，讨论0n =和0n ≠两种情况，属于基础题二、填空题 13．若函数()f x =________. 【答案】[1,1)(1,)-⋃+∞【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为()f x =210110x x x ⎧-≥⎪-⎨⎪-≠⎩，解得1x ≥-且1x ≠，即函数()f x =[1,1)(1,)-⋃+∞. 故答案为：[1,1)(1,)-⋃+∞.14．已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A ＝{9}，则A ＝________. 【答案】{3，9}【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.15．下列说法正确的是________________ ①(){}240x x x ∈-=N 与集合{}0,2,2-相等②方程()()0x a x a -+=的所有实数根组成的集合可记为{},a a - ③全体偶数组成的集合为{}2,x x k x =∈Z ④集合{}(,)x y y x =表示一条过原点的直线 【答案】④【分析】解方程()240x x -=化简集合(){}240x x x ∈-=N ，可判断①错；讨论a 的取值，可判断②错；用集合表示偶数集，可判断③错；根据点集的集合表示，可判断④正确.【详解】①由()240x x -=得0x =或2x =±，因此(){}{}2400,2x x x ∈-==N 与集合{}0,2,2-不相等；即①错；②当0a =时，方程()()0x a x a -+=的解为0x =，方程()()0x a x a -+=的所有实数根组成的集合为{}0，不能表示为{},a a -；即②错； ③全体偶数组成的集合为{}2,x x k k =∈Z ；即③错；④集合{}(,)x y y x =表示直线y x =上的所有点，即集合{}(,)x y y x =表示一条过原点的直线；即④正确. 故答案为：④.16．设函数11,02()12,033x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是________.【答案】(),1-∞-【分析】讨论0a ≥或0a <，代入分段函数的解析式，解不等式即可求解.【详解】11,02()12,033x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若()f a a >当0a ≥时，112a a ->，解得2a <-，此时无解， 当0a <时，1233a a ->，解得1a <-，此时不等式的解集为(),1-∞-，故答案为：(),1-∞-三、解答题 17．已知集合{}2,1,3A a a =+-，{}23,21,1B a a a =--+，若{3}A B ⋂=-，求实数a 的值.【答案】1a =-【分析】由{3}A B ⋂=-得3B -∈，分33a -=-，213a -=-，213a +=-三种情况讨论，一定要注意元素的互异性. 【详解】{3}A B ⋂=-，3B ∴-∈，而213a +≠-，∴当33a -=-，0a =，{0,1,3}A =-，{3,1,1}B =--，这样{3,1}A B ⋂=-与{3}A B ⋂=-矛盾， 当213a -=-，1a =-，符合{3}A B ⋂=-， 1a ∴=-.【点睛】本题主要考查集合的交集及其运算，通过公共元素考查了分类讨论的思想，属中档题.18．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}=-≤≤C x m x m （1）求A B ，()R C A B ⋃；（2）若BC C =，求实数m 的取值范围.【答案】(1) {|25}AB x x =≤< (){|35}RC A B x x ⋃=-<< (2)5(,1)(2,)2-∞-【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂=∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m mm m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭19．已知集合{}2|40A x x x =+=，{}22|2(1)10B x x a x a =+++-=. （1）若A B ⊆，求a 的值； （2）若B A ⊆，求a 的值.【答案】（1）1a =；（2）1a ≤-或1a =.【分析】（1）由题{4,0}A =-，集合B 最多两个元素，A B ⊆，则A B =，所以集合B 中的方程两根为-4,0，即可求解；（2）分类讨论：B 为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可. 【详解】（1）由题集合B 最多两个元素，{4,0}A =-，A B ⊆，则A B =，所以集合B中的方程两根为-4,0，224(1)4(1)0a a =+-->，即1a >-，由根与系数的关系，{20142(1)a a -=-+=-，解得：1a =；（2）由题B A ⊆，B 中最多两个元素，对于方程222(1)10x a x a +++-=当集合B =∅时：224(1)4(1)0a a =+--<，即1a <-时，方程无解，B =∅，符合题意；当集合B 中只有一个元素时：224(1)4(1)0a a =+--=，即1a =-时，方程的解为0x =，{0}B =，符合题意；当B 中有两个元素时：224(1)4(1)0a a =+-->，即1a >-时，方程有两个不同实根，集合B 有两个元素， 此时则A B =，所以集合B 中的方程两根为124,0x x =-=，由根与系数的关系，{20142(1)a a -=-+=-，解得：1a =；综上所述：1a ≤-或1a =.【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合B 是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏. 20．根据下列条件，求()f x 的解析式. （1）()()43ff x x =-，其中()f x 为一次函数；（2）12(),(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠⎪⎝⎭. 【答案】（1）()21f x x =-或()23f x x =-+；（2）2()(0)33xf x x x =-≠. 【分析】（1）由题意，设()(0)f x ax b a =+≠，根据题中条件，列出方程组求解，得出系数，即可求出解析式； （2）根据原式，将原式中的x 与1x 互换，得112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，两式联立求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意，设()(0)f x ax b a =+≠，则()2()()()43f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=++=-，由恒等式性质，得243a ab b ⎧=⎨+=-⎩，21a b =⎧⎨=-⎩或23a b =-⎧⎨=⎩. ∴所求函数解析式()21f x x =-或()23f x x =-+. （2）解：因为1()2f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，将原式中的x 与1x 互换， 得112()f f x x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭.于是得关于()f x 的方程组1()2112()f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩. 解得2()(0)33x f x x x =-≠. 21．函数f （x ）的图象如图所示，曲线BCD 为抛物线的一部分．（Ⅰ）求f （x ）解析式；（Ⅱ）若f （x ）=1，求x 的值；【答案】(1) ()233,10f {?43,03x x x x x x +-≤≤=-+<≤（2）2x 3=-或22-. 【分析】（1）当﹣1≤x≤0时图形为直线，根据两点坐标可求出解析式；当0＜x≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y=a （x ﹣1）（x ﹣3），带入坐标点可求出抛物线方程；（2）函数f （x ）图形与直线y=1的交点横坐标即为所求x 的值.【详解】（1）当-1≤x ≤0时，函数图象为直线且过点（-1，0）（0，3），直线斜率为k =3，所以y =3x +3；当0＜x ≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y =a （x -1）（x -3），当x =0时，y =3a =3，解得a =1，所以y =（x -1）（x -3）=x 2-4x +3，所以()233,10f {43,03x x x x x x +-≤≤=-+<≤． （2）当x ∈[-1，0]，令3x +3=1，解得；当x ∈（0，3]，令x 2-4x +3=1，解得， 因为0＜x ≤3，所以x=22所以2x 3=-或22 【点睛】本题主要考查了函数图象，分段函数解析式求法以及函数图形的基本性质，属于基础题．22．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元.设该公司的仪器月产量为x 台，当月产量不超过400台时，总收益为214002x x -元，当月产量超过400台时，总收益为80000元.（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润表示为月产量x 的函数()f x ；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) 2130020000,0400,()260000100,400,x x x x N f x x x x N⎧--≤≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩. (2) 当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.【分析】（1）利用已知条件，结合分段函数列出利润表示为月产量x 的函数()f x ； （2）利用分段函数的解析式，分段求解函数的最大值即可．【详解】（1）由题意得总成本为（20000+100x ）元， 所以利润2130020000,0400,()260000100,400,x x x x N f x x x x N⎧--≤≤∈⎪=⎨⎪->∈⎩. （2）当0400x ≤≤时，2211300200003002500022()()f x x x x =--=--+， 所以当300x =时，()f x 的最大值为25000；当400x >时，()60000100f x x =-是减函数，所以max ()600001004002000025000f x <-⨯=<综上，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25000元.【点睛】本题考查利用函数思想求解实际问题，求解函数的解析式是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力，是基础题．。
2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。
2020-2021学年河南省南阳一中高一上学期第一次月考数学试题
2020-2021学年河南省南阳一中高一上学期第一次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．已知集合{}{+1},51A y x B x y x x ===<->或，则=⋂)(B C A R （ ）A ．[0,1)B ．[-1,1)C ．[0,1]D ．[1,1]-2．若集合{}0123A =，，，，}{()B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，，，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．4B ．C ．7D ．103．设集合11|,,|,3663k k M x x k Z N x x k Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则M 、N 的关系为（ ） A.N M ⊆B. N M =C. N M ⊇D. N M ∈4．满足{}4321a a a a M ，，，⊆，且{}{}21321a a a a a M ，，，= 的集合M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．设I 是全集，集合,,M N P 都是其子集，则下图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．()I M P C N ⋂⋂B ．()I M NC P ⋂⋂ C ．()I I M C N C M ⋂⋂D ．()()M N M P ⋂⋃⋂6．下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ）①(3)y x x =--；②21y x x =-+-；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知A B R ==,x A ∈,y B ∈,:f x y ax b →=+是从A 到B 的映射,若2和7的原像分别是4和9,则5在f 作用下的像是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．78．函数()2y f x =-定义域是[]0,4，则(1)y f x =+的定义域是（ ）A ． [3,1]-B ． [2,2]-C ． [1,3]-D ． [1,5]9．如图所示的图形中，可以表示以{|01}M x x =≤≤为定义域，以{|01}N y y =≤≤为值域的函数的图象是（ ）A. B.C. D.10．已知集合{}0,1,2P =，{}10,N Q x x x =<∈，():21f x x x P →-∈，则该函数的值域为（ ）A ．{}1,3B ．()1,3C ．[]1,3D ．Q11．已知集合{},{},,1,1M x y z N -==，则从集合M 到集合N 的映射中，满足()1f x =的映射有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．612．已知函数m nx x x f ++=2)(，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A ．[0,4)B ．[1,4)-C ．[3,5]-D ．[0,7)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若函数11)(2--=x x x f ，则它的定义域为 14．已知A B ，均为集合{}13579U=，，，，的子集，且{}3A B =，}9{)(=⋂A B C U ，则A =______________15．下列说法正确的是________________①{}2(4)0x x x ∈-=N 与集合{}022-，，相等 ②方程()()0x a x a -+=的所有实数根组成的集合可记为{}a a -，③全体偶数组成的集合为{}2x x k x =∈Z ， ④集合{}x y y x =)(，表示一条过原点的直线16．设函数11,02()12,033x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是________.三、解答题：17．（本小题满分10分）已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值。
高一上学期第一次月考数学试卷及答案解析
7．（4分）设集合A＝{x|x＞2}，则（ ）
A．3∉AB． C．2∈AD．0∈A
8．（4分）有下列说法：
①很小的实数可以构成集合；
②若集合A，B满足A∪B＝B，则B⊆A；
③空集是任何集合的真子集；
④集合M＝{y|y＝x2+1，x∈R}，N＝{y|y＝﹣x2+1，x∈R}，则M∩N＝{（0，1）}．
（1）使a，b都为0的必要条件是；
（2）使a，b都不为0的充分条件是；
（3）使a，b至少有一个为0的充要条件是．
14．（4分）集合{a，b}的所有子集一共有个．
15．（4分）若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是．
16．（4分）已知命题p：对任意的x∈[0，1]，不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立，则￢p为；若￢p为假命题，则m的取值范围是．
D．“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件
【解析】A：x∈A∪B，则x∈A或x∈B，所以A正确；
B：对任意x∈{x|x＞1}，取x＝2，显然x2＝2x，与对任意x∈{x|x＞1}，都有x2＞2x矛盾，故B不正确；
C：“∀a∈Z，1﹣a2≤1”的否定是“∃a∈Z，1﹣a2＞1”，所以C正确；
D：“x＝y”可得“|x|＝|y|”，但是“x＝﹣y”也可得“|x|＝|y|”，所以“x＝y”是“|x|＝|y|”的充分不必要条件，所以D正确；
故选：B．
5．（4分）命题：“若|m﹣3|＞2则m＞5或m＜1”的否定形式是（ ）
A．若|m﹣3|≤2则m＜5或m＞1B．若|m﹣3|≤2则m≤5或m≥1
C．若|m﹣3|＞2则1＜m＜5D．若|m﹣3|＞2则1≤m≤5
【解析】命题：“若|m﹣3|＞2，则m＞5或m＜1”的否定形式是：若|m﹣3|＞2，则1≤m≤5．
【月考试卷】2020-2021学年上学期高一年级数学第一次月考试卷含答案(内容：必修1)
15 ． 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当
时，
,则 __________． 16．已知集合 A {x | ax 1 0}，且 2 A，3 A，则 a 的取值范围是
xa
_______.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)设集合 A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a －1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数 a 的值．
18．(本小题满分 12 分)
已知集合
.
（1）若 （2的取值范围.
试卷第 3 页，总 5 页
19．(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象．
围是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 10 D. a 10 9．下面四个函数：
x, x 0,
① y 3x ② y
1 x2 1
③
y
x2
2x
10
④
y
{
1
,
x
0.
.其中值域为
x
R 的函数有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10．已知函数 f x { 2x,x 0 ，若 f a f 1 0，则实数 a 的值等
A. {x|0＜x＜2}
B. {x|1＜x≤2}
C. {x|0≤x≤1，或 x≥2} D. {x|0≤x≤1，或 x＞2}
4．已知 f(x)=
,则 f[f(3)]= ( )
2020-2021南阳市第一中学高一数学上期中模拟试题带答案
2020-2021南阳市第一中学高一数学上期中模拟试题带答案一、选择题1．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，U为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ð D ．()()U M P S ⋂⋃ð3．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]4．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.55．已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-6．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<7．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-8．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ） A ．偶函数，且在(0,10)是增函数 B ．奇函数，且在(0,10)是增函数 C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a 12．设0.60.3a =，0.30.6b =，0.30.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．函数()1x f x x+=的定义域是______．15．已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m⎧≤=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 16．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________. 17．10343383log 27()()161255-+--+=__________．18．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人.19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．20．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .三、解答题21．已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数． （1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 24．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.25．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．26．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.4．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．5．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．6．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.8．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性得出0.60.30.30.3<，而根据幂函数的单调性得出0.30.30.30.6<，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.3xy =Q 在定义域上单调递减，且0.360.<，0.60.30.30.3∴<，又0.3y x∴=在定义域上单调递增，且0.360.<，0.30.30.30.6∴<， 0.60.30.30.30.30.6∴<<，a cb ∴<<故选：B ． 【点睛】考查指数函数和幂函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案【详解】由得且函数的定义域为：；故答案为【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法是基础的会考题型 解析：[)()1,00,∞-⋃+【解析】 【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案． 【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞； 故答案为[)()1,00,-⋃+∞． 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的会考题型．15．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.16．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】 令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点17．【解析】18．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系 解析：【解析】 【分析】 【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.19．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则； 因为0x ≥时，，则 若时，令 若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在.【解析】【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案；（2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-，因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数，则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ．（2）不存在，理由如下： 假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1， 可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题．22．（1）2；（2）(]1,3.【解析】【分析】（1）设0x <，可得0x ->，求出()f x -的表达式，利用奇函数的定义可得出函数()y f x =在0x <时的解析式，由此可求出实数m 的值；（2）作出函数()y f x =的图象，可得出函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，于是可得出[][]1,21,1a --⊆-，进而得出关于实数a 的不等式组，解出即可.【详解】 （1）()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩Q 为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()2222f x x x x x -=--+⨯-=--，则()()22f x f x x x =--=+，2m ∴=； （2）由（1）可得()222,00,02,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，作出函数()y f x =如下图所示：由图象可知，函数()y f x =的单调递增区间为[]1,1-，由题意可得[][]1,21,1a --⊆-，则121a -<-≤，解得13a <?.因此，实数a 的取值范围是(]1,3.【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题. 23．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x =时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.24．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论. 【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去）， 所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.25．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ．【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝． 由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13．【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．26．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x xf k f ∴⋅>--+ ()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>-∴k的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．。
2020-2021学年河南省南阳一中高三(上)第一次月考数学试题Word版含解析
2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．643．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．911．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是．15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}【分析】由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）【解答】解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．【点评】本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．64【分析】先求出集合P*Q中的元素有6个，由此可得P*Q的子集个数为26个，从而得出结论．【解答】解：集合P*Q中的元素为（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）共6个，故P*Q的子集个数为26=64，故选 D．【点评】本题主要考查求集合的子集，属于基础题．3．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）【分析】先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得﹣2＜a＜0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和﹣2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．【解答】解：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e ax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）e ax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）．故选：B．【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调递增，递减函数的定义．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件【分析】A．利用含有量词的命题的否定去判断．B．利用含有量词的命题的否定去判断．C．利用充分条件和必要条件的定义判断．D．利用对数函数单调性的性质判断．【解答】解：A．∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx成立，即p为真命题，则￢p为假命题，∴A错误．B．根据特称命题的否定是特称命题可知：命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，∴B错误．C．∵△=4﹣4×3=﹣8＜0，∴x2+2x+3=0方程无解，∴C错误．D．根据对数函数的性质可知，若a＞1时，f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，成立．若f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，∴D正确．故选D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义以及含有量词的命题的否定的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]【分析】由f（2x）的定义域为[0，1]，能够导出1≤2x≤2，从而得到在f（log2x）中，1≤log2x≤2，由此能求出f（log2x）的定义域．【解答】解：∵f（2x）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，1≤2x≤2，∴在f（log2x）中，令1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，故选C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数函数和对数函数的运算，属于基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．【解答】解：因为函数为奇函数，所以在[0，6]上必有f（0）=0．当时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，．所以共有9个零点．故选D．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．11．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）【分析】利用分段函数，分析出m的范围，然后利用数形结合求解选项即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，x＞1时，f（x）=﹣x2+2mx﹣2m+1，的对称轴为x=m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f （x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，在平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）与y=a的图象如图：x1+x2=0，x3+x4≥2m≥4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数与方程的应用，函数的图象，以及分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．【分析】先根据函数的对称轴推断出f（0）=f（），求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得．【解答】解：由条件知f（0）=f（），∴﹣b=a，∴=﹣1，∴k=﹣=1，故倾斜角为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的图象，直线的方程及斜率的问题．考查了学生逻辑思维和空间思维的能力．解题的关键是利用好函数的对称轴．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7} ．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7，故函数的定义域为{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}，故答案为：{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4 ．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= 2014 ．【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值．【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，f（x0）=1，则（，1）为f（x）的对称中心，由于，则f（）+f（）=2f（）=2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了类比推理的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的表达式即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）+==﹣sinα+sinα=0；（2）==1．【点评】本题考查三角函数化简求值，对数运算法则的应用，考查计算能力．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．【分析】先化简集合A，B，（1）根据集合的交集的运算和C⊆（A∩B），分类讨论，求出m的范围，（2）根据集合的并集和（A∪B）∩D=∅，求出m的范围．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤7}，B={y|﹣3≤y≤5}（1）A∩B={x|﹣2≤x≤5}，①若C=φ，则m+1＞2m﹣1，∴m＜2；②若C≠φ，则，∴2≤m≤3；综上：m≤3；（2）A∪B={x|﹣3≤x≤7}，∴6m+1≥7，∴m≥1．【点评】本题主要考查集合的基本运算，参数的取值范围，属于中档题．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．【分析】若p为真，可得△≥0，解得a范围．若q为真，令h（x）=e2x﹣2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围．由“p∧q”为真，可得p为真且q为真．【解答】解：若p为真，则△=a2﹣4≥0，故a≤﹣2或a≥2．若q为真，则令h（x）=e2x﹣2ex+a，则h′（x）=2e2x﹣2e=2e（e2x﹣1﹣1），令h′（x）＜0，则，∴h（x）在上单调递减；令h′（x）＞0，则x，∴h（x）在上单调递增．∴当时，h（x）有最小值，．∵∀x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．∵“p∧q”为真，∴p为真且q为真．∴，解得a≥0．从而所求实数a的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了导数的应用、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．【分析】（1）结合具体的图象进行确定其解析式；（2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解．【解答】解：（1）结合图象，得A=2，T=，∴T=，∴=，∴ω=，∴y=2sin（x+φ），将点（﹣，0）代入，得2sin（﹣+φ）=0，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+），（2）结合（1）f（x）=2sin（x+），∴g（x）=[f（x﹣）]2，={2sin[（x﹣）+]}2，=4sin2（x+）=4×[1﹣cos（3x+）]=2﹣2cos（3x+），∴g（x）=2﹣2cos（3x+），∵x∈[﹣，]，∴3x∈[﹣，π]，∴3x+∈[﹣，]，∴cos（3x+）∈[﹣1，1]，∴cos（3x+）=﹣1时，函数取得最大值，此时，x=，最大值为4．【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性求出f（x）的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而判断函数的极值问题．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x2，其定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1；故函数f（x）在[1，e]上的最小值是1．（2）f′（x）=，g（x）=2x2﹣2ax=1，（ⅰ）当a≤0时，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，此时f′（x）＞0，函数f（x）无极值点；（ⅱ）当a＞0时，若△=4a2﹣8≤0，即0＜a≤时，在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≥0，函数f（x）无极值点；若△=4a2﹣8＞0，即a＞时，易知当＜x＜时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，所以当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点，综上，当a≤时，函数f（x）无极值点；a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，解得a的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值，结合题意确定a的范围即可；（3）问题转化为证明，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（1+x）﹣，（a＞0），∴f′（x）=，f′（1）=0，即a=2；（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．综上，a的取值范围为（0，1]．（3）要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增．又，f（0）=0，所以，所以成立．【点评】本题考查了函数的单调性、极值的意义，考查导数的意义以及不等式的证明，分类讨论思想，是一道综合题．。
2020-2021学年河南南阳高三上数学月考试卷
2020-2021学年河南南阳高三上数学月考试卷一、选择题1. 设i 为虚数单位，a ∈R ，“复数z =a 22−i 20201−i是纯虚数”是“a =1”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.充分而不必要条件D.必要而不充分条件2. 已知集合A ={x|x−1x−2≤0}，B ={y|y =√4−x 2}，则A ∩B =( ) A.(−∞, 2] B.⌀ C.[1, 2) D.[0, 2]3. 已知定义在[m −5,1−2m]上的奇函数f(x)，满足x >0时，f(x)=2x −1，则f(m)的值为( ) A.−7 B.−15 C.3 D.154. 已知a ，b ，c 均为正实数，若2a =log 2a −1，2−b =log 12b ，(12)c =log 2c ，则( )A.c <b <aB.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c5. 要得到函数f (x )=cos (π2x −π6)的图象，可将函数g (x )=sin π2x 的图象（ ）A.向右平移23个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π3个单位长度 D.向左平移23个单位长度6. 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，且tan (α+β)=13，则tan β的值为( )A.3B.−2C.7D.−17. 如图，在△ABC 中，AN →=2NC →，P 是BN 上一点，若AP →=tAB →+13AC →，则实数t 的值为( )A.23 B.16C.12D.348. 设向量a →，b →满足a →+b →=(3,1)，a →⋅b →=1，则|a →−b →|=( ) A.2√2 B.2C.√10D.√69. 已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A.1+cos 2x 2xB. (x 2−π24)(x 2−9π24)x 3C.|sin x 2|3xD.|tan 4x|x10. 已知数列{a n }的通项公式a n =n +100n，则|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+⋯+|a 99−a 100|=( )A.180B.162C.210D.17511. 已知a =log 0.55，b =log 32，c =20.3，d =(12)2，从这四个数中任取一个数m ，使函数f(x)=13x 3+mx 2+x +2有极值点的概率为( ) A.12B.14C.34D.112. 已知函数f(x)=e x x−ax,x ∈(0,+∞)，当x 2>x 1时，不等式f (x 1)x 2<f (x 2)x 1恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(−∞,e2)B.(−∞,e ]C.(−∞,e2]D.(−∞,e)二、填空题已知等比数列{a n }中，各项都是正数，前n 项和为S n ，且4a 3，a 5，2a 4成等差数列，若a 1=1，则S 4=________.已知y =f(x)是定义在R 上的偶函数，且它在[0, +∞)上单调递增，那么使得f(−2)≤f(a)成立的实数a 的取值范围是________．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3−cos A)sin B =sin A(1+cos B)，a +c =6，则△ABC 的面积的最大值为________.已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2ln x ．若函数f(x)在(0, 12)上无零点，则a 的最小值为________． 三、解答题已知集合A ={x ∈R|0<ax +1≤5}，B ={x ∈R|−12<x ≤2}(a ≠0)．(1)A ，B 能否相等？若能，求出实数a 的值，若不能，试说明理由；(2)若命题p:x ∈A ，命题q:x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．已知等差数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且 S n =2n 2+kn +k . (1)求 {a n } 的通项公式；(2)若 b n =1a n a n+1，求数列 {b n } 的前n 项和 T n .已知函数f(x)=sin x cos (π2+x)+√3sin x cos x ． (1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若f(x)=a 在区间[0,π2]上有两个解x 1，x 2，求a 的取值范围及x 1+x 2的值．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S =14abc ，且b sin B −a sin A =2sin B sin C −2sin 2C .(1)求角A 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值.已知函数f(x)=2ax 2−2x +1，且函数f(x +1)为偶函数． (1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=me x 有三个不同的实数根，求实数m 的取值范围．已知函数f (x )=x (1+a +a cos x ).(1)求曲线y =f (x )在点(π,f (π))处的切线方程；(2)若a =1,x ∈[0,π2]时，f (x )≥m sin x 恒成立，求m 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年河南南阳高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】复验热数术式工乘除运算虚数单较i及严性质必要条水表综分条近与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】奇函数函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】指数表、对烧式守综合员较对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与表型正切公式诱三公定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】向量水较线定理向量三减弧合引算及码几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】指数表、对烧式守综合员较利来恰切研费函数的极值古典因顿二其比率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】等三中弧等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】余于视理正因归理基本常等式簧最母问赤中的应用诱三公定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用导于研究轨函数成点有近的问题由函水都读求参向取值范围问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】根据较盛必食例件求参数取值问题集都着相等【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数使的种和数于术推式等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二倍角明正推公式两角和与表擦正弦公式正弦函因的周激性正弦函较的对盛性三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用余于视理正因归理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用导于研究轨函数成点有近的问题函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用都数资究不长式化成立问题利用三数定究曲纵上迹点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年河南南阳高一上数学月考试卷
2020-2021学年河南南阳高一上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={−2，0，1，3}，B ={x|−52<x <32}，则集合A ∩B 的子集的个数为( )A.4B.8C.16D.322. 设函数f(x)={2e x−1，x <2，log 3(x 2−1)，x ≥2，则f[f(2)]=( )A.2B.3C.4D.53. 下列各组函数中，表示同一函数的是( )A.f (x )=2x ，g (x )=x 2B.f (x )=ln x 2，g (x )=2ln xC.f (x )=√x +3⋅√x −3，g (x )=√x 2−9D.f (x )=3x ，g (x )=√32x4. 已知a ∈{−1,2,12,3,13}，若f(x)=x a 为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增，则实数a 的值是( ) A.−1，3 B.13，3C.−1，13，3D.13，12，35. 函数y =√3−x2−log 2(x+1) 的定义域是( ) A.(−1,3) B.(−1,3] C.(−∞,3) D.(−1,+∞)6. 已知a =log 72，b =log 0.70.2，c =0.70.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <a D.c <a <b7. 函数f (x )=(13)x−1−√x −1的零点所在的区间是( )A.(1,43) B.(43,32) C.(32,53)D.(53,2)8. 若函数g(x)=a x(a >0且a ≠1)的图象与函数y =f (x )的图象关于直线y =x 对称，且f (4)=1，则f (2)+g (12)=( )A.2B.52C.3D.49. 已知幂函数f (x )=mx n 的图象过点(√2,2√2)，设a =f (m )，b =f (n )，c =f (ln 2)，则( ) A.c <b <a B.c <a <bC.b <c <aD.a <b <c10. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f (x )=ex1−x 2的图象大致是( )A. B.C.D.11. 已知函数f (x )={(1−3a )x +10a ，x ≤7a x−7，x >7是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(13,12) B.(13,611]C.[12,23)D.(12,611]12. 设函数f (x )={−(x −a )2+a 2, x ≤0,−x 2+2x +1−a, x >0.若f (0)是f (x )的最大值，则a 的取值范围为( )A.[4,+∞)B.[2,+∞)C.[1,+∞)D.[1,2]二、填空题函数f(x)=log a (3−x)+3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________.已知奇函数f (x )={2x +a, x >0,4−2−x , x <0,则实数a =________.函数f (x )=2x 2−ax 的单调递减区间是(−∞,1]，则f (x )在[0,3]上的最大值为________.下列说法正确的是________．(1)函数f (x )=log a (−x 2−2x +3)(a >0,a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调减区间是(−3,−1] (2)若函数f (x )={2x +2,x ≤1,log 2(x −1),x >1,在(−∞,a]上的最大值为4，则a 的取值范围为[1,17] (3)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=2x −x 2，则x <0时， f (x )=2x +x 2 (4)若函数y =(13)|x−1|+m 有零点，则实数m 的取值范围是[−1,0)三、解答题计算：(1)(√2×√33)6+log 3(log 24)×log 23；(2)log 3√274+lg 25−5log 574+lg 4.已知集合A ={x|√22<2x ≤16},B ={x|3a −2<x <2a +1}.(1)当a =0时，求A ∩B ；(2)若A ∩B =⌀，求a 的取值范围.已知二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2−x )，f (x )的两个零点的平方和为12，且f (0)=2. (1)求函数f (x )的解析式：(2)若在区间[0,m ](m >0)上f (x )的最小值为−2，最大值为2，求实数m 的取值范围．已知函数f (x )=x +log 21+x 1−x.(1)求f (12020)+f (−12020)的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性．定义在(0, +∞)上的函数y =f(x)，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(13)=1，当x >1时，f(x)<0.(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；(2)解关于x 的不等式f(x)+f(x −2)>−1．已知定义域为R 的函数f(x)=−2x +b 2x+1+a是奇函数．(1)求a ，b 的值．(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−2k)<0恒成立，求k 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年河南南阳高一上数学月考试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】子集与真子集的个数问题 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为A ∩B ={−2，0，1}， 所以集合A ∩B 子集的个数为23=8. 故选B . 2.【答案】 A【考点】 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为f(x)={2e x−1，x <2，log 3(x 2−1)，x ≥2，所以f(2)=log 3(22−1)=1， 所以f(f(2))=f(1)=2e 1−1=2． 故选A ． 3. 【答案】 D【考点】判断两个函数是否为同一函数 【解析】当两个函数的定义域和对应关系都相同时，两个函数才是相同的函数. 【解答】解：A ，函数f (x )=2x ，g (x )=x 2的对应关系不同，不是同一函数；B ，函数f (x )=ln x 2的定义域为{x|x ≠0}；g (x )=2ln x 的定义域为{x|x >0}，定义域不相同，不是同一函数；C ，函数f (x )=√x +3⋅√x −3的定义域为{x|x ≥3}；g (x )=√x 2−9的定义域为{x|x ≥3或x ≤−3}，定义域不相同，不是同一函数；D ，函数f (x )=3x ，g (x )=√32x 的定义域和对应关系都相同，是同一函数.故选D ． 4.【答案】 B【考点】函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】根据幂函数的性质分别进行判断即可． 【解答】解：若f(x)在(0, +∞)上单调递增， 则a >0，排除A ，C ，当a =2时，f(x)=x 2为偶函数，不满足条件．当a =12时，f(x)=x 12=√x 为非奇非偶函数，不满足条件． 当a =3时，f(x)=x 3为奇函数，满足条件． 当a =13时，f(x)=x 13为奇函数，满足条件． 故选B . 5. 【答案】 A【考点】函数的定义域及其求法 【解析】利用对数的真数为正数，分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求解即可. 【解答】解：要使函数有意义，则{3−x ≥0，x +1>0，2−log 2(x +1)≠0，解得−1<x <3，∴ 函数的定义域为(−1,3). 故选A . 6.【答案】 A【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】本题根据对数函数及指数函数来比较大小，解题关键是找到中间值，将a 、b 、c 与中间值进行比较即可得到结果． 【解答】解：∵ 2=√4<√7， ∴ a =log 72<log 7√7=12， b =log 0.70.2>log 0.70.7=1，12<0.7<c =0.70.2<1， ∴ a <c <b . 故选A . 7. 【答案】 B【考点】函数零点的判定定理 【解析】由题意得到f (43)⋅f (32)<0，即可得到零点所在的区间. 【解答】解：函数f (x )=(13)x−1−√x −1在定义域[1,+∞)上连续且单调递减，∵ f (43)=(13)13−√43−1=(13)13−(13)12>0，f (32)=(13)12−√32−1=(13)12−(12)12<0， ∴ f (43)⋅f (32)<0， ∴ 零点所在的区间是(43,32).故选B ． 8.【答案】 B【考点】 反函数 函数的求值【解析】由题意得到f(x)=log a x ，利用f(4)=log a 4=1，求出a ，得到函数f(x)和g(x)的解析式，代入求解即可. 【解答】解：∵ 函数g(x)=a x (a >0且a ≠1) 的图象与函数y =f (x )的图象关于直线y =x 对称， ∴ f(x)=log a x ， ∵ f(4)=log a 4=1， 解得a =4，∴ f(x)=log 4x ，g(x)=4x ，∴ f (2)+g (12)=log 42+412=2+12=52.故选B .9.【答案】 B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数单调性的性质 【解析】 暂无 【解答】解：由题可得m =1，f(√2)=√2n=2√2，解得n =3，则幂函数的解析式为f (x )=x 3， 且函数f (x )为单调递增函数，又ln 2<1<3，所以f (ln 2)<f (1)<f (3)，即c <a <b ． 故选B ． 10.【答案】 C【考点】 函数的图象 【解析】利用函数特殊值进行排除即可求解. 【解答】解：f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，排除D ； 当x ∈(0,1)时，1−x 2>0，f (x )>0，排除A ； 当x ∈(1,+∞)时，1−x 2<0，f (x )<0，排除B . 故选C ． 11. 【答案】 B【考点】已知函数的单调性求参数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ f (x )是定义在R 上的减函数，则满足{0<a <1，1−3a <0，7(1−3a )+10a ≥a 7−7=1，即{0<a <1，a >13，a ≤611，即13<a ≤611． 故选B . 12. 【答案】B【考点】分段函数的应用 二次函数的性质 【解析】 暂无 【解答】解：由题意得，函数f (x )={−(x −a )2+a 2, x ≤0,−x 2+2x +1−a,x >0,当x =0时， f (0)=0，当x >0时， y =−x 2+2x +1−a 的开口向下， 对称轴为直线x =1，当x =1时， y =2−a ，若使得f (0)是f (x )的最大值，则满足{a ≥0,2−a ≤0,解得a ≥2．故选B ． 二、填空题【答案】 (2,3) 【考点】对数函数的单调性与特殊点 【解析】 暂无 【解答】解：由题意得，令x =2时， f (2)=log a (3−2)+3=3， 所以函数经过点(2,3)． 故答案为：(2,3)．【答案】 −4【考点】函数奇偶性的性质 【解析】 暂无 【解答】解：因为函数f (x )为奇函数， 则f (−x )=−f (x )，则f (−1)=−f (1)，所以4−21=−(21+a )，解得a =−4． 故答案为：−4． 【答案】 6【考点】函数单调性的性质 【解析】 暂无 【解答】解：因为函数f(x)=2x 2−ax 的单调递减区间为(−∞,1]， 则a4=1，所以a =4，即f(x)=2x 2−4x ，所以f(x)在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增， 因为f(0)=0，f(3)=6，所以函数f(x)在区间[0,3]上的最大值为6． 故答案为：6． 【答案】 (1)(2)(3)(4) 【考点】复合函数的单调性 函数最值的应用函数解析式的求解及常用方法 由函数零点求参数取值范围问题【解析】 暂无 【解答】解：(1)由题意，函数f (x )=log a (−x 2−2x +3)，满足−x 2−2x +3>0，解得−3<x <1，即函数f (x )的定义域为(−3,1)， 又由函数g (x )=−x 2−2x +3在(−3,−1]单调递增， 在(−1,1)单调递减，因为f (0)<0，即f (0)=log a 3<0，所以0<a <1， 根据复合函数的单调性可得，函数f (x )的单调递减区间为(−3,−1]，(1)正确；(2)易知f 1(x )=2x +2，x ≤1，在(−∞,1]上单调递增， f 2(x )=log 2(x −1),x >1，在(1,+∞)上单调递增． 因为f (1)=4，f (17)=4，所以a 的取值范围为[1,17]，(2)正确；(3)当x <0时，−x >0，因为x >0时，f (x )=2x −x 2， 所以f (−x )=−2x −x 2，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )=−f (−x )=2x +x 2，(3)正确；(4)因为函数y =(13)|x−1|+m 有零点，所以方程(13)|x−1|+m =0有解，即方程(13)|x−1|=−m 有解，因为|x −1|≥0，所以0<(13)|x−1|≤1，所以0<−m ≤1，所以−1≤m <0，(4)正确． 故答案为：(1)(2)(3)(4). 三、解答题 【答案】解：(1)原式=(212)6×(313)6+log 32×1log 32=72+1=73．(2)原式=14log 327+(lg 25+lg 4)−5log 574 =34+2−74=1． 【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值 【解析】 无 无 【解答】解：(1)原式=(212)6×(313)6+log 32×1log 32=72+1=73．(2)原式=14log 327+(lg 25+lg 4)−5log 574 =34+2−74=1．【答案】解：(1)因为a =0，所以B ={x|3a −2<x <2a +1}={x|−2<x <1}， 因为A ={x|√22<2x ≤16}={x|−12<x ≤4}，所以A ∩B ={x|−12<x <1}.(2)当B =⌀时，3a −2≥2a +1，即a ≥3；当B ≠⌀时，{3a −2<2a +1，2a +1≤−12或{3a −2<2a +1，3a −2≥4.解得a ≤−34或2≤a <3.综上，a 的取值范围为(−∞,−34]∪[2,+∞).【考点】指、对数不等式的解法 交集及其运算【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为a =0，所以B ={x|3a −2<x <2a +1}={x|−2<x <1}， 因为A ={x|√22<2x ≤16}={x|−12<x ≤4}，所以A ∩B ={x|−12<x <1}.(2)当B =⌀时，3a −2≥2a +1，即a ≥3；当B ≠⌀时，{3a −2<2a +1，2a +1≤−12或{3a −2<2a +1，3a −2≥4.解得a ≤−34或2≤a <3.综上，a 的取值范围为(−∞,−34]∪[2,+∞).【答案】解：(1)由题意知f (x )的图象关于直线x =2对称， ∴ 可设f (x )=a (x −2)2+k (a ≠0)， 则由f (0)=2，可得k =2−4a ，∴ f (x )=a (x −2)2+2−4a =ax 2−4ax +2， ∵ ax 2−4ax +2=0的两实根的平方和为12，∴ 12=x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=16−4a ，∴ a =1，∴f(x)=x2−4x+2．(2)令f(x)=2，可得x=0或x=4，故f(x)的最小值为f(2)=−2，画出图象如图：根据二次函数图象的特点，可知m∈[2,4].【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数在闭区间上的最值二次函数的图象【解析】（1）由题意知f(x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=a(x+2)2+k（a≠0），由f(0)=2，可得k=2−4a，进而得到a的值，即可求解函数的解析式；（2）令f(x)=2，得f(x)的最小值，作出函数的图象，即可求解实数m的取值范围．【解答】解：(1)由题意知f(x)的图象关于直线x=2对称，∴可设f(x)=a(x−2)2+k(a≠0)，则由f(0)=2，可得k=2−4a，∴f(x)=a(x−2)2+2−4a=ax2−4ax+2，∵ax2−4ax+2=0的两实根的平方和为12，∴12=x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16−4a，∴a=1，∴f(x)=x2−4x+2．(2)令f(x)=2，可得x=0或x=4，故f(x)的最小值为f(2)=−2，画出图象如图：根据二次函数图象的特点，可知m∈[2,4].【答案】解：(1)易知函数f(x)的定义域是(−1,1)．因为f(−x)=−x+log21−x1+x=−x−log21+x1−x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以f(12020)+f(−12020)=0．(2)在区间(−1,1)上任取x1，x2，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1−x2+log21+x11−x1−log21+x21−x2=(x1−x2)+log2(1+x1)(1−x2)(1−x1)(1+x2)，因为x1<x2，所以x1−x2<0，又(1+x1)(1−x2)−(1−x1)(1+x2)=2(x1−x2)<0，即0<(1+x1)(1−x2)<(1−x1)(1+x2)．所以0<(1+x1)(1−x2)(1−x1)(1+x2)<1，即log2(1+x1)(1−x2)(1−x1)(1+x2)<0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(−1,1)上是增函数．【考点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】暂无暂无【解答】解：(1)易知函数f(x)的定义域是(−1,1)．因为f (−x )=−x +log 21−x 1+x=−x −log 21+x 1−x=−f (x )，所以函数f (x )是奇函数， 所以f (12020)+f (−12020)=0．(2)在区间(−1,1)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则f (x 1)−f (x 2)=x 1−x 2+log 21+x 11−x 1−log 21+x 21−x 2=(x 1−x 2)+log 2(1+x 1)(1−x 2)1−x 11+x 2，因为x 1<x 2，所以x 1−x 2<0，又(1+x 1)(1−x 2)−(1−x 1)(1+x 2)=2(x 1−x 2)<0， 即0<(1+x 1)(1−x 2)<(1−x 1)(1+x 2)． 所以0<(1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)<1，即log 2(1+x 1)(1−x 2)(1−x 1)(1+x 2)<0，所以f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在(−1,1)上是增函数． 【答案】解：(1)f (x )在(0,+∞)上单调递减． 证明：∵ f (xy )=f (x )+f (y )， 在(0,+∞)上任取x 1<x 2，∴ f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)−f (x2x 1x 1)=f (x 1)−f (x 2x 1)−f(x 1)=−f (x2x1)．∵ 0<x 1<x 2， ∴ x2x 1>1，∴ f (x2x 1)<0，∴ f (x 1)−f (x 2)=−f (x2x 1)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，∴ f (x )在(0,+∞)上单调递减．(2)∵ f (xy )=f (x )+f (y )且f (13)=1， ∴ f (x )+f (x −2)>−1 ⇒f (x )+f (x −2)>−f (13)⇒f (x )+f (x −2)+f (13)>0⇒f (x 2−2x )+f (13)>0⇒f (x 2−2x 3)>0.令x =y =1，则有f (1)=f (1)+f(1)， ∴ f (1)=0， ∴ f(x 2−2x 3)>f(1)．∵ f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴ { x >0，x −2>0，x 2−2x3<1，⇒{x >0，x >2，−1<x <3，⇒2<x <3，∴ 所求不等式的解集为(2,3). 【考点】函数单调性的判断与证明 函数单调性的性质 不等式的综合【解析】（2）直接用单调性的定义证明函数单调递减；（3）运用函数的单调性和特殊函数值及函数的定义域列不等式求解． 【解答】解：(1)f (x )在(0,+∞)上单调递减． 证明：∵ f (xy )=f (x )+f (y )， 在(0,+∞)上任取x 1<x 2，∴ f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)−f (x2x 1x 1)=f (x 1)−f (x 2x 1)−f(x 1)=−f (x2x1)．∵ 0<x 1<x 2， ∴ x2x 1>1，∴ f (x2x 1)<0，∴ f (x 1)−f (x 2)=−f (x2x 1)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)，∴ f (x )在(0,+∞)上单调递减．(2)∵ f (xy )=f (x )+f (y )且f (13)=1， ∴ f (x )+f (x −2)>−1 ⇒f (x )+f (x −2)>−f (13)⇒f (x )+f (x −2)+f (13)>0⇒f (x 2−2x )+f (1)>0⇒f (x 2−2x 3)>0.令x =y =1，则有f (1)=f (1)+f(1)， ∴ f (1)=0， ∴ f(x 2−2x 3)>f(1)．∵ f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴ { x >0，x −2>0，x 2−2x3<1，⇒{x >0，x >2，−1<x <3，⇒2<x <3，∴ 所求不等式的解集为(2,3). 【答案】解：(1)∵ f(x)=−2x +b2x+1+a 是奇函数， ∴ f(0)=−1+b 2+a=0，解得b =1．从而有f(x)=−2x +12x+1+a ， 又由f(1)=−f(−1)得：−2+14+a=−−12+11+a，解得a =2．(2)由(1)知f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，由上式易知f(x)在(−∞, +∞)上为减函数， 又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−2k)<0，等价于f(t 2−2t)<−f(2t 2−2k)=f(−2t 2+2k)， 因f(x)是减函数，由上式推得t 2−2t >−2t 2+2k ， 即对一切t ∈R 有3t 2−2t −2k >0， 从而判别式Δ=4+24k <0，解得k <−16． 【考点】函数奇偶性的性质 奇偶性与单调性的综合 函数恒成立问题 【解析】（1）由已知得f(0)=−1+b 2+a=0，f(1)=−f(−1)，由此能求出a ，b ．（2）f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，从而f(t 2−2t)+f(2t 2−k)<0等价于f(t 2−2t)<−f(2t 2−k)=f(−2t 2+k)，由此能求出k <−13． 【解答】 解：(1)∵ f(x)=−2x +b 2x+1+a是奇函数，∴ f(0)=−1+b 2+a=0，解得b =1．从而有f(x)=−2x +12x+1+a，又由f(1)=−f(−1)得：−2+14+a=−−12+11+a，解得a =2．(2)由(1)知f(x)=−2x +12x+1+2=−12+12x +1，由上式易知f(x)在(−∞, +∞)上为减函数， 又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2−2t)+f(2t 2−2k)<0，等价于f(t 2−2t)<−f(2t 2−2k)=f(−2t 2+2k)， 因f(x)是减函数，由上式推得t 2−2t >−2t 2+2k ， 即对一切t ∈R 有3t 2−2t −2k >0， 从而判别式Δ=4+24k <0，解得k <−16．。